Линейные уравнения и неравенства с модулем. Решение неравенств с модулями
решение неравенства в режиме онлайн решение почти любого заданного неравенства онлайн . Математические неравенства онлайн для решения математики. Быстро найти решение неравенства в режиме онлайн . Сайт www.сайт позволяет найти решение почти любого заданного алгебраического , тригонометрического или трансцендентного неравенства онлайн . При изучении практически любого раздела математики на разных этапах приходится решать неравенства онлайн . Чтобы получить ответ сразу, а главное точный ответ, необходим ресурс, позволяющий это сделать. Благодаря сайту www.сайт решение неравенства онлайн займет несколько минут. Основное преимущество www.сайт при решении математических неравенства онлайн - это скорость и точность выдаваемого ответа. Сайт способен решать любые алгебраические неравенства онлайн , тригонометрические неравенства онлайн , трансцендентные неравенства онлайн , а также неравенства с неизвестными параметрами в режиме онлайн . Неравенства служат мощным математическим аппаратом решения практических задач. C помощью математических неравенств можно выразить факты и соотношения, которые могут показаться на первый взгляд запутанными и сложными. Неизвестные величины неравенств можно найти, сформулировав задачу на математическом языке в виде неравенств и решить полученную задачу в режиме онлайн на сайте www.сайт. Любое алгебраическое неравенство , тригонометрическое неравенство или неравенства содержащие трансцендентные функции Вы легко решите онлайн и получите точный ответ. Изучая естественные науки, неизбежно сталкиваешься с необходимостью решения неравенств . При этом ответ должен быть точным и получить его необходимо сразу в режиме онлайн . Поэтому для решения математических неравенств онлайн мы рекомендуем сайт www.сайт, который станет вашим незаменимым калькулятором для решения алгебраических неравенств онлайн , тригонометрических неравенств онлайн , а также трансцендентных неравенств онлайн или неравенств с неизвестными параметрами. Для практических задач по нахождению инетравол решений различных математических неравенств ресурса www.. Решая неравенства онлайн самостоятельно, полезно проверить полученный ответ, используя онлайн решение неравенств на сайте www.сайт. Необходимо правильно записать неравенство и моментально получите онлайн решение , после чего останется только сравнить ответ с Вашим решением неравенства. Проверка ответа займет не более минуты, достаточно решить неравенство онлайн и сравнить ответы. Это поможет Вам избежать ошибок в решении и вовремя скорректировать ответ при решении неравенств онлайн будь то алгебраическое , тригонометрическое , трансцендентное или неравенство с неизвестными параметрами.
Существует несколько способов решения неравенств, содержащих модуль. Рассмотрим некоторые из них.
1) Решение неравенства с помощью геометрического свойства модуля.
Напомню, что такое геометрическое свойство модуля: модуль числа x – это расстояние от начала координат до точки с координатой x.
В ходе решения неравенств этим способом может возникнуть 2 случая:
1. |x| ≤ b,
И неравенство с модулем очевидно сводится к системе двух неравенств. Тут знак может быть и строгим, в этом случае точки на картинке будут «выколотыми».
2. |x| ≥ b, тогда картинка решения выглядит так:
И неравенство с модулем очевидно сводится к совокупности двух неравенств. Тут знак может быть и строгим, в этом случае точки на картинке будут «выколотыми».
Пример 1.
Решить неравенство |4 – |x|| ≥ 3.
Решение.
Данное неравенство равносильно следующей совокупности:
U [-1;1] U
Пример 2.
Решить неравенство ||x+2| – 3| ≤ 2.
Решение.
Данное неравенство равносильно следующей системе.
{|x + 2| – 3 ≥ -2
{|x + 2| – 3 ≤ 2,
{|x + 2| ≥ 1
{|x + 2| ≤ 5.
Решим отдельно первое неравенство системы. Оно эквивалентно следующей совокупности:
U [-1; 3].
2) Решение неравенств, используя определение модуля.
Напомню для начала определение модуля.
|a| = a, если a ≥ 0 и |a| = -a, если a < 0.
Например, |34| = 34, |-21| = -(-21) = 21.
Пример 1.
Решить неравенство 3|x – 1| ≤ x + 3.
Решение.
Используя определение модуля получим две системы:
{x – 1 ≥ 0
{3(x – 1) ≤ x + 3
{x – 1 < 0
{-3(x – 1) ≤ x + 3.
Решая первую вторую системы в отдельности, получим:
{x ≥ 1
{x ≤ 3,
{x < 1
{x ≥ 0.
Решением исходного неравенства будут все решения первой системы и все решения второй системы.
Ответ: x € .
3) Решение неравенств методом возведения в квадрат.
Пример 1.
Решить неравенство |x 2 – 1| < | x 2 – x + 1|.
Решение.
Возведем обе части неравенства в квадрат. Замечу, что возводить обе части неравенства в квадрат можно только в том случае, когда они обе положительные. В данном случае у нас и слева и справа стоят модули, поэтому мы можем это сделать.
(|x 2 – 1|) 2 < (|x 2 – x + 1|) 2 .
Теперь воспользуемся следующим свойством модуля: (|x|) 2 = x 2 .
(x 2 – 1) 2 < (x 2 – x + 1) 2 ,
(x 2 – 1) 2 – (x 2 – x + 1) 2 < 0.
(x 2 – 1 – x 2 + x – 1)(x 2 – 1 + x 2 – x + 1) < 0,
(x – 2)(2x 2 – x) < 0,
x(x – 2)(2x – 1) < 0.
Решаем методом интервалов.
Ответ: x € (-∞; 0) U (1/2; 2)
4) Решение неравенств методом замены переменных.
Пример.
Решить неравенство (2x + 3) 2 – |2x + 3| ≤ 30.
Решение.
Заметим, что (2x + 3) 2 = (|2x + 3|) 2 . Тогда получим неравенство
(|2x + 3|) 2 – |2x + 3| ≤ 30.
Сделаем замену y = |2x + 3|.
Перепишем наше неравенство с учетом замены.
y 2 – y ≤ 30,
y 2 – y – 30 ≤ 0.
Разложим квадратный трехчлен, стоящий слева, на множители.
y1 = (1 + 11) / 2,
y2 = (1 – 11) / 2,
(y – 6)(y + 5) ≤ 0.
Решим методом интервалов и получим:
Вернемся к замене:
5 ≤ |2x + 3| ≤ 6.
Данное двойное неравенство равносильно системе неравенств:
{|2x + 3| ≤ 6
{|2x + 3| ≥ -5.
Решим каждое из неравенств в отдельности.
Первое равносильно системе
{2x + 3 ≤ 6
{2x + 3 ≥ -6.
Решим ее.
{x ≤ 1.5
{x ≥ -4.5.
Второе неравенство очевидно выполняется для всех x, так как модуль по определению число положительное. Так как решение системы – это все x, которые удовлетворяют одновременно и первому и второму неравенству системы, то решением исходной системы будет решение ее первого двойного неравенства (ведь второе верно для всех x).
Ответ: x € [-4,5; 1,5].
blog.сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
Модулем числа называется само это число, если оно неотрицательное, или это же число с противоположным знаком, если оно отрицательное.
Например, модулем числа 6 является 6, модулем числа -6 тоже является 6.
То есть под модулем числа понимается абсолютная величина, абсолютное значение этого числа без учета его знака.
Обозначается так: |6|, |х |, |а | и т.д.
(Подробнее - в разделе «Модуль числа»).
Уравнения с модулем.
Пример 1 . Решить уравнение |10 х - 5| = 15.
Решение .
В соответствии с правилом, уравнение равносильно совокупности двух уравнений:
10х
- 5 = 15
10х
- 5 = -15
Решаем:
10х
= 15 + 5 = 20
10х
= -15 + 5 = -10
х
= 20: 10
х
= -10: 10
х
= 2
х
= -1
Ответ : х 1 = 2, х 2 = -1.
Пример 2 . Решить уравнение |2 х + 1| = х + 2.
Решение .
Поскольку модуль - число неотрицательное, то х + 2 ≥ 0. Соответственно:
х ≥ -2.
Составляем два уравнения:
2х
+ 1 = х
+ 2
2х
+ 1 = -(х
+ 2)
Решаем:
2х
+ 1 = х
+ 2
2х
+ 1 = -х
- 2
2х
- х
= 2 - 1
2х
+ х
= -2 - 1
х
= 1
х
= -1
Оба числа больше -2. Значит, оба являются корнями уравнения.
Ответ : х 1 = -1, х 2 = 1.
Пример 3
. Решить уравнение
|х
+ 3| - 1
————— = 4
х
- 1
Решение .
Уравнение имеет смысл, если знаменатель не равен нулю - значит, если х ≠ 1. Учтем это условие. Наше первое действие простое - не просто освобождаемся от дроби, а преобрахуем ее так, чтобы получить модуль в чистом виде:
|х + 3| - 1 = 4 · (х - 1),
|х + 3| - 1 = 4х - 4,
|х + 3| = 4х - 4 + 1,
|х + 3| = 4х - 3.
Теперь у нас в левой части уравнения только выражение под модулем. Идем дальше.
Модуль числа есть неотрицательное число - то есть он должен быть больше нуля или равен нулю. Соответственно, решаем неравенство:
4х - 3 ≥ 0
4х ≥ 3
х ≥ 3/4
Таким образом, у нас появилось второе условие: корень уравнения должен быть не меньше 3/4.
В соответствии с правилом, составляем совокупность двух уравнений и решаем их:
х
+ 3 = 4х
- 3
х
+ 3 = -(4х
- 3)
х
+ 3 = 4х
- 3
х
+ 3 = -4х
+ 3
х
- 4х
= -3 - 3
х
+ 4х
= 3 - 3
х
= 2
х
= 0
Мы получили два ответа. Проверим, являются ли они корнями исходного уравнения.
У нас было два условия: корень уравнения не может быть равен 1, и он должен быть не меньше 3/4. То есть х ≠ 1, х ≥ 3/4. Обоим этим условиям соответствует только один из двух полученных ответов - число 2. Значит, только оно и является корнем исходного уравнения.
Ответ : х = 2.
Неравенства с модулем.
Пример 1 . Решить неравенство | х - 3| < 4
Решение .
Правило модуля гласит:
|а | = а , если а ≥ 0.
|а | = -а , если а < 0.
Модуль может иметь и неотрицательное, и отрицательное число. Значит, мы должны рассмотреть оба случая: х - 3 ≥ 0 и х - 3 < 0.
1) При х
- 3 ≥ 0 наше исходное неравенство остается как есть, только без знака модуля:
х
- 3 < 4.
2) При х - 3 < 0 в исходном неравенстве надо поставить знак минус перед всем подмодульным выражением:
-(х - 3) < 4.
Раскрыв скобки, получаем:
-х + 3 < 4.
Таким образом, от этих двух условий мы пришли к объединению двух систем неравенств:
х
- 3 ≥ 0
х
- 3 < 4
х
- 3 < 0
-х
+ 3 < 4
Решим их:
х
≥ 3
х
< 7
х
< 3
х
> -1
Итак, у нас в ответе объединение двух множеств:
3 ≤ х < 7 U -1 < х < 3.
Определяем наименьшее и наибольшее значения. Это -1 и 7. При этом х
больше -1, но меньше 7.
Кроме того, х
≥ 3. Значит, решением неравенства является все множество чисел от -1 до 7, исключая эти крайние числа.
Ответ : -1 < х < 7.
Или: х ∈ (-1; 7).
Дополнения .
1) Есть более простой и короткий способ решения нашего неравенства - графический. Для этого надо нарисовать горизонтальную ось (рис.1).
Выражение |х - 3| < 4 означает, что расстояние от точки х до точки 3 меньше четырех единиц. Отмечаем на оси число 3 и отсчитываем влево и вправо от от него 4 деления. Слева мы придем к точке -1, справа - к точке 7. Таким образом, точки х мы просто увидели, не вычисляя их.
При этом, согласно условию неравенства, сами -1 и 7 не включены во множество решений. Таким образом, получаем ответ:
1 < х < 7.
2) Но есть еще одно решение, которое проще даже графического способа. Для этого наше неравенство надо представить в следующем виде:
4 < х - 3 < 4.
Ведь так оно и есть по правилу модуля. Неотрицательное число 4 и аналогичное отрицательное число -4 являются границами решения неравенства.
4 + 3 < х < 4 + 3
1 < х < 7.
Пример 2 . Решить неравенство | х - 2| ≥ 5
Решение .
Этот пример существенно отличается от предыдущего. Левая часть больше 5 либо равна 5. С геометрической точки зрения, решением неравенства являются все числа, которые от точки 2 отстоят на расстоянии 5 единиц и больше (рис.2). По графику видно, что это все числа, которые меньше или равны -3 и больше или равны 7. А значит, мы уже получили ответ.
Ответ : -3 ≥ х ≥ 7.
Попутно решим это же неравенство способом перестановки свободного члена влево и вправо с противоположным знаком:
5 ≥ х - 2 ≥ 5
5 + 2 ≥ х ≥ 5 + 2
Ответ тот же: -3 ≥ х ≥ 7.
Или: х ∈ [-3; 7]
Пример решен.
Пример 3 . Решить неравенство 6 х 2 - | х | - 2 ≤ 0
Решение .
Число х может быть и положительным числом, и отрицательным, и нулем. Поэтому нам надо учесть все три обстоятельства. Как вы знаете, они учитываются в двух неравенствах: х ≥ 0 и х < 0. При х ≥ 0 мы просто переписываем наше исходное неравенство как есть, только без знака модуля:
6х 2 - х - 2 ≤ 0.
Теперь о втором случае: если х < 0. Модулем отрицательного числа является это же число с противоположным знаком. То есть пишем число под модулем с обратным знаком и опять же освобождаемся от знака модуля:
6х 2 - (-х ) - 2 ≤ 0.
Раскрываем скобки:
6х 2 + х - 2 ≤ 0.
Таким образом, мы получили две системы уравнений:
6х
2 - х
- 2 ≤ 0
х
≥ 0
6х
2 + х
- 2 ≤ 0
х
< 0
Надо решить неравенства в системах - а это значит, надо найти корни двух квадратных уравнений. Для этого приравняем левые части неравенств к нулю.
Начнем с первого:
6х 2 - х - 2 = 0.
Как решается квадратное уравнение - см. раздел «Квадратное уравнение». Мы же сразу назовем ответ:
х 1 = -1/2, х 2 = 2/3.
Из первой системы неравенств мы получаем, что решением исходного неравенства является все множество чисел от -1/2 до 2/3. Пишем объединение решений при х
≥ 0:
[-1/2; 2/3].
Теперь решим второе квадратное уравнение:
6х 2 + х - 2 = 0.
Его корни:
х 1 = -2/3, х 2 = 1/2.
Вывод: при х < 0 корнями исходного неравенства являются также все числа от -2/3 до 1/2.
Объединим два ответа и получим итоговый ответ: решением является все множество чисел от -2/3 до 2/3, включая и эти крайние числа.
Ответ : -2/3 ≤ х ≤ 2/3.
Или: х ∈ [-2/3; 2/3].
