แบบที่ 2 จากเส้นทางแห่งการบูรณาการ

พิจารณาอินทิกรัลเชิงเส้นโค้งของชนิดที่ 2 โดยที่ L คือเส้นโค้งที่เชื่อมจุด M และ N ปล่อยให้ฟังก์ชัน P(x, y) และ Q(x, y) มีอนุพันธ์ย่อยต่อเนื่องในบางโดเมน D โดยที่เส้นโค้ง L ให้เราพิจารณาเงื่อนไขที่อินทิกรัลเส้นโค้งที่พิจารณาไม่ได้ขึ้นอยู่กับรูปร่างของเส้นโค้ง L แต่ขึ้นอยู่กับตำแหน่งของจุด M และ N เท่านั้น

ลองวาดเส้นโค้งสองเส้นตามอำเภอใจ MSN และ MTN ซึ่งอยู่ในพื้นที่ D และจุดเชื่อมต่อ M และ N (รูปที่ 14)

ให้เราสมมุติว่านั่นคือ

โดยที่ L คือวงปิดที่ประกอบด้วยเส้นโค้ง MSN และ NTM (ดังนั้นจึงถือได้ว่าเป็นกฎเกณฑ์) ดังนั้น เงื่อนไขสำหรับความเป็นอิสระของอินทิกรัลเชิงโค้งของชนิดที่ 2 จากเส้นทางอินทิกรัลจะเทียบเท่ากับเงื่อนไขที่อินทิกรัลดังกล่าวบนเส้นขอบแบบปิดใดๆ มีค่าเท่ากับศูนย์

ทฤษฎีบทที่ 5 (ทฤษฎีบทของกรีน) ปล่อยให้ฟังก์ชัน P(x, y) และ Q(x, y) และอนุพันธ์ย่อยของฟังก์ชันเหล่านี้ต่อเนื่องกันที่จุดทุกจุดของโดเมน D บางจุด จากนั้น เพื่อให้เส้นขอบ L แบบปิดใดๆ ที่อยู่ในโดเมน D เป็นไปตามเงื่อนไข

มีความจำเป็นและเพียงพอที่ = ทุกจุดของเขต D

การพิสูจน์.

1) ความพอเพียง ให้เงื่อนไข = เป็นที่พอใจ ให้เราพิจารณาเส้นขอบ L แบบปิดตามอำเภอใจในพื้นที่ D ซึ่งล้อมรอบขอบเขต S และเขียนสูตรของ Green สำหรับมัน:

ความพอเพียงจึงได้รับการพิสูจน์แล้ว

2) ความจำเป็น สมมติว่าทุกจุดของขอบเขต D เป็นไปตามเงื่อนไข แต่มีอย่างน้อย 1 จุดของขอบเขตนี้ โดยที่ -? 0. สมมุติว่าที่จุด P(x0, y0) เรามี: - > 0 เนื่องจากทางด้านซ้ายของอสมการมีฟังก์ชันต่อเนื่องกัน มันจะเป็นบวกและมากกว่าฟังก์ชันบางตัวหรือไม่ > 0 ในพื้นที่เล็กๆ บางแห่ง D` ที่มีจุด P ดังนั้น

จากจุดนี้ โดยใช้สูตรของกรีน เราก็ได้สิ่งนั้นมา

โดยที่ L` คือรูปร่างที่จำกัดพื้นที่ D` ผลลัพธ์นี้ขัดแย้งกับเงื่อนไข ดังนั้น = ณ ทุกจุดของขอบเขต D ซึ่งเป็นสิ่งที่ต้องพิสูจน์

หมายเหตุ 1. ในทำนองเดียวกัน สำหรับปริภูมิสามมิติ สามารถพิสูจน์ได้ว่าเงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับความเป็นอิสระของอินทิกรัลส่วนโค้ง

จากเส้นทางบูรณาการคือ:

หมายเหตุ 2 หากตรงตามเงื่อนไข (52) นิพจน์ Pdx + Qdy + Rdz คือผลต่างรวมของฟังก์ชัน u สิ่งนี้ช่วยให้เราสามารถลดการคำนวณอินทิกรัลเส้นโค้งเพื่อกำหนดความแตกต่างระหว่างค่าที่จุดสุดท้ายและจุดเริ่มต้นของโครงร่างการรวมเนื่องจาก

ในกรณีนี้ ฟังก์ชัน และ สามารถพบได้โดยใช้สูตร

โดยที่ (x0, y0, z0) เป็นจุดจากบริเวณ D และ C เป็นค่าคงที่ตามใจชอบ จริงๆ แล้ว มันง่ายที่จะตรวจสอบว่าอนุพันธ์ย่อยของฟังก์ชันและจากสูตร (53) มีค่าเท่ากับ P, Q และ R

ตัวอย่างที่ 10

คำนวณอินทิกรัลส่วนโค้งของชนิดที่ 2

ตามจุดเชื่อมต่อเส้นโค้งใด ๆ (1, 1, 1) และ (2, 3, 4)

ให้เราตรวจสอบให้แน่ใจว่าตรงตามเงื่อนไข (52):

ดังนั้นจึงมีฟังก์ชันนี้อยู่ ให้เราหามันโดยใช้สูตร (53) โดยใส่ x0 = y0 = z0 = 0 จากนั้น

ดังนั้นฟังก์ชันจึงถูกกำหนดเป็นค่าคงที่ตามอำเภอใจ สมมุติว่า C = 0 แล้ว u = xyz เพราะฉะนั้น,

ขอบเขตจะถูกเรียกว่าเชื่อมต่อกันถ้าขอบเขตของมันคือชุดที่เชื่อมต่อกัน ขอบเขตเรียกว่า n-connected หากขอบเขตของมันแบ่งออกเป็นชุดที่เชื่อมต่อ n

ความคิดเห็น สูตรของกรีนก็เป็นจริงเช่นกันสำหรับขอบเขตที่เชื่อมโยงกันแบบคูณ

เพื่อให้อินทิกรัล (A, B – จุดใดๆ จาก D) ไม่ขึ้นอยู่กับเส้นทางของการอินทิเกรต (แต่เฉพาะบนจุดเริ่มต้นและจุดสุดท้าย A, B) จำเป็นและเพียงพอที่ตลอดเส้นโค้งปิดใดๆ (ตามแนวใดๆ รูปร่าง) ที่อยู่ใน D อินทิกรัลมีค่าเท่ากับศูนย์ = 0

หลักฐาน (ความจำเป็น) ให้ (4) เป็นอิสระจากเส้นทางบูรณาการ พิจารณารูปร่างตามอำเภอใจ C ที่อยู่ในขอบเขต D และเลือกจุด A, B สองจุดตามอำเภอใจบนโครงร่างนี้ จากนั้นเส้นโค้ง C สามารถแสดงเป็นการรวมกันของเส้นโค้งสองเส้น AB=G2, AB=G1, C=Г - 1 + G2

ทฤษฎีบท 1 เพื่อให้อินทิกรัลส่วนโค้งเป็นอิสระจากเส้นทางของการอินทิเกรตใน D จำเป็นและเพียงพอที่

ในพื้นที่ ง. ความพอเพียง หากพอใจ สูตรของกรีนสำหรับคอนทัวร์ C ใดๆ จะเป็นดังนี้ ดังนั้นคำสั่งที่จำเป็นจึงตามด้วยบทแทรก ความจำเป็น. โดยบทแทรกสำหรับเส้นขอบใดๆ = 0 จากนั้น ตามสูตรของกรีนสำหรับพื้นที่ D ที่ล้อมรอบด้วยเส้นขอบนี้ = 0 โดยทฤษฎีบทค่าเฉลี่ย = mD หรือ = = 0 เมื่อผ่านไปยังขีดจำกัด โดยเกร็งเส้นขอบไปยังจุดหนึ่ง เราจะได้สิ่งนั้น ณ จุดนี้

ทฤษฎีบท 2 เพื่อให้อินทิกรัลเชิงโค้ง (4) เป็นอิสระจากเส้นทางของอินทิกรัลใน D จำเป็นและเพียงพอที่นิพจน์อินทิกรัล Pdx+Qdy จะเป็นค่าอนุพันธ์รวมของฟังก์ชัน u ในโดเมน D du = Pdx+Qdy ความเพียงพอ ให้มันสมหวังแล้วก็ความจำเป็น ปล่อยให้อินทิกรัลเป็นอิสระจากเส้นทางของการอินทิเกรต เราแก้ไขจุด A0 บางจุดในโดเมน D และกำหนดฟังก์ชัน u(A) = u(x,y)=

ในกรณีนี้

เอ็กซ์โอ (xО) จึงมีอนุพันธ์ =P ในทำนองเดียวกัน มีการตรวจสอบว่า =Q ภายใต้สมมติฐานที่ตั้งไว้ ฟังก์ชัน u กลายเป็นอนุพันธ์ได้อย่างต่อเนื่อง และ du = Pdx+Qdy

32-33. คำจำกัดความของอินทิกรัลส่วนโค้งของประเภทที่ 1 และ 2

อินทิกรัลส่วนโค้งส่วนโค้ง (ชนิดที่ 1)

ปล่อยให้ฟังก์ชัน f(x,y) ถูกกำหนดและต่อเนื่องกันที่จุดของส่วนโค้ง AB ของเส้นโค้งเรียบ K แบ่งส่วนโค้งออกเป็น n ส่วนโค้งพื้นฐานตามอำเภอใจด้วยจุด t0..tn ให้ lk เป็นความยาว k ของจุดนั้น ส่วนโค้ง ขอให้เราหาจุดที่ต้องการ N(k,k) ในแต่ละส่วนโค้งพื้นฐานแล้วคูณจุดนี้ด้วยจุดที่สอดคล้องกัน ความยาวของส่วนโค้งจะประกอบด้วยผลรวมอินทิกรัลสามค่า:

1 =f(k,k)lk 2 = Р(k,k)хk 3 = Q(k,k)yk โดยที่ хk = x k -x k -1 , yk = y k -y k -1

อินทิกรัลเชิงโค้งประเภทที่ 1 ตลอดความยาวของส่วนโค้งจะเรียกว่าลิมิตของผลรวมอินทิกรัล 1 โดยที่ค่าสูงสุด(lk)  0

หากขีดจำกัดของผลรวมอินทิกรัลคือ 2 หรือ 3 ที่ `  0 แสดงว่าขีดจำกัดนี้จะถูกเรียก อินทิกรัลส่วนโค้งของประเภทที่ 2 ฟังก์ชัน P(x,y) หรือ Q(x,y) ตามแนวเส้นโค้ง l = AB และเขียนแทนด้วย:
หรือ

จำนวน:
+
เป็นเรื่องปกติที่จะเรียกมันว่าอินทิกรัลส่วนโค้งทั่วไปของประเภทที่ 2 และแสดงด้วยสัญลักษณ์:
ในกรณีนี้ ฟังก์ชัน f(x,y), P(x,y), Q(x,y) เรียกว่าปริพันธ์ได้ในเส้นโค้ง l = AB เส้นโค้ง l เองเรียกว่ารูปร่างหรือโดยการอินทิเกรต A คือจุดเริ่มต้น, B คือจุดอินทิเกรตสุดท้าย, dl คือส่วนต่างของความยาวส่วนโค้ง ดังนั้นอินทิกรัลเส้นโค้งของชนิดที่ 1 จึงเรียกว่า อินทิกรัลเชิงโค้งเหนือส่วนโค้งของเส้นโค้ง และเป็นอินทิกรัลชนิดที่สองบนฟังก์ชัน..

จากคำจำกัดความของอินทิกรัลส่วนโค้ง จะตามมาว่าอินทิกรัลของชนิดที่ 1 ไม่ได้ขึ้นอยู่กับทิศทางที่เส้นโค้ง l วิ่งจาก A และ B หรือจาก B และ A อินทิกรัลส่วนโค้งชนิดที่ 1 ตามแนว AB:

สำหรับอินทิกรัลส่วนโค้งของประเภทที่ 2 การเปลี่ยนแปลงทิศทางของเส้นโค้งจะทำให้เกิดการเปลี่ยนแปลงในเครื่องหมาย:

ในกรณีที่ l เป็นเส้นโค้งปิด เช่น จุด B เกิดขึ้นพร้อมกับจุด A จากนั้นในสองทิศทางที่เป็นไปได้สำหรับการเคลื่อนที่ผ่านเส้นชั้นความสูงแบบปิด l เรียกว่าค่าบวก ซึ่งเป็นทิศทางที่พื้นที่ซึ่งอยู่ภายในเส้นชั้นความสูงยังคงอยู่ทางซ้ายด้วย ด้วยความเคารพ??? การหมุนคือทิศทางการเคลื่อนที่ทวนเข็มนาฬิกา ทิศทางตรงกันข้ามของการเคลื่อนที่เรียกว่าลบ อินทิกรัลส่วนโค้ง AB ตามแนวปิด l ที่เคลื่อนที่ไปในทิศทางบวกจะแสดงด้วยสัญลักษณ์:

สำหรับเส้นโค้งเชิงพื้นที่ จะมีการแนะนำอินทิกรัลประเภทที่ 1 หนึ่งรายการในทำนองเดียวกัน:

และปริพันธ์สามประการของประเภทที่ 2:

ผลรวมของอินทิกรัลสามตัวสุดท้ายเรียกว่า อินทิกรัลส่วนโค้งทั่วไปของประเภทที่ 2

การประยุกต์บางส่วนของอินทิกรัลเชิงโค้งประเภทที่ 1.

1.อินทิกรัล
- ความยาวส่วนโค้ง AB

2.ความหมายทางกลของอินทิกรัลชนิดที่ 1

ถ้า f(x,y) = (x,y) คือความหนาแน่นเชิงเส้นของส่วนโค้งของวัสดุ ดังนั้นมวลของมันจะ:

3.พิกัดจุดศูนย์กลางมวลของส่วนโค้งของวัสดุ:

4. โมเมนต์ความเฉื่อยของส่วนโค้งที่อยู่ในระนาบออกซิเจนสัมพันธ์กับจุดกำเนิดและแกนของการหมุน วัว, oy:

5. ความหมายทางเรขาคณิตของอินทิกรัลชนิดที่ 1

ปล่อยให้ฟังก์ชัน z = f(x,y) – มีมิติของความยาว f(x,y)>=0 ที่ทุกจุดของส่วนโค้งของวัสดุที่อยู่ในระนาบ oxy แล้ว:

โดยที่ S คือพื้นที่ของพื้นผิวทรงกระบอก แมวประกอบด้วยตั้งฉากกับระนาบโอคาทางทิศตะวันออก ที่จุด M(x,y) ของเส้นโค้ง AB

การประยุกต์อินทิกรัลเชิงโค้งประเภทที่ 2

การคำนวณพื้นที่ของพื้นที่ราบ D ที่มีขอบเขต L

2. งานที่ใช้กำลัง ปล่อยให้จุดวัตถุภายใต้อิทธิพลของแรงเคลื่อนที่ไปตามเส้นโค้งแบนต่อเนื่องกันก่อนคริสต์ศักราช มุ่งหน้าไปจาก B ถึง C งานของแรงนี้คือ:

ให้สนามเวกเตอร์แบนมา ต่อไปนี้เราจะถือว่าฟังก์ชัน P และ Q มีความต่อเนื่องร่วมกับอนุพันธ์ของฟังก์ชันเหล่านี้ ในบางขอบเขต O ของระนาบ

ให้เราพิจารณาจุดสองจุดโดยพลการในภูมิภาค G จุดเหล่านี้สามารถเชื่อมต่อกันด้วยเส้นที่แตกต่างกันซึ่งอยู่ในภูมิภาคซึ่งค่าของอินทิกรัลเส้นโค้งโดยทั่วไปจะแตกต่างกัน

ตัวอย่างเช่น ลองพิจารณาอินทิกรัลส่วนโค้ง

และสองจุด ลองคำนวณอินทิกรัลนี้กัน อย่างแรก ตามเส้นตรงที่เชื่อมจุด A และ B และอย่างที่สอง ตามส่วนโค้งของพาราโบลาที่เชื่อมจุดเดียวกันนี้ เราพบการใช้กฎในการคำนวณอินทิกรัลเชิงโค้ง

ก) ตามส่วน

b) ตามส่วนโค้งของพาราโบลา:

ดังนั้นเราจะเห็นว่าค่าของอินทิกรัลเส้นโค้งนั้นขึ้นอยู่กับเส้นทางของอินทิเกรตนั่นคือมันขึ้นอยู่กับประเภทของเส้นที่เชื่อมต่อจุด A และ B ในทางตรงกันข้ามเช่นเดียวกับที่ง่ายต่อการตรวจสอบอินทิกรัลของเส้นโค้งตาม เส้นเดียวกันที่เชื่อมจุดต่างๆ จะให้ค่าสิ่งเดียวกันเท่ากับ

ตัวอย่างที่วิเคราะห์แสดงให้เห็นว่าอินทิกรัลเชิงเส้นโค้งที่คำนวณตามเส้นทางที่แตกต่างกันซึ่งเชื่อมต่อจุดสองจุดที่กำหนดนั้นในบางกรณีแตกต่างกัน และในบางกรณีก็ใช้ค่าเดียวกัน

ให้ A และ B เป็นจุดใดก็ได้สองจุดของบริเวณ G พิจารณาเส้นโค้งต่างๆ ที่อยู่ในบริเวณ G และจุดเชื่อมต่อ A และ B

หากอินทิกรัลของเส้นตามเส้นทางใดๆ เหล่านี้ใช้ค่าเดียวกัน ก็จะกล่าวได้ว่าไม่ขึ้นอยู่กับเส้นทางของการอินทิเกรต

ทฤษฎีบทสองข้อถัดไปให้เงื่อนไขว่าอินทิกรัลเส้นไม่ขึ้นอยู่กับเส้นทางของการอินทิเกรต

ทฤษฎีบท 1 เพื่อให้อินทิกรัลเชิงโค้งในบางโดเมน G เป็นอิสระจากเส้นทางของอินทิกรัล จำเป็นและเพียงพอที่อินทิกรัลบนเส้นขอบแบบปิดใดๆ ที่อยู่ในโดเมนนี้จะเท่ากับศูนย์

การพิสูจน์. ความเพียงพอ

ปล่อยให้อินทิกรัลบนเส้นขอบปิดใดๆ ที่วาดในพื้นที่ G เท่ากับศูนย์ ให้เราแสดงให้เห็นว่าอินทิกรัลนี้ไม่ได้ขึ้นอยู่กับเส้นทางของการอินทิเกรต ที่จริงแล้ว ให้ A และ B เป็นจุดสองจุดที่เป็นของขอบเขต G ให้เราเชื่อมต่อจุดเหล่านี้ด้วยเส้นโค้งสองเส้นที่เลือกโดยพลการที่แตกต่างกันซึ่งอยู่ในภูมิภาค G (รูปที่ 257)

ให้เราแสดงให้เห็นว่าส่วนโค้งก่อตัวเป็นรูปร่างแบบปิด โดยคำนึงถึงคุณสมบัติของอินทิกรัลเชิงเส้นโค้ง

เพราะ . แต่ตามเงื่อนไข มันเป็นเหมือนอินทิกรัลวงปิด

ดังนั้น อินทิกรัลเส้นจึงไม่ขึ้นอยู่กับเส้นทางของอินทิกรัล

ความจำเป็น. ปล่อยให้อินทิกรัลส่วนโค้งในโดเมน G ไม่ขึ้นอยู่กับเส้นทางของการอินทิเกรต ขอให้เราแสดงว่าอินทิกรัลบนเส้นขอบปิดใดๆ ที่อยู่ในขอบเขตนี้มีค่าเท่ากับศูนย์ ที่จริงแล้ว ขอให้เราพิจารณาโครงร่างแบบปิดโดยพลการที่วางอยู่ในพื้นที่ G และนำจุด A และ B ตามอำเภอใจสองจุดไปบนนั้น (ดูรูปที่ 257) แล้ว

เพราะตามเงื่อนไข. ดังนั้น อินทิกรัลบนเส้นขอบปิด L ใดๆ ที่อยู่ในขอบเขต G เท่ากับศูนย์

ทฤษฎีบทต่อไปนี้ให้เงื่อนไขที่สะดวกสำหรับการใช้งานจริง โดยที่อินทิกรัลส่วนโค้งไม่ได้ขึ้นอยู่กับเส้นทางของการอินทิเกรต

ทฤษฎีบท 2

เพื่อให้อินทิกรัลเชิงเส้นโค้งเป็นอิสระจากเส้นทางของการอินทิเกรตในโดเมนที่เชื่อมต่ออย่างง่าย จำเป็นและเพียงพอที่เงื่อนไขจะเป็นไปตามแต่ละจุดในโดเมนนี้

การพิสูจน์. ความเพียงพอ ขอให้เราแสดงในโดเมนว่าอินทิกรัลส่วนโค้งเหนือเส้นขอบปิด L ใดๆ ที่อยู่ในโดเมน G เท่ากับศูนย์ ให้เราพิจารณาพื้นที่ที่ล้อมรอบด้วยเส้นขอบ L เนื่องจากธรรมชาติของพื้นที่ G เชื่อมต่อกันอย่างเรียบง่าย พื้นที่ a จึงเป็นของพื้นที่นี้ทั้งหมด โดยเฉพาะอย่างยิ่งตามสูตร Ostrogradsky-Green บนเว็บไซต์ ดังนั้น และด้วยเหตุนี้ . ดังนั้น อินทิกรัลบนเส้นขอบปิด L ใดๆ ในพื้นที่ G เท่ากับศูนย์ ตามทฤษฎีบทที่ 1 เราสรุปได้ว่าอินทิกรัลส่วนโค้งไม่ได้ขึ้นอยู่กับเส้นทางของการอินทิเกรต

ความจำเป็น. ปล่อยให้อินทิกรัลส่วนโค้งเป็นอิสระจากเส้นทางของการอินทิเกรตในบางโดเมน Q. ให้เราแสดงว่าที่ทุกจุดของโดเมน

ให้เราสมมติสิ่งที่ตรงกันข้ามนั่นคือ ณ จุดหนึ่งในภูมิภาค อนุญาต เพื่อความชัดเจน . เนื่องจากสมมติฐานของความต่อเนื่องของอนุพันธ์ย่อย ความแตกต่างจะเป็นฟังก์ชันต่อเนื่องด้วย ดังนั้น รอบจุดๆ หนึ่งจึงเป็นไปได้ที่จะอธิบายวงกลม a (ซึ่งอยู่ในบริเวณ G) ในทุกจุด ซึ่ง ณ จุดนั้น ความแตกต่างจะเป็นค่าบวก ให้เราใช้สูตร Ostrogradsky-Green กับวงกลม

คำนิยาม. พื้นที่ G ของปริภูมิสามมิติเรียกว่าการเชื่อมต่อแบบผิวเผินอย่างง่ายๆ ถ้าเส้นขอบปิดใดๆ ที่อยู่ในบริเวณนี้สามารถยืดออกได้โดยให้พื้นผิวที่อยู่บริเวณ G ทั้งหมด ตัวอย่างเช่น ภายในของทรงกลมหรือพื้นที่สามมิติทั้งหมดเป็นเพียงบริเวณที่เชื่อมต่อกันอย่างผิวเผิน ภายในของทอรัสหรือพื้นที่สามมิติที่ไม่รวมเส้นนั้นไม่ได้เป็นเพียงขอบเขตที่เชื่อมโยงอย่างผิวเผินเท่านั้น ปล่อยให้สนามเวกเตอร์ต่อเนื่องถูกกำหนดไว้ในโดเมน G ที่เชื่อมต่ออย่างผิวเผิน จากนั้นทฤษฎีบทต่อไปนี้ก็จะยังคงอยู่ ทฤษฎีบท 9 เพื่อให้อินทิกรัลส่วนโค้งในสนามเวกเตอร์ a ไม่ขึ้นอยู่กับเส้นทางของการอินทิเกรต แต่ขึ้นอยู่กับจุดเริ่มต้นและจุดสุดท้ายของเส้นทาง (A และ B) เท่านั้น จำเป็นและเพียงพอที่ การหมุนเวียนของเวกเตอร์ a ตามแนวชั้นปิด L ใด ๆ ที่อยู่ในขอบเขต G มีค่าเท่ากับศูนย์ 4 ความจำเป็น. สมมติว่า t-egral ไม่ได้ขึ้นอยู่กับเส้นทางของการอินทิเกรต ให้เราแสดงว่าตามเส้นชั้นความสูงแบบปิด L มีค่าเท่ากับศูนย์ ลองพิจารณารูปร่างปิดโดยพลการ L ในสนามเวกเตอร์ a และใช้จุด A และ B ตามอำเภอใจ (รูปที่ 35) ตามเงื่อนไข เรามีเส้นทางที่แตกต่างกันซึ่งเชื่อมต่อจุด A และ B ซึ่งตรงกับเส้นชั้นความสูงแบบปิดที่เลือกไว้คือความเพียงพอ อนุญาตสำหรับเส้นชั้นความสูงแบบปิด L ให้เราแสดงว่าในกรณีนี้ อินทิกรัลไม่ได้ขึ้นอยู่กับเส้นทางของอินทิกรัล ขอให้เรานำจุด A และ B สองจุดในสนามของเวกเตอร์ a มาเชื่อมต่อกับเส้นตรง L1 และ L2 แล้วแสดงว่า เพื่อความง่าย เราจะจำกัดตัวเองไว้เฉพาะในกรณีที่เส้น L1 และ L2 ไม่ตัดกัน ในกรณีนี้ สหภาพจะสร้างรูปร่างปิดแบบธรรมดา L (รูปที่ 36) ตามเงื่อนไขและโดยคุณสมบัติของสารเติมแต่ง ความเป็นอิสระของอินทิกรัลส่วนโค้งจากเส้นทางของการอินทิเกรต สนามศักยภาพ การคำนวณอินทิกรัลส่วนโค้งในสนามศักย์ การคำนวณศักย์ไฟฟ้าในพิกัดคาร์ทีเซียน ดังนั้น นี่คือจุดที่ความถูกต้องของความเท่าเทียมกัน (2) ตามมา ทฤษฎีบท 9 เป็นการแสดงออกถึงเงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับความเป็นอิสระของอินทิกรัลส่วนโค้งจากรูปร่างของเส้นทาง แต่เงื่อนไขเหล่านี้ตรวจสอบได้ยาก ให้เรานำเสนอเกณฑ์ที่มีประสิทธิภาพมากขึ้น ทฤษฎีบท 10 เพื่อให้อินทิกรัลส่วนโค้งเป็นอิสระจากเส้นทางอินทิกรัล L จำเป็นและเพียงพอที่สนามเวกเตอร์จะหมุนไม่ได้ ในที่นี้สันนิษฐานว่าพิกัดของเวกเตอร์ a(M) มีอนุพันธ์ย่อยต่อเนื่องของ ลำดับที่หนึ่งและโดเมนของคำจำกัดความของเวกเตอร์ a(M) M) นั้นเชื่อมโยงกันอย่างผิวเผิน ความคิดเห็น ตามทฤษฎีบทที่ 9 ความเป็นอิสระของอินทิกรัลส่วนโค้งจากเส้นทางของการอินทิเกรตจะเทียบเท่ากับความเท่ากันกับศูนย์ของการไหลเวียนของเวกเตอร์ a ตามแนวชั้นปิดใดๆ เราใช้สถานการณ์นี้เพื่อพิสูจน์ทฤษฎีบท ความจำเป็น. ปล่อยให้อินทิกรัลส่วนโค้งเป็นอิสระจากรูปร่างของเส้นทาง หรือที่เหมือนกัน คือปล่อยให้การไหลเวียนของเวกเตอร์ a ตามแนวชั้นปิด L เท่ากับศูนย์ จากนั้น นั่นคือ ที่แต่ละจุดของสนาม เส้นโครงของเวกเตอร์หมุน a ไปยังทิศทางใดๆ จะเท่ากับศูนย์ ซึ่งหมายความว่าเวกเตอร์เน่าเปื่อยมีค่าเท่ากับศูนย์ที่ทุกจุดของสนาม ความเพียงพอของเงื่อนไข (3) ตามมาจากสูตรสโตกส์ เนื่องจากถ้าเน่า a = 0 ดังนั้นการไหลเวียนของเวกเตอร์ตามแนวปิด L จะเท่ากับศูนย์: โรเตอร์ของสนามแบนเท่ากันซึ่งช่วยให้เราสามารถกำหนด ทฤษฎีบทต่อไปนี้สำหรับสนามแบน ทฤษฎีบท 11 เพื่อให้อินทิกรัลเส้นโค้งในสนามระนาบที่เชื่อมต่ออย่างง่ายเป็นอิสระจากรูปร่างของเส้น L จำเป็นและเพียงพอที่ความสัมพันธ์จะคงไว้เหมือนกันทั่วทั้งภูมิภาคที่อยู่ระหว่างการพิจารณา หากโดเมนไม่ได้เชื่อมต่อกันเพียงอย่างเดียว โดยทั่วไปแล้วการปฏิบัติตามเงื่อนไขไม่ได้รับประกันความเป็นอิสระของอินทิกรัลส่วนโค้งจากรูปร่างของเส้น ตัวอย่าง. ลองพิจารณาอินทิกรัลกัน ดูชัดเจนว่าอินทิกรัลไม่สมเหตุสมผลที่จุด 0(0,0) ดังนั้นขอยกเว้นประเด็นนี้ ในส่วนที่เหลือของระนาบ (ซึ่งจะไม่ใช่ขอบเขตที่เชื่อมต่อกันอีกต่อไป!) พิกัดของเวกเตอร์ a นั้นต่อเนื่อง มีอนุพันธ์ย่อยต่อเนื่อง และพิจารณาอินทิกรัล (6) ตามแนวโค้งปิด L - วงกลมรัศมี R ด้วย จุดศูนย์กลางที่จุดกำเนิดของพิกัด: จากนั้นความแตกต่างในการหมุนเวียนจากศูนย์แสดงว่าอินทิกรัล (6) ขึ้นอยู่กับรูปร่างของเส้นทางอินทิเกรต §10 คำจำกัดความของสนามที่มีศักยภาพ สนามของเวกเตอร์ a(M) เรียกว่าศักย์ไฟฟ้าหากมีฟังก์ชันสเกลาร์ u(M) โดยที่ในกรณีนี้ ฟังก์ชัน u(M) เรียกว่าศักย์ไฟฟ้า พื้นผิวระดับของมันเรียกว่าพื้นผิวที่มีศักย์เท่ากัน ดังนั้นความสัมพันธ์ (1) จะเทียบเท่ากับความเท่าเทียมกันแบบสเกลาร์สามค่าต่อไปนี้: โปรดทราบว่าศักย์ไฟฟ้าของสนามถูกกำหนดเป็นเทอมคงที่ ดังนั้น ถ้าเป็นจำนวนคงที่ ตัวอย่างที่ 1 สนามของเวกเตอร์รัศมี r มีศักยภาพ เนื่องจากเราระลึกได้ว่าสนามของเวกเตอร์รัศมีจึงเป็นเช่นนั้น ตัวอย่างที่ 2 สนามเวกเตอร์มีศักยภาพ ปล่อยให้ฟังก์ชันเป็นไปตามที่ค้นพบ จากนั้นและจากที่มันหมายถึง - ศักยภาพของสนาม ทฤษฎีบท 12 เพื่อให้เวกเตอร์ a มีศักยภาพ จำเป็นและเพียงพอที่เวกเตอร์ a จะหมุนไม่ได้ กล่าวคือ โรเตอร์ของมันจะเท่ากับศูนย์ที่ทุกจุดของสนาม ในกรณีนี้ เราถือว่าความต่อเนื่องของอนุพันธ์ย่อยทั้งหมดของพิกัดของเวกเตอร์ a และความเชื่อมโยงของพื้นผิวของขอบเขตที่เวกเตอร์ a มอบให้ ความจำเป็น. ความจำเป็นของเงื่อนไข (2) ถูกกำหนดโดยการคำนวณโดยตรง: หากสนามนั้นมีศักยภาพ นั่นก็คือ เนื่องจากความเป็นอิสระของอนุพันธ์แบบผสมจากลำดับของความแตกต่าง ความเพียงพอ ปล่อยให้สนามเวกเตอร์หมุนไม่ได้ (2) เพื่อพิสูจน์ศักยภาพของสาขานี้ ให้เราสร้างศักยภาพของมัน u(M) จากเงื่อนไข (2) จะเป็นไปตามว่าอินทิกรัลส่วนโค้งไม่ได้ขึ้นอยู่กับรูปร่างของเส้น L แต่ขึ้นอยู่กับจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดเท่านั้น เราแก้ไขจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุด Mu, z) จะเปลี่ยนไป อินทิกรัล (3) จะเป็นฟังก์ชันของจุด ให้เราแสดงฟังก์ชันนี้ด้วย ยู(M) และพิสูจน์ว่าในสิ่งที่ตามมาเราจะเขียนอินทิกรัล (3) ซึ่งระบุเฉพาะจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดของเส้นทางอินทิเกรต ความเท่าเทียมกันเทียบเท่ากับความเป็นอิสระของสเกลาร์สามตัว เส้นทางบูรณาการ การคำนวณอินทิกรัลโค้งในสนามศักย์ไฟฟ้า ให้เราพิสูจน์ความเท่าเทียมกันประการแรก ตามคำจำกัดความของอนุพันธ์ย่อยที่เรามี พิจารณาจุดที่ใกล้กับจุด เนื่องจากฟังก์ชัน u(M) ถูกกำหนดโดยความสัมพันธ์ (4) ซึ่งอินทิกรัลเชิงเส้นโค้งไม่ได้ขึ้นอยู่กับเส้นทางการรวม เราจึงเลือกเส้นทางการรวมตามที่ระบุไว้ ในรูปที่ 37 จากนั้น จากที่นี่ อินทิกรัลสุดท้ายจะถูกนำมาจากส่วนโมลของเส้นตรง MM) ขนานกับแกน Ox ในส่วนนี้ เราสามารถใช้พิกัด x เป็นพารามิเตอร์: เมื่อใช้ทฤษฎีบทค่าเฉลี่ยกับอินทิกรัลทางด้านขวาของ (6) เราจะได้โดยมีค่า £ อยู่ระหว่างนั้น จากสูตร (7) เป็นไปตามนั้น ตั้งแต่นั้นมา เนื่องจากความต่อเนื่องของฟังก์ชัน เราได้รับ เช่นเดียวกัน ก็พิสูจน์ได้ว่าข้อพิสูจน์ สนามเวกเตอร์มีศักยภาพได้ก็ต่อเมื่ออินทิกรัลของเส้นโค้งในนั้นไม่ได้ขึ้นอยู่กับเส้นทาง การคำนวณอินทิกรัลเชิงโค้งในทฤษฎีบทของสนามศักย์ 13 อินทิกรัลในสนามศักย์ a(M) เท่ากับความแตกต่างระหว่างค่าของสนามศักย์ไฟฟ้า และ(M) ที่จุดสุดท้ายและจุดเริ่มต้นของเส้นทางการรวม ก่อนหน้านี้ ได้รับการพิสูจน์แล้วว่าฟังก์ชันนี้มีศักยภาพในสนาม ในสนามที่มีศักยภาพ เส้นโค้งของ intephal ไม่ได้ขึ้นอยู่กับ intephal puga ดังนั้น การเลือกเส้นทางของจุด M\ ไปยังจุด M2 เพื่อให้ผ่านจุด Afo (รูปที่ 38) เราจะได้หรือเปลี่ยนการวางแนวของเส้นทางในอินทิกรัลแรกทางด้านขวา เนื่องจากศักย์ไฟฟ้าของสนาม ถูกกำหนดเป็นเทอมคงที่ จากนั้นศักยภาพใดๆ ของฟิลด์ที่พิจารณาสามารถเขียนได้ในรูปแบบโดยที่ c เป็นค่าคงที่ ด้วยการทดแทน u-c ในสูตร (10) เราจะได้สูตรที่จำเป็นสำหรับค่าศักย์ไฟฟ้า v(M) ตามอำเภอใจ ตัวอย่างที่ 3 ในตัวอย่างที่ 1 แสดงให้เห็นว่าศักย์สนามของเวกเตอร์รัศมี r เป็นฟังก์ชันที่เป็นระยะทางจากจุดถึงจุดกำเนิด การคำนวณศักยภาพในพิกัดคาร์ทีเซียน ให้กำหนดสนามศักย์ไฟฟ้า ก่อนหน้านี้แสดงให้เห็นว่าสามารถหาฟังก์ชันศักย์ไฟฟ้า "(M) ได้โดยใช้สูตร อินทิกรัล (11) คำนวณได้สะดวกที่สุดดังนี้ แก้ไขจุดเริ่มต้นและเชื่อมต่อ โดยมีจุดปัจจุบันที่ปิดเพียงพอ M(x, y ,z) เส้นประ การเชื่อมโยงซึ่งขนานกับแกนพิกัด . ในกรณีนี้ มีการเปลี่ยนแปลงพิกัดเพียงครั้งเดียวที่แต่ละลิงก์ของเส้นโพลีไลน์ ซึ่งทำให้การคำนวณง่ายขึ้นอย่างมาก ที่จริงแล้ว ในส่วน M0M\ เรามี: ในส่วนนี้ ข้าว. 39. บนส่วน. ดังนั้นศักยภาพจึงเท่ากับตำแหน่งพิกัดของจุดปัจจุบันบนส่วนของเส้นประที่ดำเนินการบูรณาการ ตัวอย่างที่ 4 พิสูจน์ว่าสนามเวกเตอร์ k มีศักยภาพและค้นหาศักยภาพของมัน 4 ลองตรวจสอบว่าสนามของเวกเตอร์ a(Af) มีศักยภาพหรือไม่ ด้วยค่านี้เราจะคำนวณโรเตอร์สนาม เรามีสนามที่มีศักยภาพ เราค้นหาศักยภาพของสาขานี้โดยใช้สูตร (12) ให้เราใช้จุดกำเนิดของพิกัด O เป็นจุดเริ่มต้น A/o (โดยปกติจะทำถ้าฟิลด์ a(M) ถูกกำหนดไว้ที่จุดกำเนิดของพิกัด) จากนั้นเราจะได้ ดังนั้น โดยที่ c คือค่าคงที่ตามอำเภอใจ ศักยภาพของสาขานี้ก็สามารถพบได้อีกทางหนึ่ง ตามคำนิยาม ศักย์ u(x, y, z) เป็นฟังก์ชันสเกลาร์ซึ่งมี gradu = a ความเท่าเทียมกันของเวกเตอร์นี้เทียบเท่ากับความเท่าเทียมกันของสเกลาร์สามค่า: เมื่ออินทิเกรต (13) เทียบกับ x เราจะได้ โดยที่ เป็นฟังก์ชันหาอนุพันธ์ตามอำเภอใจของ og y และ r ขอให้เราแยกความแตกต่างด้วยความเคารพต่อ y: ความเป็นอิสระของอินทิกรัลส่วนโค้งจากเส้นทางของ บูรณาการ สนามศักยภาพ การคำนวณอินทิกรัลเส้นโค้งในสนามศักย์ การคำนวณศักย์ไฟฟ้าในพิกัดคาร์ทีเซียน การรวม (17) สำหรับ y เราพบฟังก์ชันบางอย่าง z เมื่อแทน (18) เป็น (16) เราก็จะได้ การแยกความแตกต่างของความเท่าเทียมกันสุดท้าย no z และคำนึงถึงความสัมพันธ์ของบัญชี (15) เราจะได้สมการสำหรับ ที่ไหน

6. สูตรหาค่าเฉลี่ยของอินทิกรัลจำกัดเขต

7. อินทิกรัลที่มีขีดจำกัดบนของตัวแปร ความต่อเนื่องและความแตกต่างของมัน

8. สูตรของนิวตัน-ไลบ์นิซสำหรับอินทิกรัลจำกัดเขต

9. การคำนวณอินทิกรัลจำกัดตามส่วนต่างๆ และการเปลี่ยนแปลงของตัวแปร

10. การใช้อินทิกรัลจำกัดขอบเขต (พื้นที่ของรูประนาบ, ความยาวส่วนโค้งของเส้นโค้ง, ปริมาตรของตัววัตถุที่หมุน)

11. แนวคิดเรื่องอนุกรมจำนวนและผลรวม เกณฑ์คอชีสำหรับการลู่เข้าอนุกรม เงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับการบรรจบกัน

12. เดลแลมเบิร์ตและคอชีทดสอบการบรรจบกันของอนุกรมที่มีเงื่อนไขไม่เป็นลบ

13. เกณฑ์อินทิกรัลคอชีสำหรับการลู่เข้าของชุดตัวเลข

14. ชุดตัวเลขสลับกัน การบรรจบกันแบบสัมบูรณ์และมีเงื่อนไข สลับแถว. สัญญาณของไลบ์นิซ

15. ชุดฟังก์ชั่น ผลรวมของซีรีส์ การหาค่าการลู่เข้าแบบสม่ำเสมอของอนุกรม เกณฑ์คอชีสำหรับการลู่เข้าแบบสม่ำเสมอของอนุกรมฟังก์ชัน

16. การทดสอบไวเออร์สตราสสำหรับการลู่เข้าที่สม่ำเสมอ

18. พาวเวอร์ซีรีส์ ทฤษฎีบทของอาเบล

19. รัศมีของการบรรจบกันของอนุกรมกำลัง สูตรคอชี-ฮาดามาร์ดสำหรับรัศมีการบรรจบกันของอนุกรมกำลัง

21. ฟังก์ชันของตัวแปรหลายตัว แนวคิดของปริภูมิยุคลิดแบบ n มิติ เซตของจุดในปริภูมิยูคลิด ลำดับของคะแนนและขีดจำกัดของมัน การกำหนดฟังก์ชันของตัวแปรหลายตัว

22. ขีดจำกัดของฟังก์ชันของตัวแปรหลายตัว ความต่อเนื่องของฟังก์ชัน อนุพันธ์บางส่วน

23. คำจำกัดความของฟังก์ชันหาอนุพันธ์ของตัวแปรหลายตัวและค่าอนุพันธ์ของมัน อนุพันธ์และส่วนต่างของคำสั่งซื้อที่สูงกว่า

24. สูตรของเทย์เลอร์สำหรับฟังก์ชันของตัวแปรหลายตัว สุดขั้วของฟังก์ชันของตัวแปรหลายตัว เงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับภาวะสุดขั้ว สภาพที่เพียงพอสำหรับสุดขั้ว

25. อินทิกรัลสองเท่าและคุณสมบัติของมัน การรีดิวซ์อินทิกรัลสองเท่าให้เป็นอินทิกรัลซ้ำ

27. การเปลี่ยนแปลงตัวแปรในอินทิกรัลสามตัว พิกัดทรงกระบอกและทรงกลม

28. การคำนวณพื้นที่ผิวเรียบโดยกำหนดพารามิเตอร์และชัดเจน

29. คำจำกัดความของปริพันธ์เชิงโค้งของชนิดที่หนึ่งและที่สอง คุณสมบัติพื้นฐาน และการคำนวณ

30.สูตรกรีน. เงื่อนไขสำหรับความเป็นอิสระของอินทิกรัลส่วนโค้งจากเส้นทางของการอินทิเกรต

31. อินทิกรัลพื้นผิวประเภทที่หนึ่งและที่สอง คุณสมบัติพื้นฐานและการคำนวณ

32. ทฤษฎีบทเกาส์-ออสโตรกราดสกี การบันทึกในรูปแบบพิกัดและเวกเตอร์ (ไม่แปรเปลี่ยน)

33. สูตรสโตกส์ การบันทึกในรูปแบบพิกัดและเวกเตอร์ (ไม่แปรเปลี่ยน)

34. ฟิลด์สเกลาร์และเวกเตอร์ เกรเดียนต์ ไดเวอร์เจนต์ โรเตอร์ สนามที่มีศักยภาพและโซลินอยด์

35. เจ้าหน้าที่ปฏิบัติการของแฮมิลตัน (นบลา) การประยุกต์ (ตัวอย่าง)

36. แนวคิดพื้นฐานที่เกี่ยวข้องกับสมการเชิงอนุพันธ์สามัญ (ODE) ของลำดับแรก: คำตอบทั่วไปและคำตอบเฉพาะ อินทิกรัลทั่วไป เส้นโค้งอินทิกรัล ปัญหาคอชี ความหมายทางเรขาคณิต

37. การรวมโอดีลำดับแรกกับตัวแปรที่แยกได้และเป็นเนื้อเดียวกัน

38. การบูรณาการสมการเชิงเส้นอันดับหนึ่งกับสมการเบอร์นูลลี

39. บูรณาการของลำดับที่หนึ่ง odes ในขั้วส่วนต่าง ปัจจัยบูรณาการ

40. สมการเชิงอนุพันธ์ลำดับที่หนึ่งที่ยังไม่ได้แก้ด้วยความเคารพต่ออนุพันธ์ วิธีการป้อนพารามิเตอร์

41. สมการลำดับที่ N ที่มีค่าสัมประสิทธิ์คงที่ สมการคุณลักษณะ ระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหา (fsr) ของสมการเอกพันธ์, คำตอบทั่วไปของสมการที่ไม่เหมือนกัน

42. ระบบสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นลำดับที่หนึ่ง Fsr ของระบบเอกพันธ์ คำตอบทั่วไปของระบบเอกพันธ์

30.สูตรกรีน. เงื่อนไขสำหรับความเป็นอิสระของอินทิกรัลส่วนโค้งจากเส้นทางของการอินทิเกรต

สูตรของกรีน: ถ้า C คือขอบเขตปิดของโดเมน D และฟังก์ชัน P(x,y) และ Q(x,y) พร้อมด้วยอนุพันธ์ย่อยอันดับหนึ่งของพวกมันจะต่อเนื่องกันในโดเมนปิด D (รวมถึงขอบเขตของ C ) ดังนั้นสูตรของ Green จึงใช้ได้: และเลือกทางเลี่ยงรอบๆ เส้นขอบ C เพื่อให้พื้นที่ D ยังคงอยู่ทางด้านซ้าย

จากการบรรยาย: ให้มอบฟังก์ชัน P(x,y) และ Q(x,y) ซึ่งต่อเนื่องกันในโดเมน D พร้อมกับอนุพันธ์ย่อยอันดับหนึ่ง อินทิกรัลเหนือขอบเขต (L) มีทั้งหมดในภูมิภาค D และมีจุดทั้งหมดในภูมิภาค D: ทิศทางที่เป็นบวกของเส้นชั้นความสูงคือเมื่อส่วนที่จำกัดของเส้นชั้นความสูงอยู่ทางด้านซ้าย

เงื่อนไขความเป็นอิสระของอินทิกรัลส่วนโค้งชนิดที่ 2 จากเส้นทางอินทิเกรต เงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับความจริงที่ว่าอินทิกรัลโค้งชนิดแรกที่เชื่อมต่อจุด M1 และ M2 ไม่ได้ขึ้นอยู่กับเส้นทางของการรวม แต่ขึ้นอยู่กับจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดเท่านั้นคือความเท่าเทียมกัน:

.

31. อินทิกรัลพื้นผิวประเภทที่หนึ่งและที่สอง คุณสมบัติพื้นฐานและการคำนวณ

– การระบุพื้นผิว

ให้เราฉาย S ลงบนระนาบ xy แล้วได้ขอบเขต D เราแบ่งขอบเขต D ด้วยตารางเส้นออกเป็นส่วนๆ ที่เรียกว่า Di จากแต่ละจุดของแต่ละเส้น เราวาดเส้น z ที่ขนานกัน จากนั้น S จะถูกแบ่งออกเป็น Si มาสร้างผลรวมอินทิกรัลกัน: . ให้เรากำหนดเส้นผ่านศูนย์กลางสูงสุด Di ไปที่ศูนย์: เราได้:

นี่คืออินทิกรัลพื้นผิวชนิดที่หนึ่ง

นี่คือวิธีคำนวณอินทิกรัลพื้นผิวประเภทแรก

ความหมายโดยย่อ. หากมีขีดจำกัดจำกัดของผลรวมอินทิกรัล โดยไม่ขึ้นกับวิธีการแบ่ง S ออกเป็นส่วนมูลฐาน Si และการเลือกจุด จะเรียกว่าอินทิกรัลผิวชนิดที่ 1

เมื่อย้ายจากตัวแปร x และ y ไปเป็น u และ v:

ป อินทิกรัลพื้นผิวมีคุณสมบัติทั้งหมดของอินทิกรัลธรรมดา ดูคำถามด้านบน

คำจำกัดความของอินทิกรัลพื้นผิวประเภทที่สอง คุณสมบัติพื้นฐาน และการคำนวณ การเชื่อมต่อกับอินทิกรัลชนิดที่ 1

ให้พื้นผิว S ถูกกำหนดขอบเขตด้วยเส้น L (รูปที่ 3.10) ขอให้เราใช้เส้นขอบ L บนพื้นผิว S ที่ไม่มีจุดร่วมกับขอบเขต L ที่จุด M ของเส้นขอบ L เราสามารถคืนค่าปกติสองค่าให้กับพื้นผิว S ได้ ให้เราเลือกทิศทางใดทิศทางหนึ่งเหล่านี้ เราติดตามจุด M ตามแนวเส้น L ด้วยทิศทางปกติที่เลือก

หากจุด M กลับสู่ตำแหน่งเดิมในทิศทางเดียวกันกับจุดปกติ (และไม่ใช่จุดตรงกันข้าม) พื้นผิว S จะเรียกว่าสองด้าน เราจะพิจารณาเฉพาะพื้นผิวสองด้านเท่านั้น พื้นผิวสองด้านคือพื้นผิวเรียบใดๆ ที่มีสมการ

ให้ S เป็นพื้นผิวเปิดสองด้านที่ล้อมรอบด้วยเส้น L ที่ไม่มีจุดตัดกันเอง มาเลือกพื้นผิวด้านใดด้านหนึ่งกัน เราจะเรียกทิศทางบวกของการเคลื่อนที่ผ่านรูปร่าง L ซึ่งเป็นทิศทางที่เมื่อเคลื่อนที่ไปตามด้านที่เลือกของพื้นผิว พื้นผิวจะยังคงอยู่ทางซ้าย พื้นผิวสองด้านที่มีทิศทางเป็นบวกสำหรับการเคลื่อนที่ไปตามรูปทรงที่กำหนดไว้ในลักษณะนี้เรียกว่าพื้นผิวเชิง

เรามาต่อกันที่การสร้างอินทิกรัลพื้นผิวประเภทที่สองกัน ลองหาพื้นผิวสองด้าน S ในอวกาศ ซึ่งประกอบด้วยชิ้นส่วนจำนวนจำกัด ซึ่งแต่ละชิ้นกำหนดโดยสมการของรูปแบบหรือเป็นพื้นผิวทรงกระบอกที่มีเครื่องกำเนิดไฟฟ้าขนานกับแกนออนซ์

ให้ R(x,y,z) เป็นฟังก์ชันที่กำหนดและต่อเนื่องบนพื้นผิว S โดยการใช้เครือข่ายของเส้น เราแบ่ง S ตามอำเภอใจเป็นส่วน n “เบื้องต้น” ΔS1, ΔS2, ..., ΔSi, ..., ΔSn ซึ่งไม่มีจุดภายในร่วมกัน ในแต่ละส่วน ΔSi เราเลือกจุด Mi(xi,yi,zi) โดยพลการ (i=1,...,n) ให้ (ΔSi)xy เป็นพื้นที่ของการฉายภาพของส่วน ΔSi บนระนาบพิกัด Oxy โดยถ่ายด้วยเครื่องหมาย "+" ถ้าเส้นปกติถึงพื้นผิว S ที่จุด Mi(xi,yi,zi) ( i=1,...,n) รูปแบบที่มีแกน Oz จะเป็นมุมแหลม และมีเครื่องหมาย “–” หากมุมนี้เป็นมุมป้าน ลองเขียนผลรวมอินทิกรัลของฟังก์ชัน R(x,y,z) เหนือพื้นผิว S ในตัวแปร x,y: กำหนดให้ λ เป็นเส้นผ่านศูนย์กลางที่ใหญ่ที่สุด ΔSi (i = 1, ..., n)

หากมีขีดจำกัดจำกัดที่ไม่ขึ้นอยู่กับวิธีการแบ่งพื้นผิว S ออกเป็นส่วน "พื้นฐาน" ΔSi และการเลือกจุด จะเรียกว่าอินทิกรัลของพื้นผิวเหนือด้านที่เลือกของพื้นผิว S ของฟังก์ชัน R (x,y,z) ตามพิกัด x, y (หรืออินทิกรัลพื้นผิวประเภทที่สอง) และแสดงแทน .

ในทำนองเดียวกัน คุณสามารถสร้างปริพันธ์ของพื้นผิวบนพิกัด x, z หรือ y, z ตามแนวด้านที่สอดคล้องกันของพื้นผิวได้ เช่น และ .

หากอินทิกรัลเหล่านี้มีอยู่ เราก็สามารถแนะนำอินทิกรัล "ทั่วไป" เหนือด้านที่เลือกของพื้นผิวได้:

อินทิกรัลพื้นผิวประเภทที่สองมีคุณสมบัติปกติของอินทิกรัล เราสังเกตเพียงว่าอินทิกรัลของพื้นผิวประเภทที่สองใดๆ จะเปลี่ยนเครื่องหมายเมื่อด้านข้างของพื้นผิวเปลี่ยนแปลง

ความสัมพันธ์ระหว่างอินทิกรัลผิวของชนิดที่หนึ่งและที่สอง

ให้พื้นผิว S ได้รับจากสมการ: z = f(x,y) และ f(x,y), f"x(x,y), f"y(x,y) เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องในฟังก์ชันปิด โดเมน τ (เส้นโครงของพื้นผิว S ไปยังระนาบพิกัด Oxy) และฟังก์ชัน R(x,y,z) มีความต่อเนื่องบนพื้นผิว S เส้นตั้งฉากถึงพื้นผิว S โดยมีทิศทางโคไซน์ cos α, cos β, cos γ ถูกเลือกไว้ที่ด้านบนของพื้นผิว S จากนั้น .

สำหรับกรณีทั่วไป เรามี:

=

"