Как решается система уравнений? Методы решения систем уравнения. Что такое уравнение? Как решать уравнения
Уравнения
Как решать уравнения?
В этом разделе мы вспомним (или изучим – уж кому как) самые элементарные уравнения. Итак, что такое уравнение? Говоря человеческим языком, это какое-то математическое выражение, где есть знак равенства и неизвестное. Которое, обычно, обозначается буквой «х» . Решить уравнение - это найти такие значения икса, которые при подстановке в исходное выражение, дадут нам верное тождество. Напомню, что тождество – это выражение, которое не вызывает сомнения даже у человека, абсолютно не отягощенного математическими знаниями. Типа 2=2, 0=0, ab=ab и т.д. Так как решать уравнения? Давайте разберёмся.
Уравнения бывают всякие (вот удивил, да?). Но всё их бесконечное многообразие можно разбить всего на четыре типа.
4. Все остальные.)
Всех остальных, разумеется, больше всего, да...) Сюда входят и кубические, и показательные, и логарифмические, и тригонометрические и всякие другие. С ними мы в соответствующих разделах плотно поработаем.
Сразу скажу, что иногда и уравнения первых трёх типов так накрутят, что и не узнаешь их… Ничего. Мы научимся их разматывать.
И зачем нам эти четыре типа? А затем, что линейные уравнения решаются одним способом, квадратные другим, дробные рациональные - третьим, а остальные не решаются вовсе! Ну, не то, чтобы уж совсем никак не решаются, это я зря математику обидел.) Просто для них существуют свои специальные приёмы и методы.
Но для любых (повторяю - для любых! ) уравнений есть надёжная и безотказная основа для решения. Работает везде и всегда. Эта основа - Звучит страшно, но штука очень простая. И очень (очень!) важная.
Собственно, решение уравнения и состоит из этих самых преобразований. На 99%. Ответ на вопрос: "Как решать уравнения? " лежит, как раз, в этих преобразованиях. Намёк понятен?)
Тождественные преобразования уравнений.
В любых уравнениях для нахождения неизвестного надо преобразовать и упростить исходный пример. Причем так, чтобы при смене внешнего вида суть уравнения не менялась. Такие преобразования называются тождественными или равносильными.
Отмечу, что эти преобразования относятся именно к уравнениям. В математике ещё имеются тождественные преобразования выражений. Это другая тема.
Сейчас мы с вами повторим все-все-все базовые тождественные преобразования уравнений.
Базовые потому, что их можно применять к любым уравнениям – линейным, квадратным, дробным, тригонометрическим, показательным, логарифмическим и т.д. и т.п.
Первое тождественное преобразование: к обеим частям любого уравнения можно прибавить (отнять) любое (но одно и то же!) число или выражение (в том числе и выражение с неизвестным!). Суть уравнения от этого не меняется.
Вы, между прочим, постоянно пользовались этим преобразованием, только думали, что переносите какие-то слагаемые из одной части уравнения в другую со сменой знака. Типа:
Дело знакомое, переносим двойку вправо, и получаем:
На самом деле вы отняли от обеих частей уравнения двойку. Результат получается тот же самый:
х+2 - 2 = 3 - 2
Перенос слагаемых влево-вправо со сменой знака есть просто сокращённый вариант первого тождественного преобразования. И зачем нам такие глубокие познания? – спросите вы. В уравнениях низачем. Переносите, ради бога. Только знак не забывайте менять. А вот в неравенствах привычка к переносу может и в тупик поставить….
Второе тождественное преобразование : обе части уравнения можно умножить (разделить) на одно и то же отличное от нуля число или выражение. Здесь уже появляется понятное ограничение: на ноль умножать глупо, а делить и вовсе нельзя. Это преобразование вы используете, когда решаете что-нибудь крутое, типа
Понятное дело, х = 2. А вот как вы его нашли? Подбором? Или просто озарило? Чтобы не подбирать и не ждать озарения, нужно понять, что вы просто поделили обе части уравнения на 5. При делении левой части (5х) пятёрка сократилась, остался чистый икс. Чего нам и требовалось. А при делении правой части (10) на пять, получилась, знамо дело, двойка.
Вот и всё.
Забавно, но эти два (всего два!) тождественных преобразования лежат в основе решения всех уравнений математики. Во как! Имеет смысл посмотреть на примерах, что и как, правда?)
Примеры тождественных преобразований уравнений. Основные проблемы.
Начнём с первого тождественного преобразования. Перенос влево-вправо.
Пример для младшеньких.)
Допустим, надо решить вот такое уравнение:
3-2х=5-3х
Вспоминаем заклинание: "с иксами - влево, без иксов - вправо!" Это заклинание - инструкция по применению первого тождественного преобразования.) Какое выражение с иксом у нас справа? 3х ? Ответ неверный! Справа у нас - 3х ! Минус три икс! Стало быть, при переносе влево, знак поменяется на плюс. Получится:
3-2х+3х=5
Так, иксы собрали в кучку. Займёмся числами. Слева стоит тройка. С каким знаком? Ответ "с никаким" не принимается!) Перед тройкой, действительно, ничего не нарисовано. А это значит, что перед тройкой стоит плюс. Так уж математики договорились. Ничего не написано, значит, плюс. Следовательно, в правую часть тройка перенесётся с минусом. Получим:
-2х+3х=5-3
Остались сущие пустяки. Слева - привести подобные, справа - посчитать. Сразу получается ответ:
В этом примере хватило одного тождественного преобразования. Второе не понадобилось. Ну и ладно.)
Пример для старшеньких.)
Если Вам нравится этот сайт...
Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)
Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся - с интересом!)
можно познакомиться с функциями и производными.
В этом видео мы разберём целый комплект линейных уравнений, которые решаются по одному и тому же алгоритму — потому и они и называются простейшими.
Для начала определимся: что такое линейное уравнение и какое их них называть простейшим?
Линейное уравнение — такое, в котором присутствует лишь одна переменная, причём исключительно в первой степени.
Под простейшим уравнением подразумевается конструкция:
Все остальные линейные уравнения сводятся к простейшим с помощью алгоритма:
- Раскрыть скобки, если они есть;
- Перенести слагаемые, содержащие переменную, в одну сторону от знака равенства, а слагаемые без переменной — в другую;
- Привести подобные слагаемые слева и справа от знака равенства;
- Разделить полученное уравнение на коэффициент при переменной $x$ .
Разумеется, этот алгоритм помогает не всегда. Дело в том, что иногда после всех этих махинаций коэффициент при переменной $x$ оказывается равен нулю. В этом случае возможны два варианта:
- Уравнение вообще не имеет решений. Например, когда получается что-нибудь в духе $0\cdot x=8$, т.е. слева стоит ноль, а справа — число, отличное от нуля. В видео ниже мы рассмотрим сразу несколько причин, по которым возможна такая ситуация.
- Решение — все числа. Единственный случай, когда такое возможно — уравнение свелось к конструкции $0\cdot x=0$. Вполне логично, что какой бы $x$ мы ни подставили, все равно получится «ноль равен нулю», т.е. верное числовое равенство.
А теперь давайте посмотрим, как всё это работает на примере реальных задач.
Примеры решения уравнений
Сегодня мы занимаемся линейными уравнениями, причем только простейшими. Вообще, под линейным уравнением подразумевается всякое равенство, содержащее в себе ровно одну переменную, и она идет лишь в первой степени.
Решаются такие конструкции примерно одинаково:
- Прежде всего необходимо раскрыть скобки, если они есть (как в нашем последнем примере);
- Затем свести подобные
- Наконец, уединить переменную, т.е. всё, что связано с переменной — слагаемые, в которых она содержится — перенести в одну сторону, а всё, что останется без неё, перенести в другую сторону.
Затем, как правило, нужно привести подобные с каждой стороны полученного равенства, а после этого останется лишь разделить на коэффициент при «иксе», и мы получим окончательный ответ.
В теории это выглядит красиво и просто, однако на практике даже опытные ученики старших классов могут допускать обидные ошибки в достаточно простых линейных уравнениях. Обычно ошибки допускаются либо при раскрытии скобок, либо при подсчёте «плюсов» и «минусов».
Кроме того, бывает так, что линейное уравнение вообще не имеет решений, или так, что решением является вся числовая прямая, т.е. любое число. Эти тонкости мы и разберем в сегодняшнем уроке. Но начнем мы, как вы уже поняли, с самых простых задач.
Схема решения простейших линейных уравнений
Для начала давайте я еще раз напишу всю схему решения простейших линейных уравнений:
- Раскрываем скобки, если они есть.
- Уединяем переменные, т.е. все, что содержит «иксы» переносим в одну сторону, а без «иксов» — в другую.
- Приводим подобные слагаемые.
- Разделяем все на коэффициент при «иксе».
Разумеется, эта схема работает не всегда, в ней есть определенные тонкости и хитрости, и сейчас мы с ними и познакомимся.
Решаем реальные примеры простых линейных уравнений
Задача №1
На первом шаге от нас требуется раскрыть скобки. Но их в этом примере нет, поэтому пропускаем данный этап. На втором шаге нам нужно уединить переменные. Обратите внимание: речь идет лишь об отдельных слагаемых. Давайте запишем:
Приводим подобные слагаемые слева и справа, но тут уже это сделано. Поэтому переходим к четвертому шагу: разделить на коэффициент:
\[\frac{6x}{6}=-\frac{72}{6}\]
Вот мы и получили ответ.
Задача №2
В этой задаче мы можем наблюдать скобки, поэтому давайте раскроем их:
И слева и справа мы видим примерно одну и ту же конструкцию, но давайте действовать по алгоритму, т.е. уединяем переменные:
Приведем подобные:
При каких корнях это выполняется. Ответ: при любых. Следовательно, можно записать, что $x$ — любое число.
Задача №3
Третье линейное уравнение уже интересней:
\[\left(6-x \right)+\left(12+x \right)-\left(3-2x \right)=15\]
Тут есть несколько скобок, однако они ни на что не умножаются, просто перед ними стоят различные знаки. Давайте раскроем их:
Выполняем второй уже известный нам шаг:
\[-x+x+2x=15-6-12+3\]
Посчитаем:
Выполняем последний шаг — делим все на коэффициент при «икс»:
\[\frac{2x}{x}=\frac{0}{2}\]
Что необходимо помнить при решении линейных уравнений
Если отвлечься от слишком простых задач, то я бы хотел сказать следующее:
- Как я говорил выше, далеко не каждое линейное уравнение имеет решение — иногда корней просто нет;
- Даже если корни есть, среди них может затесаться ноль — ничего страшного в этом нет.
Ноль — такое же число, как и остальные, не стоит его как-то дискриминировать или считать, что если у вас получился ноль, то вы что-то сделали неправильно.
Еще одна особенность связана с раскрытием скобок. Обратите внимание: когда перед ними стоит «минус», то мы его убираем, однако в скобках знаки меняем на противоположные . А дальше мы можем раскрывать ее по стандартным алгоритмам: мы получим то, что видели в выкладках выше.
Понимание этого простого факта позволит вам не допускать глупые и обидные ошибки в старших классах, когда выполнение подобных действий считается самим собой разумеющимся.
Решение сложных линейных уравнений
Перейдем к более сложным уравнениям. Теперь конструкции станут сложнее и при выполнении различных преобразований возникнет квадратичная функция. Однако не стоит этого бояться, потому что если по замыслу автора мы решаем линейное уравнение, то в процессе преобразования все одночлены, содержащие квадратичную функцию, обязательно сократятся.
Пример №1
Очевидно, что первым делом нужно раскрыть скобки. Давайте это сделаем очень аккуратно:
Теперь займемся уединением:
\[-x+6{{x}^{2}}-6{{x}^{2}}+x=-12\]
Приводим подобные:
Очевидно, что у данного уравнения решений нет, поэтому в ответе так и запишем:
\[\varnothing \]
или корней нет.
Пример №2
Выполняем те же действия. Первый шаг:
Перенесем все, что с переменной, влево, а без нее — вправо:
Приводим подобные:
Очевидно, что данное линейное уравнение не имеет решения, поэтому так и запишем:
\[\varnothing \],
либо корней нет.
Нюансы решения
Оба уравнения полностью решены. На примере этих двух выражений мы ещё раз убедились, что даже в самых простых линейных уравнениях всё может быть не так просто: корней может быть либо один, либо ни одного, либо бесконечно много. В нашем случае мы рассмотрели два уравнения, в обоих корней просто нет.
Но я бы хотел обратить ваше внимание на другой факт: как работать со скобками и как их раскрывать, если перед ними стоит знак «минус». Рассмотрим вот это выражение:
Прежде чем раскрывать, нужно перемножить всё на «икс». Обратите внимание: умножается каждое отдельное слагаемое . Внутри стоит два слагаемых — соответственно, два слагаемых и умножается.
И только после того, когда эти, казалось бы, элементарные, но очень важные и опасные преобразования выполнены, можно раскрывать скобку с точки зрения того, что после неё стоит знак «минус». Да, да: только сейчас, когда преобразования выполнены, мы вспоминаем, что перед скобками стоит знак «минус», а это значит, что все, что в низ, просто меняет знаки. При этом сами скобки исчезают и, что самое главное, передний «минус» тоже исчезает.
Точно также мы поступаем и со вторым уравнением:
Я не случайно обращаю внимание на эти мелкие, казалось бы, незначительные факты. Потому что решение уравнений — это всегда последовательность элементарных преобразований, где неумение чётко и грамотно выполнять простые действия приводит к тому, что ученики старших классов приходят ко мне и вновь учатся решать вот такие простейшие уравнения.
Разумеется, придёт день, и вы отточите эти навыки до автоматизма. Вам уже не придётся каждый раз выполнять столько преобразований, вы всё будете писать в одну строчку. Но пока вы только учитесь, нужно писать каждое действие отдельно.
Решение ещё более сложных линейных уравнений
То, что мы сейчас будем решать, уже сложно назвать простейшими задача, однако смысл остается тем же самым.
Задача №1
\[\left(7x+1 \right)\left(3x-1 \right)-21{{x}^{2}}=3\]
Давайте перемножим все элементы в первой части:
Давайте выполним уединение:
Приводим подобные:
Выполняем последний шаг:
\[\frac{-4x}{4}=\frac{4}{-4}\]
Вот наш окончательный ответ. И, несмотря на то, что у нас в процессе решения возникали коэффициенты с квадратичной функцией, однако они взаимно уничтожились, что делает уравнение именно линейным, а не квадратным.
Задача №2
\[\left(1-4x \right)\left(1-3x \right)=6x\left(2x-1 \right)\]
Давайте аккуратно выполним первый шаг: умножаем каждый элемент из первой скобки на каждый элемент из второй. Всего должно получиться четыре новых слагаемых после преобразований:
А теперь аккуратно выполним умножение в каждом слагаемом:
Перенесем слагаемые с «иксом» влево, а без — вправо:
\[-3x-4x+12{{x}^{2}}-12{{x}^{2}}+6x=-1\]
Приводим подобные слагаемые:
Мы вновь получили окончательный ответ.
Нюансы решения
Важнейшее замечание по поводу этих двух уравнений состоит в следующем: как только мы начинаем умножать скобки, в которых находится более чем оно слагаемое, то выполняется это по следующему правилу: мы берем первое слагаемое из первой и перемножаем с каждым элементом со второй; затем берем второй элемент из первой и аналогично перемножаем с каждым элементом со второй. В итоге у нас получится четыре слагаемых.
Об алгебраической сумме
На последнем примере я хотел бы напомнить ученикам, что такое алгебраическая сумма. В классической математике под $1-7$ мы подразумеваем простую конструкцию: из единицы вычитаем семь. В алгебре же мы подразумеваем под этим следующее: к числу «единица» мы прибавляем другое число, а именно «минус семь». Этим алгебраическая сумма отличается от обычной арифметической.
Как только при выполнении всех преобразований, каждого сложения и умножения вы начнёте видеть конструкции, аналогичные вышеописанным, никаких проблем в алгебре при работе с многочленами и уравнениями у вас просто не будет.
В заключение давайте рассмотрим ещё пару примеров, которые будут ещё более сложными, чем те, которые мы только что рассмотрели, и для их решения нам придётся несколько расширить наш стандартный алгоритм.
Решение уравнений с дробью
Для решения подобных заданий к нашему алгоритму придется добавить еще один шаг. Но для начала я напомню наш алгоритм:
- Раскрыть скобки.
- Уединить переменные.
- Привести подобные.
- Разделить на коэффициент.
Увы, этот прекрасный алгоритм при всей его эффективности оказывается не вполне уместным, когда перед нами дроби. А в том, что мы увидим ниже, у нас и слева, и справа в обоих уравнениях есть дробь.
Как работать в этом случае? Да всё очень просто! Для этого в алгоритм нужно добавить ещё один шаг, который можно совершить как перед первым действием, так и после него, а именно избавиться от дробей. Таким образом, алгоритм будет следующим:
- Избавиться от дробей.
- Раскрыть скобки.
- Уединить переменные.
- Привести подобные.
- Разделить на коэффициент.
Что значит «избавиться от дробей»? И почему выполнять это можно как после, так и перед первым стандартным шагом? На самом деле в нашем случае все дроби являются числовыми по знаменателю, т.е. везде в знаменателе стоит просто число. Следовательно, если мы обе части уравнения домножим на это число, то мы избавимся от дробей.
Пример №1
\[\frac{\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)}{4}={{x}^{2}}-1\]
Давайте избавимся от дробей в этом уравнении:
\[\frac{\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4}{4}=\left({{x}^{2}}-1 \right)\cdot 4\]
Обратите внимание: на «четыре» умножается все один раз, т.е. если у вас две скобки, это не значит, что каждую из них нужно умножать на «четыре». Запишем:
\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left({{x}^{2}}-1 \right)\cdot 4\]
Теперь раскроем:
Выполняем уединение переменной:
Выполняем приведение подобных слагаемых:
\[-4x=-1\left| :\left(-4 \right) \right.\]
\[\frac{-4x}{-4}=\frac{-1}{-4}\]
Мы получили окончательное решение, переходим ко второму уравнению.
Пример №2
\[\frac{\left(1-x \right)\left(1+5x \right)}{5}+{{x}^{2}}=1\]
Здесь выполняем все те же действия:
\[\frac{\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5}{5}+{{x}^{2}}\cdot 5=5\]
\[\frac{4x}{4}=\frac{4}{4}\]
Задача решена.
Вот, собственно, и всё, что я хотел сегодня рассказать.
Ключевые моменты
Ключевые выводы следующие:
- Знать алгоритм решения линейных уравнений.
- Умение раскрывать скобки.
- Не стоит переживать, если где-то у вас появляются квадратичные функции, скорее всего, в процессе дальнейших преобразований они сократятся.
- Корни в линейных уравнениях, даже самых простых, бывают трех типов: один единственный корень, вся числовая прямая является корнем, корней нет вообще.
Надеюсь, этот урок поможет вам освоить несложную, но очень важную для дальнейшего понимания всей математики тему. Если что-то непонятно, заходите на сайт, решайте примеры, представленные там. Оставайтесь с нами, вас ждет еще много интересного!
Уравнение - это равенство, содержащее букву, значение которой надо найти.
В уравнениях неизвестное обычно обозначается строчной латинской буквой. Чаще всего используют буквы « x » [икс] и « y » [игрек].
- Корень уравнения - это значение буквы, при котором из уравнения получается верное числовое равенство.
- Решить уравнение - значит найти все его корни или убедиться, что корней нет.
Решив уравнение, всегда после ответа записываем проверку.
Информация для родителей
Уважаемые родители, обращаем ваше внимание на то, что в начальной школе и в 5 классе дети НЕ знают тему «Отрицательные числа».
Поэтому они должны решать уравнения, используя только свойства сложения, вычитания, умножения и деления. Методы решения уравнений для 5 класса приведены ниже.
Не пытайтесь объяснить решение уравнений через перенос чисел и букв из одной части уравнения в другую с изменением знака.
Освежить знания по понятиям, связанным со сложением, вычитанием, умножением и делением вы можете в уроке «Законы арифметики».
Решение уравнений на сложение и вычитание
Как найти неизвестное
слагаемое
Как найти неизвестное
уменьшаемое
Как найти неизвестное
вычитаемое
Чтобы найти неизвестное слагаемое, надо от суммы отнять известное слагаемое.
Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, надо к разности прибавить вычитаемое.
Чтобы найти неизвестное вычитаемое, надо от уменьшаемого отнять разность.
x + 9 = 15
x = 15 − 9
x = 6
Проверка
x − 14 = 2
x = 14 + 2
x = 16
Проверка
16 − 2 = 14
14 = 14
5 − x = 3
x = 5 − 3
x = 2
Проверка
Решение уравнений на умножение и деление
Как найти неизвестный
множитель
Как найти неизвестное
делимое
Как найти неизвестный
делитель
Чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение разделить на известный множитель.
Чтобы найти неизвестное делимое, надо частное умножить на делитель.
Чтобы найти неизвестный делитель, надо делимое разделить на частное.
y · 4 = 12
y = 12: 4
y = 3
Проверка
y: 7 = 2
y = 2 · 7
y = 14
Проверка
8: y = 4
y = 8: 4
y = 2
Проверка
Уравнение - это равенство, содержащее букву, знамение которой нужно найти. Решение уравнения - это тот набор значений букв, при котором уравнение превращается в верное равенство:
Напомним, что для решения уравнении надо слагаемые с неизвестным перенести в одну часть равенства, а числовые слагаемые в другую, привести подобные и получить такое равенство:
Из последнего равенства определим неизвестное по правилу: «один из множителей равен частному, деленному на второй множитель».
Так как рациональные числа а и Ь могут иметь одинаковые и разные знаки, то знак неизвестного определяется по правилам деления рациональных чисел.
Порядок решения линейных уравнений
Линейное уравнение необходимо упростить, раскрыв скобки и выполнив действия второй ступени (умножение и деление).
Перенести неизвестные в одну сторону от знака равенства, а числа - в другую сторону от знака равенства, получив тождественное заданному равенство,
Привести подобные слева и справа от знака равенства, получив равенство вида ax = b .
Вычислить корень уравнения (найти неизвестное х из равенства x = b : a ),
Выполнить проверку, подставив неизвестное в заданное уравнение.
Если получим тождество в числовом равенстве, то уравнение решено верно.
Особые случаи решения уравнений
- Если уравнение задано произведением, равным 0, то для его решения используем свойство умножения: «произведение равно нулю, если один из сомножителей или оба сомножителя равны нулю».
- Раскрыть скобки, если они есть;
- Перенести слагаемые, содержащие переменную, в одну сторону от знака равенства, а слагаемые без переменной - в другую;
- Привести подобные слагаемые слева и справа от знака равенства;
- Разделить полученное уравнение на коэффициент при переменной $x$ .
- Уравнение вообще не имеет решений. Например, когда получается что-нибудь в духе $0\cdot x=8$, т.е. слева стоит ноль, а справа - число, отличное от нуля. В видео ниже мы рассмотрим сразу несколько причин, по которым возможна такая ситуация.
- Решение - все числа. Единственный случай, когда такое возможно - уравнение свелось к конструкции $0\cdot x=0$. Вполне логично, что какой бы $x$ мы ни подставили, все равно получится «ноль равен нулю», т.е. верное числовое равенство.
- Прежде всего необходимо раскрыть скобки, если они есть (как в нашем последнем примере);
- Затем свести подобные
- Наконец, уединить переменную, т.е. всё, что связано с переменной - слагаемые, в которых она содержится - перенести в одну сторону, а всё, что останется без неё, перенести в другую сторону.
- Раскрываем скобки, если они есть.
- Уединяем переменные, т.е. все, что содержит «иксы» переносим в одну сторону, а без «иксов» - в другую.
- Приводим подобные слагаемые.
- Разделяем все на коэффициент при «иксе».
- Как я говорил выше, далеко не каждое линейное уравнение имеет решение - иногда корней просто нет;
- Даже если корни есть, среди них может затесаться ноль - ничего страшного в этом нет.
- Уединить переменные.
- Избавиться от дробей.
- Раскрыть скобки.
- Привести подобные.
- Разделить на коэффициент.
- Знать алгоритм решения линейных уравнений.
- Умение раскрывать скобки.
- Не стоит переживать, если где-то у вас появляются квадратичные функции, скорее всего, в процессе дальнейших преобразований они сократятся.
- Корни в линейных уравнениях, даже самых простых, бывают трех типов: один единственный корень, вся числовая прямая является корнем, корней нет вообще.
- Иррациональное уравнение: учимся решать методом уединения корня
- Как решать биквадратное уравнение
- Тест к уроку «Сложные выражения с дробями» (легкий)
- Пробный ЕГЭ 2012 от 7 декабря. Вариант 1 (без логарифмов)
- Видеоурок по задачам C2: расстояние от точки до плоскости
- Репетитор по математике: где брать учеников?
27 (x
- 3) = 0
27 не равно 0, значит x
- 3 = 0
У второго примера два решения уравнения, так как
это уравнение второй степени:
Если коэффициенты уравнения являются обыкновенными дробями, то прежде всего надо избавиться от знаменателей. Для этого:
Найти общий знаменатель;
Определить дополнительные множители для каждого члена уравнения;
Умножить числители дробей и целые числа на дополнительные множители и записать все члены уравнения без знаменателей (общий знаменатель можно отбросить);
Перенести слагаемые с неизвестными в одну часть уравнения, а числовые слагаемые - в другую от знака равенства, получив равносильное равенство;
Привести подобные члены;
Основные свойства уравнений
В любой части уравнения можно приводить подобные слагаемые или раскрывать скобку.
Любой член уравнения можно переносить из одной части уравнения в другую, изменив его знак на противоположный.
Обе части уравнения можно умножать (делить) на одно и то же число, кроме 0.
В примере выше для решения уравнения были использованы все его свойства.
Правило решений простых уравнений
Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно «не очень. »
И для тех, кто «очень даже. »)
Линейные уравнения.
Линейные уравнения — не самая сложная тема школьной математики. Но есть там свои фишки, которые могут озадачить даже подготовленного ученика. Разберёмся?)
Обычно линейное уравнение определяется, как уравнение вида:
Ничего сложного, правда? Особенно, если не замечать слова: «где а и b – любые числа» . А если заметить, да неосторожно задуматься?) Ведь, если а=0, b=0 (любые же числа можно?), то получается забавное выражение:
Но и это ещё не всё! Если, скажем, а=0, а b=5, получается совсем уж что-то несусветное:
Что напрягает и подрывает доверие к математике, да.) Особенно на экзаменах. А ведь из этих странных выражений ещё и икс найти надо! Которого нету вообще. И, что удивительно, этот икс очень просто находится. Мы научимся это делать. В этом уроке.
Как узнать линейное уравнение по внешнему виду? Это, смотря какой внешний вид.) Фишка в том, что линейными уравнениями называются не только уравнения вида ax + b = 0 , но и любые уравнения, которые преобразованиями и упрощениями сводятся к этому виду. А кто ж его знает, сводится оно, или нет?)
Чётко распознать линейное уравнение можно в некоторых случаях. Скажем, если перед нами уравнение, в которых есть только неизвестные в первой степени, да числа. Причём в уравнении нет дробей с делением на неизвестное , это важно! А деление на число, или дробь числовая – это пожалуйста! Например:
Это линейное уравнение. Здесь есть дроби, но нет иксов в квадрате, в кубе и т.д., и нет иксов в знаменателях, т.е. нет деления на икс . А вот уравнение
нельзя назвать линейным. Здесь иксы все в первой степени, но есть деление на выражение с иксом . После упрощений и преобразований может получиться и линейное уравнение, и квадратное, и всё, что угодно.
Получается, что узнать линейное уравнение в каком-нибудь замудрёном примере нельзя, пока его почти не решишь. Это огорчает. Но в заданиях, как правило, не спрашивают о виде уравнения, правда? В заданиях велят уравнения решать. Это радует.)
Решение линейных уравнений. Примеры.
Всё решение линейных уравнений состоит из тождественных преобразований уравнений. Кстати, эти преобразования (целых два!) лежат в основе решений всех уравнений математики. Другими словами, решение любого уравнения начинается с этих самых преобразований. В случае линейных уравнений, оно (решение) на этих преобразованиях и заканчивается полноценным ответом. Имеет смысл по ссылке сходить, правда?) Тем более, там тоже примеры решения линейных уравнений имеются.
Для начала рассмотрим самый простой пример. Безо всяких подводных камней. Пусть нам нужно решить вот такое уравнение.
Это линейное уравнение. Иксы все в первой степени, деления на икс нету. Но, собственно, нам без разницы, какое это уравнение. Нам его решать надо. Схема тут простая. Собрать всё, что с иксами в левой части равенства, всё, что без иксов (числа) — в правой.
Для этого нужно перенести — 4х в левую часть, со сменой знака, разумеется, а — 3 — в правую. Кстати, это и есть первое тождественное преобразование уравнений. Удивлены? Значит, по ссылке не ходили, а зря.) Получим:
Приводим подобные, считаем:
Что нам не хватает для полного счастья? Да чтобы слева чистый икс был! Пятёрка мешает. Избавляемся от пятёрки с помощью второго тождественного преобразования уравнений. А именно — делим обе части уравнения на 5. Получаем готовый ответ:
Пример элементарный, разумеется. Это для разминки.) Не очень понятно, к чему я тут тождественные преобразования вспоминал? Ну ладно. Берём быка за рога.) Решим что-нибудь посолиднее.
Например, вот это уравнение:
С чего начнём? С иксами — влево, без иксов — вправо? Можно и так. Маленькими шажочками по длинной дороге. А можно сразу, универсальным и мощным способом. Если, конечно, в вашем арсенале имеются тождественные преобразования уравнений.
Задаю вам ключевой вопрос: что вам больше всего не нравится в этом уравнении?
95 человек из 100 ответят: дроби ! Ответ правильный. Вот и давайте от них избавимся. Поэтому начинаем сразу со второго тождественного преобразования . На что нужно умножить дробь слева, чтобы знаменатель сократился напрочь? Верно, на 3. А справа? На 4. Но математика позволяет нам умножать обе части на одно и то же число . Как выкрутимся? А умножим обе части на 12! Т.е. на общий знаменатель. Тогда и тройка сократится, и четвёрка. Не забываем, что умножать надо каждую часть целиком . Вот как выглядит первый шаг:
Обратите внимание! Числитель (х+2) я взял в скобки! Это потому, что при умножении дробей, числитель умножается весь, целиком! А теперь дроби и сократить можно:
Раскрываем оставшиеся скобки:
Не пример, а сплошное удовольствие!) Вот теперь вспоминаем заклинание из младших классов: с иксом – влево, без икса – вправо! И применяем это преобразование:
И делим обе части на 25, т.е. снова применяем второе преобразование:
Вот и всё. Ответ: х =0,16
Берём на заметку: чтобы привести исходное замороченное уравнение к приятному виду, мы использовали два (всего два!) тождественных преобразования – перенос влево-вправо со сменой знака и умножение-деление уравнения на одно и то же число. Это универсальный способ! Работать таким образом мы будем с любыми уравнениями! Совершенно любыми. Именно поэтому я про эти тождественные преобразования всё время занудно повторяю.)
Как видим, принцип решения линейных уравнений простой. Берём уравнение и упрощаем его с помощью тождественных преобразований до получения ответа. Основные проблемы здесь в вычислениях, а не в принципе решения.
Но. Встречаются в процессе решения самых элементарных линейных уравнений такие сюрпризы, что могут и в сильный ступор вогнать.) К счастью, таких сюрпризов может быть только два. Назовём их особыми случаями.
Особые случаи при решении линейных уравнений.
Сюрприз первый.
Предположим, попалось вам элементарнейшее уравнение, что-нибудь, типа:
Слегка скучая, переносим с иксом влево, без икса — вправо. Со сменой знака, всё чин-чинарём. Получаем:
Считаем, и. опаньки. Получаем:
Само по себе это равенство не вызывает возражений. Нуль действительно равен нулю. Но икс-то пропал! А мы обязаны записать в ответе, чему равен икс. Иначе, решение не считается, да.) Тупик?
Спокойствие! В таких сомнительных случаях спасают самые общие правила. Как решать уравнения? Что значит решить уравнение? Это значит, найти все значения икса, которые, при подстановке в исходное уравнение, дадут нам верное равенство.
Но верное равенство у нас уже получилось! 0=0, куда уж вернее?! Остаётся сообразить, при каких иксах это получается. Какие значения икса можно подставлять в исходное уравнение, если эти иксы всё равно посокращаются в полный ноль? Ну же?)
Да. Иксы можно подставлять любые! Какие хотите. Хоть 5, хоть 0,05, хоть -220. Они всё равно сократятся. Если не верите — можете проверить.) Поподставляйте любые значения икса в исходное уравнение и посчитайте. Всё время будет получаться чистая правда: 0=0, 2=2, -7,1=-7,1 и так далее.
Вот вам и ответ: х — любое число.
Ответ можно записать разными математическими значками, суть не меняется. Это совершенно правильный и полноценный ответ.
Сюрприз второй.
Возьмём то же элементарнейшее линейное уравнение и изменим в нём всего одно число. Вот такое будем решать:
После тех же самых тождественных преобразований мы получим нечто интригующее:
Вот так. Решали линейное уравнение, получили странное равенство. Говоря математическим языком, мы получили неверное равенство. А говоря простым языком, неправда это. Бред. Но тем, не менее, этот бред — вполне веское основание для правильного решения уравнения.)
Опять соображаем, исходя из общих правил. Какие иксы, при подстановке в исходное уравнение, дадут нам верное равенство? Да никакие! Нет таких иксов. Чего ни подставляй, всё посократится, останется бред.)
Вот вам и ответ: решений нет.
Это тоже вполне полноценный ответ. В математике такие ответы частенько встречаются.
Вот так. Сейчас, надеюсь, пропажа иксов в процессе решения любого (не только линейного) уравнения вас нисколько не смутит. Дело уже знакомое.)
Теперь, когда мы разобрались со всеми подводными камнями в линейных уравнениях, имеет смысл их порешать.
А на ЕГЭ они будут? — слышу вопрос практичных людей. Отвечаю. В чистом виде — нет. Слишком элементарны. А вот в ГИА, или при решении задачек в ЕГЭ, вы с ними столкнётесь обязательно! Так что, меняем мышку на ручку и решаем.
Ответы даны в беспорядке: 2,5; нет решений; 51; 17.
Получилось?! Поздравляю! У вас хорошие шансы на экзаменах.)
Не сходятся ответы? М-да. Это не радует. Эта не та тема, без которой можно обойтись. Рекомендую посетить Раздел 555. Там очень подробно расписано, что надо делать, и как это делать, чтобы не запутаться в решении. На примере этих уравнений.
А как решать уравнения более хитрые, — это в следующей теме.
Если Вам нравится этот сайт.
Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)
Вот здесь можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся — с интересом!)
А вот здесь можно познакомиться с функциями и производными.
Решение линейных уравнений 7 класс
Для решения линейных уравнений используют два основных правила (свойства).
Свойство № 1
или
правило переноса
При переносе из одной части уравнения в другую член уравнения меняет свой знак на противоположный.
Давайте разберём правило переноса на примере. Пусть нам требуется решить линейное уравнение.
Вспомним, что у любого уравнения есть левая и правая часть.
Перенесем число « 3 » из левой части уравнения в правую.
Так как в левой части уравнения у числа « 3 » был знак « + », значит в правую часть уравнения « 3 » перенесется со знаком « − ».
Полученное числовое значение « x = 2 » называют корнем уравнения.
Не забывайте после решения любого уравнения записывать ответ.
Рассмотрим другое уравнение.
По правилу переноса перенесем « 4x » из левой части уравнения в правую, поменяв знак на противоположный.
Несмотря на то, что перед « 4x » не стоит никакого знака, мы понимаем, что перед « 4x » стоит знак « + ».
Теперь приведем подобные и решим уравнение до конца.
Свойство № 2
или
правило деления
В любом уравнении можно разделить левую и правую часть на одно и то же число.
Но нельзя делить на неизвестное!
Разберемся на примере, как использовать правило деления при решении линейных уравнений.
Число « 4 », которое стоит при « x », называют числовым коэффициентом при неизвестном.
Между числовым коэффициентом и неизвестном всегда стоит действие умножение.
Чтобы решить уравнение необходимо сделать так, чтобы при « x » стоял коэффициент « 1 ».
Давайте зададим себе вопрос: «На что нужно разделить « 4 », чтобы
получить « 1 »?». Ответ очевиден, нужно разделить на « 4 ».
Используем правило деления и разделим левую и правую части уравнения на « 4 ». Не забудьте, что делить нужно и левую, и правую части.
Используем сокращение дробей и решим линейное уравнение до конца.
Как решить уравнение, если « x » отрицательное
Часто в уравнениях встречается ситуация, когда при « x » стоит отрицательный коэффициент. Как, например, в уравнении ниже.
Чтобы решить такое уравнение, снова зададим себе вопрос: «На что нужно разделить « −2 », чтобы получить « 1 »?». Нужно разделить на « −2 ».
Решение простых линейных уравнений
В этом видео мы разберём целый комплект линейных уравнений, которые решаются по одному и тому же алгоритму - потому и они и называются простейшими.
Для начала определимся: что такое линейное уравнение и какое их них называть простейшим?
Линейное уравнение - такое, в котором присутствует лишь одна переменная, причём исключительно в первой степени.
Под простейшим уравнением подразумевается конструкция:
Все остальные линейные уравнения сводятся к простейшим с помощью алгоритма:
Разумеется, этот алгоритм помогает не всегда. Дело в том, что иногда после всех этих махинаций коэффициент при переменной $x$ оказывается равен нулю. В этом случае возможны два варианта:
А теперь давайте посмотрим, как всё это работает на примере реальных задач.
Примеры решения уравнений
Сегодня мы занимаемся линейными уравнениями, причем только простейшими. Вообще, под линейным уравнением подразумевается всякое равенство, содержащее в себе ровно одну переменную, и она идет лишь в первой степени.
Решаются такие конструкции примерно одинаково:
Затем, как правило, нужно привести подобные с каждой стороны полученного равенства, а после этого останется лишь разделить на коэффициент при «иксе», и мы получим окончательный ответ.
В теории это выглядит красиво и просто, однако на практике даже опытные ученики старших классов могут допускать обидные ошибки в достаточно простых линейных уравнениях. Обычно ошибки допускаются либо при раскрытии скобок, либо при подсчёте «плюсов» и «минусов».
Кроме того, бывает так, что линейное уравнение вообще не имеет решений, или так, что решением является вся числовая прямая, т.е. любое число. Эти тонкости мы и разберем в сегодняшнем уроке. Но начнем мы, как вы уже поняли, с самых простых задач.
Схема решения простейших линейных уравнений
Для начала давайте я еще раз напишу всю схему решения простейших линейных уравнений:
Разумеется, эта схема работает не всегда, в ней есть определенные тонкости и хитрости, и сейчас мы с ними и познакомимся.
Решаем реальные примеры простых линейных уравнений
На первом шаге от нас требуется раскрыть скобки. Но их в этом примере нет, поэтому пропускаем данный этап. На втором шаге нам нужно уединить переменные. Обратите внимание: речь идет лишь об отдельных слагаемых. Давайте запишем:
Приводим подобные слагаемые слева и справа, но тут уже это сделано. Поэтому переходим к четвертому шагу: разделить на коэффициент:
Вот мы и получили ответ.
В этой задаче мы можем наблюдать скобки, поэтому давайте раскроем их:
И слева и справа мы видим примерно одну и ту же конструкцию, но давайте действовать по алгоритму, т.е. уединяем переменные:
При каких корнях это выполняется. Ответ: при любых. Следовательно, можно записать, что $x$ - любое число.
Третье линейное уравнение уже интересней:
\[\left(6-x \right)+\left(12+x \right)-\left(3-2x \right)=15\]
Тут есть несколько скобок, однако они ни на что не умножаются, просто перед ними стоят различные знаки. Давайте раскроем их:
Выполняем второй уже известный нам шаг:
Выполняем последний шаг - делим все на коэффициент при «икс»:
Что необходимо помнить при решении линейных уравнений
Если отвлечься от слишком простых задач, то я бы хотел сказать следующее:
Ноль - такое же число, как и остальные, не стоит его как-то дискриминировать или считать, что если у вас получился ноль, то вы что-то сделали неправильно.
Еще одна особенность связана с раскрытием скобок. Обратите внимание: когда перед ними стоит «минус», то мы его убираем, однако в скобках знаки меняем на противоположные . А дальше мы можем раскрывать ее по стандартным алгоритмам: мы получим то, что видели в выкладках выше.
Понимание этого простого факта позволит вам не допускать глупые и обидные ошибки в старших классах, когда выполнение подобных действий считается самим собой разумеющимся.
Решение сложных линейных уравнений
Перейдем к более сложным уравнениям. Теперь конструкции станут сложнее и при выполнении различных преобразований возникнет квадратичная функция. Однако не стоит этого бояться, потому что если по замыслу автора мы решаем линейное уравнение, то в процессе преобразования все одночлены, содержащие квадратичную функцию, обязательно сократятся.
Очевидно, что первым делом нужно раскрыть скобки. Давайте это сделаем очень аккуратно:
Теперь займемся уединением:
Очевидно, что у данного уравнения решений нет, поэтому в ответе так и запишем:
Выполняем те же действия. Первый шаг:
Перенесем все, что с переменной, влево, а без нее - вправо:
Очевидно, что данное линейное уравнение не имеет решения, поэтому так и запишем:
либо корней нет.
Нюансы решения
Оба уравнения полностью решены. На примере этих двух выражений мы ещё раз убедились, что даже в самых простых линейных уравнениях всё может быть не так просто: корней может быть либо один, либо ни одного, либо бесконечно много. В нашем случае мы рассмотрели два уравнения, в обоих корней просто нет.
Но я бы хотел обратить ваше внимание на другой факт: как работать со скобками и как их раскрывать, если перед ними стоит знак «минус». Рассмотрим вот это выражение:
Прежде чем раскрывать, нужно перемножить всё на «икс». Обратите внимание: умножается каждое отдельное слагаемое . Внутри стоит два слагаемых - соответственно, два слагаемых и умножается.
И только после того, когда эти, казалось бы, элементарные, но очень важные и опасные преобразования выполнены, можно раскрывать скобку с точки зрения того, что после неё стоит знак «минус». Да, да: только сейчас, когда преобразования выполнены, мы вспоминаем, что перед скобками стоит знак «минус», а это значит, что все, что в низ, просто меняет знаки. При этом сами скобки исчезают и, что самое главное, передний «минус» тоже исчезает.
Точно также мы поступаем и со вторым уравнением:
Я не случайно обращаю внимание на эти мелкие, казалось бы, незначительные факты. Потому что решение уравнений - это всегда последовательность элементарных преобразований, где неумение чётко и грамотно выполнять простые действия приводит к тому, что ученики старших классов приходят ко мне и вновь учатся решать вот такие простейшие уравнения.
Разумеется, придёт день, и вы отточите эти навыки до автоматизма. Вам уже не придётся каждый раз выполнять столько преобразований, вы всё будете писать в одну строчку. Но пока вы только учитесь, нужно писать каждое действие отдельно.
Решение ещё более сложных линейных уравнений
То, что мы сейчас будем решать, уже сложно назвать простейшими задача, однако смысл остается тем же самым.
\[\left(7x+1 \right)\left(3x-1 \right)-21=3\]
Давайте перемножим все элементы в первой части:
Давайте выполним уединение:
Выполняем последний шаг:
Вот наш окончательный ответ. И, несмотря на то, что у нас в процессе решения возникали коэффициенты с квадратичной функцией, однако они взаимно уничтожились, что делает уравнение именно линейным, а не квадратным.
\[\left(1-4x \right)\left(1-3x \right)=6x\left(2x-1 \right)\]
Давайте аккуратно выполним первый шаг: умножаем каждый элемент из первой скобки на каждый элемент из второй. Всего должно получиться четыре новых слагаемых после преобразований:
А теперь аккуратно выполним умножение в каждом слагаемом:
Перенесем слагаемые с «иксом» влево, а без - вправо:
Приводим подобные слагаемые:
Мы вновь получили окончательный ответ.
Важнейшее замечание по поводу этих двух уравнений состоит в следующем: как только мы начинаем умножать скобки, в которых находится более чем оно слагаемое, то выполняется это по следующему правилу: мы берем первое слагаемое из первой и перемножаем с каждым элементом со второй; затем берем второй элемент из первой и аналогично перемножаем с каждым элементом со второй. В итоге у нас получится четыре слагаемых.
Об алгебраической сумме
На последнем примере я хотел бы напомнить ученикам, что такое алгебраическая сумма. В классической математике под $1-7$ мы подразумеваем простую конструкцию: из единицы вычитаем семь. В алгебре же мы подразумеваем под этим следующее: к числу «единица» мы прибавляем другое число, а именно «минус семь». Этим алгебраическая сумма отличается от обычной арифметической.
Как только при выполнении всех преобразований, каждого сложения и умножения вы начнёте видеть конструкции, аналогичные вышеописанным, никаких проблем в алгебре при работе с многочленами и уравнениями у вас просто не будет.
В заключение давайте рассмотрим ещё пару примеров, которые будут ещё более сложными, чем те, которые мы только что рассмотрели, и для их решения нам придётся несколько расширить наш стандартный алгоритм.
Решение уравнений с дробью
Для решения подобных заданий к нашему алгоритму придется добавить еще один шаг. Но для начала я напомню наш алгоритм:
Увы, этот прекрасный алгоритм при всей его эффективности оказывается не вполне уместным, когда перед нами дроби. А в том, что мы увидим ниже, у нас и слева, и справа в обоих уравнениях есть дробь.
Как работать в этом случае? Да всё очень просто! Для этого в алгоритм нужно добавить ещё один шаг, который можно совершить как перед первым действием, так и после него, а именно избавиться от дробей. Таким образом, алгоритм будет следующим:
Что значит «избавиться от дробей»? И почему выполнять это можно как после, так и перед первым стандартным шагом? На самом деле в нашем случае все дроби являются числовыми по знаменателю, т.е. везде в знаменателе стоит просто число. Следовательно, если мы обе части уравнения домножим на это число, то мы избавимся от дробей.
Давайте избавимся от дробей в этом уравнении:
Обратите внимание: на «четыре» умножается все один раз, т.е. если у вас две скобки, это не значит, что каждую из них нужно умножать на «четыре». Запишем:
\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(-1 \right)\cdot 4\]
Выполняем уединение переменной:
Выполняем приведение подобных слагаемых:
\[-4x=-1\left| :\left(-4 \right) \right.\]
Мы получили окончательное решение, переходим ко второму уравнению.
Здесь выполняем все те же действия:
Вот, собственно, и всё, что я хотел сегодня рассказать.
Ключевые моменты
Ключевые выводы следующие:
Надеюсь, этот урок поможет вам освоить несложную, но очень важную для дальнейшего понимания всей математики тему. Если что-то непонятно, заходите на сайт, решайте примеры, представленные там. Оставайтесь с нами, вас ждет еще много интересного!
Чтобы посмотреть видео, введите свой E-mail и нажмите кнопку «Начать обучение»
- Репетитор с 12-летним опытом
- Видеозапись каждого занятия
- Единая стоимость занятий - 3000 рублей за 60 минут
- Не имеют корней;
- Имеют ровно один корень;
- Имеют два различных корня.
- Если D < 0, корней нет;
- Если D = 0, есть ровно один корень;
- Если D > 0, корней будет два.
- x 2 − 8x + 12 = 0;
- 5x 2 + 3x + 7 = 0;
- x 2 − 6x + 9 = 0.
- x 2 − 2x − 3 = 0;
- 15 − 2x − x 2 = 0;
- x 2 + 12x + 36 = 0.
- x 2 + 9x = 0;
- x 2 − 16 = 0.
- Если в неполном квадратном уравнении вида ax 2 + c = 0 выполнено неравенство (−c /a ) ≥ 0, корней будет два. Формула дана выше;
- Если же (−c /a ) < 0, корней нет.
- x 2 − 7x = 0;
- 5x 2 + 30 = 0;
- 4x 2 − 9 = 0.
Квадратные уравнения изучают в 8 классе, поэтому ничего сложного здесь нет. Умение решать их совершенно необходимо.
Квадратное уравнение — это уравнение вида ax 2 + bx + c = 0, где коэффициенты a , b и c — произвольные числа, причем a ≠ 0.
Прежде, чем изучать конкретные методы решения, заметим, что все квадратные уравнения можно условно разделить на три класса:
В этом состоит важное отличие квадратных уравнений от линейных, где корень всегда существует и единственен. Как определить, сколько корней имеет уравнение? Для этого существует замечательная вещь — дискриминант .
Дискриминант
Пусть дано квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0. Тогда дискриминант — это просто число D = b 2 − 4ac .
Эту формулу надо знать наизусть. Откуда она берется — сейчас неважно. Важно другое: по знаку дискриминанта можно определить, сколько корней имеет квадратное уравнение. А именно:
Обратите внимание: дискриминант указывает на количество корней, а вовсе не на их знаки, как почему-то многие считают. Взгляните на примеры — и сами все поймете:
Задача. Сколько корней имеют квадратные уравнения:
Выпишем коэффициенты для первого уравнения и найдем дискриминант:
a
= 1, b
= −8, c
= 12;
D
= (−8) 2 − 4 · 1 · 12 = 64 − 48 = 16
Итак, дискриминант положительный, поэтому уравнение имеет два различных корня. Аналогично разбираем второе уравнение:
a
= 5; b
= 3; c
= 7;
D
= 3 2 − 4 · 5 · 7 = 9 − 140 = −131.
Дискриминант отрицательный, корней нет. Осталось последнее уравнение:
a
= 1; b
= −6; c
= 9;
D
= (−6) 2 − 4 · 1 · 9 = 36 − 36 = 0.
Дискриминант равен нулю — корень будет один.
Обратите внимание, что для каждого уравнения были выписаны коэффициенты. Да, это долго, да, это нудно — зато вы не перепутаете коэффициенты и не допустите глупых ошибок. Выбирайте сами: скорость или качество.
Кстати, если «набить руку», через некоторое время уже не потребуется выписывать все коэффициенты. Такие операции вы будете выполнять в голове. Большинство людей начинают делать так где-то после 50-70 решенных уравнений — в общем, не так и много.
Корни квадратного уравнения
Теперь перейдем, собственно, к решению. Если дискриминант D > 0, корни можно найти по формулам:
Основная формула корней квадратного уравнения
Когда D = 0, можно использовать любую из этих формул — получится одно и то же число, которое и будет ответом. Наконец, если D < 0, корней нет — ничего считать не надо.
Первое уравнение:
x
2 − 2x
− 3 = 0 ⇒ a
= 1; b
= −2; c
= −3;
D
= (−2) 2 − 4 · 1 · (−3) = 16.
D > 0 ⇒ уравнение имеет два корня. Найдем их:
Второе уравнение:
15 − 2x
− x
2 = 0 ⇒ a
= −1; b
= −2; c
= 15;
D
= (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.
D > 0 ⇒ уравнение снова имеет два корня. Найдем их
\[\begin{align} & {{x}_{1}}=\frac{2+\sqrt{64}}{2\cdot \left(-1 \right)}=-5; \\ & {{x}_{2}}=\frac{2-\sqrt{64}}{2\cdot \left(-1 \right)}=3. \\ \end{align}\]
Наконец, третье уравнение:
x
2 + 12x
+ 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 · 1 · 36 = 0.
D = 0 ⇒ уравнение имеет один корень. Можно использовать любую формулу. Например, первую:
Как видно из примеров, все очень просто. Если знать формулы и уметь считать, проблем не будет. Чаще всего ошибки возникают при подстановке в формулу отрицательных коэффициентов. Здесь опять же поможет прием, описанный выше: смотрите на формулу буквально, расписывайте каждый шаг — и очень скоро избавитесь от ошибок.
Неполные квадратные уравнения
Бывает, что квадратное уравнение несколько отличается от того, что дано в определении. Например:
Несложно заметить, что в этих уравнениях отсутствует одно из слагаемых. Такие квадратные уравнения решаются даже легче, чем стандартные: в них даже не потребуется считать дискриминант. Итак, введем новое понятие:
Уравнение ax 2 + bx + c = 0 называется неполным квадратным уравнением, если b = 0 или c = 0, т.е. коэффициент при переменной x или свободный элемент равен нулю.
Разумеется, возможен совсем тяжелый случай, когда оба этих коэффициента равны нулю: b = c = 0. В этом случае уравнение принимает вид ax 2 = 0. Очевидно, такое уравнение имеет единственный корень: x = 0.
Рассмотрим остальные случаи. Пусть b = 0, тогда получим неполное квадратное уравнение вида ax 2 + c = 0. Немного преобразуем его:
Поскольку арифметический квадратный корень существует только из неотрицательного числа, последнее равенство имеет смысл исключительно при (−c /a ) ≥ 0. Вывод:
Как видите, дискриминант не потребовался — в неполных квадратных уравнениях вообще нет сложных вычислений. На самом деле даже необязательно помнить неравенство (−c /a ) ≥ 0. Достаточно выразить величину x 2 и посмотреть, что стоит с другой стороны от знака равенства. Если там положительное число — корней будет два. Если отрицательное — корней не будет вообще.
Теперь разберемся с уравнениями вида ax 2 + bx = 0, в которых свободный элемент равен нулю. Тут все просто: корней всегда будет два. Достаточно разложить многочлен на множители:
Вынесение общего множителя за скобкуПроизведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда находятся корни. В заключение разберем несколько таких уравнений:
Задача. Решить квадратные уравнения:
x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(−7)/1 = 7.
5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. Корней нет, т.к. квадрат не может быть равен отрицательному числу.
4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 = −1,5.
