พิจารณาว่าเวกเตอร์นั้นขึ้นอยู่กับเชิงเส้นตรงหรือไม่ การพึ่งพาเชิงเส้นและความเป็นอิสระเชิงเส้นของระบบเวกเตอร์ เวกเตอร์ คุณสมบัติ และการกระทำกับเวกเตอร์

ภารกิจที่ 1ค้นหาว่าระบบเวกเตอร์มีความเป็นอิสระเชิงเส้นหรือไม่ ระบบของเวกเตอร์จะถูกระบุโดยเมทริกซ์ของระบบ ซึ่งคอลัมน์ประกอบด้วยพิกัดของเวกเตอร์

.

สารละลาย.ปล่อยให้ผลรวมเชิงเส้น เท่ากับศูนย์ เมื่อเขียนความเท่าเทียมกันนี้ในพิกัดแล้ว เราจะได้ระบบสมการต่อไปนี้:

.

ระบบสมการดังกล่าวเรียกว่าสามเหลี่ยม เธอมีทางออกเดียวเท่านั้น - ดังนั้นเวกเตอร์ เป็นอิสระเชิงเส้น

ภารกิจที่ 2ค้นหาว่าระบบเวกเตอร์มีความเป็นอิสระเชิงเส้นหรือไม่

.

สารละลาย.เวกเตอร์ เป็นอิสระเชิงเส้น (ดูปัญหาที่ 1) ให้เราพิสูจน์ว่าเวกเตอร์เป็นผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์ - สัมประสิทธิ์การขยายตัวของเวกเตอร์ ถูกกำหนดจากระบบสมการ

.

ระบบนี้มีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะตัวเช่นเดียวกับระบบสามเหลี่ยม

ดังนั้นระบบเวกเตอร์ ขึ้นอยู่กับเชิงเส้น

ความคิดเห็น- เมทริกซ์ชนิดเดียวกันกับในปัญหาที่ 1 เรียกว่า สามเหลี่ยม และในปัญหาที่ 2 – ก้าวเป็นรูปสามเหลี่ยม - คำถามเกี่ยวกับการพึ่งพาเชิงเส้นของระบบเวกเตอร์นั้นแก้ไขได้ง่ายถ้าเมทริกซ์ที่ประกอบด้วยพิกัดของเวกเตอร์เหล่านี้เป็นสามเหลี่ยมขั้น หากเมทริกซ์ไม่มีรูปแบบพิเศษให้ใช้ การแปลงสตริงเบื้องต้น เพื่อรักษาความสัมพันธ์เชิงเส้นระหว่างคอลัมน์ จึงสามารถลดให้เป็นรูปแบบสามเหลี่ยมขั้นบันไดได้

การแปลงสตริงเบื้องต้นเมทริกซ์ (EPS) การดำเนินการต่อไปนี้บนเมทริกซ์เรียกว่า:

1) การจัดเรียงสตริงใหม่

2) การคูณสตริงด้วยตัวเลขที่ไม่ใช่ศูนย์

3) เพิ่มสตริงอื่นลงในสตริงคูณด้วยตัวเลขใดก็ได้

ภารกิจที่ 3ค้นหาระบบย่อยอิสระเชิงเส้นสูงสุดและคำนวณอันดับของระบบเวกเตอร์

.

สารละลาย.ให้เราลดเมทริกซ์ของระบบโดยใช้ EPS ให้เป็นรูปแบบสามเหลี่ยมขั้นบันได เพื่ออธิบายขั้นตอนนี้ เราแสดงบรรทัดที่มีจำนวนของเมทริกซ์ที่จะแปลงด้วยสัญลักษณ์ คอลัมน์หลังลูกศรระบุการดำเนินการในแถวของเมทริกซ์ที่กำลังแปลงซึ่งจะต้องดำเนินการเพื่อให้ได้แถวของเมทริกซ์ใหม่

.

แน่นอนว่าสองคอลัมน์แรกของเมทริกซ์ผลลัพธ์มีความเป็นอิสระเชิงเส้น คอลัมน์ที่สามคือผลรวมเชิงเส้น และคอลัมน์ที่สี่ไม่ได้ขึ้นอยู่กับสองคอลัมน์แรก เวกเตอร์ เรียกว่าพื้นฐาน พวกมันสร้างระบบย่อยที่เป็นอิสระเชิงเส้นสูงสุดของระบบ และอันดับของระบบคือสาม

พื้นฐานพิกัด

ภารกิจที่ 4ค้นหาพื้นฐานและพิกัดของเวกเตอร์บนพื้นฐานนี้จากเซตของเวกเตอร์เรขาคณิตที่มีพิกัดเป็นไปตามเงื่อนไข .

สารละลาย- ฉากนี้เป็นเครื่องบินที่ผ่านจุดกำเนิด พื้นฐานตามอำเภอใจบนระนาบประกอบด้วยเวกเตอร์ที่ไม่ใช่คอลลิเนียร์สองตัว พิกัดของเวกเตอร์บนพื้นฐานที่เลือกถูกกำหนดโดยการแก้ระบบสมการเชิงเส้นที่สอดคล้องกัน

มีอีกวิธีหนึ่งในการแก้ปัญหานี้ เมื่อคุณสามารถค้นหาฐานโดยใช้พิกัดได้

พิกัด ช่องว่างไม่ใช่พิกัดบนระนาบ เนื่องจากมีความสัมพันธ์กันด้วยความสัมพันธ์ นั่นคือพวกเขาไม่เป็นอิสระ ตัวแปรอิสระและ (เรียกว่าอิสระ) จะกำหนดเวกเตอร์บนระนาบโดยไม่ซ้ำกัน ดังนั้นจึงสามารถเลือกเป็นพิกัดใน แล้วพื้นฐาน ประกอบด้วยเวกเตอร์ที่อยู่ในและสอดคล้องกับเซตของตัวแปรอิสระ และ , นั่นคือ .

ภารกิจที่ 5ค้นหาพื้นฐานและพิกัดของเวกเตอร์บนพื้นฐานนี้จากเซตของเวกเตอร์ทั้งหมดในอวกาศซึ่งมีพิกัดคี่เท่ากัน

สารละลาย- ให้เราเลือกพิกัดในอวกาศเช่นเดียวกับในปัญหาที่แล้ว

เพราะ แล้วตามด้วยตัวแปรอิสระ กำหนดเวกเตอร์โดยไม่ซ้ำกันจากและเป็นพิกัด พื้นฐานที่เกี่ยวข้องประกอบด้วยเวกเตอร์

ภารกิจที่ 6ค้นหาพื้นฐานและพิกัดของเวกเตอร์บนพื้นฐานนี้จากเซตของเมทริกซ์ทั้งหมดในแบบฟอร์ม , ที่ไหน – ตัวเลขที่กำหนดเอง

สารละลาย- เมทริกซ์แต่ละตัวจากสามารถแสดงได้ไม่ซ้ำกันในรูปแบบ:

ความสัมพันธ์นี้คือการขยายตัวของเวกเตอร์จากเทียบกับพื้นฐาน
พร้อมพิกัด .

ภารกิจที่ 7ค้นหามิติและพื้นฐานของเส้นตรงของระบบเวกเตอร์

.

สารละลาย.เมื่อใช้ EPS เราจะแปลงเมทริกซ์จากพิกัดของเวกเตอร์ของระบบเป็นรูปแบบสามเหลี่ยมขั้นบันได

.

คอลัมน์ เมทริกซ์สุดท้ายมีความเป็นอิสระเชิงเส้นและคอลัมน์ แสดงเป็นเส้นตรงผ่านพวกมัน ดังนั้นเวกเตอร์ เป็นพื้นฐาน , และ .

ความคิดเห็น- พื้นฐานใน ถูกเลือกอย่างคลุมเครือ ตัวอย่างเช่น เวกเตอร์ มาเป็นพื้นฐานด้วย .

อนุญาต ล – พื้นที่เชิงเส้นเหนือสนาม ร - อนุญาต А1, а2, …, อัน (*) ระบบจำกัดของเวกเตอร์จาก ล - เวกเตอร์ ใน = a1× A1 + a2× A2 + … + และ× หนึ่ง (16) เรียกว่า ผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์ ( *), หรือเขาบอกว่ามันคือเวกเตอร์ ใน แสดงเป็นเส้นตรงผ่านระบบเวกเตอร์ (*)

คำนิยาม 14. เรียกว่าระบบเวกเตอร์ (*) ขึ้นอยู่กับเชิงเส้น , ถ้าหากว่ามีเซตสัมประสิทธิ์ที่ไม่เป็นศูนย์ a1, a2, … , โดยที่ a1× A1 + a2× A2 + … + และ× หนึ่ง = 0. ถ้า a1× A1 + a2× A2 + … + และ× หนึ่ง = 0 Û a1 = a2 = … = an = 0 จากนั้นระบบ (*) จะถูกเรียก เป็นอิสระเชิงเส้น

คุณสมบัติของการพึ่งพาเชิงเส้นและความเป็นอิสระ

10. ถ้าระบบเวกเตอร์มีเวกเตอร์เป็นศูนย์ มันจะขึ้นอยู่กับเชิงเส้นตรง

แน่นอนถ้าอยู่ในระบบ (*) เวกเตอร์ A1 = 0, นั่นคือ 1× 0 + 0× A2 + … + 0 × อัน = 0 .

20. ถ้าระบบเวกเตอร์มีเวกเตอร์สัดส่วนสองตัว มันจะขึ้นอยู่กับเชิงเส้นตรง

อนุญาต A1 = ล×a2. แล้ว 1× A1 –ล× A2 + 0× A3 + … + 0× ก น= 0.

30. ระบบจำกัดของเวกเตอร์ (*) สำหรับ n ³ 2 จะขึ้นอยู่กับเชิงเส้นตรง ก็ต่อเมื่อเวกเตอร์อย่างน้อยหนึ่งตัวเป็นผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์ที่เหลืออยู่ของระบบนี้

Þ ให้ (*) เป็นอิสระเชิงเส้น จากนั้นจะมีชุดสัมประสิทธิ์ที่ไม่เป็นศูนย์ a1, a2, …, an โดยที่ a1× A1 + a2× A2 + … + และ× หนึ่ง = 0 . โดยไม่สูญเสียลักษณะทั่วไป เราสามารถสรุปได้ว่า a1 ¹ 0 แล้วก็มีอยู่ A1 = ×a2× A2 + … + ×× ก น. ดังนั้น, เวกเตอร์ A1 คือผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์ที่เหลือ

Ü ให้เวกเตอร์ตัวหนึ่ง (*) เป็นผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์ตัวอื่น เราสามารถสรุปได้ว่านี่คือเวกเตอร์ตัวแรก นั่นคือ A1 = บี2 A2+ … + พันล้าน ก N ดังนั้น (–1)× A1 + b2 A2+ … + พันล้าน ก น= 0 นั่นคือ (*) ขึ้นอยู่กับเชิงเส้น

ความคิดเห็น เมื่อใช้คุณสมบัติสุดท้าย เราสามารถกำหนดการพึ่งพาเชิงเส้นและความเป็นอิสระของระบบเวกเตอร์อนันต์ได้

คำนิยาม 15. ระบบเวกเตอร์ А1, а2, …, อัน , … (**) ถูกเรียก ขึ้นอยู่กับเชิงเส้น ถ้าเวกเตอร์อย่างน้อยหนึ่งตัวเป็นผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์อื่นจำนวนจำกัด มิฉะนั้นระบบ (**) จะถูกเรียก เป็นอิสระเชิงเส้น

40. ระบบจำกัดของเวกเตอร์มีความเป็นอิสระเชิงเส้น ถ้าหากว่าไม่มีเวกเตอร์ใดเลยที่สามารถแสดงเป็นเส้นตรงในรูปของเวกเตอร์ที่เหลืออยู่ได้

50. ถ้าระบบเวกเตอร์เป็นอิสระเชิงเส้น ระบบย่อยใดๆ ของมันก็จะเป็นอิสระเชิงเส้นเช่นกัน

60. ถ้าระบบย่อยบางระบบของระบบเวกเตอร์ที่กำหนดนั้นขึ้นอยู่กับเชิงเส้น ดังนั้นทั้งระบบก็ขึ้นอยู่กับเชิงเส้นด้วย

ให้ระบบเวกเตอร์สองระบบได้รับ А1, а2, …, อัน , … (16) และ В1, В2, …, Вs, … (17) หากเวกเตอร์ของระบบ (16) แต่ละตัวสามารถแสดงเป็นผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์จำนวนจำกัดของระบบ (17) แล้วระบบ (17) ก็จะถูกแสดงเป็นเส้นตรงผ่านระบบ (16)

คำนิยาม 16. เรียกระบบเวกเตอร์ทั้งสองนี้ว่า เทียบเท่า ถ้าแต่ละรายการแสดงเป็นเส้นตรงผ่านอีกรายการหนึ่ง

ทฤษฎีบท 9 (ทฤษฎีบทการพึ่งพาเชิงเส้นพื้นฐาน)

ช่างมัน – สองระบบจำกัดของเวกเตอร์จาก ล - ถ้าระบบแรกเป็นอิสระเชิงเส้นและแสดงเป็นเส้นตรงผ่านระบบที่สอง ดังนั้น เอ็นปอนด์

การพิสูจน์.เรามาแกล้งทำเป็นว่า เอ็น> ส.ตามเงื่อนไขของทฤษฎีบท

(21)

เนื่องจากระบบมีความเป็นอิสระเชิงเส้น ความเท่าเทียมกัน (18) Û X1=x2=…=xยังไม่มีข้อความ= 0.ให้เราแทนที่นิพจน์ของเวกเตอร์ที่นี่: …+=0 (19) ดังนั้น (20) เงื่อนไข (18), (19) และ (20) เทียบเท่ากันอย่างเห็นได้ชัด แต่ (18) จะพอใจก็ต่อเมื่อ X1=x2=…=xยังไม่มีข้อความ= 0.มาดูกันว่าเมื่อใดที่ความเสมอภาค (20) เป็นจริง ถ้าสัมประสิทธิ์ทั้งหมดเป็นศูนย์ แสดงว่ามันเป็นจริงอย่างเห็นได้ชัด เมื่อเท่ากับศูนย์เราจะได้ระบบ (21) เนื่องจากระบบนี้มีศูนย์แล้ว

ข้อต่อ เนื่องจากจำนวนสมการมากกว่าจำนวนไม่ทราบ ระบบจึงมีคำตอบมากมายนับไม่ถ้วน ดังนั้นจึงมีค่าไม่เป็นศูนย์ X10, x20, …, xN0- สำหรับค่าเหล่านี้ ความเท่าเทียมกัน (18) จะเป็นจริง ซึ่งขัดแย้งกับข้อเท็จจริงที่ว่าระบบเวกเตอร์มีความเป็นอิสระเชิงเส้น ดังนั้นสมมติฐานของเราจึงผิด เพราะฉะนั้น, เอ็นปอนด์

ผลที่ตามมาหากระบบเวกเตอร์ที่เทียบเท่ากันสองระบบมีขอบเขตจำกัดและเป็นอิสระเชิงเส้น ระบบทั้งสองจะมีจำนวนเวกเตอร์เท่ากัน

คำนิยาม 17. เรียกว่าระบบเวกเตอร์ ระบบเวกเตอร์อิสระเชิงเส้นตรงสูงสุด พื้นที่เชิงเส้น ล ถ้ามันเป็นอิสระเชิงเส้น แต่เมื่อบวกกับเวกเตอร์ใดๆ จาก ล ซึ่งไม่รวมอยู่ในระบบนี้ แต่จะกลายเป็นแบบพึ่งพาเชิงเส้น

ทฤษฎีบท 10 ระบบเวกเตอร์เชิงเส้นสูงสุดอันจำกัดสูงสุดสองตัวใดๆ ล มีเวกเตอร์จำนวนเท่ากัน

การพิสูจน์ตามมาจากข้อเท็จจริงที่ว่าระบบเวกเตอร์อิสระเชิงเส้นสูงสุดสองตัวใด ๆ มีค่าเท่ากัน .

มันง่ายที่จะพิสูจน์ว่าระบบเวกเตอร์อวกาศใดๆ ที่มีความเป็นอิสระเชิงเส้น ล สามารถขยายเป็นระบบเวกเตอร์เชิงเส้นตรงสูงสุดในพื้นที่นี้ได้

ตัวอย่าง:

1. ในชุดของเวกเตอร์เรขาคณิตเชิงคอลลิเนียร์ทั้งหมด ระบบใดๆ ที่ประกอบด้วยเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์หนึ่งตัวจะเป็นอิสระเชิงเส้นสูงสุด

2. ในชุดของเวกเตอร์เรขาคณิตโคพลานาร์ทั้งหมด เวกเตอร์ที่ไม่ใช่คอลลิเนียร์สองตัวใดๆ จะประกอบกันเป็นระบบอิสระเชิงเส้นสูงสุด

3. ในเซตของเวกเตอร์เรขาคณิตที่เป็นไปได้ทั้งหมดของปริภูมิยูคลิดสามมิติ ระบบใดๆ ของเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ระนาบระนาบทั้งสามจะมีความเป็นอิสระเชิงเส้นสูงสุด

4. ในชุดพหุนามทั้งหมด องศาจะต้องไม่สูงกว่า เอ็นด้วยสัมประสิทธิ์จำนวนจริง (เชิงซ้อน) ซึ่งเป็นระบบพหุนาม 1, x, x2, … , xnมีความเป็นอิสระเชิงเส้นสูงสุด

5. ในชุดพหุนามทั้งหมดที่มีค่าสัมประสิทธิ์จำนวนจริง (เชิงซ้อน) ตัวอย่างของระบบอิสระเชิงเส้นสูงสุดคือ

ก) 1, x, x2, ... , xn, ... ;

ข) 1, (1 – x), (1 – x)2, … , (1 – x)เอ็น...

6. เซตของเมทริกซ์มิติ ม´ เอ็นเป็นปริภูมิเชิงเส้น (ตรวจสอบสิ่งนี้) ตัวอย่างของระบบอิสระเชิงเส้นสูงสุดในพื้นที่นี้คือระบบเมทริกซ์ E11= , E12 =, …, อีมน = .

ให้ระบบเวกเตอร์ได้รับมา C1, c2, …, อ้างอิง - เรียกว่าระบบย่อยของเวกเตอร์จาก (*) อิสระเชิงเส้นสูงสุด ระบบย่อยระบบ ( *) ถ้ามันเป็นอิสระเชิงเส้น แต่เมื่อบวกเวกเตอร์อื่นใดของระบบนี้เข้าไป มันจะกลายมาเป็นเชิงเส้นตรง ถ้าระบบ (*) มีจำนวนจำกัด ดังนั้นระบบย่อยอิสระเชิงเส้นสูงสุดใดๆ ของระบบจะมีจำนวนเวกเตอร์เท่ากัน (พิสูจน์ด้วยตัวเอง). เรียกจำนวนเวกเตอร์ในระบบย่อยอิสระเชิงเส้นสูงสุดของระบบ (*) อันดับ ระบบนี้. แน่นอนว่าระบบเวกเตอร์ที่เทียบเท่ามีอันดับเท่ากัน

แนะนำโดยเรา การดำเนินการเชิงเส้นบนเวกเตอร์ทำให้สามารถสร้างสำนวนต่างๆได้ ปริมาณเวกเตอร์และแปลงพวกมันโดยใช้คุณสมบัติที่ตั้งไว้สำหรับการดำเนินการเหล่านี้

จากชุดเวกเตอร์ที่กำหนด a 1, ..., n คุณสามารถสร้างนิพจน์ของแบบฟอร์มได้

โดยที่ 1, ... และ n เป็นจำนวนจริงใดๆ สำนวนนี้เรียกว่า ผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์ก 1, ..., น. ตัวเลข α i, i = 1, n เป็นตัวแทน ค่าสัมประสิทธิ์การรวมเชิงเส้น- เซตของเวกเตอร์ก็เรียกอีกอย่างว่า ระบบเวกเตอร์.

เนื่องมาจากแนวคิดที่แนะนำเกี่ยวกับผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์ ปัญหาเกิดขึ้นจากการอธิบายเซตของเวกเตอร์ที่สามารถเขียนเป็นผลรวมเชิงเส้นของระบบเวกเตอร์ a 1, ..., a n ที่กำหนดได้ นอกจากนี้ยังมีคำถามตามธรรมชาติเกี่ยวกับเงื่อนไขที่มีการแทนเวกเตอร์ในรูปแบบของผลรวมเชิงเส้น และเกี่ยวกับเอกลักษณ์ของการแทนดังกล่าว

คำจำกัดความ 2.1เวกเตอร์ a 1, ... และ n ถูกเรียก ขึ้นอยู่กับเชิงเส้นถ้ามีเซตสัมประสิทธิ์ α 1 , ... , α n แบบนั้น

α 1 a 1 + ... + α n а n = 0 (2.2)

และอย่างน้อยหนึ่งในสัมประสิทธิ์เหล่านี้ไม่เป็นศูนย์ หากไม่มีชุดสัมประสิทธิ์ที่ระบุ ระบบจะเรียกเวกเตอร์ เป็นอิสระเชิงเส้น.

ถ้า α 1 = ... = α n = 0 ก็เห็นได้ชัดว่า α 1 a 1 + ... + α n an = 0 เมื่อคำนึงถึงสิ่งนี้ เราสามารถพูดได้ว่า: เวกเตอร์ a 1, ... และ n มีความเป็นอิสระเชิงเส้น หากตามมาจากความเท่าเทียมกัน (2.2) โดยสัมประสิทธิ์ทั้งหมด α 1 , ... , α n เท่ากับศูนย์

ทฤษฎีบทต่อไปนี้อธิบายว่าทำไมแนวคิดใหม่จึงเรียกว่าคำว่า "การพึ่งพา" (หรือ "ความเป็นอิสระ") และให้เกณฑ์ง่ายๆ สำหรับการพึ่งพาเชิงเส้น

ทฤษฎีบท 2.1เพื่อให้เวกเตอร์ a 1, ... และ n, n > 1 เป็นอิสระเชิงเส้น จำเป็นและเพียงพอที่เวกเตอร์ a 1, ... และ n, n > 1 จะเป็นผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์ตัวอื่นๆ ร่วมกัน

◄ ความจำเป็น ให้เราสมมุติว่าเวกเตอร์ a 1, ... และ n มีความสัมพันธ์เชิงเส้นตรง ตามคำจำกัดความ 2.1 ของการพึ่งพาเชิงเส้น ในความเท่าเทียมกัน (2.2) ทางด้านซ้าย จะมีค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่เป็นศูนย์อย่างน้อยหนึ่งตัว เช่น α 1 ปล่อยให้เทอมแรกอยู่ทางด้านซ้ายของความเสมอภาค เราจะย้ายส่วนที่เหลือไปทางด้านขวาโดยเปลี่ยนเครื่องหมายตามปกติ เราได้หารความเท่าเทียมกันที่เกิดขึ้นด้วย α 1

ก 1 =-α 2 /α 1 ⋅ a 2 - ... - α n /α 1 ⋅ n

เหล่านั้น. การแทนเวกเตอร์ a 1 เป็นผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์ที่เหลือ a 2, ..., a n

ความเพียงพอ ตัวอย่างเช่น สมมุติว่าเวกเตอร์ตัวแรก a 1 สามารถแสดงเป็นผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์ที่เหลือได้: a 1 = β 2 a 2 + ... + β n a n การโอนเงื่อนไขทั้งหมดจากด้านขวาไปด้านซ้ายเราจะได้ 1 - β 2 a 2 - ... - β n a n = 0 เช่น ผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์ a 1, ..., n ที่มีค่าสัมประสิทธิ์ α 1 = 1, α 2 = - β 2, ..., α n = - β n เท่ากับ เวกเตอร์เป็นศูนย์ในการรวมกันเชิงเส้นนี้ ค่าสัมประสิทธิ์ทั้งหมดไม่ได้เป็นศูนย์ ตามคำจำกัดความ 2.1 เวกเตอร์ a 1, ... และ n จะขึ้นอยู่กับเชิงเส้นตรง

คำจำกัดความและเกณฑ์สำหรับการพึ่งพาเชิงเส้นได้รับการกำหนดขึ้นเพื่อบ่งบอกถึงการมีอยู่ของเวกเตอร์สองตัวขึ้นไป อย่างไรก็ตาม เรายังสามารถพูดถึงการพึ่งพาเชิงเส้นของเวกเตอร์ตัวหนึ่งได้ด้วย เพื่อให้ตระหนักถึงความเป็นไปได้นี้ แทนที่จะพูดว่า “เวกเตอร์ขึ้นอยู่กับเชิงเส้น” คุณต้องพูดว่า “ระบบของเวกเตอร์นั้นขึ้นอยู่กับเชิงเส้น” ง่ายที่จะเห็นว่าสำนวน "ระบบของเวกเตอร์หนึ่งตัวขึ้นอยู่กับเชิงเส้นตรง" หมายความว่าเวกเตอร์ตัวเดียวนี้เป็นศูนย์ (ในการรวมเชิงเส้นจะมีค่าสัมประสิทธิ์เพียงตัวเดียวเท่านั้น และไม่ควรเท่ากับศูนย์)

แนวคิดของการพึ่งพาเชิงเส้นมีการตีความทางเรขาคณิตอย่างง่าย ข้อความสามข้อต่อไปนี้ชี้แจงการตีความนี้

ทฤษฎีบท 2.2เวกเตอร์สองตัวนั้นขึ้นอยู่กับเชิงเส้นตรงก็ต่อเมื่อพวกมันเท่านั้น คอลลิเนียร์

◄ ถ้าเวกเตอร์ a และ b ขึ้นกับเชิงเส้นตรง แล้วเวกเตอร์ตัวใดตัวหนึ่ง เช่น a จะถูกแสดงผ่านอีกตัวหนึ่ง นั่นคือ a = แลมบ์ สำหรับจำนวนจริง แลมบ์ ตามคำจำกัดความ 1.7 ทำงานเวกเตอร์ต่อจำนวน เวกเตอร์ a และ b เป็นเส้นตรง

ให้เวกเตอร์ a กับ b เป็นเส้นตรงกัน หากทั้งคู่เป็นศูนย์ จะเห็นได้ชัดว่าพวกมันขึ้นอยู่กับเชิงเส้น เนื่องจากผลรวมเชิงเส้นใดๆ ของพวกมันจะเท่ากับเวกเตอร์ศูนย์ ให้เวกเตอร์ตัวใดตัวหนึ่งไม่เท่ากับ 0 เช่น เวกเตอร์ b ให้เราแสดงด้วย แล อัตราส่วนของความยาวเวกเตอร์: แล = |a|/|b| เวกเตอร์คอลลิเนียร์สามารถเป็นได้ ทิศทางเดียวหรือ กำกับตรงกันข้าม- ในกรณีหลังนี้ เราเปลี่ยนเครื่องหมายของ γ จากนั้น เมื่อตรวจสอบคำจำกัดความ 1.7 เราจึงมั่นใจว่า a = แลมบ์ ตามทฤษฎีบท 2.1 เวกเตอร์ a และ b มีความสัมพันธ์เชิงเส้นตรง

หมายเหตุ 2.1.ในกรณีของเวกเตอร์สองตัว โดยคำนึงถึงเกณฑ์ของการพึ่งพาเชิงเส้น ทฤษฎีบทที่พิสูจน์แล้วสามารถจัดรูปแบบใหม่ได้ดังต่อไปนี้ เวกเตอร์สองตัวอยู่ในแนวเดียวกันก็ต่อเมื่อหนึ่งในนั้นแสดงเป็นผลคูณของอีกเวกเตอร์หนึ่งด้วยตัวเลข นี่เป็นเกณฑ์ที่สะดวกสำหรับความเป็นเส้นตรงของเวกเตอร์สองตัว

ทฤษฎีบท 2.3เวกเตอร์สามตัวขึ้นอยู่กับเชิงเส้นตรงถ้าพวกมันเท่านั้น เครื่องบินร่วม.

◄ ถ้าเวกเตอร์สามตัว a, b, c ขึ้นต่อกันเชิงเส้น ดังนั้นตามทฤษฎีบท 2.1 หนึ่งในนั้น เช่น a จะเป็นผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์ตัวอื่นๆ: a = βb + γc ให้เรารวมต้นกำเนิดของเวกเตอร์ b และ c ที่จุด A จากนั้นเวกเตอร์ βb, γс จะมีจุดกำเนิดร่วมกันที่จุด A และตาม ตามกฎสี่เหลี่ยมด้านขนาน ผลรวมของพวกเขาคือเหล่านั้น. เวกเตอร์ a จะเป็นเวกเตอร์ที่มีจุดกำเนิด A และ ตอนจบซึ่งเป็นจุดยอดของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่สร้างจากเวกเตอร์ส่วนประกอบ ดังนั้น เวกเตอร์ทั้งหมดจึงอยู่ในระนาบเดียวกัน นั่นคือโคพลานาร์

ให้เวกเตอร์ a, b, c เป็นระนาบเดียวกัน ถ้าเวกเตอร์ตัวใดตัวหนึ่งเป็นศูนย์ ก็ชัดเจนว่ามันจะเป็นผลรวมเชิงเส้นของตัวอื่นๆ ก็เพียงพอที่จะรับสัมประสิทธิ์ทั้งหมดของชุดค่าผสมเชิงเส้นเท่ากับศูนย์ ดังนั้นเราจึงสรุปได้ว่าเวกเตอร์ทั้งสามนั้นไม่เป็นศูนย์ เข้ากันได้ เริ่มของเวกเตอร์เหล่านี้ที่จุดร่วม O ให้ปลายของพวกมันเป็นจุด A, B, C ตามลำดับ (รูปที่ 2.1) ผ่านจุด C เราวาดเส้นขนานกับเส้นที่ผ่านคู่ของจุด O, A และ O, B การกำหนดจุดตัดเป็น A" และ B" เราจะได้รูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน OA"CB" ดังนั้น OC" = OA" + OB" เวกเตอร์ OA" และเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์ a = OA เป็นเส้นตรง ดังนั้นเวกเตอร์แรกจึงสามารถหาได้โดยการคูณจำนวนวินาทีด้วยจำนวนจริง α:OA" = αOA ในทำนองเดียวกัน OB" = βOB, β ∈ R ด้วยเหตุนี้ เราจึงได้ OC" = α OA + βOB นั่นคือเวกเตอร์ c เป็นผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์ a และ b ตามทฤษฎีบท 2.1 เวกเตอร์ a, b, c ขึ้นกับเชิงเส้นตรง

ทฤษฎีบท 2.4เวกเตอร์สี่ตัวใดๆ ก็ตามขึ้นอยู่กับเชิงเส้นตรง

◄ เราดำเนินการพิสูจน์ตามรูปแบบเดียวกับในทฤษฎีบท 2.3 พิจารณาเวกเตอร์สี่ตัว a, b, c และ d ตามใจชอบ ถ้าหนึ่งในสี่เวกเตอร์เป็นศูนย์ หรือในจำนวนนั้นมีเวกเตอร์คอลลิเนียร์สองตัว หรือเวกเตอร์สามในสี่เป็นโคพลานาร์ แล้วเวกเตอร์สี่ตัวนี้จะขึ้นอยู่กับเชิงเส้นตรง ตัวอย่างเช่น หากเวกเตอร์ a และ b เป็นเส้นตรง เราก็สามารถสร้างผลรวมเชิงเส้นของพวกมัน αa + βb = 0 ด้วยสัมประสิทธิ์ที่ไม่เป็นศูนย์ จากนั้นจึงบวกเวกเตอร์สองตัวที่เหลือเข้ากับผลรวมนี้ โดยนำศูนย์เป็นสัมประสิทธิ์ เราได้ผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์สี่ตัวเท่ากับ 0 ซึ่งมีค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่เป็นศูนย์

ดังนั้น เราสามารถสรุปได้ว่าในบรรดาเวกเตอร์สี่ตัวที่เลือกนั้น ไม่มีเวกเตอร์ใดที่เป็นศูนย์ ไม่มีสองตัวใดที่เป็นเส้นตรง และไม่มีสามตัวใดที่เป็นระนาบเดียวกัน ให้เราเลือกจุด O เป็นจุดเริ่มต้นร่วมกัน จากนั้นจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ a, b, c, d จะเป็นบางจุด A, B, C, D (รูปที่ 2.2) ผ่านจุด D เราวาดระนาบสามระนาบขนานกับระนาบ OBC, OCA, OAB และให้ A", B", C" เป็นจุดตัดของระนาบเหล่านี้ด้วยเส้นตรง OA, OB, OS ตามลำดับ เราได้รับ OA" C "B" C" B"DA" ที่ขนานกัน และเวกเตอร์ a, b, c อยู่บนขอบของมันที่โผล่ออกมาจากจุดยอด O เนื่องจากรูปสี่เหลี่ยม OC"DC" เป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน ดังนั้น OD = OC" + OC " ในทางกลับกัน ส่วน OC" จะเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน OA"C"B" ดังนั้น OC" = OA" + OB" และ OD = OA" + OB" + OC" .

ยังคงเป็นที่น่าสังเกตว่าคู่ของเวกเตอร์ OA ≠ 0 และ OA" , OB ≠ 0 และ OB" , OC ≠ 0 และ OC" เป็นเส้นตรง ดังนั้นจึงเป็นไปได้ที่จะเลือกค่าสัมประสิทธิ์ α, β, γ เพื่อให้ OA" = αOA , OB" = βOB และ OC" = γOC ในที่สุดเราก็ได้ OD = αOA + βOB + γOC ดังนั้น เวกเตอร์ OD จะถูกแสดงผ่านเวกเตอร์อีกสามตัว และเวกเตอร์ทั้งสี่ตัวตามทฤษฎีบท 2.1 นั้นขึ้นอยู่กับเชิงเส้นตรง

ก 1 = { 3, 5, 1 , 4 }, ก 2 = { –2, 1, -5 , -7 }, ก 3 = { -1, –2, 0, –1 }.

สารละลาย.เรากำลังมองหาคำตอบทั่วไปสำหรับระบบสมการ

ก 1 x 1 + ก 2 x 2 + ก 3 x 3 = Θ

วิธีเกาส์ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เราเขียนระบบเอกพันธ์นี้ในพิกัด:

เมทริกซ์ระบบ

ระบบที่อนุญาตมีรูปแบบ: (อาร์ เอ = 2, n= 3) ระบบให้ความร่วมมือและไม่แน่นอน วิธีแก้ปัญหาทั่วไป ( x 2 – ตัวแปรอิสระ): x 3 = 13x 2 ; 3x 1 – 2x 2 – 13x 2 = 0 => x 1 = 5x 2 => เอ็กซ์โอ = . ตัวอย่างเช่น การมีอยู่ของสารละลายเฉพาะที่ไม่เป็นศูนย์ บ่งชี้ว่าเวกเตอร์ ก 1 , ก 2 , ก 3 ขึ้นอยู่กับเชิงเส้น

ตัวอย่างที่ 2

ค้นหาว่าระบบเวกเตอร์ที่กำหนดนั้นขึ้นอยู่กับเชิงเส้นหรือเป็นอิสระเชิงเส้น:

1. ก 1 = { -20, -15, - 4 }, ก 2 = { –7, -2, -4 }, ก 3 = { 3, –1, –2 }.

สารละลาย.พิจารณาระบบสมการเอกพันธ์ ก 1 x 1 + ก 2 x 2 + ก 3 x 3 = Θ

หรือในรูปแบบขยาย (ตามพิกัด)

ระบบเป็นเนื้อเดียวกัน ถ้าไม่เสื่อมก็มีวิธีแก้ไขเฉพาะตัว ในกรณีของระบบเอกพันธ์ จะมีวิธีแก้ปัญหาเป็นศูนย์ (เล็กน้อย) ซึ่งหมายความว่าในกรณีนี้ ระบบของเวกเตอร์เป็นอิสระจากกัน หากระบบเสื่อมลง ก็จะมีวิธีแก้ปัญหาที่ไม่เป็นศูนย์ ดังนั้นจึงขึ้นอยู่กับ

เราตรวจสอบระบบเพื่อความเสื่อม:

= –80 – 28 + 180 – 48 + 80 – 210 = – 106 ≠ 0.

ระบบไม่เสื่อมและด้วยเหตุนี้พาหะ ก 1 , ก 2 , ก 3 เป็นอิสระเชิงเส้น

งานค้นหาว่าระบบเวกเตอร์ที่กำหนดนั้นขึ้นอยู่กับเชิงเส้นหรือเป็นอิสระเชิงเส้น:

1. ก 1 = { -4, 2, 8 }, ก 2 = { 14, -7, -28 }.

2. ก 1 = { 2, -1, 3, 5 }, ก 2 = { 6, -3, 3, 15 }.

3. ก 1 = { -7, 5, 19 }, ก 2 = { -5, 7 , -7 }, ก 3 = { -8, 7, 14 }.

4. ก 1 = { 1, 2, -2 }, ก 2 = { 0, -1, 4 }, ก 3 = { 2, -3, 3 }.

5. ก 1 = { 1, 8 , -1 }, ก 2 = { -2, 3, 3 }, ก 3 = { 4, -11, 9 }.

6. ก 1 = { 1, 2 , 3 }, ก 2 = { 2, -1 , 1 }, ก 3 = { 1, 3, 4 }.

7. ก 1 = {0, 1, 1 , 0}, ก 2 = {1, 1 , 3, 1}, ก 3 = {1, 3, 5, 1}, ก 4 = {0, 1, 1, -2}.

8. ก 1 = {-1, 7, 1 , -2}, ก 2 = {2, 3 , 2, 1}, ก 3 = {4, 4, 4, -3}, ก 4 = {1, 6, -11, 1}.

9. จงพิสูจน์ว่าระบบเวกเตอร์จะขึ้นอยู่กับเชิงเส้นตรงถ้ามี:

ก) เวกเตอร์สองตัวที่เท่ากัน;

b) เวกเตอร์สัดส่วนสองตัว

การพึ่งพาเชิงเส้นของเวกเตอร์

เมื่อแก้ไขปัญหาต่าง ๆ ตามกฎแล้วเราจะต้องไม่จัดการกับเวกเตอร์ตัวเดียว แต่ต้องจัดการกับเวกเตอร์บางชุดที่มีมิติเดียวกัน มวลรวมดังกล่าวเรียกว่า ระบบเวกเตอร์และแสดงถึง

คำนิยาม.ผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์เรียกว่าเวกเตอร์ของแบบฟอร์ม

จำนวนจริงอยู่ที่ไหน เวกเตอร์ยังกล่าวได้ว่าแสดงเป็นเส้นตรงในรูปของเวกเตอร์หรือสลายตัวในเวกเตอร์เหล่านี้

ตัวอย่างเช่น ให้กำหนดเวกเตอร์สามตัว: , , . ผลรวมเชิงเส้นที่มีค่าสัมประสิทธิ์ 2, 3 และ 4 ตามลำดับคือเวกเตอร์

คำนิยาม.เซตของผลรวมเชิงเส้นที่เป็นไปได้ทั้งหมดของระบบเวกเตอร์เรียกว่าสแปนเชิงเส้นของระบบนี้

คำนิยาม.เรียกว่าระบบเวกเตอร์ที่ไม่เป็นศูนย์ ขึ้นอยู่กับเชิงเส้นถ้ามีตัวเลขที่ไม่เท่ากับศูนย์พร้อมกัน ดังนั้นผลรวมเชิงเส้นของระบบที่กำหนดกับตัวเลขที่ระบุจะเท่ากับเวกเตอร์ศูนย์:

หากความเท่าเทียมกันสุดท้ายสำหรับระบบเวกเตอร์ที่กำหนดนั้นเป็นไปได้สำหรับ เท่านั้น ระบบของเวกเตอร์นี้จะถูกเรียก เป็นอิสระเชิงเส้น.

ตัวอย่างเช่น ระบบของเวกเตอร์สองตัวมีความเป็นอิสระเชิงเส้น ระบบของเวกเตอร์สองตัว และขึ้นอยู่กับเชิงเส้น เนื่องจาก .

ปล่อยให้ระบบเวกเตอร์ (19) เป็นแบบเชิงเส้นตรง ให้เราเลือกคำศัพท์เป็นผลรวม (20) ซึ่งสัมประสิทธิ์เป็น และแสดงผ่านเงื่อนไขที่เหลือ:

ดังที่เห็นได้จากความเท่าเทียมกันนี้ หนึ่งในเวกเตอร์ของระบบขึ้นอยู่กับเชิงเส้น (19) ปรากฏออกมาในรูปของเวกเตอร์อื่น ๆ ของระบบนี้ (หรือถูกขยายในรูปของเวกเตอร์ที่เหลืออยู่)

คุณสมบัติของระบบเวกเตอร์ที่ขึ้นกับเชิงเส้นตรง

1. ระบบที่ประกอบด้วยเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์หนึ่งตัวมีความเป็นอิสระเชิงเส้น

2. ระบบที่มีเวกเตอร์เป็นศูนย์จะขึ้นอยู่กับเส้นตรงเสมอ

3. ระบบที่มีเวกเตอร์มากกว่าหนึ่งตัวจะขึ้นอยู่กับเวกเตอร์เชิงเส้น ถ้าหากว่าในบรรดาเวกเตอร์ของมันนั้นมีเวกเตอร์อย่างน้อยหนึ่งตัวที่แสดงเชิงเส้นตรงในรูปของเวกเตอร์อื่นๆ

ความหมายทางเรขาคณิตของความสัมพันธ์เชิงเส้นในกรณีของเวกเตอร์สองมิติบนระนาบ: เมื่อเวกเตอร์หนึ่งแสดงผ่านอีกเวกเตอร์หนึ่ง เราก็จะได้ เช่น เวกเตอร์เหล่านี้เป็นเส้นตรงหรือเหมือนกัน ซึ่งอยู่บนเส้นขนาน

ในกรณีเชิงพื้นที่ของการพึ่งพาเชิงเส้นของเวกเตอร์สามตัว พวกมันจะขนานกับระนาบเดียวนั่นคือ เครื่องบินร่วม- ก็เพียงพอแล้วที่จะ "แก้ไข" ความยาวของเวกเตอร์เหล่านี้ด้วยปัจจัยที่เกี่ยวข้องเพื่อให้หนึ่งในนั้นกลายเป็นผลรวมของอีกสองตัวหรือแสดงผ่านพวกมัน

ทฤษฎีบท.ในอวกาศ ระบบใดๆ ที่มีเวกเตอร์จะขึ้นอยู่กับเชิงเส้นตรงที่

ตัวอย่าง.ค้นหาว่าเวกเตอร์นั้นขึ้นอยู่กับเชิงเส้นหรือไม่

สารละลาย- มาสร้างเวกเตอร์เท่ากันกัน เราได้เขียนในรูปแบบเวกเตอร์คอลัมน์

ปัญหาจึงลดลงเหลือแต่การแก้ปัญหาระบบ

เรามาแก้ระบบโดยใช้วิธีเกาส์เซียน:

เป็นผลให้เราได้รับระบบสมการ:

ซึ่งมีคำตอบจำนวนอนันต์ โดยในจำนวนนั้นจะต้องมีค่าที่ไม่เป็นศูนย์แน่นอน ดังนั้น เวกเตอร์จึงขึ้นกับเชิงเส้นตรง