Числовые неравенства свойства 8 кл. Числовые неравенства и их свойства. Другие важные свойства числовых неравенств
Тема урока:
Числовые неравенства.
Алгебра 8 класс
Цели:
- повторить правила сравнения различных чисел;
- закрепить понятия «меньше» и «больше»;
- познакомиться со способом сравнения любых чисел и буквенных выражений;
- научиться применять способ сравнения при выполнении упражнений
Сравните числа:
11 и -13 7 и 2
Устная работа
, =
17 -3 -17-(-3) 0
11,5 13,6 11,5-13,6 0
Вывод: Если а b, то а – b 0.
- И, наоборот, если а – b 0, то а 0.
b, то а – b 0. И, наоборот, если а – b 0, то а b " width="640"
Устная работа
Сравните числа. Сравните значение разности этих чисел с нулем. , =
0,7 0,03 0,7-0,03 0
- Вывод: Если а b, то а – b 0.
- И, наоборот, если а – b 0, то а b
Устная работа
Сравните числа. Сравните значение разности этих чисел с нулем. , =
Вывод: Если а = b, то а – b = 0.
И, наоборот, если а – b = 0, то а = b.
Сравнить числа а и b, если:
а – b = - 0,07 , то а b
а – b = 0 , то а b
а – b = 11,5 , то а b
Известно, что а b.
Может ли разность а – b выражаться числом 7,15 ? -12 ? 0 ?
Способ сравнения любых чисел
Число а больше b , если разность а – b – положительное число
Число а меньше b , если разность а – b – отрицательное число
Способ сравнения чисел
Чтобы сравнить два числа, нужно:
- найти их разность;
- сравнить разность с нулем;
- сделать вывод.
Работа с учебником
№ 726,
№ 730,
№ 731.
Рефлексия
Когда первое число меньше второго?
Когда первое число больше второго?
Когда первое число равно второму?
Сформулируйте способ сравнения чисел (буквенных выражений).
- Я доволен уроком, мне очень понравилось.
- Мне понравилось на уроке, но в моих знаниях есть пробелы.
- Я не доволен уроком, ничего не понял и как решать примеры я не знаю.
Задание на дом
п.28. опред.; № 728,
Неравенства в математике играют заметную роль. В школе в основном мы имеем дело с числовыми неравенствами , с определения которых мы начнем эту статью. А дальше перечислим и обоснуем свойства числовых неравенств , на которых базируются все принципы работы с неравенствами.
Сразу отметим, что многие свойства числовых неравенств аналогичны . Поэтому, излагать материал будем по такой же схеме: формулируем свойство, приводим его обоснование и примеры, после чего переходим к следующему свойству.
Навигация по странице.
Числовые неравенства: определение, примеры
Когда мы вводили понятие неравенства, то заметили, что неравенства часто определяют по виду их записи. Так неравенствами мы назвали имеющие смысл алгебраические выражения, содержащие знаки не равно ≠, меньше <, больше >, меньше или равно ≤ или больше или равно ≥. На основе приведенного определения удобно дать определение числового неравенства:
Встреча с числовыми неравенствами происходит на уроках математики в первом классе сразу после знакомства с первыми натуральными числами от 1 до 9 , и знакомства с операцией сравнения. Правда, там их называют просто неравенствами, опуская определение «числовые». Для наглядности не помешает привести пару примеров простейших числовых неравенств из того этапа их изучения: 1<2 , 5+2>3 .
А дальше от натуральных чисел знания распространяются на другие виды чисел (целые, рациональные, действительные числа), изучаются правила их сравнения, и это значительно расширяет видовое разнообразие числовых неравенств: −5>−72 , 3>−0,275·(7−5,6) , .
Свойства числовых неравенств
На практике работать с неравенствами позволяет ряд свойств числовых неравенств . Они вытекают из введенного нами понятия неравенства. По отношению к числам это понятие задается следующим утверждением, которое можно считать определением отношений «меньше» и «больше» на множестве чисел (его часто называют разностным определением неравенства):
Определение.
- число a больше числа b тогда и только тогда, когда разность a−b является положительным числом;
- число a меньше числа b тогда и только тогда, когда разность a−b – отрицательное число;
- число a равно числу b тогда и только тогда, когда разность a−b равна нулю.
Это определение можно переделать в определение отношений «меньше или равно» и «больше или равно». Вот его формулировка:
Определение.
- число a больше или равно числу b тогда и только тогда, когда a−b – неотрицательное число;
- число a меньше или равно числу b тогда и только тогда, когда a−b – неположительное число.
Данные определения мы будем использовать при доказательстве свойств числовых неравенств, к обзору которых мы и переходим.
Основные свойства
Обзор начнем с трех основных свойств неравенств. Почему они основные? Потому, что они являются отражением свойств неравенств в самом общем смысле, а не только по отношению к числовым неравенствам.
Числовым неравенствам, записанным с использованием знаков < и >, характерно:
Что касается числовых неравенств, записанных при помощи знаков нестрогих неравенства ≤ и ≥, то они обладают свойством рефлексивности (а не антирефлексивности), так как неравенства a≤a и a≥a включают в себя случай равенства a=a . Также им свойственны антисимметричность и транзитивность.
Итак, числовые неравенства, записанные при помощи знаков ≤ и ≥, обладают свойствами:
- рефлексивности a≥a и a≤a – верные неравенства;
- антисимметричности, если a≤b , то b≥a , и если a≥b , то b≤a .
- транзитивности, если a≤b и b≤c , то a≤c , а также, если a≥b и b≥c , то a≥c .
Их доказательство очень похоже на уже приведенные, поэтому не будем на них останавливаться, а перейдем к другим важным свойствам числовых неравенств.
Другие важные свойства числовых неравенств
Дополним основные свойства числовых неравенств еще серией результатов, имеющих большое практическое значение. На них основаны методы оценки значений выражений, на них базируются принципы решения неравенств и т.п. Поэтому целесообразно хорошо разобраться с ними.
В этом пункте свойства неравенств будем формулировать только для одного знака строгого неравенства, но стоит иметь в виду, что аналогичные свойства будут справедливы и для противоположного ему знака, а также для знаков нестрогих неравенств. Поясним это на примере. Ниже мы сформулируем и докажем такое свойство неравенств: если a
Для удобства представим свойства числовых неравенств в виде списка, при это будем давать соответствующее утверждение, записывать его формально с помощью букв, приводить доказательство, после чего показывать примеры использования. А в конце статьи сведем все свойства числовых неравенств в таблицу. Поехали!
Следствие. Почленное умножение одинаковых верных неравенств вида a
Прибавление (или вычитание) любого числа к обеим частям верного числового неравенства дает верное числовое неравенство. Другими словами, если числа a и b таковы, что a
Для доказательства составим разность левой и правой частей последнего числового неравенства, и покажем, что она отрицательна при условии a(a+c)−(b+c)=a+c−b−c=a−b . Так как по условию a
На доказательстве этого свойства числовых неравенств для вычитания числа c не останавливаемся, так как на множестве действительных чисел вычитание можно заменить прибавлением −c .
Например, если к обеим частям верного числового неравенства 7>3 прибавить число 15 , то получится верное числовое неравенство 7+15>3+15 , что то же самое, 22>18 .
Если обе части верного числового неравенства умножить (или разделить) на одно и то же положительное число c, то получится верное числовое неравенство. Если обе части неравенства умножить (или разделить) на отрицательное число c , и изменить знак неравенства на противоположный, то получится верное неравенство. В буквенном виде: если для чисел a и b выполняется неравенство ab·c.
Доказательство. Начнем со случая, когда c>0
. Составим разность левой и правой частей доказываемого числового неравенства: a·c−b·c=(a−b)·c
. Так как по условию a0
, то произведение (a−b)·c
будет отрицательным числом как произведение отрицательного числа a−b
на положительное число c
(что следует из ). Следовательно, a·c−b·c<0
, откуда a·c На доказательстве рассмотренного свойства для деления обеих частей верного числового неравенства на одно и то же число c не останавливаемся, так как деление всегда можно заменить умножением на 1/c
. Покажем пример применения разобранного свойства на конкретных числах. Например, можно обе части верного числового неравенства 4<6
умножить на положительное число 0,5
, что дает верное числовое неравенство −4·0,5<6·0,5
, откуда −2<3
. А если обе части верного числового неравенства −8≤12
разделить на отрицательное число −4
, и изменить знак неравенства ≤ на противоположный ≥, то получится верное числовое неравенство −8:(−4)≥12:(−4)
, откуда 2≥−3
. Из только что разобранного свойства умножения обеих частей числового равенства на число следуют два практически ценных результата. Так их и сформулируем в виде следствий. Все разобранные выше в этом пункте свойства объединяет то, что сначала дано верное числовое неравенство, и из него посредствам некоторых манипуляций с частями неравенства и знаком получается другое верное числовое неравенство. Сейчас мы приведем блок свойств, в которых изначально дано не одно, а несколько верных числовых неравенств, а новый результат получается из их совместного использования после сложения или умножения их частей. Если для чисел a
, b
, c
и d
справедливы неравенства a
Докажем, что (a+c)−(b+d)
– отрицательное число, этим будет доказано, что a+c По индукции это свойство распространяется на почленное сложение трех, четырех, и, вообще, любого конечного числа числовых неравенств. Так, если для чисел a 1 , a 2 , …, a n
и b 1 , b 2 , …, b n
справедливы неравенства a 1 a 1 +a 2 +…+a n . Например, нам даны три верных числовых неравенства одного знака −5<−2
, −1<12
и 3<4
. Рассмотренное свойство числовых неравенств позволяет нам констатировать, что неравенство −5+(−1)+3<−2+12+4
– тоже верное. Можно почленно умножать числовые неравенства одного знака, обе части которых представлены положительными числами. В частности, для двух неравенств a
Для доказательства можно умножить обе части неравенста a
Указанное свойство справедливо и для умножения любого конечного числа верных числовых неравенств с положительными частями. То есть, если a 1 , a 2 , …, a n
и b 1 , b 2 , …, b n
– положительные числа, причем a 1 a 1 ·a 2 ·…·a n . Отдельно стоит заметить, что если в записи числовых неравенств содержатся неположительные числа, то их почленное умножение может приводить к неверным числовым неравенствам. Например, числовые неравенства 1<3
и −5<−4
– верные и одного знака, почленное умножение этих неравенств дает 1·(−5)<3·(−4)
, что то же самое, −5<−12
, а это неверное неравенство.
В заключение статьи, как и было обещано, соберем все изученные свойства в таблицу свойств числовых неравенств
:
Список литературы.
- Моро М. И. . Математика. Учеб. для 1 кл. нач. шк. В 2 ч. Ч. 1. (Первое полугодие) / М. И. Моро, С. И. Волкова, С. В. Степанова.- 6-е изд. - М.: Просвещение, 2006. - 112 с.: ил.+Прил. (2 отд. л. ил.). - ISBN 5-09-014951-8.
- Математика : учеб. для 5 кл. общеобразоват. учреждений / Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов, А. С. Чесноков, С. И. Шварцбурд. - 21-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2007. - 280 с.: ил. ISBN 5-346-00699-0.
- Алгебра: учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 16-е изд. - М. : Просвещение, 2008. - 271 с. : ил. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- Мордкович А. Г. Алгебра. 8 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович. - 11-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2009. - 215 с.: ил. ISBN 978-5-346-01155-2.
Урок 8класс по теме «Числовые неравенства»
Цели:
Образовательные: ввести определение понятий « больше» и « меньше», числового неравенства, научить применять их к доказательству неравенств;
Развивающие: развивать умение использовать теоретические знания при решении практических задач, способность анализировать и обобщать полученные данные; развивать познавательный интерес к математике, расширять кругозор;
Воспитательные: формировать положительную мотивацию обучения.
Ход урока:
1.Подготовка и мотивация.
Сегодня мы начинаем изучать важную и актуальную тему « Числовые неравенства». Если немного изменить слова великого китайского педагога Конфуция (жил более 2400 лет тому назад) можно сформулировать задачу нашего урока: « Я слышу и забываю. Я вижу и запоминаю. Я делаю и понимаю.» Давайте сформулируем вместе цель урока. (Учащиеся формулируют цель, учитель дополняет).
Изучить числовые неравенства и их определение, и научиться применять их на практике.
На практике нам часто приходится сравнивать величины. Например, площадь территории России (17 098 242 ) и площадь территории Франции (547 030 ) , протяженность реки Оки (1500 км) и протяженность реки Дон (1870км).
2.Актуализация опорных знаний .
Ребята, давайте вспомним всё, что мы знаем о неравенствах.
Ребята, посмотрите на доску, сравните:
3,6748 и 3,675
36,5810 и 36,581
и 0,45
5,5 и
15 и -23
115 и -127
Что такое неравенство?
Неравенство - соотношение между числами (или любыми математическими выражениями, способными принимать численное значение), указывающее, какое из них больше или меньше другого.
Знаки неравенства (› ; ‹)появились впервые в 1631г., но понятие неравенства, как и понятие равенства, возникло в глубокой древности. В развитие математической мысли без сравнения величин, без понятий «больше» и «меньше» нельзя было дойти до понятия равенства, тождества, уравнения.
Какие правила использовали для сравнения чисел?
а) из двух положительных чисел больше то, модуль которого больше;
б) из двух отрицательных чисел больше то, модуль которого меньше;
в) любое отрицательное число меньше положительного;
г) любое положительное число больше нуля;
д) любое отрицательное число меньше нуля.
Какое правило применяем для сравнения чисел, расположенных на координатной прямой?
(На координатной прямой большее число изображается точкой, лежащей правее, а меньшее – точкой, лежащей левее.)
Заметим, что в зависимости от конкретного вида чисел мы использовали тот или иной способ сравнения. Это неудобно. Нам было бы легче иметь универсальный способ сравнения чисел, который охватил бы все случаи.
3. Изучение нового материала.
Расположите в порядке возрастания числа: 8; 0; -3; -1,5.
Какое число самое маленькое? Какое число самое большое?
Какие числа можно подставить вместо a и b ?
a – b =8
a – b =-3
a – b =-8
a – b =1,5
a – b = 0
Обратите внимание, что при вычитании из большего числа меньшего, получается положительное число; при вычитании из меньшего числа большего, получается отрицательное число.
Универсальный способ сравнения чисел основан на определении числовых неравенств: Число a больше числа b , если разность a – b – положительное число; число а меньше числа b , если разность a – b – отрицательное число. Заметим, что если разность a – b = 0, то числа а и b равны.
4. Закрепление нового материала.
Сравните числа а и b , если:
А) а – b = - 0,8 (а меньше b , т.к. разность – отриц.число)
Б) а – b = 0 (а = b )
В) а – b = 5, 903 (а больше b , т.к. разность – полож.число).
Решить с объяснением у доски № 724, 725 (устно), 727 (если позволит время), 728 (а,г), 729 (в,г), 730, 732.
5. Итоги урока. Д/з. выуч. опр. №726, 728 (а, г), 729 (в,г), 731 .
Ребята, сегодня на уроке мы повторили ранее изученный материал по неравенствам и узнали много нового о неравенствах.
1)Что такое «неравенство»?
2)Как сравнить два числа?
3)Ребята, поднимите руку, у кого на уроке возникли трудности?
Неравенство - это запись, в которой числа, переменные или выражения соединены знаком <, >, ⩽ или ⩾. То есть неравенством можно назвать сравнение чисел, переменных или выражений. Знаки < , > , ⩽ и ⩾ называются знаками неравенства .
Виды неравенств и как они читаются:
Как видно из примеров, все неравенства состоят из двух частей: левой и правой, соединённых одним из знаков неравенства. В зависимости от знака, соединяющего части неравенств, их делят на строгие и нестрогие.
Строгие неравенства - неравенства, у которых части соединены знаком < или >. Нестрогие неравенства - неравенства, у которых части соединены знаком ⩽ или ⩾.
Рассмотрим основные правила сравнения в алгебре:
- Любое положительное число больше нуля.
- Любое отрицательное число меньше нуля.
- Из двух отрицательных чисел больше то, у которого абсолютное значение меньше. Например, -1 > -7.
- a
и b
положительна:
a - b > 0,
То a больше b (a > b ).
- Если разность двух неравных чисел a
и b
отрицательна:
a - b < 0,
То a меньше b (a < b ).
- Если число больше нуля, то оно положительное:
a > 0, значит a - положительное число.
- Если число меньше нуля, то оно отрицательное:
a < 0, значит a - отрицательное число.
Равносильные неравенства - неравенства, являющиеся следствием другого неравенства. Например, если a меньше b , то b больше a :
a < b и b > a - равносильные неравенства
Свойства неравенств
- Если к обеим частям неравенства прибавить одно и то же число или вычесть из обеих частей одно и то же число, то получится равносильное неравенство, то есть,
если a > b , то a + c > b + c и a - c > b - c
Из этого следует, что можно переносить члены неравенства из одной части в другую с противоположным знаком. Например, прибавив к обеим частям неравенства a - b > c - d по d , получим:
a - b > c - d
a - b + d > c - d + d
a - b + d > c
- Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получится равносильное неравенство, то есть,
- Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, то получится неравенство противоположное данному, то есть
Следовательно, при умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное число надо изменить знак неравенства на противоположный.
Это свойство можно использовать для изменения знаков у всех членов неравенства, умножая обе его части на -1 и изменяя знак неравенства на противоположный:
-a + b > -c
(-a + b ) · -1 < (-c ) · -1
a - b < c
Неравенство -a + b > -c равносильно неравенству a - b < c
