Виды прогрессий. Сумма первых n-членов арифметической прогрессии
Задачи по арифметической прогрессии существовали уже в глубокой древности. Они появлялись и требовали решения, поскольку имели практическую необходимость.
Так, в одном из папирусов Древнего Египта, имеющем математическое содержание, - папирусе Райнда (XIX век до нашей эры) - содержится такая задача: раздели десять мер хлеба на десять человек, при условии если разность между каждым из них составляет одну восьмую меры».
И в математических трудах древних греков встречаются изящные теоремы, имеющие отношение к арифметической прогрессии. Так, Гипсикл Александрийский (II век составивший немало интересных задач и добавивший четырнадцатую книгу к «Началам» Евклида, сформулировал мысль: «В арифметической прогрессии, имеющей четное число членов, сумма членов 2-ой половины больше суммы членов 1-ой на квадрату 1/2 числа членов».
Обозначается последовательность an. Числа последовательности называются ее членами и обозначаются обычно буквами с индексами, которые указывают порядковый номер этого члена (a1, a2, a3 … читается: «a 1-ое», «a 2-ое», «a 3-тье» и так далее).
Последовательность может быть бесконечной или конечной.
А что же такое арифметическая прогрессия? Под ней понимают получаемую сложением предыдущего члена (n) с одним и тем же числом d, являющимся разностью прогрессии.
Если d<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0, то такая прогрессия считается возрастающей.
Арифметическая прогрессия называется конечной, если учитываются только несколько ее первых членов. При очень большом количестве членов это уже бесконечная прогрессия.
Задается любая арифметическая прогрессия следующей формулой:
an =kn+b, при этом b и k - некоторые числа.
Абсолютно верно утверждение, являющееся обратным: если последовательность задается подобной формулой, то это точно арифметическая прогрессия, которая имеет свойства:
- Каждый член прогрессии - среднее арифметическое предыдущего члена и последующего.
- Обратное: если, начиная со 2-ого, каждый член - среднее арифметическое предыдущего члена и последующего, т.е. если выполняется условие, то данная последовательность - арифметическая прогрессия. Это равенство одновременно является и признаком прогрессии, поэтому его, как правило, называют характеристическим свойством прогрессии.
Точно так же верна теорема, которая отражает это свойство: последовательность - арифметическая прогрессия только в том случае, если это равенство верно для любого из членов последовательности, начиная со 2-ого.
Характеристическое свойство для четырёх любых чисел арифметической прогрессии может быть выражено формулой an + am = ak + al, если n + m = k + l (m, n, k - числа прогрессии).
В арифметической прогрессии любой необходимый (N-й) член найти можно, применяя следующую формулу:
К примеру: первый член (a1) в арифметической прогрессии задан и равен трём, а разность (d) равняется четырём. Найти нужно сорок пятый член этой прогрессии. a45 = 1+4(45-1)=177
Формула an = ak + d(n - k) позволяет определить n-й член арифметической прогрессии через любой ее k-тый член при условии, если он известен.
Сумма членов арифметической прогрессии (подразумевается 1-ые n членов конечной прогрессии) вычисляется следующим образом:
Sn = (a1+an) n/2.
Если известны и 1-ый член, то для вычисления удобна другая формула:
Sn = ((2a1+d(n-1))/2)*n.
Сумма арифметической прогрессии, которая содержит n членов, подсчитывается таким образом:
Выбор формул для расчетов зависит от условий задач и исходных данных.
Натуральный ряд любых чисел, таких как 1,2,3,...,n,...- простейший пример арифметической прогрессии.
Помимо арифметической прогрессии существует еще и геометрическая, которая обладает своими свойствами и характеристиками.
Кто-то к слову «прогрессия» относится настороженно, как к очень сложному термину из разделов высшей математики. А между тем самая простая арифметическая прогрессия - работа счётчика такси (где они ещё остались). И понять суть (а в математике нет ничего важнее, чем «понять суть») арифметической последовательности не так сложно, разобрав несколько элементарных понятий.
Математическая числовая последовательность
Числовой последовательностью принято именовать какой-либо ряд чисел, каждое из которых имеет свой номер.
а 1 - первый член последовательности;
а 2 - второй член последовательности;
а 7 - седьмой член последовательности;
а n - n-ный член последовательности;
Однако не любой произвольный набор цифр и чисел интересует нас. Наше внимание сосредоточим на числовой последовательности, у которой значение n-ного члена связано с его порядковым номером зависимостью, которую можно чётко сформулировать математически. Иными словами: численное значение n-ного номера является какой-либо функцией от n.
a - значение члена числовой последовательности;
n - его порядковый номер;
f(n) - функция, где порядковый номер в числовой последовательности n является аргументом.
Определение
Арифметической прогрессией принято именовать числовую последовательность, в которой каждый последующий член больше (меньше) предыдущего на одно и то же число. Формула n-ного члена арифметической последовательности выглядит следующим образом:
a n - значение текущего члена арифметической прогрессии;
a n+1 - формула следующего числа;
d - разность (определённое число).
Нетрудно определить, что если разность положительна (d>0), то каждый последующий член рассматриваемого ряда будет больше предыдущего и такая арифметическая прогрессия будет возрастающей.
На представленном ниже графике нетрудно проследить, почему числовая последовательность получила название «возрастающая».
В случаях, когда разность отрицательная (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.
Значение заданного члена
Иногда бывает необходимо определить значение какого-либо произвольного члена a n арифметической прогрессии. Можно сделать это путём расчёта последовательно значений всех членов арифметической прогрессии, начиная с первого до искомого. Однако такой путь не всегда приемлем, если, например, необходимо отыскать значение пятитысячного или восьмимиллионного члена. Традиционный расчёт сильно затянется по времени. Однако конкретная арифметическая прогрессия может быть исследована с помощью определённых формул. Существует и формула n-ного члена: значение любого члена арифметической прогрессии может быть определено как сумма первого члена прогрессии с разностью прогрессии, умноженной на номер искомого члена, уменьшенный на единицу.
Формула универсальна для возрастающей и убывающей прогрессии.
Пример расчёта значения заданного члена
Решим следующую задачу на нахождение значения n-ного члена арифметической прогрессии.
Условие: имеется арифметическая прогрессия с параметрами:
Первый член последовательности равен 3;
Разность числового ряда равняется 1,2.
Задание: необходимо отыскать значение 214 члена
Решение: для определения значения заданного члена воспользуемся формулой:
а(n) = а1 + d(n-1)
Подставив в выражение данные из условия задачи имеем:
а(214) = а1 + d(n-1)
а(214) = 3 + 1,2 (214-1) = 258,6
Ответ: 214-ый член последовательности раве 258,6.
Преимущества такого способа расчёта очевидны - всё решение занимает не более 2 строчек.
Сумма заданного числа членов
Очень часто в заданном арифметическом ряду требуется определить сумму значений некоторого его отрезка. Для этого также нет необходимости вычислять значения каждого члена и затем суммировать. Такой способ применим, если число членов, сумму которых необходимо найти, невелико. В остальных случаях удобнее воспользоваться следующей формулой.
Сумма членов арифметической прогрессии от 1 до n равна сумме первого и n-ного членов, помноженной на номер члена n и делённой надвое. Если в формуле значение n-ного члена заменить на выражение из предыдущего пункта статьи, получим:
Пример расчёта
Для примера решим задачу со следующими условиями:
Первый член последовательности равен нулю;
Разность равняется 0,5.
В задаче требуется определить сумму членов ряда с 56-го по 101.
Решение. Воспользуемся формулой определения суммы прогрессии:
s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2
Вначале определим сумму значений 101 члена прогрессии, подставив в формулу данные их условия нашей задачи:
s 101 = (2∙0 + 0,5∙(101-1))∙101/2 = 2 525
Очевидно, для того, чтобы узнать сумму членов прогрессии с 56-го по 101-й, необходимо от S 101 отнять S 55 .
s 55 = (2∙0 + 0,5∙(55-1))∙55/2 = 742,5
Таким образом сумма арифметической прогрессии для данного примера:
s 101 - s 55 = 2 525 - 742,5 = 1 782,5
Пример практического применения арифметической прогрессии
В конце статьи вернёмся к примеру арифметической последовательности, приведённому в первом абзаце - таксометр (счётчик автомобиля такси). Рассмотрим такой пример.
Посадка в такси (в которую входит 3 км пробега) стоит 50 рублей. Каждый последующий километр оплачивается из расчёта 22 руб./км. Расстояние поездки 30 км. Рассчитать стоимость поездки.
1. Отбросим первые 3 км, цена которых включена в стоимость посадки.
30 - 3 = 27 км.
2. Дальнейший расчет - не что иное как разбор арифметического числового ряда.
Номер члена - число км пробега (минус первые три).
Значение члена - сумма.
Первый член в данной задаче будет равен a 1 = 50 р.
Разность прогрессии d = 22 р.
интересующее нас число - значение (27+1)-ого члена арифметической прогрессии - показания счётчика в конце 27-го километра - 27,999… = 28 км.
a 28 = 50 + 22 ∙ (28 - 1) = 644
На формулах, описывающих те или иные числовые последовательности, построены расчёты календарных данных на сколь угодно длительный период. В астрономии в геометрической зависимости от расстояния небесного тела до светила находится длина орбиты. Кроме того, различные числовые ряды с успехом применяются в статистике и других прикладных разделах математики.
Другой вид числовой последовательности - геометрическая
Геометрическая прогрессия характеризуется большими, по сравнению с арифметической, темпами изменения. Не случайно в политике, социологии, медицине зачастую, чтобы показать большую скорость распространения того или иного явления, например заболевания при эпидемии, говорят, что процесс развивается в геометрической прогрессии.
N-ный член геометрического числового ряда отличается от предыдущего тем, что он умножается на какое-либо постоянное число - знаменатель, например первый член равен 1, знаменатель соответственно равен 2, тогда:
n=1: 1 ∙ 2 = 2
n=2: 2 ∙ 2 = 4
n=3: 4 ∙ 2 = 8
n=4: 8 ∙ 2 = 16
n=5: 16 ∙ 2 = 32,
b n - значение текущего члена геометрической прогрессии;
b n+1 - формула следующего члена геометрической прогрессии;
q - знаменатель геометрической прогрессии (постоянное число).
Если график арифметической прогрессии представляет собой прямую, то геометрическая рисует несколько иную картину:
Как и в случае с арифметической, геометрическая прогрессия имеет формулу значения произвольного члена. Какой-либо n-ный член геометрической прогрессии равен произведению первого члена на знаменатель прогрессии в степени n уменьшенного на единицу:
Пример. Имеем геометрическую прогрессию с первым членом равным 3 и знаменателем прогрессии, равным 1,5. Найдём 5-й член прогрессии
b 5 = b 1 ∙ q (5-1) = 3 ∙ 1,5 4 = 15,1875
Сумма заданного числа членов рассчитывается так же с помощью специальной формулы. Сумма n первых членов геометрической прогрессии равна разности произведения n- ного члена прогрессии на его знаменатель и первого члена прогрессии, делённой на уменьшенный на единицу знаменатель:
Если b n заменить пользуясь рассмотренной выше формулой, значение суммы n первых членов рассматриваемого числового ряда примет вид:
Пример. Геометрическая прогрессия начинается с первого члена, равного 1. Знаменатель задан равным 3. Найдём сумму первых восьми членов.
s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280
Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно "не очень..."
И для тех, кто "очень даже...")
Арифметическая прогрессия - это ряд чисел, в котором каждое число больше (или меньше) предыдущего на одну и ту же величину.
Эта тема частенько представляется сложной и непонятной. Индексы у буковок, n-й член прогрессии, разность прогрессии - всё это как-то смущает, да... Разберёмся со смыслом арифметической прогрессии и всё сразу наладится.)
Понятие арифметической прогрессии.
Арифметическая прогрессия - понятие очень простое и чёткое. Сомневаетесь? Зря.) Смотрите сами.
Я напишу незаконченный ряд чисел:
1, 2, 3, 4, 5, ...
Сможете продлить этот ряд? Какие числа пойдут дальше, за пятёркой? Каждый... э-э-э..., короче, каждый сообразит, что дальше пойдут числа 6, 7, 8, 9 и т.д.
Усложним задачу. Даю незаконченный ряд чисел:
2, 5, 8, 11, 14, ...
Сможете уловить закономерность, продлить ряд, и назвать седьмое число ряда?
Если сообразили, что это число 20 - я вас поздравляю! Вы не только почувствовали ключевые моменты арифметической прогрессии, но и успешно употребили их в дело! Если не сообразили - читаем дальше.
А теперь переведём ключевые моменты из ощущений в математику.)
Первый ключевой момент.
Арифметическая прогрессия имеет дело с рядами чисел. Это и смущает поначалу. Мы привыкли уравнения решать, графики строить и всё такое... А тут продлить ряд, найти число ряда...
Ничего страшного. Просто прогрессии - это первое знакомство с новым разделом математики. Раздел называется "Ряды" и работает именно с рядами чисел и выражений. Привыкайте.)
Второй ключевой момент.
В арифметической прогрессии любое число отличается от предыдущего на одну и ту же величину.
В первом примере эта разница - единичка. Какое число ни возьми, оно больше предыдущего на единичку. Во втором - тройка. Любое число больше предыдущего на тройку. Собственно, именно этот момент и даёт нам возможность уловить закономерность и рассчитать последующие числа.
Третий ключевой момент.
Этот момент не бросается в глаза, да... Но очень, очень важен. Вот он: каждое число прогрессии стоит на своём месте. Есть первое число, есть седьмое, есть сорок пятое, и т.д. Если их перепутать как попало, закономерность исчезнет. Исчезнет и арифметическая прогрессия. Останется просто ряд чисел.
Вот и вся суть.
Разумеется, в новой теме появляются новые термины и обозначения. Их надо знать. Иначе и задание-то не поймёшь. Например, придётся решать, что-нибудь, типа:
Выпишите первые шесть членов арифметической прогрессии (a n), если a 2 = 5, d = -2,5.
Внушает?) Буковки, индексы какие-то... А задание, между прочим - проще некуда. Просто нужно понять смысл терминов и обозначений. Сейчас мы это дело освоим и вернёмся к заданию.
Термины и обозначения.
Арифметическая прогрессия - это ряд чисел, в котором каждое число отличается от предыдущего на одну и ту же величину.
Эта величина называется . Разберёмся с этим понятием поподробнее.
Разность арифметической прогрессии.
Разность арифметической прогрессии - это величина, на которую любое число прогрессии больше предыдущего.
Один важный момент. Прошу обратить внимание на слово "больше". Математически это означает, что каждое число прогрессии получается прибавлением разности арифметической прогрессии к предыдущему числу.
Для расчёта, скажем, второго числа ряда, надо к первому числу прибавить эту самую разность арифметической прогрессии. Для расчёта пятого - разность надо прибавить к четвёртому, ну и т.п.
Разность арифметической прогрессии может быть положительной, тогда каждое число ряда получится реально больше предыдущего. Такая прогрессия называется возрастающей. Например:
8; 13; 18; 23; 28; .....
Здесь каждое число получается прибавлением положительного числа, +5 к предыдущему.
Разность может быть и отрицательной, тогда каждое число ряда получится меньше предыдущего. Такая прогрессия называется (вы не поверите!) убывающей.
Например:
8; 3; -2; -7; -12; .....
Здесь каждое число получается тоже прибавлением к предыдущему, но уже отрицательного числа, -5.
Кстати, при работе с прогрессией очень полезно бывает сразу определить её характер - возрастающая она, или убывающая. Это здорово помогает сориентироваться в решении, засечь свои ошибки и исправить их, пока не поздно.
Разность арифметической прогрессии обозначается, как правило, буквой d.
Как найти d ? Очень просто. Надо от любого числа ряда отнять предыдущее число. Вычесть. Кстати, результат вычитания называется "разность".)
Определим, например, d для возрастающей арифметической прогрессии:
2, 5, 8, 11, 14, ...
Берём любое число ряда, какое хотим, например, 11. Отнимаем от него предыдущее число, т.е. 8:
Это правильный ответ. Для этой арифметической прогрессии разность равна трём.
Брать можно именно любое число прогрессии, т.к. для конкретной прогрессии d - всегда одно и то же. Хоть где-нибудь в начале ряда, хоть в середине, хоть где угодно. Брать нельзя только самое первое число. Просто потому, что у самого первого числа нет предыдущего. )
Кстати, зная, что d = 3 , найти седьмое число этой прогрессии очень просто. Прибавим 3 к пятому числу - получим шестое, это будет 17. Прибавим к шестому числу тройку, получим седьмое число - двадцать.
Определим d для убывающей арифметической прогрессии:
8; 3; -2; -7; -12; .....
Напоминаю, что, независимо от знаков, для определения d надо от любого числа отнять предыдущее. Выбираем любое число прогрессии, например -7. Предыдущее у него - число -2. Тогда:
d = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5
Разность арифметической прогрессии может быть любым числом: целым, дробным, иррациональным, всяким.
Другие термины и обозначения.
Каждое число ряда называется членом арифметической прогрессии.
Каждый член прогрессии имет свой номер. Номера идут строго по порядочку, безо всяких фокусов. Первый, второй, третий, четвёртый и т.д. Например, в прогрессии 2, 5, 8, 11, 14, ... двойка - это первый член, пятёрка - второй, одиннадцать - четвёртый, ну, вы поняли...) Прошу чётко осознать - сами числа могут быть совершенно любые, целые, дробные, отрицательные, какие попало, но нумерация чисел - строго по порядку!
Как записать прогрессию в общем виде? Не вопрос! Каждое число ряда записывается в виде буквы. Для обозначения арифметической прогрессии используется, как правило, буква a . Номер члена указывается индексом внизу справа. Члены пишем через запятую (или точку с запятой), вот так:
a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , .....
a 1 - это первое число, a 3 - третье, и т.п. Ничего хитрого. Записать этот ряд кратко можно вот так: (a n ).
Прогрессии бывают конечные и бесконечные.
Конечная прогрессия имеет ограниченное количество членов. Пять, тридцать восемь, сколько угодно. Но - конечное число.
Бесконечная прогрессия - имеет бесконечное количество членов, как можно догадаться.)
Записать конечную прогрессию через ряд можно вот так, все члены и точка в конце:
a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 .
Или так, если членов много:
a 1 , a 2 , ... a 14 , a 15 .
В краткой записи придётся дополнительно указывать количество членов. Например (для двадцати членов), вот так:
(a n), n = 20
Бесконечную прогрессию можно узнать по многоточию в конце ряда, как в примерах этого урока.
Теперь уже можно порешать задания. Задания несложные, чисто для понимания смысла арифметической прогрессии.
Примеры заданий по арифметической прогрессии.
Разберём подробненько задание, что приведено выше:
1. Выпишите первые шесть членов арифметической прогрессии (a n), если a 2 = 5, d = -2,5.
Переводим задание на понятный язык. Дана бесконечная арифметическая прогрессия. Известен второе число этой прогрессии: a 2 = 5. Известна разность прогрессии: d = -2,5. Нужно найти первый, третий, четвёртый, пятый и шестой члены этой прогрессии.
Для наглядности запишу ряд по условию задачки. Первые шесть членов, где второй член - пятёрка:
a 1 , 5 , a 3 , a 4 , a 5 , a 6 ,....
a 3 = a 2 + d
Подставляем в выражение a 2 = 5 и d = -2,5 . Не забываем про минус!
a 3 =5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5
Третий член получился меньше второго. Всё логично. Если число больше предыдущего на отрицательную величину, значит само число получится меньше предыдущего. Прогрессия - убывающая. Ладно, учтём.) Считаем четвёртый член нашего ряда:
a 4 = a 3 + d
a 4 =2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0
a 5 = a 4 + d
a 5 =0+(-2,5)= - 2,5
a 6 = a 5 + d
a 6 =-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5
Так, члены с третьего по шестой вычислили. Получился такой ряд:
a 1 , 5 , 2,5 , 0 , -2,5 , -5 , ....
Остаётся найти первый член a 1 по известному второму. Это шаг в другую сторону, влево.) Значит, разность арифметической прогрессии d надо не прибавить к a 2 , а отнять:
a 1 = a 2 - d
a 1 =5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5
Вот и все дела. Ответ задания:
7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...
Попутно замечу, что это задание мы решали рекуррентным способом. Это страшное слово означает, всего лишь, поиск члена прогрессии по предыдущему (соседнему) числу. Другие способы работы с прогрессией мы рассмотрим далее.
Из этого несложного задания можно сделать один важный вывод.
Запоминаем:
Если нам известен хотя бы один член и разность арифметической прогрессии, мы можем найти любой член этой прогрессии.
Запомнили? Этот несложный вывод позволяет решать большинство задач школьного курса по этой теме. Все задачи крутятся вокруг трёх главных параметров: член арифметической прогрессии, разность прогрессии, номер члена прогрессии. Всё.
Разумеется, вся предыдущая алгебра не отменяется.) К прогрессии прицепляются и неравенства, и уравнения, и прочие вещи. Но по самой прогрессии - всё крутится вокруг трёх параметров.
Для примера рассмотрим некоторые популярные задания по этой теме.
2. Запишите конечную арифметическую прогрессию в виде ряда, если n=5, d = 0,4, и a 1 = 3,6.
Здесь всё просто. Всё уже дано. Нужно вспомнить, как считаются члены арифметической прогрессии, посчитать, да и записать. Желательно не пропустить слова в условии задания: "конечную" и "n=5 ". Чтобы не считать до полного посинения.) В этой прогрессии всего 5 (пять) членов:
a 2 = a 1 + d = 3,6 + 0,4 = 4
a 3 = a 2 + d = 4 + 0,4 = 4,4
a 4 = a 3 + d = 4,4 + 0,4 = 4,8
a 5 = a 4 + d = 4,8 + 0,4 = 5,2
Остаётся записать ответ:
3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.
Ещё задание:
3. Определите, будет ли число 7 членом арифметической прогрессии (a n), если a 1 = 4,1; d = 1,2.
Хм... Кто ж его знает? Как определить-то?
Как-как... Да записать прогрессию в виде ряда и посмотреть, будет там семёрка, или нет! Считаем:
a 2 = a 1 + d = 4,1 + 1,2 = 5,3
a 3 = a 2 + d = 5,3 + 1,2 = 6,5
a 4 = a 3 + d = 6,5 + 1,2 = 7,7
4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...
Сейчас чётко видно, что семёрку мы просто проскочили между 6,5 и 7,7! Не попала семёрка в наш ряд чисел, и, значит, семёрка не будет членом заданной прогрессии.
Ответ: нет.
А вот задачка на основе реального варианта ГИА:
4. Выписано несколько последовательных членов арифметической прогрессии:
...; 15; х; 9; 6; ...
Здесь записан ряд без конца и начала. Нет ни номеров членов, ни разности d . Ничего страшного. Для решения задания достаточно понимать смысл арифметической прогрессии. Смотрим и соображаем, что можно узнать из этого ряда? Какие параметры из трёх главных?
Номера членов? Нет тут ни единого номера.
Зато есть три числа и - внимание! - слово "последовательных" в условии. Это значит, что числа идут строго по порядку, без пропусков. А есть ли в этом ряду два соседних известных числа? Да, есть! Это 9 и 6. Стало быть, мы можем вычислить разность арифметической прогрессии! От шестёрки отнимаем предыдущее число, т.е. девятку:
Остались сущие пустяки. Какое число будет предыдущим для икса? Пятнадцать. Значит, икс можно легко найти простым сложением. К 15 прибавить разность арифметической прогрессии:
Вот и всё. Ответ: х=12
Следующие задачки решаем самостоятельно. Замечание: эти задачки - не на формулы. Чисто на понимание смысла арифметической прогрессии.) Просто записываем ряд с числами-буквами, смотрим и соображаем.
5. Найдите первый положительный член арифметической прогрессии, если a 5 = -3; d = 1,1.
6. Известно, что число 5,5 является членом арифметической прогрессии (a n), где a 1 = 1,6; d = 1,3. Определите номер n этого члена.
7. Известно, что в арифметической прогрессии a 2 = 4; a 5 = 15,1. Найдите a 3 .
8. Выписано несколько последовательных членов арифметической прогрессии:
...; 15,6; х; 3,4; ...
Найдите член прогрессии, обозначенный буквой х.
9. Поезд начал движение от станции, равномерно увеличивая скорость на 30 метров в минуту. Какова будет скорость поезда через пять минут? Ответ дайте в км/час.
10. Известно, что в арифметической прогрессии a 2 = 5; a 6 = -5. Найдите a 1 .
Ответы (в беспорядке): 7,7; 7,5; 9,5; 9; 0,3; 4.
Всё получилось? Замечательно! Можно осваивать арифметическую прогрессию на более высоком уровне, в следующих уроках.
Не всё получилось? Не беда. В Особом разделе 555 все эти задачки разобраны по косточкам.) И, конечно, описан простой практический приём, который сразу высвечивает решение подобных заданий чётко, ясно, как на ладони!
Кстати, в задачке про поезд есть две проблемки, на которых часто спотыкается народ. Одна - чисто по прогрессии, а вторая - общая для любых задач по математике, да и физике тоже. Это перевод размерностей из одной в другую. В показано, как надо эти проблемы решать.
В этом уроке мы рассмотрели элементарный смысл арифметической прогрессии и её основные параметры. Этого достаточно для решения практически всех задач на эту тему. Прибавляй d к числам, пиши ряд, всё и решится.
Решение "на пальцах" хорошо подходит для очень коротких кусочков ряда, как в примерах этого урока. Если ряд подлиннее, вычисления усложняются. Например, если в задачке 9 в вопросе заменить "пять минут" на "тридцать пять минут", задачка станет существенно злее.)
А ещё бывают задания простые по сути, но несусветные по вычислениям, например:
Дана арифметическая прогрессия (a n). Найти a 121 , если a 1 =3, а d=1/6.
И что, будем много-много раз прибавлять по 1/6?! Это же убиться можно!?
Можно.) Если не знать простую формулу, по которой решать подобные задания можно за минуту. Эта формула будет в следующем уроке. И задачка эта там решена. За минуту.)
Если Вам нравится этот сайт...
Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)
Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся - с интересом!)
можно познакомиться с функциями и производными.
При изучении алгебры в общеобразовательной школе (9 класс) одной из важных тем является изучение числовых последовательностей, к которым относятся прогрессии -геометрическая и арифметическая. В данной статье рассмотрим арифметическую прогрессию и примеры с решениями.
Что собой представляет арифметическая прогрессия?
Чтобы это понять, необходимо дать определение рассматриваемой прогрессии, а также привести основные формулы, которые далее будут использованы при решении задач.
Арифметическая или - это такой набор упорядоченных рациональных чисел, каждый член которого отличается от предыдущего на некоторую постоянную величину. Эта величина называется разностью. То есть, зная любой член упорядоченного ряда чисел и разность, можно восстановить всю арифметическую прогрессию.
Приведем пример. Следующая последовательность чисел будет прогрессией арифметической: 4, 8, 12, 16, ..., поскольку разность в этом случае равна 4 (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12). А вот набор чисел 3, 5, 8, 12, 17 уже нельзя отнести к рассматриваемому виду прогрессии, поскольку разность для него не является постоянной величиной (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17 - 12).
Важные формулы
Приведем теперь основные формулы, которые понадобятся для решения задач с использованием арифметической прогрессии. Обозначим символом a n n-й член последовательности, где n - целое число. Разность обозначим латинской буквой d. Тогда справедливы следующие выражения:
- Для определения значения n-го члена подойдет формула: a n = (n-1)*d+a 1 .
- Для определения суммы первых n слагаемых: S n = (a n +a 1)*n/2.
Чтобы понять любые примеры арифметической прогрессии с решением в 9 классе, достаточно запомнить эти две формулы, поскольку на их использовании строятся любые задачи рассматриваемого типа. Также следует не забывать, что разность прогрессии определяется по формуле: d = a n - a n-1 .
Пример №1: нахождение неизвестного члена
Приведем простой пример прогрессии арифметической и формул, которые необходимо использовать для решения.
Пусть дана последовательность 10, 8, 6, 4, ..., необходимо в ней найти пять членов.
Из условия задачи уже следует, что первые 4 слагаемых известны. Пятое можно определить двумя способами:
- Вычислим для начала разность. Имеем: d = 8 - 10 = -2. Аналогичным образом можно было взять любые два других члена, стоящих рядом друг с другом. Например, d = 4 - 6 = -2. Поскольку известно, что d = a n - a n-1 , тогда d = a 5 - a 4 , откуда получаем: a 5 = a 4 + d. Подставляем известные значения: a 5 = 4 + (-2) = 2.
- Второй способ также требует знания разности рассматриваемой прогрессии, поэтому сначала нужно определить ее, как показано выше (d = -2). Зная, что первый член a 1 = 10, воспользуемся формулой для n числа последовательности. Имеем: a n = (n - 1) * d + a 1 = (n - 1) * (-2) + 10 = 12 - 2*n. Подставляя в последнее выражение n = 5, получаем: a 5 = 12-2 * 5 = 2.
Как видно, оба способа решения привели к одному и тому же результату. Отметим, что в этом примере разность d прогрессии является отрицательной величиной. Такие последовательности называются убывающими, так как каждый следующий член меньше предыдущего.
Пример №2: разность прогрессии
Теперь усложним немного задачу, приведем пример, как найти разность прогрессии арифметической.
Известно, что в некоторой прогрессии алгебраической 1-й член равен 6, а 7-й член равен 18. Необходимо найти разность и восстановить эту последовательность до 7 члена.
Воспользуемся формулой для определения неизвестного члена: a n = (n - 1) * d + a 1 . Подставим в нее известные данные из условия, то есть числа a 1 и a 7 , имеем: 18 = 6 + 6 * d. Из этого выражения можно легко вычислить разность: d = (18 - 6) /6 = 2. Таким образом, ответили на первую часть задачи.
Чтобы восстановить последовательность до 7 члена, следует воспользоваться определением алгебраической прогрессии, то есть a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d и так далее. В итоге восстанавливаем всю последовательность: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2=8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14, a 6 = 14 + 2 = 16, a 7 = 18.
Пример №3: составление прогрессии
Усложним еще сильнее условие задачи. Теперь необходимо ответить на вопрос, как находить арифметическую прогрессию. Можно привести следующий пример: даны два числа, например, - 4 и 5. Необходимо составить прогрессию алгебраическую так, чтобы между этими помещалось еще три члена.
Прежде чем начинать решать эту задачу, необходимо понять, какое место будут занимать заданные числа в будущей прогрессии. Поскольку между ними будут находиться еще три члена, тогда a 1 = -4 и a 5 = 5. Установив это, переходим к задаче, которая аналогична предыдущей. Снова для n-го члена воспользуемся формулой, получим: a 5 = a 1 + 4 * d. Откуда: d = (a 5 - a 1)/4 = (5 - (-4)) / 4 = 2,25. Здесь получили не целое значение разности, однако оно является рациональным числом, поэтому формулы для алгебраической прогрессии остаются теми же самыми.
Теперь добавим найденную разность к a 1 и восстановим недостающие члены прогрессии. Получаем: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a 5 = 2,75 + 2,25 = 5, что совпало с условием задачи.
Пример №4: первый член прогрессии
Продолжим приводить примеры арифметической прогрессии с решением. Во всех предыдущих задачах было известно первое число алгебраической прогрессии. Теперь рассмотрим задачу иного типа: пусть даны два числа, где a 15 = 50 и a 43 = 37. Необходимо найти, с какого числа начинается эта последовательность.
Формулы, которыми пользовались до настоящего времени, предполагают знание a 1 и d. В условии задачи об этих числах ничего неизвестно. Тем не менее выпишем выражения для каждого члена, о котором имеется информация: a 15 = a 1 + 14 * d и a 43 = a 1 + 42 * d. Получили два уравнения, в которых 2 неизвестные величины (a 1 и d). Это означает, что задача сводится к решению системы линейных уравнений.
Указанную систему проще всего решить, если выразить в каждом уравнении a 1 , а затем сравнить полученные выражения. Первое уравнение: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; второе уравнение: a 1 = a 43 - 42 * d = 37 - 42 * d. Приравнивая эти выражения, получим: 50 - 14 * d = 37 - 42 * d, откуда разность d = (37 - 50) / (42 - 14) = - 0,464 (приведены лишь 3 знака точности после запятой).
Зная d, можно воспользоваться любым из 2 приведенных выше выражений для a 1 . Например, первым: a 1 = 50 - 14 * d = 50 - 14 * (- 0,464) = 56,496.
Если возникают сомнения в полученном результате, можно его проверить, например, определить 43 член прогрессии, который задан в условии. Получим: a 43 = a 1 + 42 * d = 56,496 + 42 * (- 0,464) = 37,008. Небольшая погрешность связана с тем, что при вычислениях использовалось округление до тысячных долей.
Пример №5: сумма
Теперь рассмотрим несколько примеров с решениями на сумму арифметической прогрессии.
Пусть дана числовая прогрессия следующего вида: 1, 2, 3, 4, ...,. Как рассчитать сумму 100 этих чисел?
Благодаря развитию компьютерных технологий можно эту задачку решить, то есть последовательно сложить все числа, что вычислительная машина сделает сразу же, как только человек нажмет клавишу Enter. Однако задачу можно решить в уме, если обратить внимание, что представленный ряд чисел является прогрессией алгебраической, причем ее разность равна 1. Применяя формулу для суммы, получаем: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.
Любопытно отметить, что эта задача носит название "гауссовой", поскольку в начале XVIII века знаменитый немецкий еще будучи в возрасте всего 10 лет, смог решить ее в уме за несколько секунд. Мальчик не знал формулы для суммы алгебраической прогрессии, но он заметил, что если складывать попарно числа, находящиеся на краях последовательности, то получается всегда один результат, то есть 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ..., а поскольку этих сумм будет ровно 50 (100 / 2), то для получения правильного ответа достаточно умножить 50 на 101.
Пример №6: сумма членов от n до m
Еще одним типичным примером суммы арифметической прогрессии является следующий: дан такой чисел ряд: 3, 7, 11, 15, ..., нужно найти, чему будет равна сумма его членов с 8 по 14.
Задача решается двумя способами. Первый из них предполагает нахождение неизвестных членов с 8 по 14, а затем их последовательное суммирование. Поскольку слагаемых немного, то такой способ не является достаточно трудоемким. Тем не менее предлагается решить эту задачу вторым методом, который является более универсальным.
Идея заключается в получении формулы для суммы алгебраической прогрессии между членами m и n, где n > m - целые числа. Выпишем для обоих случаев два выражения для суммы:
- S m = m * (a m + a 1) / 2.
- S n = n * (a n + a 1) / 2.
Поскольку n > m, то очевидно, что 2 сумма включает в себя первую. Последнее умозаключение означает, что если взять разность между этими суммами, и добавить к ней член a m (в случае взятия разности он вычитается из суммы S n), то получим необходимый ответ на задачу. Имеем: S mn = S n - S m + a m =n * (a 1 + a n) / 2 - m *(a 1 + a m)/2 + a m = a 1 * (n - m) / 2 + a n * n / 2 + a m * (1- m/2). В это выражение необходимо подставить формулы для a n и a m . Тогда получим: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d *(3 * m - m 2 - 2) / 2.
Полученная формула является несколько громоздкой, тем не менее сумма S mn зависит только от n, m, a 1 и d. В нашем случае a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Подставляя эти числа, получим: S mn = 301.
Как видно из приведенных решений, все задачи основываются на знании выражения для n-го члена и формулы для суммы набора первых слагаемых. Перед тем как приступить к решению любой из этих задач, рекомендуется внимательно прочитать условие, ясно понять, что требуется найти, и лишь затем приступать к решению.
Еще один совет заключается в стремлении к простоте, то есть если можно ответить на вопрос, не применяя сложные математические выкладки, то необходимо поступать именно так, поскольку в этом случае вероятность допустить ошибку меньше. Например, в примере арифметической прогрессии с решением №6 можно было бы остановиться на формуле S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m , и разбить общую задачу на отдельные подзадачи (в данном случае сначала найти члены a n и a m).
Если возникают сомнения в полученном результате, то рекомендуется его проверять, как это было сделано в некоторых приведенных примерах. Как находить арифметическую прогрессию, выяснили. Если разобраться, то это не так сложно.
Калькулятор онлайн.
Решение арифметической прогрессии.
Дано: a n , d, n
Найти: a 1
Эта математическая программа находит \(a_1\) арифметической прогрессии, исходя из заданных пользователем чисел \(a_n, d \) и \(n \).
Числа \(a_n\) и \(d \) можно задать не только целые, но и дробные. Причём, дробное число можно ввести в виде десятичной
дроби (\(2,5 \)) и в виде обыкновенной дроби (\(-5\frac{2}{7} \)).
Программа не только даёт ответ задачи, но и отображает процесс нахождения решения.
Этот калькулятор онлайн может быть полезен учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.
Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.
Если вы не знакомы с правилами ввода чисел, рекомендуем с ними ознакомиться.
Правила ввода чисел
Числа \(a_n\) и \(d \) можно задать не только целые, но и дробные.
Число \(n \) может быть только целым положительным.
Правила ввода десятичных дробей.
Целая и дробная часть в десятичных дробях может разделяться как точкой так и запятой.
Например, можно вводить десятичные дроби так 2.5
или так 2,5
Правила ввода обыкновенных дробей.
В качестве числителя, знаменателя и целой части дроби может выступать только целое число.
Знаменатель не может быть отрицательным.
При вводе числовой дроби числитель отделяется от знаменателя знаком деления: /
Ввод:
Результат: \(-\frac{2}{3} \)
Целая часть отделяется от дроби знаком амперсанд: &
Ввод:
Результат: \(-1\frac{2}{3} \)
Обнаружено что не загрузились некоторые скрипты, необходимые для решения этой задачи, и программа может не работать.
Возможно у вас включен AdBlock.
В этом случае отключите его и обновите страницу.
Чтобы решение появилось нужно включить JavaScript.
Вот инструкции, как включить JavaScript в вашем браузере .
Т.к. желающих решить задачу очень много, ваш запрос поставлен в очередь.
Через несколько секунд решение появится ниже.
Пожалуйста подождите сек...
Если вы заметили ошибку в решении
, то об этом вы можете написать в Форме обратной связи .
Не забудте указать какую задачу
вы решаете и что вводите в поля
.
Наши игры, головоломки, эмуляторы:
Немного теории.
Числовая последовательность
В повседневной практике часто используется нумерация различных предметов, чтобы указать порядок их расположения. Например, дома на каждой улице нумеруются. В библиотеке нумеруются читательские абонементы и затем располагаются в порядке присвоенных номеров в специальных картотеках.
В сберегательном банке по номеру лицевого счёта вкладчика можно легко найти этот счёт и посмотреть, какой вклад на нём лежит.
Пусть на счёте № 1 лежит вклад а1 рублей, на счёте № 2 лежит вклад а2 рублей и т. д. Получается числовая последовательность
a 1 , a 2 , a 3 , ..., a N
где N - число всех счетов. Здесь каждому натуральному числу n от 1 до N поставлено в соответствие число a n .
В математике также изучаются бесконечные числовые последовательности:
a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n , ... .
Число a 1 называют первым членом последовательности
, число a 2 - вторым членом последовательности
,
число a 3 - третьим членом последовательности
и т. д.
Число a n называют n-м (энным) членом последовательности
, а натуральное число n - его номером
.
Например, в последовательности квадратов натуральных чисел 1, 4, 9, 16, 25, ..., n 2 , (n + 1) 2 , ... а 1 = 1 - первый член последовательности; а n = n 2 является n-м членом последовательности; a n+1 = (n + 1) 2 является (n + 1)-м (эн плюс первым) членом последовательности. Часто последовательность можно задать формулой её n-го члена. Например, формулой \(a_n=\frac{1}{n}, \; n \in \mathbb{N} \) задана последовательность \(1, \; \frac{1}{2} , \; \frac{1}{3} , \; \frac{1}{4} , \dots,\frac{1}{n} , \dots \)
Арифметическая прогрессия
Продолжительность года приблизительно равна 365 суткам. Более точное значение равно \(365\frac{1}{4} \) суток, поэтому каждые четыре года накапливается погрешность, равная одним суткам.
Для учёта этой погрешности к каждому четвёртому году добавляются сутки, и удлинённый год называют високосным.
Например, в третьем тысячелетии високосными годами являются годы 2004, 2008, 2012, 2016, ... .
В этой последовательности каждый её член, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом 4. Такие последовательности называют арифметическими прогрессиями .
Определение.
Числовая последовательность a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n , ... называется арифметической
прогрессией
, если для всех натуральных n выполняется равенство
\(a_{n+1} = a_n+d, \)
где d - некоторое число.
Из этой формулы следует, что a n+1 - a n = d. Число d называют разностью арифметической прогрессии .
По определению арифметической прогрессии имеем:
\(a_{n+1}=a_n+d, \quad a_{n-1}=a_n-d, \)
откуда
\(a_n= \frac{a_{n-1} +a_{n+1}}{2} \), где \(n>1 \)
Таким образом, каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому двух соседних с ним членов. Этим объясняется название «арифметическая» прогрессия.
Отметим, что если a 1 и d заданы, то остальные члены арифметической прогрессии можно вычислить по рекуррентной
формуле a n+1 = a n + d. Таким способом нетрудно вычислить несколько первых членов прогрессии, однако, например,
для a 100 уже потребуется много вычислений. Обычно для этого используется формула n-го члена. По определению арифметической
прогрессии
\(a_2=a_1+d, \)
\(a_3=a_2+d=a_1+2d, \)
\(a_4=a_3+d=a_1+3d \)
и т.д.
Вообще,
\(a_n=a_1+(n-1)d, \)
так как n-й член арифметической прогрессии получается из первого члена прибавлением (n-1) раз числа d.
Эту формулу называют формулой n-го члена арифметической прогрессии
.
Сумма n первых членов арифметической прогрессии
Найдём сумму всех натуральных чисел от 1 до 100.
Запишем эту сумму двумя способами:
S = l + 2 + 3 + ... + 99 + 100,
S = 100 + 99 + 98 + ... + 2 + 1.
Сложим почленно эти равенства:
2S = 101 + 101 + 101 + ... + 101 + 101.
В этой сумме 100 слагаемых
Следовательно, 2S = 101 * 100, откуда S = 101 * 50 = 5050.
Рассмотрим теперь произвольную арифметическую прогрессию
a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n , ...
Пусть S n - сумма n первых членов этой прогрессии:
S n = a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n
Тогда сумма n первых членов арифметической прогрессии равна
\(S_n = n \cdot \frac{a_1+a_n}{2} \)
Так как \(a_n=a_1+(n-1)d \), то заменив в этой формуле a n получим еще одну формулу для нахождения суммы n первых
членов арифметической прогрессии
:
\(S_n = n \cdot \frac{2a_1+(n-1)d}{2} \)
