Аналитическое задание последовательности. Числовая последовательность и способы ее задания

Урок № 32 АЛГЕБРА	Учитель математики, первой категории Гаун Ольга Викторовна. Восточно-Казахстанская область Глубоковский район КГУ «Черемшанская средняя школа»
Тема: Числовая последовательность и способы ее задания
Основные цели и задачи урока	Образовательная: разъяснить учащимся смысл понятий «последовательность», «n-ый член последовательности»; познакомить со способами задания последовательности. Развивающа я: развитие навыков логического мышления; развитие вычислительных навыков; развитие культуры устной речи, развитие коммуникативности и сотрудничества. Воспитательная : воспитание наблюдательности, привитие любви и интереса к предмету.
Ожидаемые результаты освоения темы	В ходе урока приобретут новые знания о числовых последовательностях и способах ее задания. Научатся находить верное решение, составлять алгоритм решения и пользоваться им при решении заданий. Путем исследования обнаружат их некоторые свойства. Вся работа сопровождается слайдами. Применение ИКТ даст возможность провести урок оживленно, выполнить большой объем работы, со стороны ребят будет искренний интерес и эмоциональное восприятие. Одарённые ученики выступят с сообщением о числах Фибоначчи и о золотом сечении. Универсальные учебные действия, на формирование которых направлен образовательный процесс: умение работать в паре, развивать логическое мышление, умение анализировать, исследовать, делать выводы, отстаивать свою точку зрения. Обучить навыкам общения и сотрудничества. Использование данных технологий способствует развитию у обучающихся универсальных способов деятельности, опыта творческой деятельности, компетентности, коммуникабельности.
Ключевые идеи урока	Новые подходы в преподавании и обучении Диалоговое обучение Обучение тому, как обучаться Обучение критическому мышлению Обучение талантливых и одарённых детей
Тип урока	Изучение новой темы
Методы обучения	Наглядный (презентация), словесный (беседа, объяснение, диалог), практический.
Формы организации учебной деятельности уч-ся	фронтальная; парная; индивидуальная.

ХОД УРОКА

Организационный момент

(Приветствие учащихся, определение отсутствующих, проверка готовности учащихся к уроку, организация внимания).

Мотивация урока.

«Числа управляют миром»,- говорили древнегреческие ученые. «Все есть число». Согласно их философскому мировоззрению, числа управляют не только мерой и весом, но также явлениями, происходящими в природе, и являются сущностью гармонии, царствующей в мире. Сегодня на уроке мы продолжим работать с числами.

Введение в тему, изучение нового материала.

Давайте проверим ваши логические способности. Я называю несколько слов, а вы должны продолжить:

–понедельник, вторник,…..

– январь, февраль, март…;

– Алиев, Гордеева, Грибачева… (список класса);

–10,11,12,…99;

Вывод: Это последовательности, то есть некоторый упорядоченный ряд чисел или понятий, когда каждое число или понятие стоит строго на своем месте. Итак, тема урока – последовательность.

Сегодня мы будем говорить о видах и составляющих числовых последовательностей, а также о способах их задания. Последовательности будем обозначать так: (аn), (bn), (сn) и т.д.

А сейчас я предлагаю вам первое задание: перед вами некоторые числовые последовательности и словестное описание этих последовательностей. Вам необходимо найти закономерность каждого ряда и соотнести с описанием. (показать с помощью стрелки) (Взаимопроверка)

Рассмотренные нами ряды и есть примеры числовых последовательностей .

Элементы, образующие последовательность, называются членами последовательности и называются соответственно первым, вторым, третьим,… n - ным членами последовательности. Обозначают члены последовательности так а 1 ; а 2 ; а 3 ; а 4 ; … а n ; где n – номер , под которым данное число находится в последовательности.
На экране записаны последовательности:
( На перечисленных последовательностях отрабатываются форма записи члена последовательности a n , и понятия предыдущего и последующего членов ) .
3; 6; 9; 12; 15; 18;…
5, 3, 1, -1.
1, 4, 9, 16 ,…
–1; 2; –3; 4; –5; 6; …
3; 3; 3; 3; …; 3; … .

Назовите а 1 для каждой последовательности, а 3 и т.д. А смогли бы вы продолжить каждый из этих рядов? Что для этого необходимо знать?

Давайте разберем с вами еще такие понятия как последующий и предыдущий .

(например, для а 5…, а для а n ?) - запись на слайде a n +1, a n -1

Виды последовательностей
( на перечисленных выше последовательностях отрабатывается навык определять виды последовательностей )
1) Возрастающая – если каждый член меньше следующего за ним, т.е. a n < a n +1.
2) Убывающая – если каждый член больше следующего за ним, т.е. a n > a n +1 .
3) Бесконечная
4) Конечная
5) Знакочередующаяся
6) Постоянная (стационарная)

Попробуйте дать определение каждому виду и охарактеризуйте каждую из предложенных последовательностей.

Задания для устной работы

Назовите в последовательности 1; 1/2; 1/3; 1/4; 1/5; … 1/n; 1/(n+1) члены а 1 ; а 4 ; а 10 ; а n ;

Является ли последовательность четырёхзначных чисел конечной? (да)

Назовите её первый и последний члены. (Ответ: 1000; 9999)

Является ли последовательностью запись чисел 2; 4; 7; 1; -21; -15; …? (нет, так как нельзя по первым шести членам обнаружить какую-нибудь закономерность)

Физпауза (тоже связана с темой сегодняшнего урока: звездное небо, планеты солнечной системы…в чем связь?)

Способы задания последовательностей
1) словесный – задание последовательности описанием;
2) аналитический – формулой n -го члена;
3) графический – с помощью графика;
4) рекуррентный – любой член последовательности, начиная с некоторого, выражается через предыдущие
Сегодня на уроке мы разберем первых два способа. Итак, словестный способ. Может быть кто-нибудь из вас попробует задать какую-либо последовательность?

(Например: Составьте последовательность нечетных натуральных чисел . Охарактеризуйте эту последовательность: возрастающая, бесконечная)
Аналитический способ: с помощью формулы n-ого члена последовательности.

Формула общего члена позволяет вычислить член последовательности с любым заданным номером. Например, если х n =3n+2, то

х 1 =3*1+2=5;

х 2 =3*2+2=8

х 5 =3 . 5+2=17;

х 45 =3 . 45+2=137 и т.д. Так каково преимущество аналитического способа перед словестным ?

А я вам предлагаю следующее задание: даны формулы задания некоторых последовательностей и сами последовательности, образованных по этим формулам. В этих последовательностях пропущены некоторые члены. Ваша задача, работая в парах , заполнить пропуски.

Самопроверка (на слайде появляется правильный ответ)

Представление творческого проекта «Числа Фибоначчи» (опережающее задание )

Сегодня мы познакомимся со знаменитой последовательностью:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …, (Слайд) Каждое число, начиная с третьего, равно сумме двух предшествующих. Этому ряду натуральных чисел, имеющему своё историческое название – ряд Фибоначчи, присуща своя логика и красота. Леонардо Фибоначчи (1180-1240). Крупный итальянский математик, автор «Книги абака». Эта книга несколько веков оставалась основным хранилищем сведений по арифметике и алгебре. Именно по трудам Л. Фибоначчи вся Европа осваивала арабские цифры, систему счета, а также практическую геометрию. Они оставались настольными учебниками, чуть ли не до эпохи Декарта (а это уже 17 век!).

Просмотр видеофильма.

Наверное, вы не совсем поняли какова связь между спиралью и рядом Фибоначчи. Поэтому я покажу, как она получается .

Если мы построим рядом два квадрата со стороной 1,затем набольшей стороне равной 2 другой, затем на большей стороне, равной 3 еще квадрат так до бесконечности…Потом в каждом квадрате, начиная с меньшего, построим четверть дуги, то получим спираль, о которой идет речь в фильме.

На самом деле практическое применение знаний, полученных на этом уроке в реальной жизни достаточно велико. Перед вами несколько задач из разных научных областей.

(Индивидуальная работа)

Задача 1.

16, 15, 18, … (17, 20, 19)

1, 2, 2, 4, 8, … (32, 256, 8192)

33, 31, 32, … (30, 31, 29)

Задача 2.

(Ответы учащихся записываются на доске: 500, 530, 560, 590, 620).

Задача 3.

Задача 4. Ежедневно каждый болеющий гриппом человек может заразить 4 окружающих. Через сколько дней заболеют все ученики нашей школы (300 человек)? (Через 4 дня).

Задача 5 . Сколько появится бактерий куриной холеры за 10 часов, если одна бактерия делится пополам каждый час?
Задача 6 . Курс воздушных ванн начинают с 15 минут в первый день и увеличивают время этой процедуры в каждый следующий день на 10 мин. Сколько дней следует принимать воздушные ванны в указанном режиме, чтобы достичь их максимальной продолжительности 1ч 45 мин? ( 10)

Задача 7 . При свободном падении тело проходит в первую секунду 4,8 м, а в каждую следующую на 9,8 м больше. Найдите глубину шахты, если свободно падающее тело достигло ее дна через 5 с после начала падения.

Задача 8 . Гражданина К. осталось завещание. Он в первый месяц истратил 1000$, а каждый последующий месяц истратил на 500$ больше. Сколько денег было завещано гражданину К., если их хватит на 1 год безбедной жизни? (45000)

Быстро и без ошибок решать такие задачи нам позволит изучение следующих тем этой главы «Прогрессии».

Домашнее задание: стр.66 №151, 156, 157

Творческое задание: сообщение о треугольнике Паскаля

Подведение итого. Рефлексия. (оценка «приращения» знаний и достижения целей)

Какова была цель сегодняшнего урока?

Цель достигнута?

Продолжи высказывание

Я не знал….

Теперь я знаю…

Задачи на практическое применение свойств последовательностей (прогрессий)

Задача 1. Продолжи последовательности чисел:

16, 15, 18, …

1, 2, 2, 4, 8, …

33, 31, 32, …

Задача 2. На складе имеется 500 т угля, каждый день подвозят по 30 т. Сколько угля будет на складе в 1 день? 2 день? 3 день? 4 день? 5 день?

Задача 3. Автомобиль, двигаясь со скоростью 1 м/с за каждую последующую секунду изменял свою скорость на 0,6 м/с. Какую скорость он будет иметь спустя 10 секунд?

Задача 4 . Ежедневно каждый болеющий гриппом человек может заразить 4 окружающих. Через сколько дней заболеют все ученики нашей школы (300 человек)?

Задача 5. Сколько появится бактерий куриной холеры за 10 часов, если одна бактерия делится пополам каждый час?

Задача 6. Курс воздушных ванн начинают с 15 минут в первый день и увеличивают время этой процедуры в каждый следующий день на 10 мин. Сколько дней следует принимать воздушные ванны в указанном режиме, чтобы достичь их максимальной продолжительности 1ч 45 мин?

Задача 7. При свободном падении тело проходит в первую секунду 4,8 м, а в каждую следующую на 9,8 м больше. Найдите глубину шахты, если свободно падающее тело достигло ее дна через 5 с после начала падения.

Задача 8. Гражданина К. осталось завещание. Он в первый месяц истратил 1000$, а каждый последующий месяц истратил на 500$ больше. Сколько денег было завещано гражданину К., если их хватит на 1 год безбедной жизни?

Тема: Числовая последовательность и способы ее задания

Основные цели и задачи урока
Образовательная: разъяснить учащимся смысл понятий последовательность, n-ый член последовательности; познакомить со способами задания последовательности.
Развивающая: развитие самостоятельности, взаимопомощи при работе в группе, сообразительности.
Воспитательная: воспитание активности и аккуратности, умение всегда видеть хорошее, привитие любви и интереса к предмету

Ожидаемые результаты освоения темы
В ходе урока приобретут новые знания о числовых последовательностях и способах ее задания. Научатся находить верное решение, составлять алгоритм решения и пользоваться им при решении заданий. Путем исследования обнаружат их некоторые свойства. Вся работа сопровождается слайдами.
Универсальные учебные действия, на формирование которых направлен образовательный процесс: умение работать в группе, развивать логическое мышление, умение анализировать, исследовать, делать выводы, отстаивать свою точку зрения. Обучить навыкам общения и сотрудничества. Использование данных технологий способствует развитию у обучающихся универсальных способов деятельности, опыта творческой деятельности, компетентности, коммуникабельности.

Ключевые идеи урока
Новые подходы в преподавании и обучении
- диалоговое обучение
- обучение тому, как обучаться
Оценивание для обучения и оценивание обучения
Обучение критическому мышлению
Обучение талантливых и одарённых детей

Тип урока
Изучение новой темы

Методы обучения
Наглядный (презентация), словесный (беседа, объяснение, диалог), практический.

Формы организации учебной деятельности уч-ся
фронтальная; групповая; парная; индивидуальная.

Используемые интерактивные методы обучения
Взаимооценивание, Самооценивание, Групповая работа, Индивидуальное работа,
Оценивания для обучения, ИКТ, Дифференцированное обучение

Применение модулей
Обучение тому, как обучаться, Обучение критическому мышлению, Оценивания для обучения, Использование ИКТ в преподавании и обучения, Обучение талантливых и одаренных детей

Оборудование и материалы
Учебник, Интерактивная доска кодоскоп, презентация, маркера, ватмат А3, линейка, цветтные карандаши, стикера, смайлики

Этапы урока
ХОД УРОКА

Прогнозируемые результаты

Создание колобративной среды
Организационный момент
(Приветствие учащихся, определение отсутствующих, проверка готовности учащихся к уроку, организация внимания).
Деление по группам.
Вступительное слово учителя
Притча “Всё в твоих руках”
Когда-то давно, в одном городе, жил великий мудрец. Слава о его мудрости разнеслась далеко вокруг его родного города, люди издалека приходили к нему за советом. Но был в городе человек, завидующий его славе. Пришел он как-то на луг, поймал бабочку, посадил ее между сомкнутых ладоней и подумал: “Пойду-ка я к мудрецу и спрошу у него: скажи, о мудрейший, какая бабочка у меня в руках- живая или мертвая? Если он скажет мертвая, я открою ладони, бабочка улетит, если он скажет живая, я сомкну ладони и бабочка умрет. Вот тогда все поймут, кто из нас умнее.” Так все и получилось. Завистник пришел в город и спросил у мудреца: “Скажи, о мудрейший, какая бабочка у меня в руках- живая или мертвая?”Тогда мудрец, который был действительно умным человеком, сказал: “Всё в твоих руках”
Полная готовность класса и оборудования урока к работе; быстрое включение класса в деловой ритм, организация внимания всех учащихся

Четко и однозначно вместе с учащимися будут сформулированы цель урока и образовательные задачи урока.

Основная часть урока
Подготовка учащихся к активному, сознательному усвоению знаний.
Какие события в нашей жизни происходят последовательно? Приведите примеры таких явлений и событий.

Ответы учеников:
дни недели,
названия месяцев,
возраст человека,
номер счёта в банке,
последовательно происходит смена дня и ночи,
последовательно увеличивает скорость автомобиль, последовательно пронумерованы дома на улице и т. д.

Задание для групп:
Работа в группах, дифференцированный подход
Каждая группа получает свое задание. После его выполнения отчитывается каждая группа перед классом, начинают ученики 1 группы.

Задание для групп:
ученикам предлагается найти закономерности и показать их с помощью стрелки.

Задание для учеников 1 и 2 групп:
1 группа:
В порядке возрастания положительные нечетные числа
1/2; 1/3; 1/4; 1/5; 1/6

В порядке убывания правильные дроби с числителем, равным 1
5; 10; 15; 20; 25;

В порядке возрастания положительные числа, кратные 5
1; 3; 5; 7; 9;

2 группа: найдите закономерности
6; 8; 16; 18; 36;
Увеличение на 3

10; 19; 37; 73; 145;
Чередовать увеличение на 2 и увеличение в 2 раза

1; 4; 7; 10; 13;
Увеличение в 2 раза и уменьшение на 1

Ответы 1 группы:
В порядке возрастания положительные нечетные числа (1; 3; 5; 7; 9;)
В порядке убывания правильные дроби с числителем, равным 1 (1/2; 1/3; 1/4; 1/5; 1/6)
В порядке возрастания положительные числа, кратные 5 (5; 10; 15; 20; 25;)

Ответы 2 группы:
1; 4; 7; 10; 13; (Увеличение на 3)
10; 19; 37; 73; 145; (Увеличение в 2 раза и уменьшение на 1)
6; 8; 16; 18; 36; (Чередовать увеличение на 2 и увеличение в 2 раза)
Изучение нового материала
- Что ты понимаешь под словом четная?
- Приведи пример?
- Теперь скажи несколько четных чисел последовательно
- А теперь расскажи нам о не четных числа?
- назови последовательные не четные числа
МОЛОДЕЦ!
Числа, образующие последовательность, называют соответственно первым, вторым, третьим, и т. д., n-ным членами последовательности.
Обозначают члены последовательности так
а1; а2; а3; а4; аn;
Последовательности могут быть конечными и бесконечными, возрастающими и убывающими.

Работа на флипчарте
хn=3n+2, то
х5=3.5+2=17;
х45=3.45+2=137.
Рекуррентный способ
Формулу, выражающую любой член последовательности, начиная с некоторого, через предыдущие (один или несколько), называют рекуррентной (от латинского слова recurro– возвращаться).
Например, последовательность, заданную правилом
а1=1; аn+1= аn +3
можно записать с многоточием:
1; 4; 7; 10; 13;

Физминутка 1,2,3,4,5,6,7, ...

4. Закрепление изученного материала (парная работа, дифференцированный подход)
Каждая группа получает индивидуальное задание, которое выполняют самостоятельно. При выполнении заданий ребята обсуждают решение и записывают его в тетрадь.

Даны последовательности:
аn=n4 ; аn=(-1)nn2 ; аn=n +4; аn=-n-4; аn=2n -5; аn=3n -1.
Задание для учеников 1 группы: Последовательности заданны формулами. Впишите пропущенные члены последовательности:
1; ___; 81; ___; 625; ...
-1; 4; ___; ___; -25;
5; ___; ___; ___; 9;
___; -6; ___; ___ ; -9;
___; ___; 3; 11; ___;
2; 8; ___; ___; ___;
Задание:
Выписать первые пять членов последовательности, заданной формулой своего n-ого члена.
Задание для учеников группы:
Определите, какими числами являются члены этих последовательностей, заполните таблицу.

Положительные и отрицательные числа

Положительные числа

Отрицательные числа

Работа с учебникам № 148 , № 151

Проверочная работа
1.Последовательность задана формулой an=5n+2 . Чему равен её третий член?
а) 3 б)17 в) 12 г) 22
2 . Выпишите 5 первых членов последовательности, заданной формулой an=n-3
а) -3,-2,-1,0,1 б) -2,-1,0,1,2
в) 0,-2,-4,-16,-50 г) 1,2,3,4,5

3. Найдите сумму 6-ти первых членов числовой последовательности: 2,4,6,8,
а) 66 б) 36 в) 32 г) 42
4. Какая из перечисленных последовательностей является бесконечно убывающей:
а) б) 2,4,6,8,
в) г)

Ответы: 1) б 2) б 3) г 4) г

Живое общение с учителем

Учащиеся находят ответы на поставленные вопросы.

Учащиеся учатся анализировать и делать выводы.

Формируется знание как решить систему неравенств с одной переменной

Правильные ответы в процессе диалога, общения активность ученика

Учащиеся выполняют задание

Решают самостоятельно, проверка на слайдах.
Не будут бояться ошибок, наглядно на слайдах все станет ясно.

Www. Bilimland.kz

Ученики совещаются, работая в группе, консультируются с учителем, одаренными детьми

Ученики в парной работе совещаются и находят верные решения задания

Учащиеся оценивают работу другой группы, выставляют оценку. Результаты показывают, что изученный материал усвоен.
репродуктивная деятельность ученика – это, прежде всего, воспроизводящая по определенному алгоритму деятельность школьника, которая приводит к необходимому результату.

Рефлексия
Подведение итога
Итак, мы разобрали понятие последовательности и способы ее задания.
Приведите примеры числовой последовательности: конечной и бесконечной.
Какие способы задания последовательности вы знаете.
Какая формула называется рекуррентной?

Подвести итоги урока, отметить наиболее активных учащихся. Поблагодарить учащихся за работу на уроке.
Ученики на стикерах прилепляют записи,
о том чему они научились,
что нового они узнали,
как поняли урок,
понравилось ли урок,
как они чувствовали на уроке.

Домашнее задание.
9 №150, №152

Правильные ответы в процессе диалога, активность учащихся

Затруднений при выполнении домашнего задания не будет

Атырауская область
Индерский район
село Есбол
сш им Жамбыла
учитель математики
высшего категории,
сертифицированный учитель
I-го продвинутого уровня
Искакова Светлана Сламбековна

Урок № 32 Дата ____________

Алгебра

Класс: 9 «Б»

Тема: « Числовая последовательность и способы её задания».

Цель урока: учащиеся должны знать, что такое числовая последовательность; способы задания числовой последовательности; уметь различать различные способы задания числовых последовательностей.

Дидактические материалы: раздаточный материал, опорные конспекты.

Технические средства обучения: презентация по теме «Числовые последовательности».

Ход урока.

1.Организационный момент.

2.Постановка целей урока.

Сегодня на уроке вы, ребята, узнаете:

Что такое последовательность?

Какие виды последовательностей существуют?

Как задаётся числовая последовательность?

Научитесь записывать последовательность с помощью формулы и множества ее элементов.

Научитесь находить члены последовательности.

3.Работа над изучаемым материалом.

3.1. Подготовительный этап.

Ребята, давайте проверим ваши логические способности. Я называю несколько слов, а вы должны продолжить:

–понедельник, вторник,…..

– январь, февраль, март…;

– Глебова Л, Гановичев Е, Дряхлов В, Ибраева Г,…..(список класса);

–10,11,12,…99;

Из ответов ребят делается вывод, что вышеназванные задания – это последовательности, то есть какой-то упорядоченный ряд чисел или понятий, когда каждое число или понятие стоит строго на своем месте, и, если поменять местами члены, то последовательность нарушится (вторник, четверг, понедельник – это просто перечисление дней недели). Итак, тема урока – числовая последовательность.

3.1. Объяснение нового материала. (Демонстрационный материал)

Анализируя ответы учащихся, дать определение числовой последовательности и показать способы задания числовых последовательностей.

(Работа с учебником с. 66 – 67)

Определение 1. Функцию y = f(x), xN называют функцией натурального аргумента или числовой последовательностью и обозначают: y = f(n) или y 1 , y 2 , y 3 , ..., y n , ... или (y n).

В данном случае независимая переменная – натуральное число.

Чаще всего последовательности будем обозначать так: (а n ), (b n ), (с n ) и т.д.

Определение 2. Члены последовательности .

Элементы, образующие последовательность, называются членами последовательности.

Новые понятия: предыдущий и последующий член последовательности,

а 1 …а п. (1-ый и п-ый член последовательности)

Способы задания числовой последовательности.

Аналитический способ.

Любой n-й элемент последовательности можно определить с помощью формулы.(демонстрационный материал)

Разобрать примеры

Пример 1. Последовательность чётных чисел: y = 2n.

Пример 2. Последовательность квадрата натуральных чисел: y = n 2 ;

1, 4, 9, 16, 25, ..., n 2 , ... .

Пример 3. Стационарная последовательность: y = C;

C, C, C, ...,C, ... .

Частный случай: y = 5; 5, 5, 5, ..., 5, ... .

Пример 4 . Последовательность y = 2 n ;

2, 2 2 , 2 3 , 2 4 , ..., 2 n , ... .

Словесный способ.

Правила задания последовательности описываются словами, без указания формул или когда закономерности между элементами последовательности нет.

Пример 1. Приближения числа π.

Пример 2. Последовательность простых чисел: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, .... .

Пример 3. Последовательность чисел делящихся на 5.

Пример 2. Произвольный набор чисел: 1, 4, 12, 25, 26, 33, 39, ... .

Пример 3. Последовательность чётных чисел 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, ... .

Рекуррентный способ.

Рекуррентный способ заключается в том, что указывается правило, позволяющее вычислить n-й член последовательности, если указаны ее несколько первых членов (как минимум один первый член) и формула, позволяющая по предыдущим членам вычислить ее следующий член. Термин рекуррентный произошло от латинского слова recurrere , что означает возвращаться . При вычислении членов последовательности по этому правилу мы как бы все время возвращаемся назад, вычисляя следующий член на основе предыдущего. Особенностью этого способа является то, что для определения, например, 100-го члена последовательности необходимо сначала определить все предыдущие 99 членов.

Пример 1 . a 1 =a, a n+1 =a n +0,7. Пусть a 1 =5, тогда последовательность будет иметь вид: 5; 5,7; 6,4; 7,1; 7,8; 8,5; ... .

Пример 2. b 1 = b, b n +1 = ½ b n . Пусть b 1 =23, тогда последовательность будет иметь вид: 23; 11,5; 5,75; 2,875; ... .

Пример 3. Последовательность Фибоначчи. Эта последовательность легко задаётся рекуррентно: y 1 =1, y 2 =1,y n -2 +y n -1 , если n=3, 4, 5, 6, ... . Она будет иметь вид:

1, 1,2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ... . (п -ый член этой последовательности равен сумме двух предыдущих членов)

Аналитически последовательность Фибоначчи задать трудно, но возможно. Формула, по которой определяется любой элемент этой последовательности, выглядит так:

Дополнительная информация:

Итальянский купец Леонардо из Пизы (1180-1240), более известный под прозвищем Фибоначчи был значительным математиком средневековья. С помощью данной последовательности Фибоначчи определил число φ (фи); φ=1,618033989.

Графический способ

Члены последовательности можно изображать точками на координатной плоскости. Для этого по горизонтальной оси откладывают номер, а по вертикальной – значение соответствующего члена последовательности.

Для закрепления способов задания прошу привести несколько примеров последовательностей, которые задаются или словесным, или аналитическим, или рекуррентным способом.

Виды числовых последовательностей

( На перечисленных ниже последовательностях отрабатываются виды последовательностей ).

Работа с учебником стр.69-70

1) Возрастающая – если каждый член меньше следующего за ним, т.е. a n a n +1.

2) Убывающая – если каждый член больше следующего за ним, т.е. a n a n +1 .

3) Бесконечная.

4) Конечная.

5) Знакочередующаяся.

6) Постоянная (стационарная).

Возрастающую или убывающую последовательность называют монотонными.

3; 6; 9; 12; 15; 18;…

1. –1; 2; –3; 4; –5; …

   1, 4, 9, 16 ,…

   –1; 2; –3; 4; –5; 6; …

   3; 3; 3; 3; …; 3; … .

Работа с учебником: выполним устно №150, 159 стр.71, 72

3.2. Закрепление нового материала. Решение задач.

Для закрепления знаний выбираются примеры в зависимости от уровня подготовки учащихся.

Пример 1. Составить возможную формулу n-го элемента последовательности (y n):

а) 1, 3, 5, 7, 9, 11, ...;

б) 4, 8, 12, 16, 20, ...;

Решение.

а) Это последовательность нечётных чисел. Аналитически эту последовательность можно задать формулой y = 2n+1.

б) Это числовая последовательность, у которой последующий элемент больше предыдущего на 4. Аналитически эту последовательность можно задать формулой y = 4n.

Пример 2 . Выписать первые десять элементов последовательности, заданной рекуррентно: y 1 =1, y 2 =2, y n = y n -2 +y n -1 , если n = 3, 4, 5, 6, ... .

Решение.

Каждый последующий элемент этой последовательности равен сумме двух предыдущих элементов.

Пример 3. Последовательность (y n) задана рекуррентно: y 1 =1, y 2 =2,y n =5y n -1 - 6y n -2 . Задать эту последовательность аналитически.

Решение.

Найдём несколько первых элементов последовательности.

y 3 =5y 2 -6y 1 =10-6=4;

y 4 =5y 3 -6y 2 =20-12=8;

y 5 =5y 4 -6y 3 =40-24=16;

y 6 =5y 5 -6y 4 =80-48=32;

y 7 =5y 6 -6y 5 =160-96=64.

Получаем последовательность: 1; 2; 4; 8; 16; 32; 64; ..., которую можно представить в виде

2 0 ; 2 1 ; 2 2 ; 2 3 ; 2 4 ; 2 5 ; 2 6 ... .

n = 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7... .

Анализируя последовательность, получаем следующую закономерность: y = 2 n -1 .

Пример 4. Дана последовательность y n =24n+36-5n 2 .

а) Сколько в ней положительных членов?

б) Найти наибольший элемент последовательности.

в) Есть в данной последовательности наименьший элемент?

Данная числовая последовательность – это функция вида y = -5x 2 +24x+36, где x

а) Найдём значения функции, при которых -5x 2 +24x+360. Решим уравнение -5x 2 +24x+36=0.

D = b 2 -4ac=1296, X 1 =6, X 2 =-1,2.

Уравнение оси симметрии параболы y = -5x 2 +24x+36 можно найти по формуле x=, получим: x=2,4.

Неравенство -5x 2 +24x+360 выполняется при -1,2 В этом интервале находится пять натуральных чисел (1, 2, 3, 4, 5). Значит в заданной последовательности пять положительных элементов последовательности.

б) Наибольший элемент последовательности определяется методом подбора и он равен y 2 =64.

в) Наименьшего элемента нет.

3.4.Задания для самостоятельной работы

Обучающая цель : дать понятие и определение числовой последовательности, рассмотреть способы задания числовых последовательностей, решать упражнения.

Развивающая цель : развивать логическое мышление, познавательные навыки, техники вычисления, навыки сравнения при выборе формул, навыки учебного труда

Воспитательная цель : воспитание положительных мотивов к учебе, добросовестного отношения к труду, дисциплинированности.

Тип урока : урок закрепления метериала.

Оборудование : интерактивная доска, тестирующее установка ACTIVwote,ACTIVwand,ACTIVslate, раздаточный материал.

План урока

1. Организация урока.
2. Повторение теоретического материала. Фронтальный опрос. Историческая справка.
3. Закрепление: Решение упражнений по теме «Способы задания числовых последовательностей».
4. Проверка знаний. Тест
5. Домашнее задание.

Ход урока

I . Организационный момент.

II . Повторение теоретического материала.

1) Фронтальныйопрос.

1. Что называется числовой последовательностью?

Ответ : Множество чисел, элементы которого можно пронумеровать.

2. Приведи пример числовой последовательности.

Ответ :

2,4,6,8,10,…..
1,3,5,7,9,11,…..
3,6,9,12,15,….

3. Что называется членами числовой последовательности?

Ответ : Числа, составляющие числовую последовательность.

а 1 =2,а 2 =4,а 3 =6,а 4 =8,….
а 1 =1,а 2 =3,а 3 =5,а 4 =7,….
а 1 =3,а 2 =6,а 3 =9,а 4 =12,….

4. Что такое общий член числовой последовательности?

Ответ : ап называется общим членом последовательности,а саму последовательность коротко обозначают через {ап}.

5. Как обозначают числовую последовательность?

Ответ : Обычно числовую последовательность обозначают малыми буквами латинского алфавита с индексами, указывающими на номер этого члена в последовательности: а 1 ,а 2 ,а 3 ,а 4 ,….,а п,…

5. Когда числовую последовательность считаются заданной?

Ответ : Если мы можем указать любой член последовательности.

2) Историческая справка.

По словам математика Лейбница «кто хочет ограничиться настоящим без знания прошлого, тот никогда его не поймет».

ФИБОНАЧЧИ (Леонардо из Пизы)

Fibonacci (Leonardo of Pisa), ок . 1175–1250

Итальянский математик. Родился в Пизе, стал первым великим математиком Европы позднего Средневековья. В математику его привела практическая потребности установить деловые контакты. Он издавал свои книги по арифметике, алгебре и другим математическим дисциплинам. От мусульманских математиков он узнал о системе цифр, придуманной в Индии и уже принятой в арабском мире, и уверился в ее превосходстве (эти цифры были предшественниками современных арабских цифр).

Леонардо из Пизы, известный как Фибоначчи, был первым из великих математиков Европы позднего Средневековья. Будучи рожденным в Пизе в богатой купеческой семье, он пришел в математику благодаря сугубо практической потребности установить деловые контакты. В молодости Леонардо много путешествовал, сопровождая отца в деловых поездках. Например, мы знаем о его длительном пребывании в Византии и на Сицилии. Во время таких поездок он много общался с местными учеными.

Числовой ряд, носящий сегодня его имя, вырос из проблемы с кроликами, которую Фибоначчи изложил в своей книге «Liber abacci», написанной в 1202 году:

Человек посадил пару кроликов в загон, окруженный со всех сторон стеной. Сколько пар кроликов за год может произвести на свет эта пара, если известно, что каждый месяц, начиная со второго, каждая пара кроликов производит на свет одну пару?

Можете убедиться, что число пар в каждый из двенадцати последующих месяцев месяцев будет соответственно 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...

Иными словами, число пар кроликов создает ряд, каждый член в котором - сумма двух предыдущих. Он известен как ряд Фибоначчи , а сами числа - числа Фибоначчи . Оказывается, эта последовательность имеет множество интересных с точки зрения математики свойств. Вот пример: вы можете разделить линию на два сегмента, так что соотношение между большим и меньшим сегментом будет пропорционально соотношению между всей линией и большим сегментом. Этот коэффициент пропорциональности, приблизительно равный 1,618, известен как золотое сечение . В эпоху Возрождения считалось, что именно эта пропорция, соблюденная в архитектурных сооружениях, больше всего радует глаз. Если вы возьмете последовательные пары из ряда Фибоначчи и будете делить большее число из каждой пары на меньшее, ваш результат будет постепенно приближаться к золотому сечению.

С тех пор как Фибоначчи открыл свою последовательность, были найдены даже явления природы, в которых эта последовательность, похоже, играет немаловажную роль. Одно из них - филлотаксис (листорасположение) - правило, по которому располагаются, например, семечки в соцветии подсолнуха.Семечки у подсолнуха упорядочены в две спирали. Числа, обозначающие количество семечек в каждой из спиралей, являются членами удивительной математической последовательности.

Семечки упорядочены в два ряда спиралей, один из которых идет по часовой стрелке, другой против. И каково же число семян в каждом случае? 34 и 55.

Числа Фибоначчи 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...

Последовательность чисел, каждый член которой равен сумме двух предыдущих, имеет множество любопытных свойств.

III. Закрепление.

Работа по учебнику (цепочкой)

№343 Напишите первые пять членов последовательности.

1. а n =2 n +1/2 n

2. х n =3n2+2 n+1

3.

1. Решение:

а n =2 n +1/2 n

Ответ :

2. Решение:

n=1, x 1 =3*1 2 +2*1+1=3+2+1=6

n=2, x 2 =3*2 2 +2*2+1=3*4+4+1=12+5=17

n=3, x 3 =3*3 2 +2*3+1=27+6+1=34

n=4, x 4 =3*4 2 +2-4+1=3*16+8+1=48+9=57

n=5, x 5 =3*5 2 +2*5+1=3*25+10+1=75+11=86

Ответ : 6,17,34,57,86…….

3. Решение:

Ответ :

№344. Напишите формулу общего члена последовательности натуральных чисел, кратных 3.

Ответ : 0,3,6,9,12,15,.... 3n, а n =3n

№345. Напишите формулу общего члена последовательности натуральных чисел, кратных 7.

Ответ : 0,7,14,25,28,35,42.... 7n, а n =7n

№346 Напишите формулу общего члена последовательности натуральных чисел,которые при делении на 4 дают в остатке 1.

Ответ :5,9,13,17,21....... 4 n +1 , а n =4n+1

№347 Напишите формулу общего члена последовательности натуральных чисел,которые при делении на 5 дают в остатке 2.

Ответ : а n =5n+2, 7.12,17,22, 27,.... 5 n +2

№348 Напишите формулу общего члена последовательности.

На этом уроке мы начнем изучение прогрессий. Здесь мы познакомимся с числовой последовательностью и способами ее задания.

Вначале напомним определение и свойства функций числовых аргументов и рассмотрим частный случай функции, когда х принадлежит множеству натуральных чисел. Дадим определение числовой последовательности и приведем несколько примеров. Покажем аналитический способ задания последовательности через формулу ее n-го члена и рассмотрим несколько примеров на задание и определение последовательности. Далее рассмотрим словесное и рекуррентное задание последовательности.

Тема: Прогрессии

Урок: Числовая последовательность и способы ее задания

1. Повторение

Числовая последовательность , как мы увидим, это частный случай функции, поэтому вспомним определение функции.

Функцией называется закон, по которому каждому допустимому значению аргумента ставится в соответствие единственное значение функции.

Вот примеры известных функций.

Рис. 1. График функции

Допустимы все значения, кроме 0. Графиком этой функции является гипербола (см. Рис.1).

2.. Допустимы все значения, .

Рис. 2. График функции

График квадратичной функции - парабола, характерные точки тоже отмечены (см. Рис.2).

3..

Рис. 3. График функции

Допустимы все значения х. График линейной функции - прямая (см. Рис.3).

2. Определение числовой последовательности

Если х принимает только натуральные значения (), то имеем частный случай, а именно числовую последовательность.

Напомним, что натуральными являются числа 1, 2, 3, …, n, …

Функцию , где , называют функцией натурального аргумента, или числовой последовательностью, и обозначают следующим образом: или , или .

Поясним, что обозначает, например, запись .

Это значение функции, когда n=1, т. е. .

Это значение функции, когда n=2, т. е. и т. д. …

Это значение функции, когда аргумент равен n, т. е. .

3. Примеры последовательностей

1. - это формула общего члена. Задаем различные значения n, получаем различные значения у - членов последовательности.

Когда n=1; , когда n=2 и т. д., .

Числа являются членами заданной последовательности, а точки лежат на гиперболе - графике функции (см. Рис.4).

Рис. 4. График функции

Если n=1, то ; если n=2, то ; если n=3, то и т. д.

Числа являются членами заданной последовательности, а точки лежат на параболе - графике функции (см. Рис.5).

Рис. 5. График функции

Рис. 6. График функции

Если n=1, то ; если n=2, то ; если n=3, то и т. д.

Числа являются членами заданной последовательности, а точки лежат на прямой - графике функции (см. Рис.6).

4. Аналитический способ задания последовательности

Существует три способа задания последовательностей: аналитический, словесный и рекуррентный. Рассмотрим каждый из них подробно.

Последовательность задана аналитически, если указана формула ее n-го члена .

Рассмотрим несколько примеров.

1. Найти несколько членов последовательности, которая задана формулой n-го члена: (аналитический способ задания последовательности).

Решение. Если n=1, то ; если n=2, то ; если n=3, то и т. д.

Для заданной последовательности найдем и .

.

.

2. Рассмотрим последовательность, заданную формулой n-го члена: (аналитический способ задания последовательности).

Найдем несколько членов этой последовательности.

Если n=1, то ; если n=2, то ; если n=3, то и т. д.

Вообще нетрудно понять, что членами этой последовательности являются те числа, которые при делении на 4 дают в остатке 1.

а. Для заданной последовательности найти .

Решение: . Ответ: .

б. Даны два числа: 821, 1282. Являются ли эти числа членами заданной последовательности?

Для того чтобы число 821 было членом последовательности, необходимо, чтобы выполнялось равенство: или . Последнее равенство является уравнением относительно n. Если решением данного уравнения является натуральное число, то ответ положительный.

В данном случае это так. .

Ответ: да, 821 - член заданной последовательности, .

Переходим ко второму числу. Аналогичные рассуждения приводят нас к решению уравнения: .

Ответ: поскольку n не является натуральным числом, то число 1282 не является членом заданной последовательности.

Формулы, которые аналитически задают последовательность, могут быть самыми разными: простыми, сложными и т. д. Требование к ним одно: каждому значению n должно соответствовать единственное число.

3. Дано: последовательность задана следующей формулой .

Найти три первых члена последовательности.

, , .

Ответ: , , .

4. Являются ли числа членами последовательности ?

а. , т. е. . Решая это уравнение, получаем, что . Это натуральное число.

Ответ: первое заданное число является членом данной последовательности, а именно пятым ее членом.

б. , т. е. . Решая это уравнение, получаем, что . Это натуральное число.

Ответ: второе заданное число тоже является членом данной последовательности, а именно девяносто девятым ее членом.

5. Словесный способ задания последовательности

Мы рассмотрели аналитический способ задания числовой последовательности. Он удобный, распространенный, но не единственный.

Следующий способ - это словесное задание последовательности.

Последовательность, каждый ее член, возможность вычисления каждого ее члена можно задать словами, не обязательно формулами.

Пример 1. Последовательность простых чисел.

Напомним, что простое число - это такое натуральное число, которое имеет ровно два различных делителя: 1 и само это число. Простыми являются числа 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 и т. д.

Их бесчисленное множество. Еще Евклид доказал, что последовательность этих чисел бесконечна, т. е. не существует самого большого простого числа. Последовательность задана, каждый член можно вычислить, утомительно, но можно вычислить. Эта последовательность задана словесно. Формулы, увы, не удается подобрать.

Пример 2. Рассмотрим число =1,41421…

Это иррациональное число, десятичная его запись предусматривает бесконечное число цифр. Рассмотрим последовательность десятичных приближений числа по недостатку: 1; 1,4; 1,41; 1,414; 1,4142; и т. д.

Членов этой последовательности бесконечное множество, каждое из них можно вычислить. Задать эту последовательность формулой нельзя, поэтому описываем ее словесно.

6. Рекуррентный способ задания последовательности

Мы рассмотрели два способа задания числовой последовательности:

1. Аналитический способ, когда задается формула n-го члена.

2. Словесное задание последовательности.

И, наконец, существует рекуррентное задание последовательности, когда задаются правила вычисления n-го члена по предыдущим членам.

Рассмотрим

Пример 1. Последовательность Фибоначчи (13 век).

Историческая справка:

Леона́рдо Пиза́нский (около 1170 года, Пиза — около 1250 года) — первый крупный математик средневековой Европы. Наиболее известен под прозвищем Фибона́ччи (Fibonacci).

Значительную часть усвоенных им знаний он изложил в своей выдающейся «Книге абака» (Liber abaci, 1202 год; до наших дней сохранилась только дополненная рукопись 1228 года). Эта книга содержит почти все арифметические и алгебраические сведения того времени, изложенные с исключительной полнотой и глубиной. «Книга абака» резко возвышается над европейской арифметико-алгебраической литературой XII—XIV вв. разнообразием и силой методов, богатством задач, доказательностью изложения. Последующие математики широко черпали из неё как задачи, так и приёмы их решения. По первой книге многие поколения европейских математиков изучали индийскую позиционную систему счисления.

Задаются первые два члена и каждый последующий член - это сумма двух предыдущих

1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21; 34; 55; … - первые несколько членов последовательности Фибоначчи.

Это последовательность задана рекуррентно, n-й член зависит от двух предыдущих.

Пример 2.

В этой последовательности каждый последующий член больше предыдущего на 2. Такая последовательность называется арифметической прогрессией.

Числа 1, 3, 5, 7 …- первые несколько членов этой последовательности.

Приведем еще один пример рекуррентного задания последовательности.

Пример 3.

Последовательность задается следующим образом:

Каждый последующий член этой последовательности получается умножением предыдущего члена на одно и то же число q. Такая последовательность имеет специальное название - геометрическая прогрессия. Арифметическая и геометрическая прогрессии будут объектами нашего изучения на следующих уроках.

Найдем несколько членов указанной последовательности при b=2 и q=3.

Числа 2; 6; 18; 54; 162 … - первые несколько членов этой последовательности.

Интересно, что эту последовательность можно задать и аналитическим способом, т. е. можно подобрать формулу. В данном случае формула будет таковой .

Действительно: если n=1, то ; если n=2, то ; если n=3, то и т. д.

Таким образом, мы констатируем: одна и та же последовательность может быть задана и аналитически и рекуррентно.

7. Итог урока

Итак, мы рассмотрели, что такое числовая последовательность и способы её задания.

На следующем уроке мы познакомимся со свойствами числовых последовательностей.

1. Макарычев Ю. Н. и др. Алгебра 9 класс (учебник для средней школы).-М.: Просвещение, 1992.

2. Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков, К. И. Алгебра для 9 класса с углубл. изуч. математики.-М.: Мнемозина, 2003.

3. Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г Дополнительные главы к школьному учебнику алгебры 9 класса.-М.: Просвещение, 2002.

4. Галицкий М. Л., Гольдман А. М., Звавич Л. И. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубл. изуч. математики).-М.: Просвещение, 1996.

5. Мордкович А. Г. Алгебра 9 класс, учебник для общеобразовательных учреждекний. - М.: Мнемозина, 2002.

6. Мордкович А. Г. , Мишутина Т. Н., Тульчинская Е. Е. Алгебра 9 класс, задачник для общеобразовательных учреждекний. - М.: Мнемозина, 2002.

7. Глейзер Г. И. История математики в школе. 7-8 классы (пособие для учителей).-М.: Просвещение, 1983.

1. Раздел College. ru по математике.

2. Портал Естественных Наук.

3. Exponenta. ru Образовательный математический сайт.

1. № 331, 335, 338 (Макарычев Ю. Н. и др. Алгебра 9 класс).

2. № 12.4 (Галицкий М. Л., Гольдман А. М., Звавич Л. И. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов).