2. vrsta sa integracijskog puta

Razmotrimo krivolinijski integral 2. vrste, gdje je L kriva koja povezuje točke M i N. Neka funkcije P(x, y) i Q(x, y) imaju kontinuirane parcijalne izvode u nekoj domeni D, u kojoj je kriva L leži u potpunosti. Odredimo uslove pod kojima razmatrani krivolinijski integral ne zavisi od oblika krive L, već samo od položaja tačaka M i N.

Nacrtajmo dvije proizvoljne krive MSN i MTN, koje leže u području D i povezuju tačke M i N (slika 14).

Pretpostavimo da, tj

gdje je L zatvorena kontura sastavljena od MSN i NTM krivulja (dakle, može se smatrati proizvoljnom). Dakle, uslov da je krivolinijski integral 2. vrste nezavisan od puta integracije je ekvivalentan uslovu da je takav integral na bilo kojoj zatvorenoj konturi jednak nuli.

Teorema 5 (Grinov teorem). Neka su funkcije P(x, y) i Q(x, y) i njihovi parcijalni derivati ​​u neprekidni u svim tačkama neke domene D. Zatim da bi bilo koja zatvorena kontura L koja leži u domeni D zadovoljila uslov

potrebno je i dovoljno da je = u svim tačkama domene D.

Dokaz.

1) Dovoljnost: neka je uslov = ispunjen. Razmotrimo proizvoljnu zatvorenu konturu L u području D, koja ograničava regiju S, i napiši Green formulu za nju:

Dakle, dovoljnost je dokazana.

2) Neophodnost: pretpostavimo da je uslov ispunjen u svakoj tački regiona D, ali postoji barem jedna tačka u ovoj oblasti u kojoj - ? 0. Neka, na primjer, u tački P(x0, y0) imamo: - > 0. Pošto postoji kontinuirana funkcija na lijevoj strani nejednakosti, da li će ona biti pozitivna i veća od neke? > 0 u nekoj maloj oblasti D` koja sadrži tačku P. Prema tome,

Dakle, po Greenovoj formuli dobijamo to

gdje je L` kontura koja ograničava regiju D`. Ovaj rezultat je u suprotnosti sa uslovom. Dakle, = u svim tačkama domene D, što je trebalo dokazati.

Napomena 1. Na sličan način, za trodimenzionalni prostor, može se dokazati da su potrebni i dovoljni uslovi za nezavisnost krivolinijskog integrala

sa puta integracije su:

Napomena 2. Pod uslovima (52), izraz Pdx + Qdy + Rdz je ukupni diferencijal neke funkcije u. Ovo nam omogućava da proračun krivolinijskog integrala svedemo na određivanje razlike između vrijednosti i na krajnjoj i početnoj tački konture integracije, budući da

U ovom slučaju, funkcija i može se pronaći po formuli

gdje je (x0, y0, z0) tačka u D i C je proizvoljna konstanta. Zaista, lako je provjeriti da su parcijalni izvodi funkcije i dati formulom (53) jednaki P, Q i R.

Primjer 10

Izračunati krivolinijski integral 2. vrste

duž proizvoljne krive koja povezuje tačke (1, 1, 1) i (2, 3, 4).

Potrudimo se da su uslovi (52) ispunjeni:

Dakle, funkcija postoji. Nađimo ga po formuli (53), postavljajući x0 = y0 = z0 = 0. Tada

Dakle, funkcija i je određena do proizvoljnog konstantnog člana. Uzmimo S = 0, tada je u = xyz. shodno tome,

Domena se naziva jednostavno povezanom ako je njena granica povezani skup. Domen se naziva n-povezanim ako se njegova granica dijeli na n-povezane skupove.

Komentar. Greenova formula vrijedi i za višestruko povezane domene.

Da bi integral (A, B su bilo koje tačke iz D) bio nezavisan od puta integracije (ali samo na početnoj i krajnjoj tački A, B), potrebno je i dovoljno da preko bilo koje zatvorene krive (duž bilo koje kontura) koja leži u D, integral je bio jednak nuli =0

Dokaz (potreba). Neka je (4) nezavisno od puta integracije. Razmotrimo proizvoljnu konturu C koja leži u području D i izaberemo dvije proizvoljne tačke A, B na ovoj konturi. Tada se kriva C može predstaviti kao unija dvije krive AB=G2 , AB=G1 , C=G - 1 + G2 .

Teorema 1. Da bi krivolinijski integral bio nezavisan od puta integracije u D, potrebno je i dovoljno da

u oblasti D. Dovoljnost. Ako je zadovoljan, onda će Greenova formula za bilo koju konturu C biti odakle tražena tvrdnja slijedi po lemi. Nužnost. Prema lemi, za bilo koju konturu = 0. Tada je, prema Green formuli za područje D , ograničeno ovom konturom = 0. Po teoremu srednje vrijednosti=mDor==0. Prelazeći do granice, sažimajući konturu do tačke, dobijamo to u ovoj tački.

Teorema 2. Da bi krivolinijski integral (4) bio nezavisan od puta integracije u D, potrebno je i dovoljno da integrand Pdx+Qdy bude totalni diferencijal neke funkcije u u domeni D. du = Pdx+Qdy. Adekvatnost. Neka se to uradi, onda Nužnost. Neka je integral nezavisan od puta integracije. Fiksiramo neku tačku A0 u domeni D i definiramo funkciju u(A) = u(x,y)=

U ovom slučaju

XO (xO). Dakle, postoji izvod =P. Slično, provjeravamo da je =Q. Pod datim pretpostavkama, ispada da je funkcija u kontinuirano diferencibilna i du = Pdx+Qdy.

32-33. Definicija krivolinijskih integrala 1. i 2. vrste

Krivolinijski integral po dužini luka (1. vrsta)

Neka je funkcija f(x, y) definirana i kontinuirana u tačkama luka AB glatke krive K. Proizvoljno podijelite luk na n elementarnih lukova tačkama t0..tn. Neka je lk dužina k parcijalnog arc. Uzmimo proizvoljnu tačku N(k,k) na svakom elementarnom luku i pomnožimo ovu tačku sa odn. dužinom luka pravimo tri integralna zbira:

1 =f(k,k)lk 2 = R(k,k)hk 3 = Q(k,k)yk, gdje je hk = x k -x k -1 , yk = y k -y k -1

Krivolinijski integral 1. vrste po dužini luka zvaćemo graničnu sumu integrala 1, pod uslovom da je max(lk)  0

Ako je granica integralne sume 2 ili 3 na   0, tada se ova granica naziva. krivolinijski integral 2. vrste, funkcije P(x,y) ili Q(x,y) duž krive l = AB i označava se:
ili

iznos:
+
uobičajeno je da se opšti krivolinijski integral 2. vrste naziva i označava simbolom:
u ovom slučaju funkcije f(x,y), P(x,y), Q(x,y) nazivaju se integrabilnim duž krive l = AB. Sama kriva l naziva se kontura ili integracijom A - početna, B - krajnje tačke integracije, dl - diferencijal dužine luka, pa se stoga naziva krivolinijski integral 1. vrste. krivolinijski integral nad lukom krive, a druga vrsta - nad funkcijom..

Iz definicije krivolinijskih integrala proizilazi da integrali 1. vrste ne zavise od smjera u kojem se kriva l vodi od A i B ili od B i A. Krivolinijski integral 1. vrste nad AB:

, za krivolinijske integrale 2. vrste, promjena smjera prolaska krive dovodi do promjene predznaka:

U slučaju kada je l zatvorena kriva, tj. t. B se poklapa sa tačkom A, tada od dva moguća pravca zaobilaženja zatvorene konture l, pravac u kome površina koja leži unutar konture ostaje levo u odnosu na ??? se naziva pozitivnim. pravljenje zaobilaznice, tj. smjer kretanja je u smjeru suprotnom od kazaljke na satu. Suprotan smjer zaobilaženja naziva se negativnim. Krivolinijski integral AB duž zatvorene konture l koja ide u pozitivnom smjeru će biti označen simbolom:

Za prostornu krivu, 1 integral 1. vrste se na sličan način uvodi:

i tri integrala 2. vrste:

naziva se zbir posljednja tri integrala. opšti krivolinijski integral 2. vrste.

Neke primjene krivolinijskih integrala 1. vrste.

1.Integral
- dužina luka AB

2. Mehaničko značenje integrala 1. vrste.

Ako je f(x,y) = (x,y) linearna gustina materijalnog luka, tada je njegova masa:

3. Koordinate centra mase materijalnog luka:

4. Moment inercije luka koji leži u xy ravni u odnosu na početak i osi rotacije ox, oy:

5. Geometrijsko značenje integrala prve vrste

Neka funkcija z = f(x,y) ima dimenziju dužine f(x,y)>=0 u svim tačkama materijalnog luka koje leže u xy ravni tada:

, gdje je S površina cilindrične površine, mačka se sastoji od okomita na ravninu oksi, istočno. u tačkama M(x, y) krive AB.

Neke primjene krivolinijskih integrala 2. vrste.

Izračunavanje površine ravne regije D sa granicom L

2.Power work. Neka se materijalna tačka kreće pod dejstvom sile duž neprekidne ravne krive BC, idući od B do C, rad ove sile:

Neka je dato ravno vektorsko polje. U nastavku ćemo pretpostaviti da su funkcije P i Q kontinuirane zajedno sa svojim derivatima iu nekom domenu O ravnine

Razmotrimo dvije proizvoljne tačke u području G. Ove tačke se mogu povezati različitim linijama koje leže u području duž koje su vrijednosti krivolinijskog integrala općenito različite.

Na primjer, razmotrite krivolinijski integral

i dvije tačke. Ovaj integral izračunavamo, prvo, duž pravolinijskog segmenta koji povezuje tačke A i B, i, drugo, duž luka parabole koji povezuje ove iste tačke. Primjenom pravila za izračunavanje krivolinijskog integrala nalazimo

a) duž linije

b) duž luka parabole:

Dakle, vidimo da vrijednosti krivolinijskog integrala zavise od puta integracije, odnosno zavise od vrste linije koja povezuje tačke A i B. Naprotiv, kao što je lako provjeriti, krivolinijski integral duž iste linije koje povezuju točke daje istu vrijednost jednaku .

Analizirani primjeri pokazuju da su krivolinijski integrali izračunati duž različitih putanja koje spajaju dvije date tačke u nekim slučajevima međusobno različiti, au drugim slučajevima imaju istu vrijednost.

Neka su A i B dvije proizvoljne tačke domene G. Razmotrimo različite krive koje leže u domeni G i povezuju tačke A i B.

Ako krivolinijski integral uzima istu vrijednost duž bilo kojeg od ovih putanja, onda se kaže da ne ovisi o putu integracije.

Sljedeće dvije teoreme daju uslove pod kojima krivolinijski integral ne zavisi od puta integracije.

Teorema 1. Da bi krivolinijski integral u nekom domenu G bio nezavisan od puta integracije, neophodno je i dovoljno da integral nad bilo kojom zatvorenom konturom koja leži u ovom domenu bude jednak nuli.

Dokaz. Adekvatnost.

Neka je integral po bilo kojoj zatvorenoj konturi nacrtanoj u domeni G jednak nuli. Pokažimo da ovaj integral ne zavisi od puta integracije. Zaista, neka su A i B dvije tačke koje pripadaju području G. Povežimo ove tačke pomoću dvije različite, proizvoljno odabrane krive koje leže u području G (slika 257).

Pokažimo da lukovi formiraju zatvorenu konturu. Uzimajući u obzir svojstva krivolinijskih integrala, dobijamo

kao . Ali po uslovu kao integral nad zatvorenom konturom.

Dakle, ili Dakle, krivolinijski integral ne zavisi od puta integracije.

Nužnost. Neka je krivolinijski integral u domeni G nezavisan od puta integracije. Pokažimo da je integral nad bilo kojom zatvorenom konturom koja leži u ovom području jednak nuli. Zaista, razmotrite proizvoljnu zatvorenu konturu koja leži u području G i uzmite dvije proizvoljne tačke A i B na njoj (vidi sliku 257). Onda

jer po uslovu. Dakle, integral nad bilo kojom zatvorenom konturom L koja leži u domenu G jednak je nuli.

Sljedeća teorema daje uslove pogodne za praktičnu upotrebu, pod kojima krivolinijski integral ne zavisi od puta integracije.

Teorema 2.

Da bi krivolinijski integral bio nezavisan od puta integracije u jednostavno povezanoj domeni, neophodno je i dovoljno da uslov

Dokaz. Adekvatnost. Neka u području Pokazujemo da je krivolinijski integral nad bilo kojom zatvorenom konturom L koja leži u području G jednak nuli. Posmatrajmo oblast a ograničenu konturom L. Na osnovu jednostavno povezanosti domene G, površina a u potpunosti pripada ovoj oblasti. Na temelju formule Ostrogradsky-Green, posebno na web mjestu Stoga i stoga, . Dakle, integral po bilo kojoj zatvorenoj konturi L u domeni G jednak je nuli. Na osnovu teoreme 1 zaključujemo da krivolinijski integral ne zavisi od puta integracije.

Nužnost. Neka je krivolinijski integral nezavisan od puta integracije u nekom domenu Q. Pokažimo da u svim tačkama domene

Pretpostavimo suprotno, tj. da u nekoj tački u području Neka , za određenost, . Na osnovu pretpostavke o kontinuitetu parcijalnih izvoda i razlika će biti kontinuirana funkcija. Shodno tome, oko tačke je moguće opisati kružnicu a (koja leži u oblasti G), u čijim će svim tačkama, kao iu jednoj tački, razlika biti pozitivna. Primijenimo formulu Ostrogradsky-Green na krug.

Definicija. Područje G trodimenzionalnog prostora naziva se površinsko jednostavno povezano. ako bilo koja zatvorena kontura koja leži u ovoj regiji može biti pokrivena površinom koja u potpunosti leži u području G. Na primjer, unutrašnjost sfere ili cijeli trodimenzionalni prostor su površinski jednostavno povezane regije; unutrašnjost torusa ili trodimenzionalni prostor, iz kojeg je linija isključena, nisu površinski jednostavno povezane regije. Neka je dato kontinuirano vektorsko polje u površinskoj jednostavno povezanoj domeni G. Tada vrijedi sljedeća teorema. Teorema 9. Da krivolinijski integral u polju vektora a ne zavisi od puta integracije, već da zavisi samo od početne i krajnje tačke puta (A i B), potrebno je i dovoljno da cirkulacija vektora a duž bilo koje zatvorene konture L koja se nalazi u području G, bila je jednaka nuli. 4 Nužnost. Neka je m-integral također nezavisan od puta integracije. Pokažimo da je tada za bilo koju zatvorenu konturu L jednak nuli. Posmatrajmo proizvoljnu zatvorenu konturu L u polju vektora a i na njoj uzmimo proizvoljne tačke A i B (slika 35). Po uslovu imamo - različite putanje koje spajaju tačno A i B \ odakle je tačno izabrana zatvorena kontura L. Dovoljnost. Neka je L za bilo koju zatvorenu konturu. Pokažimo da u ovom slučaju integral ne zavisi od puta integracije. Uzmimo dvije tačke A i B u polju vektora a, povežimo ih proizvoljnim linijama L1 i L2 i pokažimo da se zbog jednostavnosti ograničavamo na slučaj kada se prave L1 i L2 ne sijeku. U ovom slučaju, spoj formira jednostavnu zatvorenu petlju L (slika 36). Po uslovu a, svojstvu aditivnosti. Nezavisnost krivolinijskog integrala od puta integracije Potencijalno polje Izračunavanje krivolinijskog integrala u potencijalnom polju Proračun potencijala u kartezijanskim koordinatama Otuda, iz čega slijedi valjanost jednakosti (2). Teorema 9 izražava neophodne i dovoljne uslove za nezavisnost krivolinijskog integrala od oblika putanje, ali te uslove je teško proveriti. Hajde da predstavimo efikasniji kriterijum. Teorema 10. Da bi krivolinijski integral bio nezavisan od puta integracije L, potrebno je i dovoljno da vektorsko polje bude nerotaciono. M) je površno jednostavno povezano. Komentar. Na osnovu teoreme 9, nezavisnost krivolinijskog integrala od puta integracije je ekvivalentna jednakosti sa nulom kruženja vektora a duž bilo koje zatvorene konture. Ovu okolnost koristimo u dokazu teoreme. Nužnost. Neka je krivolinijski integral nezavisan od oblika putanje, ili, što je isto, cirkulacija vektora a duž bilo koje zatvorene konture L jednaka je nuli. Tada, tj., u svakoj tački polja, projekcija vektora rot a na bilo koji pravac jednaka je nuli. To znači da je sam vektor rot a jednak nuli u svim tačkama polja, dovoljnost. Dovoljnost uvjeta (3) slijedi iz Stokesove formule, jer ako je rot a = 0, tada je cirkulacija vektora duž bilo koje zatvorene petlje L jednaka nuli: Rotor ravnog polja je jednak što nam omogućava da formuliramo sljedeća teorema za ravno polje. Teorema 11. Da bi krivolinijski integral u jednostavno povezanom ravnom polju bio nezavisan od oblika prave L, potrebno je i dovoljno da relacija vrijedi identično u cijelom razmatranom području. Ako domena nije jednostavno povezana, onda ispunjenje uvjeta, općenito govoreći, ne osigurava nezavisnost krivolinijskog integrala od oblika prave. Primjer. Razmotrimo integral Jasno je da integrand nema značenje u tački 0(0,0). Stoga isključujemo ovu tačku. U ostatku ravni (ovo više neće biti jednostavno povezana regija!) Koordinate vektora a su kontinuirane, imaju kontinuirane parcijalne izvode i Razmotrite integral (6) duž zatvorene krive L - kružnice polumjera R sa središtem na početku: Tada razlika cirkulacije od nule pokazuje da integral (6) zavisi od oblika puta integracije. §10. Definicija potencijalnog polja. Polje vektora a(M) naziva se potencijalno ako postoji skalarna funkcija u(M) takva da se funkcija u(M) naziva potencijalom polja; njegove ravne površine nazivaju se ekvipotencijalne površine. tada je relacija (1) ekvivalentna sa sljedeće tri skalarne jednakosti: Imajte na umu da je potencijal polja određen do konstantnog člana: ako je, dakle, konstantan broj. Primjer 1. Polje radijus vektora r je potencijalno, budući da podsjećamo da je Potencijal polja radijus vektora, dakle. Primjer 2. Vektorsko polje je potencijalno. Neka funkcija bude takva da je pronađena. Tada i odakle Otuda je potencijal polja. Teorema 12. Da bi vektor a bio potencijalan, potrebno je i dovoljno da bude nerotacioni, odnosno da mu rotor bude jednak nuli u svim tačkama polja. U ovom slučaju pretpostavlja se kontinuitet svih parcijalnih izvoda koordinata vektora a i površinske jednostavno povezanosti područja u kojem je dat vektor a. Nužnost. Neophodnost uslova (2) utvrđuje se direktnim proračunom: ako je polje potencijalno, tj. na osnovu nezavisnosti mešovitih izvoda od reda diferencijacije. Adekvatnost. Neka je vektorsko polje irotaciono (2). Da bismo dokazali potencijalnost ovog polja, konstruišemo njegov potencijal u(M). Iz uslova (2) proizlazi da krivolinijski integral ne zavisi od oblika prave L, već zavisi samo od njene početne i krajnje tačke. Popravimo početnu tačku i promijenimo krajnju tačku Mu, z). Tada će integral (3) biti funkcija tačke. Označimo ovu funkciju sa u(M) i dokažimo da ćemo u nastavku pisati integral (3), koji označava samo početnu i krajnju tačku puta integracije, Jednakost je ekvivalentna trima skalarnim jednakostima Nezavisnost krivolinijskog integrala sa puta integracije Potencijalno polje Potencijal u kartezijanskim koordinatama Dokažimo prvu od njih, druga i treća jednakost se dokazuju na sličan način. Po definiciji parcijalnog izvoda, imamo Razmotrimo tačku blisku tački Pošto je funkcija u(M) određena relacijom (4), u kojoj krivolinijski integral ne zavisi od puta integracije, biramo put integracije kao prikazano na sl.37. Tada se odavde posljednji integral uzima kao mol segmenta prave linije MM) paralelne sa Ox osom. Na ovom segmentu, koordinata x se može uzeti kao parametar: Primjenjujući teoremu srednje vrijednosti na integral na desnoj strani (6), dobijamo Iz formule (7) proizlazi da Od tada, zbog kontinuiteta funkcije, dobijamo Slično, dokazano je da je Corollary. Vektorsko polje je potencijalno ako i samo ako je krivolinijski integral u njemu neovisan o putanji. Proračun krivolinijskog integrala u potencijalnom polju Teorema 13. Integral u potencijalnom polju a(M) jednak je razlici između vrijednosti potencijala u(M) polja na krajnjoj i početnoj tački polja. integracijski put Prethodno je dokazano da je funkcija potencijal polja. U potencijalnom polju, krivolinijski intefal ne zavisi od tačke intefacije. Dakle, odabirom putanje tačke M\ do tačke M2 tako da ona prolazi kroz tačku Afo (slika 38), dobijamo ili, menjajući orijentaciju putanje u prvom intefalu na desnoj strani, budući da je potencijal polja je određen na konstantan član, onda se svaki potencijal razmatranih polja može zapisati kao gdje je c konstanta. Izvođenjem zamjene u - c u formuli (10) dobijamo traženu formulu za proizvoljni potencijal v(M) Primjer 3. U primjeru 1 pokazano je da je potencijal polja radijus vektora r funkcija gdje je rastojanje od tačke do početka. Izračunavanje potencijala u Dekartovim koordinatama Neka je zadato potencijalno polje Prethodno je pokazano da se potencijalna funkcija "(M) može naći po formuli Integral (11) najpogodnije izračunati na sljedeći način: fiksiramo početnu tačku i povezujemo to do prilično bliske trenutne tačke M(x, y ,z) izlomljena linija čije su veze paralelne sa koordinatnim osa, . U ovom slučaju se na svakoj vezi polilinije mijenja samo jedna koordinata, što omogućava značajno pojednostavljenje proračuna. Zaista, na segmentu M0M\ imamo: Na segmentu. Rice. 39. Na rezu. Dakle, potencijal je gdje su koordinate trenutne tačke na vezama polilinije, duž koje se vrši integracija. Primjer 4. Dokazati da je vektorsko polje k ​​potencijalno i pronaći njegov potencijal. 4. Provjerimo da li je polje vektora a(Af) potencijalno. S tim ciljem izračunavamo rotor polja. Imamo Polje je potencijal. Potencijal ovog polja pronalazimo pomoću formule (12). Uzmimo ishodište koordinata 0 kao početnu tačku A/o (ovo se obično radi ako je polje a(M) definisano na početku koordinata). Tada dobijamo Dakle, gdje je c proizvoljna konstanta. Potencijal ovog polja može se pronaći i na drugi način. Po definiciji, potencijal u(x, y, z) je skalarna funkcija za koju je gradu = a. Ova vektorska jednakost je ekvivalentna trima skalarnim jednakostima: Integrirajući (13) preko x, dobijamo (17) po y, nalazimo - neku funkciju z. Zamjenom (18) u (16) dobijamo. Diferencirajući posljednju jednakost br. z i uzimajući u obzir relaciju (15), dobijamo jednačinu za koju

6. Formula za srednju vrijednost za određeni integral.

7. Integral sa varijabilnom gornjom granicom. Njegov kontinuitet i različitost.

8. Newton-Leibnizova formula za određeni integral.

9. Izračunavanje određenog integrala po dijelovima i promjena varijable.

10. Primena određenog integrala (površina ravne figure, dužina luka krive, zapremina obrtnog tela).

11. Pojam brojevnog niza i njegov zbir. Cauchyjev kriterij za konvergenciju nizova. Neophodan uslov za konvergenciju.

12. Testovi za Delemberta i Cauchyja za konvergenciju redova s ​​nenegativnim članovima.

13. Cauchyjev integralni kriterij za konvergenciju brojevnog niza.

14. Serija brojeva sa predznakom promjenljive. Apsolutna i uslovna konvergencija. Naizmjenični redovi. Leibnizov znak.

15. Funkcionalne serije. Zbroj reda. Definicija uniformne konvergencije niza. Cauchyjev kriterij za uniformnu konvergenciju funkcionalnog niza.

16. Weierstrassov test za uniformnu konvergenciju.

18. Power series. Abelova teorema.

19. Radijus konvergencije stepena niza. Cauchy-Hadamardova formula za radijus konvergencije stepena reda.

21. Funkcije nekoliko varijabli. Koncept n-dimenzionalnog euklidskog prostora. Skup tačaka u Euklidskom prostoru. Redoslijed tačaka i njegova granica. Definicija funkcije nekoliko varijabli.

22. Granica funkcije više varijabli. Kontinuitet funkcije. Privatni derivati.

23. Definicija diferencijabilne funkcije više varijabli i njen diferencijal. Derivati ​​i diferencijali višeg reda.

24. Taylorova formula za funkciju nekoliko varijabli. Ekstremum funkcije nekoliko varijabli. Neophodan uslov za ekstrem. Dovoljan uslov za ekstrem.

25. Dvostruki integral i njegova svojstva. Redukcija dvostrukog integrala na iterirani.

27. Promjena varijabli u trostrukom integralu. Cilindrične i sferne koordinate.

28. Proračun površine glatke površine, date parametarski i eksplicitno.

29. Definicija krivolinijskih integrala prve i druge vrste, njihova osnovna svojstva i proračun.

30. Greenova formula. Uslovi za nezavisnost krivolinijskog integrala od puta integracije.

31. Površinski integrali prve i druge vrste, njihova glavna svojstva i proračun.

32. Gauss-Ostrogradsky teorem, njegov prikaz u koordinatnom i vektorskom (invarijantnom) obliku.

33. Stokesova formula, njena notacija u koordinatnom i vektorskom (invarijantnom) obliku.

34. Skalarna i vektorska polja. Gradijent, divergencija, curl. Potencijalna i solenoidna polja.

35. Hamiltonov operator. (nabla) njegova primjena (primjeri).

36. Osnovni pojmovi vezani za obične diferencijalne jednadžbe (ode) prvog reda: opšta i partikularna rješenja, opći integral, integralna kriva. Cauchyjev problem, njegovo geometrijsko značenje.

37. Integracija ode prvog reda sa odvojivim varijablama i homogenim.

38. Integracija linearnih oda prvog reda i Bernoullijeve jednadžbe.

39. Integracija ode prvog reda u polarnim diferencijalima. integrirajući faktor.

40. Diferencijalne jednadžbe prvog reda, neriješene u odnosu na izvod. Metoda unosa parametara.

41. Jednačina n-tog reda sa konstantnim koeficijentima. Karakteristična jednačina. Osnovni sistem rješenja (fsr) homogene jednačine, opšte rješenje nehomogene jednačine.

42. Sistem linearnih diferencijalnih jednadžbi prvog reda. FSR homogenog sistema. Opšte rješenje homogenog sistema.

30. Greenova formula. Uslovi za nezavisnost krivolinijskog integrala od puta integracije.

Greenova formula: Ako je C zatvorena granica domene D i funkcije P(x,y) i Q(x,y), zajedno sa njihovim parcijalnim derivatima prvog reda, kontinuirane su u zatvorenom domenu D (uključujući granicu od C), tada vrijedi Greenova formula:, a obilaznica oko konture C se bira tako da regija D ostane lijevo.

Iz predavanja: Neka su date funkcije P(x,y) i Q(x,y) koje su neprekidne u domeni D zajedno sa parcijalnim derivacijama prvog reda. Granični integral (L) koji u potpunosti leži u području D i koji sadrži sve tačke u području D: . Pozitivan smjer konture je kada je ograničeni dio konture lijevo.

Uslov nezavisnosti krivolinijskog integrala 2. vrste od puta integracije. Neophodan i dovoljan uslov da krivolinijski integral prve vrste, koji povezuje tačke M1 i M2, ne zavisi od puta integracije, već zavisi samo od početne i krajnje tačke, jeste jednakost:.

.

31. Površinski integrali prve i druge vrste, njihova glavna svojstva i proračun.

- specificiranje površine.

Projektujemo S na ravan xy, dobijamo površinu D. Područje D dijelimo mrežom linija na dijelove zvane Di. Iz svake tačke svake prave povlačimo linije paralelne sa z, tada će se S podijeliti na Si. Napravimo integralni zbir: . Postavimo maksimalni prečnik Di na nulu:, dobićemo:

Ovo je površinski integral prve vrste

Ovo je površinski integral prve vrste.

Definicija ukratko. Ako postoji konačna granica integralne sume, koja ne zavisi od načina podele S na elementarne preseke Si i od izbora tačaka, onda se naziva površinskim integralom prve vrste.

Prilikom prelaska sa varijabli x i y na u i v:

P površinski integral ima sva svojstva običnog integrala. Vidite pitanja iznad.

Definicija površinskog integrala druge vrste, njegova glavna svojstva i proračun. Veza sa integralom prve vrste.

Neka je data površina S ograničena pravom L (slika 3.10). Uzmite neku konturu L na površini S koja nema zajedničkih tačaka sa granicom L. U tački M konture L, dvije normale u mogu se vratiti na površinu S. Biramo jedan od ovih pravaca. Ocrtajte tačku M duž konture L sa odabranim smjerom normale.

Ako se tačka M vrati u prvobitni položaj istim smjerom normale (a ne suprotnim smjerom), tada se površina S naziva dvostranom. Razmotrit ćemo samo dvostrane površine. Dvostrana površina je svaka glatka površina sa jednadžbom.

Neka je S dvostrana nezatvorena površina omeđena pravom L koja nema točaka samopresjeka. Odaberimo određenu stranu površine. Pozitivnim smjerom zaobilaženja konture L nazvat ćemo takav smjer, pri kretanju duž kojeg duž odabrane strane površine, sama površina ostaje lijevo. Dvostrana površina na kojoj je na ovaj način postavljen pozitivan smjer pomicanja konture naziva se orijentirana površina.

Pređimo na konstrukciju površinskog integrala druge vrste. Uzmimo dvostranu površinu S u prostoru, koja se sastoji od konačnog broja komada, od kojih je svaki dan jednadžbom oblika ili je cilindrična površina sa generatorima paralelnim sa Oz osi.

Neka je R(x,y,z) funkcija definirana i kontinuirana na površini S. Koristeći mrežu linija, dijelimo S proizvoljno na n "elementarnih" segmenata ΔS1, ΔS2, ..., ΔSi, ..., ΔSn koji nemaju zajedničke unutrašnje tačke. Na svakom segmentu ΔSi proizvoljno biramo tačku Mi(xi,yi,zi) (i=1,...,n). Neka je (ΔSi)xy površina projekcije presjeka ΔSi na koordinatnu ravan Oxy, uzeta sa znakom "+", ako je normala na površinu S u tački Mi(xi,yi,zi) (i= 1,...,n) formira sa osom Oz je oštar ugao, a sa znakom "-" ako je ovaj ugao tup. Sastavimo integralni zbir za funkciju R(x,y,z) nad površinom S u odnosu na varijable x,y: . Neka je λ najveći od prečnika ΔSi (i = 1, ..., n).

Ako postoji konačna granica koja ne ovisi o načinu podjele površine S na "elementarne" presjeke ΔSi i o izboru tačaka, tada se naziva površinski integral preko odabrane strane površine S funkcije R (x, y, z) duž koordinata x, y (ili površinskog integrala druge vrste) i označava se .

Slično, mogu se konstruisati površinski integrali nad koordinatama x, z ili y, z duž odgovarajuće strane površine, tj. i .

Ako svi ovi integrali postoje, onda možete uvesti "opći" integral preko odabrane strane površine: .

Površinski integral druge vrste ima uobičajena svojstva integrala. Napominjemo samo da svaki površinski integral druge vrste mijenja predznak kada se promijeni strana površine.

Veza između površinskih integrala prve i druge vrste.

Neka je površina S data jednadžbom: z \u003d f (x, y), i f (x, y), f "x (x, y), f "y (x, y) su kontinuirane funkcije u a zatvoreno područje τ (projekcije površine S na koordinatnu ravan Oxy), a funkcija R(x,y,z) je kontinuirana na površini S. Normala na površinu S, koja ima kosinus smjera cos α, cos β , cos γ, bira se na gornju stranu površine S. Tada je .

Za opšti slučaj imamo:

=

"