ดาวน์โหลดจาก Depositfiles

อินทิกรัลสามเท่า

คำถามควบคุม

อินทิกรัลสามตัว, คุณสมบัติของมัน

การเปลี่ยนแปลงของตัวแปรในปริพันธ์สามตัว การคำนวณอินทิกรัลสามตัวในพิกัดทรงกระบอก

การคำนวณอินทิกรัลสามตัวในพิกัดทรงกลม

ให้ฟังก์ชัน ยู= ฉ(เอ็กซ์, ย,z) กำหนดไว้ในพื้นที่ปิดที่จำกัด วีช่องว่าง ร 3. มาแบ่งพื้นที่กัน วีสุ่มบน nพื้นที่ปิดเบื้องต้น วี 1 , … ,วี nมีปริมาตร  วี 1 , …,  วี nตามลำดับ มาแสดงกันเถอะ ง– ใหญ่ที่สุดในบรรดาเส้นผ่านศูนย์กลางของพื้นที่ วี 1 , … ,วี n- ในทุกพื้นที่ วี เคเลือกจุดใดก็ได้ ป เค (x เค , ย เค ,z เค) และแต่งหน้า ผลรวมปริพันธ์ฟังก์ชั่น ฉ(x, ย,z)

ส =

คำนิยาม.อินทิกรัลสามเท่าจากฟังก์ชัน ฉ(x, ย,z) ตามภูมิภาค วีเรียกว่าลิมิตของผลรวมอินทิกรัล
ถ้ามันมีอยู่จริง

ดังนั้น,

(1)

ความคิดเห็นผลรวมสะสม สขึ้นอยู่กับว่าแบ่งพื้นที่อย่างไร วี และเลือกจุด ป เค (เค=1, …, n- อย่างไรก็ตาม หากมีขีดจำกัด มันก็ไม่ได้ขึ้นอยู่กับวิธีการแบ่งภูมิภาค วีและเลือกจุด ป เค- หากคุณเปรียบเทียบคำจำกัดความของอินทิกรัลสองเท่าและสาม มันง่ายที่จะเห็นการเปรียบเทียบโดยสมบูรณ์ในอินทิกรัลเหล่านั้น

เงื่อนไขที่เพียงพอสำหรับการมีอยู่ของอินทิกรัลสามตัวปริพันธ์อินทิกรัล (13) มีอยู่หากฟังก์ชัน ฉ(x, ย,z) จำกัดอยู่ใน วีและเข้ามาอย่างต่อเนื่อง วียกเว้นจำนวนพื้นผิวเรียบที่เป็นชิ้นๆ ที่อยู่ภายใน วี.

คุณสมบัติบางประการของอินทิกรัลสามตัว

1) ถ้า กับเป็นค่าคงที่ตัวเลขแล้ว

3) การเพิ่มเติมพื้นที่ ถ้าเป็นพื้นที่ วี แบ่งออกเป็นพื้นที่ วี 1 และ วี 2 แล้ว

4) ปริมาตรของร่างกาย วีเท่ากับ

(2 )

การคำนวณอินทิกรัลสามตัวในพิกัดคาร์ทีเซียน

อนุญาต ดี การฉายภาพร่างกาย วีไปที่เครื่องบิน xOy, พื้นผิว z=φ 1 (x,ย),z=φ 2 (x, ย) จำกัดร่างกาย วีด้านล่างและด้านบนตามลำดับ มันหมายความว่าอย่างนั้น

วี = {(x, ย, z): (x, ย)ดี , φ 1 (x,ย)≤ ซี ≤ φ 2 (x,ย)}.

มาเรียกร่างกายแบบนี้กันดีกว่า z-ทรงกระบอก อินทิกรัลสามตัว (1) ส่วนสูง z-ร่างกายทรงกระบอก วีคำนวณโดยส่งผ่านไปยังอินทิกรัลแบบวนซ้ำซึ่งประกอบด้วยอินทิกรัลแบบทวีคูณและอินทิกรัลจำกัดเขต:

(3 )

ในอินทิกรัลแบบวนซ้ำนี้ อินทิกรัลจำกัดเขตภายในเหนือตัวแปรจะถูกประเมินก่อน zในที่นั้น x, ยถือเป็นการถาวร จากนั้นจึงคำนวณอินทิกรัลสองเท่าของฟังก์ชันผลลัพธ์เหนือพื้นที่ ดี.

ถ้า วี เอ็กซ์-ทรงกระบอกหรือ ย-ทรงกระบอก ดังนั้นสูตรต่อไปนี้จึงถูกต้อง:

ในสูตรแรก ดี  การฉายภาพร่างกาย วีไปยังระนาบพิกัด คุณออซและอย่างที่สอง - ขึ้นเครื่องบิน xออซ

ตัวอย่าง. 1) คำนวณปริมาตรของร่างกาย วีจำกัดด้วยพื้นผิว z = 0, x 2 + ย 2 = 4, z = x 2 + ย 2 .

สารละลาย. ลองคำนวณปริมาตรโดยใช้อินทิกรัลสามตัวตามสูตร (2)

มาดูอินทิกรัลซ้ำกันโดยใช้สูตร (3)

อนุญาต ดี- วงกลม x 2 + ย 2 ≤ 4, φ 1 (x , ย ) = 0, φ 2 (x , ย )= x 2 + ย 2. จากนั้นเราใช้สูตร (3) เราจะได้

ในการคำนวณอินทิกรัลนี้ มาดูพิกัดเชิงขั้วกันดีกว่า ขณะเดียวกันก็เป็นวงกลม ดีแปลงร่างเป็นชุด

ดี ร = { (ร , φ ) : 0 ≤ φ < 2 π , 0 ≤ ร ≤ 2} .

2) ร่างกาย วี จำกัดอยู่ที่พื้นผิว z=y , z= –y , x= 0 , x= 2, ย= 1. คำนวณ

เครื่องบิน ซี = ย , ซี = –yจำกัดร่างกายตามลำดับจากด้านล่างและด้านบนเครื่องบิน x= 0 , x= 2 จำกัดลำตัวจากด้านหลังและด้านหน้า ตามลำดับ และระนาบ ย= 1 ขีดจำกัดทางด้านขวา วี –ซ-ตัวทรงกระบอก, การฉายภาพ ดีไปที่เครื่องบิน xOyเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า โอเอบีซี- มาใส่กันเถอะ φ 1 (x , ย ) = –y

ขอให้เรามีระบบพิกัดสี่เหลี่ยมสองระบบในอวกาศและ
และระบบการทำงาน

(1)

ซึ่งสร้างการติดต่อสื่อสารแบบตัวต่อตัวระหว่างจุดต่างๆ ในบางพื้นที่
และ
ในระบบพิกัดเหล่านี้ สมมติว่าฟังก์ชันของระบบ (1) มี
อนุพันธ์ย่อยต่อเนื่อง ดีเทอร์มีแนนต์ที่ประกอบด้วยอนุพันธ์ย่อยเหล่านี้

,

เรียกว่าจาโคเบียน (หรือจาโคบีดีเทอร์มิแนนต์) ของระบบฟังก์ชัน (1) เราจะถือว่าสิ่งนั้น
วี
.

ภายใต้สมมติฐานที่ทำไว้ข้างต้น สูตรทั่วไปต่อไปนี้สำหรับการเปลี่ยนแปลงตัวแปรในการเก็บอินทิกรัลสามตัว:

เช่นเดียวกับในกรณีของอินทิกรัลคู่ นั่นคือความเป็นเอกลักษณ์ร่วมกันของระบบ (1) และเงื่อนไข
อาจถูกละเมิดในแต่ละจุด บนแต่ละเส้น และบนพื้นผิวส่วนบุคคล

ระบบฟังก์ชั่น (1) สำหรับแต่ละจุด
ตรงกับจุดเดียว
- เลขสามตัวนี้
เรียกว่าพิกัดโค้งของจุด - จุดของพื้นที่
ซึ่งพิกัดใดพิกัดหนึ่งเหล่านี้คงที่ เรียกว่า พื้นผิวประสานงาน

II อินทิกรัลสามเท่าในพิกัดทรงกระบอก

ระบบพิกัดทรงกระบอก (CSS) ถูกกำหนดโดยระนาบ
ซึ่งระบุระบบพิกัดเชิงขั้วและแกนไว้
ตั้งฉากกับระนาบนี้ พิกัดทรงกระบอกของจุด
, ที่ไหน
– พิกัดเชิงขั้วของจุด – การคาดการณ์ที แว่นตา ไปที่เครื่องบิน
, ก – นี่คือพิกัดของการฉายภาพจุด ต่อแกน
หรือ
.

ในเครื่องบิน
ป้อนพิกัดคาร์ทีเซียนด้วยวิธีปกติ โดยกำหนดแกนที่ประยุกต์ไปตามแกน
ซีเอสเค. ตอนนี้การรับสูตรที่เชื่อมต่อพิกัดทรงกระบอกกับคาร์ทีเซียนไม่ใช่เรื่องยาก:

(3)

สูตรเหล่านี้จะจับคู่พื้นที่กับพื้นที่ทั้งหมด
.

พื้นผิวพิกัดในกรณีที่อยู่ระหว่างการพิจารณาจะเป็น:

1)
– พื้นผิวทรงกระบอกที่มียีนขนานกับแกน
ซึ่งมีไกด์เป็นวงกลมอยู่บนเครื่องบิน
, มีศูนย์กลางที่จุด ;

2)

;

3)
– ระนาบขนานกับระนาบ
.

จาโคเบียนของระบบ (3):

.

สูตรทั่วไปในกรณีของ CSK มีรูปแบบ:

หมายเหตุ 1 . แนะนำให้เปลี่ยนไปใช้พิกัดทรงกระบอกในกรณีที่พื้นที่บูรณาการเป็นทรงกระบอกหรือกรวยทรงกลมหรือพาราโบลาของการปฏิวัติ (หรือบางส่วน) และแกนของวัตถุนี้เกิดขึ้นพร้อมกับแกนของแอปพลิเคชัน
.

โน้ต 2. พิกัดทรงกระบอกสามารถสรุปได้ในลักษณะเดียวกับพิกัดเชิงขั้วในระนาบ

ตัวอย่างที่ 1 คำนวณอินทิกรัลสามตัวของฟังก์ชัน

ตามภูมิภาค
ซึ่งเป็นตัวแทนของส่วนด้านในของกระบอกสูบ
ล้อมรอบด้วยกรวย
และพาราโบลาลอยด์
.

สารละลาย. เราได้พิจารณาพื้นที่นี้ใน §2 ตัวอย่างที่ 6 แล้ว และได้รับรายการมาตรฐานใน DPSC อย่างไรก็ตาม การคำนวณอินทิกรัลในภูมิภาคนี้เป็นเรื่องยาก ไปที่ CSK กันเถอะ:

.

การฉายภาพ
ร่างกาย
ไปที่เครื่องบิน
- มันเป็นวงกลม
- ดังนั้นการประสานงาน แตกต่างกันไปตั้งแต่ 0 ถึง
, ก – จาก 0 ถึง ร. ผ่านจุดใดก็ได้
ลากเส้นตรงขนานกับแกน
- เส้นตรงจะเข้าไป
บนกรวย แต่จะออกมาเป็นรูปพาราโบลา แต่เป็นรูปกรวย
มีสมการใน CSC
และพาราโบลอยด์
- สมการ
-

ดังนั้นเราจึงมี

III อินทิกรัลสามเท่าในพิกัดทรงกลม
ระบบพิกัดทรงกลม (SCS) ถูกกำหนดโดยระนาบ
ซึ่งระบุ UCS และแกน
.

ตั้งฉากกับระนาบ พิกัดทรงกลมของจุด
, ที่ไหน ช่องว่างเรียกว่าสามของตัวเลข
,– มุมเชิงขั้วของการฉายภาพจุดบนระนาบ
– มุมระหว่างแกน
และ
.

ในเครื่องบิน
และเวกเตอร์
และ
ขอแนะนำแกนพิกัดคาร์ทีเซียน
ในลักษณะปกติ และแกนที่ใช้จะเข้ากันได้กับแกน

(4)

- สูตรที่เชื่อมต่อพิกัดทรงกลมกับพิกัดคาร์ทีเซียนมีดังนี้:
.

สูตรเหล่านี้จะจับคู่พื้นที่กับพื้นที่ทั้งหมด

.

จาโคเบียนของระบบการทำงาน (4):

1)
พื้นผิวพิกัดมีสามตระกูล:

2)
– ทรงกลมมีศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด
;

3)
– ระนาบครึ่งระนาบที่ผ่านแกน
.

– กรวยทรงกลมที่มีจุดยอดอยู่ที่จุดกำเนิดของพิกัด โดยมีแกนเป็นแกน

สูตรสำหรับการเปลี่ยนไปใช้ SSC ในปริพันธ์สามส่วน: หมายเหตุ 3
แนะนำให้เปลี่ยนไปใช้ SCS เมื่อโดเมนของการบูรณาการเป็นลูกบอลหรือบางส่วน ในกรณีนี้คือสมการของทรงกลม
เข้าไป เช่นเดียวกับที่ CSK กล่าวถึงก่อนหน้านี้ CSK นั้น "ผูกมัด" กับแกน
:

- หากจุดศูนย์กลางของทรงกลมเลื่อนไปตามรัศมีตามแกนพิกัด เราจะได้สมการทรงกลมที่ง่ายที่สุดเมื่อแทนที่ไปตามแกน หมายเหตุ 4

เป็นไปได้ที่จะสรุป SSC:
กับจาโคเบียน

- ระบบฟังก์ชันนี้จะแปลทรงรี

ที่จะ "ขนานกัน" ตัวอย่างที่ 2 ค้นหาระยะทางเฉลี่ยของจุดของลูกบอลรัศมี

สารละลาย. จากศูนย์กลางของมัน
จำได้ว่าเป็นค่าเฉลี่ยของฟังก์ชัน
ในพื้นที่

คืออินทิกรัลสามตัวของฟังก์ชันเหนือขอบเขตหารด้วยปริมาตรของขอบเขต ในกรณีของเรา

ขั้นตอนการคำนวณอินทิกรัลสามตัวจะคล้ายกับการดำเนินการที่สอดคล้องกันสำหรับอินทิกรัลคู่ เพื่ออธิบายเรื่องนี้ เราแนะนำแนวคิดของขอบเขตสามมิติปกติ:

คำนิยาม 9.1 พื้นที่สามมิติ V ที่ล้อมรอบด้วยพื้นผิวปิด S เรียกว่าปกติ ถ้า:

1. เส้นตรงใดๆ ที่ขนานกับแกนออนซ์แล้วลากผ่านจุดภายในของขอบเขตจะตัด S ที่จุดสองจุด
2. พื้นที่ V ทั้งหมดถูกฉายลงบนระนาบ Oxy ในพื้นที่สองมิติปกติ D;
3. ส่วนใดๆ ของขอบเขต V ซึ่งตัดออกจากส่วนนั้นด้วยระนาบขนานกับระนาบพิกัดใดๆ มีคุณสมบัติ 1) และ 2)

ขอให้เราพิจารณาขอบเขตปกติ V ซึ่งมีขอบเขตด้านล่างและด้านบนด้วยพื้นผิว z=χ(x,y) และ z=ψ(x,y) และฉายภาพลงบนระนาบ Oxy ไปยังขอบเขตปกติ D ภายในซึ่ง x แปรผันจาก a ถึง b ถูกจำกัดด้วยเส้นโค้ง y=φ1(x) และ y=φ2(x) (รูปที่ 1) ให้เรากำหนดฟังก์ชันต่อเนื่อง f(x, y, z) ในโดเมน V

คำนิยาม 9.2 ให้เราเรียกปริพันธ์สามของฟังก์ชัน f(x, y, z) เหนือขอบเขต V ว่าเป็นนิพจน์ของรูปแบบ:

อินทิกรัลสามมีคุณสมบัติเหมือนกับอินทิกรัลคู่ เราแสดงรายการไว้โดยไม่มีข้อพิสูจน์ เนื่องจากได้รับการพิสูจน์แล้วคล้ายกับกรณีของอินทิกรัลคู่

การคำนวณอินทิกรัลสามตัว

ทฤษฎีบท 9.1 อินทิกรัลสามตัวของฟังก์ชัน f(x,y,z) บนโดเมนปกติ V เท่ากับอินทิกรัลสามตัวบนโดเมนเดียวกัน:

. (9.3)

การพิสูจน์.

ให้เราแบ่งขอบเขต V ด้วยระนาบขนานกับระนาบพิกัดออกเป็นขอบเขตปกติ n จากนั้นจากคุณสมบัติ 1 จะเป็นไปตามนั้น

โดยที่ อินทิกรัลสามตัวของฟังก์ชัน f(x,y,z) อยู่เหนือขอบเขตอยู่ที่ไหน

การใช้สูตร (9.2) ความเท่าเทียมกันก่อนหน้านี้สามารถเขียนใหม่เป็น:

จากเงื่อนไขความต่อเนื่องของฟังก์ชัน f(x,y,z) จะได้ว่าขีดจำกัดของผลรวมอินทิกรัลทางด้านขวาของค่าเท่ากันนี้มีอยู่ และเท่ากับอินทิกรัลสามตัว จากนั้นเมื่อผ่านไปยังขีดจำกัดที่ เราได้รับ:

Q.E.D.

ความคิดเห็น

เช่นเดียวกับกรณีของอินทิกรัลคู่ สามารถพิสูจน์ได้ว่าการเปลี่ยนลำดับอินทิกรัลไม่ได้เปลี่ยนค่าของอินทิกรัลสามตัว

ตัวอย่าง. ขอให้เราคำนวณอินทิกรัลโดยที่ V คือปิรามิดสามเหลี่ยมที่มีจุดยอดที่จุด (0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0) และ (0, 0, 1) การฉายภาพบนระนาบ Oxy เป็นรูปสามเหลี่ยมที่มีจุดยอด (0, 0), (1, 0) และ (0, 1) บริเวณนี้ถูกจำกัดจากด้านล่างด้วยระนาบ z = 0 และจากด้านบนโดยระนาบ x + y + z = 1 มาดูอินทิกรัลสามเท่ากันดีกว่า:

ปัจจัยที่ไม่ขึ้นอยู่กับตัวแปรอินทิเกรตสามารถนำออกจากเครื่องหมายของอินทิกรัลที่เกี่ยวข้องได้:

ระบบพิกัดเส้นโค้งในพื้นที่สามมิติ

1. ระบบพิกัดทรงกระบอก

พิกัดทรงกระบอกของจุด P(ρ,φ,z) คือพิกัดเชิงขั้ว ρ, φ ของการฉายภาพของจุดนี้บนระนาบ Oxy และการประยุกต์ใช้จุด z นี้ (รูปที่ 2)

สูตรสำหรับการเปลี่ยนจากพิกัดทรงกระบอกเป็นพิกัดคาร์ทีเซียนสามารถระบุได้ดังนี้:

x = ρ cosφ, y = ρ sinφ, z = z (9.4)

1. ระบบพิกัดทรงกลม

ในพิกัดทรงกลม ตำแหน่งของจุดในอวกาศถูกกำหนดโดยพิกัดเชิงเส้น ρ - ระยะทางจากจุดถึงจุดกำเนิดของระบบพิกัดคาร์ทีเซียน (หรือขั้วของระบบทรงกลม) φ - มุมเชิงขั้วระหว่างค่าบวก Ox กึ่งแกนและการฉายภาพของจุดบนระนาบ Oxy และ θ - มุมระหว่างกึ่งแกนบวกของแกน Oz และส่วน OP (รูปที่ 3) โดยที่

ให้เรากำหนดสูตรสำหรับการเปลี่ยนจากพิกัดทรงกลมเป็นพิกัดคาร์ทีเซียน:

x = ρ sinθ cosφ, y = ρ sinθ sinφ, z = ρ cosθ (9.5)

จาโคเบียนและความหมายทางเรขาคณิต

ให้เราพิจารณากรณีทั่วไปของการเปลี่ยนแปลงตัวแปรในอินทิกรัลสองเท่า ให้ขอบเขต D ถูกกำหนดไว้ในระนาบ Oxy ซึ่งล้อมรอบด้วยเส้น L สมมติว่า x และ y เป็นฟังก์ชันค่าเดียวและสามารถหาอนุพันธ์ได้อย่างต่อเนื่องของตัวแปรใหม่ u และ v:

x = φ(u, v), y = ψ(u, v) (9.6)

ขอให้เราพิจารณาระบบพิกัดสี่เหลี่ยม Ouv จุด P΄(u, v) ซึ่งสอดคล้องกับจุด P(x, y) จากขอบเขต D จุดดังกล่าวทั้งหมดก่อให้เกิดขอบเขต D΄ ในระนาบ Ouv ซึ่งมีขอบเขตด้วย เส้น L΄. เราสามารถพูดได้ว่าสูตร (9.6) สร้างความสัมพันธ์แบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างจุดของขอบเขต D และ D΄ ในกรณีนี้ เส้น u = const และ

v = const ในระนาบ Ouv จะสอดคล้องกับเส้นบางเส้นในระนาบ Oxy

ลองพิจารณาพื้นที่สี่เหลี่ยม ΔS΄ ในระนาบ Ouv ซึ่งล้อมรอบด้วยเส้นตรง u = const, u+Δu = const, v = const และ v+Δv = const มันจะสอดคล้องกับพื้นที่โค้ง ΔS ในระนาบ Oxy (รูปที่ 4) พื้นที่ของพื้นที่ที่อยู่ระหว่างการพิจารณาจะแสดงด้วย ΔS΄ และ ΔS ในกรณีนี้ ΔS΄ = Δu Δv ลองหาพื้นที่ ΔS กัน ให้เราแสดงจุดยอดของรูปสี่เหลี่ยมโค้ง P1, P2, P3, P4 นี้ โดยที่

P1(x1, y1), x1 = φ(u, v), y1 = ψ(u, v);

P2(x2, y2), x2 = φ(u+Δu, v), y2 = ψ(u+Δu, v);

P3(x3, y3), x3 = φ(u+Δu, v+Δv), y3 = ψ(u+Δu, v+Δv);

P4(x4, y4), x4 = φ(u, v+Δv), y4 = ψ(u, v+Δv)

ให้เราแทนที่ส่วนเพิ่มเล็กน้อย Δu และ Δv ด้วยส่วนต่างที่สอดคล้องกัน แล้ว

ในกรณีนี้ รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน P1 P2 P3 P4 ถือได้ว่าเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนานและสามารถกำหนดพื้นที่ได้โดยใช้สูตรจากเรขาคณิตวิเคราะห์:

(9.7)

คำนิยาม 9.3 ดีเทอร์มิแนนต์เรียกว่าฟังก์ชันดีเทอร์มิแนนต์หรือจาโคเบียนของฟังก์ชัน φ(x, y) และ ψ(x, y)

เมื่อผ่านไปยังขีดจำกัดที่ความเท่าเทียมกัน (9.7) เราจะได้ความหมายทางเรขาคณิตของจาโคเบียน:

นั่นคือ โมดูลของจาโคเบียนคือขีดจำกัดของอัตราส่วนของพื้นที่ของพื้นที่จิ๋ว ΔS และ ΔS΄

ความคิดเห็น ในทำนองเดียวกัน เราสามารถนิยามแนวคิดของจาโคเบียนและความหมายทางเรขาคณิตของมันสำหรับปริภูมิ n มิติได้: ถ้า x1 = φ1(u1, u2,…,un), x2 = φ2(u1, u2,…,un) ,…, xn = φ(u1 , u2,…, un) จากนั้น

(9.8)

ในกรณีนี้ โมดูลของจาโคเบียนให้ขีดจำกัดอัตราส่วนของ “ปริมาตร” ของพื้นที่เล็กๆ ของช่องว่าง x1, x2,..., xn และ u1, u2,..., un

การเปลี่ยนแปลงตัวแปรในอินทิกรัลหลายตัว

ให้เราศึกษากรณีทั่วไปของการเปลี่ยนแปลงตัวแปรโดยใช้ตัวอย่างของอินทิกรัลคู่

กำหนดให้ฟังก์ชันต่อเนื่อง z = f(x,y) ในโดเมน D ซึ่งแต่ละค่าสอดคล้องกับค่าเดียวกันของฟังก์ชัน z = F(u, v) ในโดเมน D΄ โดยที่

F(u, v) = f(φ(u, v), ψ(u, v)) (9.9)

พิจารณาผลรวมอินทิกรัล

โดยที่ผลรวมทางด้านขวาถูกยึดครองโดเมนD΄ เมื่อผ่านไปยังขีด จำกัด ที่ เราได้รับสูตรสำหรับการแปลงพิกัดในอินทิกรัลคู่

ตัวอย่างผลเฉลยของปริพันธ์สามเท่าตามอำเภอใจ
การประยุกต์ทางกายภาพของอินทิกรัลสามตัว

ในส่วนที่ 2 ของบทเรียน เราจะศึกษาเทคนิคการแก้อินทิกรัลสามตัวตามอำเภอใจ ซึ่งมีบูรณาการ ฟังก์ชันของตัวแปรทั้งสามในกรณีทั่วไปจะแตกต่างจากค่าคงที่และต่อเนื่องในภูมิภาค และทำความคุ้นเคยกับการประยุกต์ใช้ทางกายภาพของอินทิกรัลสามตัวด้วย

ฉันแนะนำให้ผู้เยี่ยมชมใหม่เริ่มต้นด้วยส่วนที่ 1 ซึ่งเราได้กล่าวถึงแนวคิดพื้นฐานและ ปัญหาการหาปริมาตรของร่างกายโดยใช้อินทิกรัลสามตัว- ฉันขอแนะนำให้คุณที่เหลือทำซ้ำเล็กน้อย อนุพันธ์ของฟังก์ชันของตัวแปรทั้งสามเนื่องจากในตัวอย่างของบทความนี้ เราจะใช้การดำเนินการผกผัน - บูรณาการบางส่วนฟังก์ชั่น

นอกจากนี้ยังมีประเด็นสำคัญอีกประการหนึ่ง: หากคุณรู้สึกไม่สบายควรเลื่อนการอ่านหน้านี้ออกไปหากเป็นไปได้จะดีกว่า และประเด็นไม่เพียงแต่ความซับซ้อนของการคำนวณจะเพิ่มขึ้นเท่านั้น แต่อินทิกรัลสามส่วนใหญ่ไม่มีวิธีการตรวจสอบด้วยตนเองที่เชื่อถือได้ ดังนั้นจึงไม่เป็นที่พึงปรารถนาอย่างยิ่งที่จะเริ่มแก้ไขในสภาวะที่เหนื่อยล้า แนะนำให้ใช้เสียงต่ำ แก้ปัญหาบางอย่างได้ง่ายขึ้นหรือแค่ผ่อนคลาย (ฉันอดทน ฉันจะรอ =)) เพื่อที่อีกครั้งที่มีหัวที่สดใส ฉันสามารถปราบปรามอินทิกรัลสามตัวต่อไปได้:

ตัวอย่างที่ 13

คำนวณอินทิกรัลสามเท่า

ในทางปฏิบัติร่างกายยังแสดงด้วยตัวอักษร แต่นี่ไม่ใช่ตัวเลือกที่ดีนักเนื่องจากความจริงที่ว่า "ve" นั้น "สงวนไว้" สำหรับการกำหนดปริมาตร

ฉันจะบอกคุณทันทีว่าอะไรไม่ควรทำ ไม่ต้องใช้ คุณสมบัติเชิงเส้นและเป็นตัวแทนของอินทิกรัลในรูปแบบ แม้ว่าคุณต้องการจริงๆ คุณก็สามารถทำได้ ท้ายที่สุดแล้วยังมีข้อดีอีกเล็กน้อย แม้ว่าการบันทึกจะยาว แต่ก็จะไม่เกะกะน้อยลง แต่แนวทางนี้ยังไม่ได้มาตรฐาน

ในอัลกอริทึม โซลูชั่นจะมีความแปลกใหม่เล็กน้อย ก่อนอื่นคุณต้องเข้าใจขอบเขตของการบูรณาการ การฉายภาพร่างกายบนเครื่องบินเป็นรูปสามเหลี่ยมที่คุ้นเคยอย่างเจ็บปวด:

ร่างกายถูกจำกัดจากด้านบน เครื่องบินซึ่งผ่านจุดกำเนิด โดยวิธีการที่คุณต้องก่อน อย่าลืมตรวจสอบ(ทางจิตใจหรือในร่าง)ไม่ว่าเครื่องบินลำนี้จะ "ตัด" ส่วนหนึ่งของสามเหลี่ยมออกหรือไม่ ในการทำเช่นนี้เราจะพบเส้นตัดกับระนาบพิกัดนั่นคือ เราแก้ไขระบบที่ง่ายที่สุด: - ไม่อันนี้ ตรง (ไม่ใช่บนภาพวาด)“ผ่านไป” และการฉายภาพของร่างกายบนเครื่องบินแสดงถึงรูปสามเหลี่ยมจริงๆ

การวาดภาพเชิงพื้นที่ที่นี่ก็ไม่ซับซ้อนเช่นกัน:

ในความเป็นจริง มันเป็นไปได้ที่จะจำกัดตัวเองอยู่เพียงเท่านี้ เนื่องจากการฉายภาพนั้นง่ายมาก ...เอาล่ะ หรือเป็นเพียงการวาดเส้นโครงเนื่องจากร่างกายก็เรียบง่าย =) อย่างไรก็ตาม ฉันขอเตือนคุณว่าการไม่วาดอะไรเลยถือเป็นตัวเลือกที่ไม่ดี

แน่นอนว่าฉันอดไม่ได้ที่จะกรุณาคุณในงานสุดท้าย:

ตัวอย่างที่ 19

ค้นหาจุดศูนย์ถ่วงของวัตถุเนื้อเดียวกันที่ล้อมรอบด้วยพื้นผิว - วาดภาพร่างนี้และการฉายภาพลงบนเครื่องบิน

สารละลาย: ตัวที่ต้องการถูกจำกัดด้วยระนาบพิกัดและระนาบซึ่งสะดวกต่อการก่อสร้างครั้งต่อไป นำเสนอในส่วนต่างๆ- ลองเลือก "a" เป็นหน่วยมาตราส่วนและสร้างภาพวาดสามมิติ:

ภาพวาดมีจุดศูนย์ถ่วงสำเร็จรูปอยู่แล้ว แต่เรายังไม่รู้

การฉายภาพของร่างกายบนเครื่องบินนั้นชัดเจน แต่อย่างไรก็ตาม ฉันขอเตือนคุณว่าจะค้นหามันอย่างไรในเชิงวิเคราะห์ ท้ายที่สุดแล้ว กรณีง่าย ๆ เช่นนี้ไม่ได้เกิดขึ้นเสมอไป ในการค้นหาเส้นที่เครื่องบินตัดกัน คุณต้องแก้ระบบ:

เราแทนค่าลงในสมการที่ 1 และเราได้สมการ "แบน" ตรง:

เราคำนวณพิกัดจุดศูนย์ถ่วงของร่างกายโดยใช้สูตร
ปริมาตรของร่างกายอยู่ที่ไหน

อินทิกรัลสามเท่า การคำนวณปริมาตรของร่างกาย
อินทิกรัลสามตัวในพิกัดทรงกระบอก

เป็นเวลาสามวันผู้ตายนอนอยู่ในห้องทำงานของคณบดี แต่งกายด้วยกางเกงของพีทาโกรัส
ในมือของ Fichtenholtz เขาถือหนังสือที่พาเขามาจากโลกนี้
อินทิกรัลสามอันผูกติดอยู่กับขา และศพถูกห่อด้วยเมทริกซ์
และแทนที่จะอธิษฐาน คนหยิ่งยโสบางคนกลับอ่านทฤษฎีบทของเบอร์นูลลี

อินทิกรัลสามตัวคือสิ่งที่คุณไม่ต้องกลัว =) เพราะหากคุณอ่านข้อความนี้ มีแนวโน้มว่าคุณจะมีความเข้าใจที่ดีเกี่ยวกับ ทฤษฎีและการปฏิบัติของอินทิกรัล “สามัญ”, และ อินทิกรัลสองเท่า- และที่ใดมีสองเท่า ใกล้ๆ ก็มีสามเท่า:

แล้วจริงๆ แล้วมีอะไรต้องกลัวล่ะ? อินทิกรัลน้อยกว่า อินทิกรัลมีมากกว่า....

มาดูการบันทึกกัน:

– ไอคอนอินทิกรัลสามอัน;
– บูรณาการ ฟังก์ชันของตัวแปรทั้งสาม;
– ผลคูณของส่วนต่าง
– พื้นที่ของการบูรณาการ

ให้เรามุ่งเน้นเป็นพิเศษ พื้นที่ของการบูรณาการ- ถ้าเข้า. อินทิกรัลสองเท่ามันเป็นตัวแทน รูปแบนแล้วนี่- ร่างกายเชิงพื้นที่ซึ่งตามที่ทราบกันดีว่าถูกจำกัดโดยเซต พื้นผิว- ดังนั้นนอกเหนือจากที่กล่าวมาข้างต้น คุณต้องนำทางด้วย พื้นผิวหลักของพื้นที่และสามารถสร้างภาพวาดสามมิติแบบง่ายๆ ได้

บางคนก็ซึมเศร้า ผมเข้าใจ... อนิจจา บทความนี้ไม่สามารถตั้งชื่อว่า "triple integrateds for dummies" ได้ และมีบางสิ่งที่คุณจำเป็นต้องรู้/สามารถทำได้ แต่ก็ไม่เป็นไร - เนื้อหาทั้งหมดถูกนำเสนอในรูปแบบที่เข้าถึงได้ง่ายมากและเชี่ยวชาญได้ในเวลาอันสั้นที่สุด!

การคำนวณอินทิกรัลสามตัวหมายความว่าอย่างไร และเลขคู่คืออะไร?

เพื่อคำนวณหาค่าเฉลี่ยอินทิกรัลสามตัว ค้นหา NUMBER:

ในกรณีที่ง่ายที่สุดคือเมื่อใด อินทิกรัลสามมีค่าเท่ากับปริมาตรของร่างกาย- และแท้จริงแล้วตามนั้น ความหมายทั่วไปของการบูรณาการ, สินค้ามีค่าเท่ากัน ไม่มีที่สิ้นสุดปริมาตรของ "อิฐ" เบื้องต้นของร่างกาย และอินทิกรัลสามก็แค่ รวมกัน ทั้งหมดนี้ อนุภาคขนาดเล็กเหนือพื้นที่ส่งผลให้ค่าอินทิกรัล (รวม) ของปริมาตรของร่างกาย: .

นอกจากนี้ อินทิกรัลสามยังมีความสำคัญอีกด้วย การใช้งานทางกายภาพ- แต่จะเพิ่มเติมเกี่ยวกับเรื่องนี้ในภายหลัง - ในส่วนที่ 2 ของบทเรียนที่อุทิศให้กับ การคำนวณอินทิกรัลสามเท่าตามอำเภอใจซึ่งฟังก์ชันในกรณีทั่วไปจะแตกต่างจากค่าคงที่และต่อเนื่องในภูมิภาค ในบทความนี้เราจะพิจารณารายละเอียดเกี่ยวกับปัญหาในการค้นหาปริมาตรซึ่งตามการประเมินเชิงอัตนัยของฉันนั้นเกิดขึ้นบ่อยกว่า 6-7 เท่า

จะแก้อินทิกรัลสามได้อย่างไร?

คำตอบตามตรรกะตามมาจากย่อหน้าก่อนหน้า จำเป็นต้องกำหนด ลำดับการเคลื่อนที่ของร่างกายและไปที่ อินทิกรัลแบบวนซ้ำ- จากนั้นจัดการกับอินทิกรัลเดี่ยวสามตัวตามลำดับ

อย่างที่คุณเห็นห้องครัวทั้งหมดนั้นชวนให้นึกถึงมาก อินทิกรัลสองเท่าด้วยความต่างที่ตอนนี้เราได้เพิ่มมิติเข้าไปอีก (ประมาณว่า ส่วนสูง) และหลายๆ คนคงเดาอยู่แล้วว่าอินทิกรัลสามแก้ได้อย่างไร

มาขจัดข้อสงสัยที่เหลืออยู่:

ตัวอย่างที่ 1

กรุณาเขียนลงในคอลัมน์บนกระดาษ:

และตอบคำถามต่อไปนี้ คุณรู้หรือไม่ว่าพื้นผิวใดที่เป็นตัวกำหนดสมการเหล่านี้ คุณเข้าใจความหมายที่ไม่เป็นทางการของสมการเหล่านี้หรือไม่? คุณลองจินตนาการดูว่าพื้นผิวเหล่านี้อยู่ในอวกาศได้อย่างไร

หากคุณมีแนวโน้มที่จะตอบคำถามทั่วไปว่า "ไม่มากกว่าใช่" อย่าลืมพยายามอ่านบทเรียนให้จบ ไม่เช่นนั้นคุณจะไม่ก้าวหน้าไปกว่านี้!

สารละลาย: เราใช้สูตร

เพื่อจะได้รู้ว่า ลำดับการเคลื่อนที่ของร่างกายและไปที่ อินทิกรัลแบบวนซ้ำคุณต้องการ (ทุกสิ่งที่ชาญฉลาดนั้นเรียบง่าย) เพื่อทำความเข้าใจว่านี่คือร่างกายแบบไหน และในหลายกรณี ภาพวาดมีส่วนช่วยอย่างมากต่อความเข้าใจดังกล่าว

โดยเงื่อนไข ร่างกายถูกจำกัดด้วยพื้นผิวหลายแบบ จะเริ่มสร้างได้ที่ไหน? ฉันขอแนะนำขั้นตอนต่อไปนี้:

ก่อนอื่นเรามาพรรณนากันก่อน มุมฉากขนานการฉายภาพของร่างกายไปยังระนาบพิกัด ครั้งแรกที่บอกว่าโปรเจ็คนี้เรียกว่าอะไร 555 =)

เนื่องจากการฉายภาพจะดำเนินการตามแนวแกนดังนั้นก่อนอื่นจึงแนะนำให้จัดการ พื้นผิวซึ่งขนานกับแกนนี้ ผมขอเตือนคุณว่าสมการของพื้นผิวดังกล่าว ไม่มีตัวอักษร "z"- มีสามปัญหาที่อยู่ระหว่างการพิจารณา:

– สมการระบุระนาบพิกัดที่ผ่านแกน
– สมการระบุระนาบพิกัดที่ผ่านแกน
– ชุดสมการ เครื่องบิน เส้นตรง "แบน"ขนานกับแกน

เป็นไปได้มากว่าการฉายภาพที่ต้องการคือรูปสามเหลี่ยมต่อไปนี้:

บางทีอาจไม่ใช่ทุกคนเข้าใจสิ่งที่เรากำลังพูดถึงอย่างถ่องแท้ ลองนึกภาพว่ามีแกนออกมาจากหน้าจอมอนิเตอร์และเกาะติดกับดั้งจมูกของคุณโดยตรง ( เหล่านั้น. ปรากฎว่าคุณกำลังดูภาพวาดสามมิติจากด้านบน)- วัตถุเชิงพื้นที่ที่กำลังศึกษาอยู่ใน "ทางเดิน" ทรงสามเหลี่ยมที่ไม่มีที่สิ้นสุด และการฉายภาพบนเครื่องบินน่าจะแสดงถึงรูปสามเหลี่ยมสีเทา

ฉันอยากจะดึงความสนใจเป็นพิเศษในขณะที่เราได้แสดงออกมา เป็นเพียงสมมติฐานของการฉายภาพและประโยค “มีแนวโน้มมากที่สุด” และ “มีแนวโน้มมากที่สุด” ไม่ใช่เรื่องบังเอิญ ความจริงก็คือยังไม่ได้มีการวิเคราะห์พื้นผิวทั้งหมด และอาจเกิดขึ้นที่หนึ่งในนั้น "ตัด" ส่วนหนึ่งของสามเหลี่ยมออก เป็นตัวอย่างที่ชัดเจนสิ่งนี้แนะนำ ทรงกลมโดยมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิดรัศมีน้อยกว่าหนึ่ง เช่น ทรงกลม – การฉายภาพลงบนเครื่องบิน (วงกลม ) จะไม่ “ปกปิด” บริเวณที่แรเงาจนหมด และการฉายภาพขั้นสุดท้ายของร่างกายจะไม่เป็นรูปสามเหลี่ยมเลย (วงกลมจะ "ตัด" มุมที่แหลมคมของมันออก).

ในขั้นตอนที่สอง เราจะค้นหาว่าร่างกายถูกจำกัดจากด้านบนและด้านล่างอย่างไร และดำเนินการวาดภาพเชิงพื้นที่ กลับไปที่คำชี้แจงปัญหาแล้วดูว่ายังมีพื้นผิวใดบ้าง สมการระบุระนาบพิกัดเอง และสมการ – กระบอกพาราโบลา, ตั้งอยู่ ข้างบนระนาบและผ่านแกน ดังนั้นส่วนที่ยื่นออกมาของร่างกายจึงเป็นรูปสามเหลี่ยมอย่างแท้จริง

ยังไงก็ตามฉันพบมันที่นี่ ความซ้ำซ้อนเงื่อนไข - ไม่จำเป็นต้องรวมสมการของระนาบเนื่องจากพื้นผิวที่สัมผัสกับแกนแอบซิสซาปิดตัวไปแล้ว เป็นที่น่าสนใจที่จะทราบว่าในกรณีนี้ เราจะไม่สามารถวาดเส้นโครงได้ทันที - สามเหลี่ยมจะ "วาด" หลังจากวิเคราะห์สมการแล้วเท่านั้น

ลองพรรณนาชิ้นส่วนของทรงกระบอกพาราโบลาอย่างระมัดระวัง:

หลังจากวาดภาพเสร็จแล้วด้วย ลำดับการเดินทั่วร่างกายไม่มีปัญหา!

ขั้นแรก เราจะกำหนดลำดับการเคลื่อนที่ของการฉายภาพ (ในเวลาเดียวกันจะสะดวกกว่ามากในการนำทางโดยใช้การวาดภาพสองมิติ)มันจบแล้ว เหมือนเดิมทุกประการ, เช่นเดียวกับใน อินทิกรัลสองเท่า- ลองนึกถึงตัวชี้เลเซอร์และสแกนพื้นที่เรียบ เลือกวิธีบายพาสที่ 1 แบบ "ดั้งเดิม":

ต่อไปเราหยิบตะเกียงวิเศษดูภาพวาดสามมิติและ จากล่างขึ้นบนอย่างเคร่งครัดเราส่องสว่างผู้ป่วย รังสีเข้าสู่ร่างกายผ่านระนาบและออกผ่านพื้นผิว ดังนั้นลำดับการเคลื่อนตัวของกายคือ:

มาดูอินทิกรัลซ้ำกัน:

1) คุณควรเริ่มต้นด้วยอินทิกรัล “ซีต้า” เราใช้ สูตรนิวตัน-ไลบ์นิซ:

ลองแทนที่ผลลัพธ์เป็นอินทิกรัล "เกม":

เกิดอะไรขึ้น โดยพื้นฐานแล้ว สารละลายลดลงเหลืออินทิกรัลสองเท่าและตรงกับสูตรอย่างแม่นยำ ปริมาตรของลำแสงทรงกระบอก- สิ่งต่อไปนี้เป็นที่คุ้นเคย:

2)

ให้ความสนใจกับเทคนิคการใช้เหตุผลในการแก้อินทิกรัลที่ 3

คำตอบ:

การคำนวณสามารถเขียนเป็น "หนึ่งบรรทัด" ได้เสมอ:


แต่ควรระวังด้วยวิธีนี้ - การเพิ่มความเร็วจะเต็มไปด้วยการสูญเสียคุณภาพและยิ่งตัวอย่างซับซ้อนมากเท่าไรก็ยิ่งมีโอกาสทำผิดพลาดมากขึ้นเท่านั้น

มาตอบคำถามสำคัญกัน:

จำเป็นต้องเขียนแบบหรือไม่หากเงื่อนไขของงานไม่จำเป็นต้องมีการดำเนินการ?

คุณสามารถไปได้สี่วิธี:

1) วาดเส้นโครงและตัวมันเอง นี่เป็นตัวเลือกที่ได้เปรียบที่สุด - หากคุณมีโอกาสวาดภาพที่ดีสองภาพอย่าขี้เกียจทำทั้งสองภาพ ฉันแนะนำมันก่อน

2) วาดเฉพาะตัวเท่านั้น เหมาะเมื่อร่างกายมีการฉายภาพที่เรียบง่ายและชัดเจน ตัวอย่างเช่น ในตัวอย่างที่แยกชิ้นส่วน การวาดภาพสามมิติก็เพียงพอแล้ว อย่างไรก็ตามก็มีข้อเสียเช่นกัน - การกำหนดลำดับการเคลื่อนที่ของการฉายภาพจากภาพ 3 มิติไม่สะดวกและฉันอยากจะแนะนำวิธีนี้ให้กับผู้ที่มีระดับการฝึกอบรมที่ดีเท่านั้น

3) วาดเฉพาะการฉายภาพ นี่ก็ไม่ได้แย่เช่นกัน แต่จำเป็นต้องมีความคิดเห็นที่เป็นลายลักษณ์อักษรเพิ่มเติม ซึ่งจำกัดพื้นที่จากหลายฝ่าย น่าเสียดายที่ตัวเลือกที่สามมักถูกบังคับ - เมื่อร่างกายมีขนาดใหญ่เกินไปหรือการก่อสร้างเต็มไปด้วยปัญหาอื่น ๆ และเราจะพิจารณาตัวอย่างดังกล่าวด้วย

4) ทำโดยไม่ต้องวาดรูปเลย ในกรณีนี้ คุณต้องจินตนาการถึงร่างกายทางจิตใจและแสดงความคิดเห็นเกี่ยวกับรูปร่าง/ตำแหน่งของร่างกายเป็นลายลักษณ์อักษร เหมาะสำหรับเนื้อหาที่เรียบง่ายหรืองานที่การวาดภาพทั้งสองแบบเป็นเรื่องยาก แต่อย่างน้อยก็ยังดีกว่าถ้าทำแบบแผนเนื่องจากโซลูชันแบบ "เปล่า" อาจถูกปฏิเสธ

เนื้อหาต่อไปนี้มีไว้สำหรับงานอิสระ:

ตัวอย่างที่ 2

ใช้ปริพันธ์สามตัวในการคำนวณปริมาตรของวัตถุที่ล้อมรอบด้วยพื้นผิว

ในกรณีนี้ โดเมนของการบูรณาการถูกระบุโดยความไม่เท่าเทียมกันเป็นหลัก และจะดีกว่านี้อีก - ชุดของความไม่เท่าเทียมกัน กำหนดออคแทนต์ที่ 1 รวมถึงระนาบพิกัดและอสมการ – ครึ่งช่องว่างซึ่งมีต้นกำเนิด (ตรวจสอบ)+ เครื่องบินนั่นเอง ระนาบ "แนวตั้ง" จะตัดพาราโบลาไปตามพาราโบลา และขอแนะนำให้สร้างส่วนนี้ไว้ในภาพวาด เมื่อต้องการทำเช่นนี้ คุณต้องหาจุดอ้างอิงเพิ่มเติม วิธีที่ง่ายที่สุดคือจุดยอดของพาราโบลา (เราคำนึงถึงคุณค่า และคำนวณ "zet") ที่สอดคล้องกัน.

มาอุ่นเครื่องกันต่อไป:

ตัวอย่างที่ 3

ใช้ปริพันธ์สามตัวในการคำนวณปริมาตรของร่างกายที่ล้อมรอบด้วยพื้นผิวที่ระบุ ดำเนินการวาดภาพ

สารละลาย: ถ้อยคำ “ดำเนินการวาดภาพ” ให้อิสระแก่เราบ้าง แต่ส่วนใหญ่น่าจะหมายถึงการดำเนินการวาดภาพเชิงพื้นที่ อย่างไรก็ตาม การฉายภาพก็ไม่เสียหายเช่นกัน โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อนี่ไม่ใช่วิธีที่ง่ายที่สุด

เรายึดถือกลยุทธ์ที่ได้รับการพิสูจน์แล้วก่อนหน้านี้ - ก่อนอื่นเราจะจัดการก่อน พื้นผิวซึ่งขนานกับแกนของแอปพลิเคชัน สมการของพื้นผิวดังกล่าวไม่มีตัวแปร “ze” อย่างชัดเจน:

– สมการระบุระนาบพิกัดที่ผ่านแกน ( ซึ่งบนเครื่องบินถูกกำหนดโดยสมการ "บาร์นี้");
– ชุดสมการ เครื่องบินโดยผ่าน "ชื่อเดียวกัน" เส้นตรง "แบน"ขนานกับแกน

ร่างกายที่ต้องการถูกจำกัดด้วยระนาบด้านล่างและ กระบอกพาราโบลาข้างบน:

มาสร้างลำดับการเคลื่อนที่ของร่างกายในขณะที่ฉันเตือนคุณว่าข้อ จำกัด ของการรวม "X" และ "Y" จะสะดวกกว่าในการค้นหาโดยใช้การวาดภาพสองมิติ:

ดังนั้น:

1)

เมื่อรวมเข้ากับ "y" แล้ว "x" ถือเป็นค่าคงที่ ดังนั้นจึงแนะนำให้นำค่าคงที่ออกจากเครื่องหมายอินทิกรัลทันที

3)

คำตอบ:

ใช่ ฉันเกือบลืมไปว่าในกรณีส่วนใหญ่การตรวจสอบผลลัพธ์ที่ได้จากการวาดภาพสามมิตินั้นมีประโยชน์เพียงเล็กน้อย (และเป็นอันตรายด้วยซ้ำ) เนื่องจากมีความเป็นไปได้สูง ภาพลวงตาปริมาณที่ฉันพูดถึงในชั้นเรียน ปริมาณของร่างแห่งการปฏิวัติ- ดังนั้นเมื่อประเมินเนื้อความของปัญหาที่พิจารณาแล้ว สำหรับฉันโดยส่วนตัวแล้วดูเหมือนว่ามันมี "ลูกบาศก์" มากกว่า 4 อัน

ตัวอย่างต่อไปนี้สำหรับโซลูชันอิสระ:

ตัวอย่างที่ 4

ใช้ปริพันธ์สามตัวในการคำนวณปริมาตรของร่างกายที่ล้อมรอบด้วยพื้นผิวที่ระบุ วาดภาพร่างนี้และฉายภาพลงบนเครื่องบิน

ตัวอย่างงานโดยประมาณในตอนท้ายของบทเรียน

ไม่ใช่เรื่องแปลกที่การวาดภาพสามมิติเป็นเรื่องยาก:

ตัวอย่างที่ 5

ใช้ปริพันธ์สามหาปริมาตรของวัตถุที่กำหนดโดยพื้นผิวที่ล้อมรอบ

สารละลาย: การฉายภาพที่นี่ไม่ซับซ้อน แต่คุณต้องคิดถึงลำดับการเคลื่อนที่ผ่าน หากคุณเลือกวิธีที่ 1 ตัวเลขจะต้องแบ่งออกเป็น 2 ส่วนซึ่งคุกคามการคำนวณผลรวมอย่างจริงจัง สองอินทิกรัลสามตัว ในเรื่องนี้เส้นทางที่ 2 ดูมีแนวโน้มมากกว่ามาก ให้เราแสดงและพรรณนาการฉายภาพของร่างกายนี้ในภาพวาด:

ฉันขอโทษสำหรับคุณภาพของภาพบางภาพ ฉันตัดมันโดยตรงจากต้นฉบับของตัวเอง

เราเลือกลำดับการสำรวจรูปร่างที่ได้เปรียบกว่า:

ตอนนี้ก็แล้วแต่ร่างกายแล้ว จากด้านล่างมันถูกจำกัดโดยเครื่องบิน จากด้านบน - โดยเครื่องบินที่ผ่านแกนกำหนด และทุกอย่างคงจะดี แต่เครื่องบินลำสุดท้ายชันเกินไปและการสร้างพื้นที่ไม่ใช่เรื่องง่าย ตัวเลือกที่นี่ไม่มีใครอยากได้: เครื่องประดับจะทำงานในขนาดเล็ก (เนื่องจากตัวเครื่องค่อนข้างบาง) หรือภาพวาดสูงประมาณ 20 เซนติเมตร (และถึงแม้จะพอดีก็ตาม)

แต่มีวิธีการแก้ไขปัญหาแบบรัสเซียวิธีที่สาม - เพื่อให้คะแนน =) และแทนที่จะวาดภาพสามมิติให้ทำตามคำอธิบายด้วยวาจา:“ ร่างกายนี้ถูกจำกัดด้วยกระบอกสูบ และเครื่องบินจากด้านข้าง เครื่องบินจากด้านล่าง และเครื่องบินจากด้านบน”

ขีดจำกัด "แนวตั้ง" ของการบูรณาการนั้นชัดเจน:

ลองคำนวณปริมาตรของร่างกายโดยไม่ลืมว่าเราเลี่ยงการฉายภาพด้วยวิธีที่ใช้กันทั่วไปน้อยกว่า:

1)

คำตอบ:

ดังที่คุณสังเกตเห็น ร่างที่เสนอในปัญหาที่ไม่แพงเกินหนึ่งร้อยเหรียญ มักจะถูกจำกัดโดยระนาบด้านล่าง แต่นี่ไม่ใช่กฎ ดังนั้นคุณต้องระวังอยู่เสมอ - คุณอาจเจองานที่มีศพอยู่และ ภายใต้แบน ตัวอย่างเช่น หากในปัญหาที่วิเคราะห์ เราพิจารณาระนาบแทน ดังนั้นร่างกายที่ตรวจสอบจะถูกแมปอย่างสมมาตรในพื้นที่ครึ่งล่าง และจะถูกจำกัดโดยระนาบจากด้านล่าง และโดยระนาบจากด้านบน!

เป็นเรื่องง่ายที่จะเห็นว่าคุณได้รับผลลัพธ์เดียวกัน:

(จำไว้ว่าร่างกายต้องเดินไปมา จากล่างขึ้นบนอย่างเคร่งครัด!)

นอกจากนี้ไม่สามารถใช้ระนาบ "รายการโปรด" ได้เลย ตัวอย่างที่ง่ายที่สุด: ลูกบอลที่อยู่เหนือระนาบ - เมื่อคำนวณปริมาตรจะไม่จำเป็นต้องใช้สมการเลย

เราจะพิจารณากรณีเหล่านี้ทั้งหมด แต่ตอนนี้มีงานที่คล้ายกันให้คุณแก้ไขด้วยตัวเอง:

ตัวอย่างที่ 6

ใช้ปริพันธ์สามหาปริมาตรของวัตถุที่ล้อมรอบด้วยพื้นผิว

คำตอบสั้น ๆ และคำตอบในตอนท้ายของบทเรียน

มาดูย่อหน้าที่สองด้วยสื่อยอดนิยมไม่แพ้กัน:

อินทิกรัลสามตัวในพิกัดทรงกระบอก

โดยพื้นฐานแล้วพิกัดทรงกระบอกคือ พิกัดเชิงขั้วในที่ว่าง.
ในระบบพิกัดทรงกระบอก ตำแหน่งของจุดในอวกาศจะถูกกำหนดโดยพิกัดเชิงขั้วของจุด - การฉายของจุดบนระนาบและการประยุกต์ใช้จุดนั้นเอง

การเปลี่ยนจากระบบคาร์ทีเซียนสามมิติไปเป็นระบบพิกัดทรงกระบอกจะดำเนินการตามสูตรต่อไปนี้:

ตามหัวข้อของเรา การเปลี่ยนแปลงมีลักษณะดังนี้:

และในกรณีง่าย ๆ ที่เรากำลังพิจารณาในบทความนี้:

สิ่งสำคัญคืออย่าลืมเกี่ยวกับตัวคูณ "เอ้อ" เพิ่มเติมและวางไว้อย่างถูกต้อง ขีดจำกัดเชิงขั้วของการบูรณาการเมื่อเคลื่อนที่ข้ามเส้นโครง:

ตัวอย่างที่ 7

สารละลาย: เราปฏิบัติตามขั้นตอนเดียวกัน ประการแรก เราจะพิจารณาสมการที่ไม่มีตัวแปร "z" มีที่นี่ที่เดียวเท่านั้น การฉายภาพ พื้นผิวทรงกระบอกบนเครื่องบินเป็นตัวแทนของ “บาร์นี้” วงกลม .

เครื่องบิน พวกเขาจำกัดร่างกายที่ต้องการจากด้านล่างและด้านบน (“ตัด” ออกจากกระบอกสูบ) และฉายเป็นวงกลม:

ต่อไปเป็นการวาดภาพสามมิติ ปัญหาหลักอยู่ที่การสร้างระนาบที่ตัดทรงกระบอกที่มุม "เฉียง" ซึ่งส่งผลให้ วงรี- ให้เราอธิบายส่วนนี้ให้กระจ่างในเชิงวิเคราะห์: เมื่อต้องการทำสิ่งนี้ ให้เขียนสมการของระนาบใหม่ในรูปแบบเชิงฟังก์ชัน และคำนวณค่าของฟังก์ชัน (“ความสูง”) ณ จุดที่ชัดเจนซึ่งอยู่บนขอบเขตของการฉายภาพ:

เราทำเครื่องหมายจุดที่พบบนภาพวาดและระมัดระวัง (ไม่เหมือนฉัน =))เชื่อมต่อด้วยสาย:

การฉายภาพวัตถุบนระนาบนั้นเป็นวงกลม และนี่เป็นข้อโต้แย้งที่ชัดเจนในการสนับสนุนให้ย้ายไปยังระบบพิกัดทรงกระบอก:

ให้เราค้นหาสมการของพื้นผิวในพิกัดทรงกระบอก:

ตอนนี้คุณต้องรู้ลำดับการเคลื่อนที่ของร่างกาย

ก่อนอื่นเรามาจัดการกับการฉายภาพกันก่อน จะตรวจสอบลำดับการข้ามได้อย่างไร? เหมือนกันทุกประการกับ การคำนวณอินทิกรัลสองเท่าในพิกัดเชิงขั้ว- นี่คือระดับประถมศึกษา:

ขีด จำกัด ของการรวม "แนวตั้ง" ก็ชัดเจนเช่นกัน - เราเข้าสู่ร่างกายผ่านระนาบและออกจากมันผ่านระนาบ:

มาดูอินทิกรัลซ้ำกัน:

ในกรณีนี้ เราจะใส่ตัวประกอบ "er" ลงในอินทิกรัล "ของเรา" ทันที

ตามปกติไม้กวาดจะหักตามกิ่งไม้ได้ง่ายกว่า:

1)

เราใส่ผลลัพธ์ลงในอินทิกรัลต่อไปนี้:

และที่นี่เราอย่าลืมว่า "ฟี" ถือเป็นค่าคงที่ แต่สำหรับตอนนี้คือ:

คำตอบ:

งานที่คล้ายกันสำหรับคุณในการแก้ไขด้วยตัวเอง:

ตัวอย่างที่ 8

คำนวณปริมาตรของวัตถุที่ล้อมรอบด้วยพื้นผิวโดยใช้อินทิกรัลสามตัว วาดภาพร่างนี้และการฉายภาพลงบนเครื่องบิน

ตัวอย่างการออกแบบขั้นสุดท้ายโดยประมาณในตอนท้ายของบทเรียน

โปรดทราบว่าในเงื่อนไขของปัญหา ไม่มีการพูดถึงการเปลี่ยนไปใช้ระบบพิกัดทรงกระบอก และคนที่โง่เขลาจะต่อสู้กับอินทิกรัลที่ยากลำบากในพิกัดคาร์ทีเซียน ...หรืออาจจะไม่ - ท้ายที่สุดแล้วมีวิธีแก้ไขปัญหาแบบรัสเซียดั้งเดิมวิธีที่สาม =)

มันแค่เริ่มต้นเท่านั้น! ...ในทางที่ดี: =)

ตัวอย่างที่ 9

ใช้ปริพันธ์สามหาปริมาตรของวัตถุที่ล้อมรอบด้วยพื้นผิว

เจียมเนื้อเจียมตัวและมีรสนิยม

สารละลาย: ร่างกายนี้มีจำนวนจำกัด พื้นผิวทรงกรวยและ พาราโบลอยด์ทรงรี- ผู้อ่านที่ได้อ่านเนื้อหาบทความอย่างละเอียด พื้นผิวพื้นฐานของพื้นที่เราได้จินตนาการแล้วว่าร่างกายมีลักษณะอย่างไร แต่ในทางปฏิบัติมักพบกรณีที่ซับซ้อนกว่านี้ ดังนั้นฉันจะใช้เหตุผลเชิงวิเคราะห์โดยละเอียด

อันดับแรก เราจะหาเส้นที่พื้นผิวตัดกัน มาเขียนและแก้ไขระบบต่อไปนี้:

จากสมการที่ 1 เราลบเทอมที่สองทีละเทอม:

ผลลัพธ์ที่ได้คือสองราก:

ลองแทนค่าที่พบลงในสมการของระบบ:
ซึ่งเป็นไปตามนั้น
ดังนั้นรูทจึงสอดคล้องกับจุดเดียว - ต้นกำเนิด โดยธรรมชาติแล้วเนื่องจากจุดยอดของพื้นผิวที่พิจารณาตรงกัน

ทีนี้ลองแทนรากที่สองลงในสมการของระบบด้วย:

ความหมายทางเรขาคณิตของผลลัพธ์ที่ได้คืออะไร? “ที่ระดับความสูง” (ในระนาบ) พาราโบลาและกรวยตัดกัน วงกลม– รัศมีหน่วยโดยมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด

ในกรณีนี้ "ชาม" ของพาราโบลอยด์จึงมี "กรวย" ของกรวยอยู่ด้วย การขึ้นรูปพื้นผิวทรงกรวยควรวาดด้วยเส้นประ (ยกเว้นส่วนของเจเนราทริกซ์ที่อยู่ไกลจากเราที่สุดซึ่งมองเห็นได้จากมุมนี้):

การฉายภาพร่างกายบนเครื่องบินคือ วงกลมโดยมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิดรัศมี 1 ซึ่งข้าพเจ้าไม่กล้าบรรยายด้วยซ้ำเพราะเห็นแจ้งข้อเท็จจริงข้อนี้ (แต่เราจะแสดงความคิดเห็นเป็นลายลักษณ์อักษร!)- อย่างไรก็ตาม ในปัญหาสองข้อก่อนหน้านี้ การเขียนแบบการฉายภาพก็สามารถทำคะแนนได้เช่นกัน หากไม่เป็นไปตามเงื่อนไข

เมื่อย้ายไปยังพิกัดทรงกระบอกโดยใช้สูตรมาตรฐาน อสมการจะถูกเขียนในรูปแบบที่ง่ายที่สุด และไม่มีปัญหากับลำดับการเคลื่อนที่ของการฉายภาพ:

มาหาสมการของพื้นผิวในระบบพิกัดทรงกระบอกกัน:

เนื่องจากปัญหาพิจารณาถึงส่วนบนของกรวย เราจึงแสดงจากสมการ:

“เราสแกนร่างกาย” จากล่างขึ้นบน รังสีของแสงส่องเข้ามาผ่านพาราโบลอยด์ทรงรีและออกผ่านพื้นผิวทรงกรวย ดังนั้นลำดับ "แนวตั้ง" ของการเคลื่อนที่ไปตามลำตัวคือ:

ที่เหลือเป็นเรื่องของเทคนิค:

คำตอบ:

ไม่ใช่เรื่องแปลกที่ร่างกายจะถูกกำหนดไม่ใช่ด้วยพื้นผิวที่จำกัด แต่ด้วยความไม่เท่าเทียมกันหลายประการ:

ตัวอย่างที่ 10

ฉันอธิบายความหมายทางเรขาคณิตของความไม่เท่าเทียมกันเชิงพื้นที่อย่างละเอียดเพียงพอในบทความอ้างอิงเดียวกัน - พื้นผิวพื้นฐานของพื้นที่และการก่อสร้าง.

แม้ว่างานนี้จะมีพารามิเตอร์ แต่ก็ช่วยให้สามารถดำเนินการวาดภาพที่แม่นยำซึ่งสะท้อนถึงลักษณะพื้นฐานของร่างกายได้ คิดเกี่ยวกับวิธีการสร้าง คำตอบและคำตอบสั้นๆ อยู่ท้ายบทเรียน

...ยังมีงานอีกสองสามอย่างเหรอ? ฉันกำลังคิดว่าจะเรียนให้จบแต่ฉันรู้สึกว่าคุณต้องการมากกว่านี้ =)

ตัวอย่างที่ 11

ใช้ปริพันธ์สามตัวเพื่อคำนวณปริมาตรของตัววัตถุที่กำหนด:
โดยที่จำนวนบวกใดๆ ก็ตาม

สารละลาย: ความไม่เท่าเทียมกัน กำหนดลูกบอลที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิดของรัศมี และค่าอสมการ – “ด้านใน” ของทรงกระบอกทรงกลมที่มีแกนรัศมีสมมาตร . ดังนั้น ลำตัวที่ต้องการจึงถูกจำกัดด้วยทรงกระบอกทรงกลมที่ด้านข้างและส่วนที่เป็นทรงกลมสมมาตรสัมพันธ์กับระนาบที่ด้านบนและด้านล่าง

เอาสิ่งนี้เป็นหน่วยฐานของการวัด มาวาดกัน:

แม่นยำยิ่งขึ้นควรเรียกว่าภาพวาดเนื่องจากฉันไม่ได้รักษาสัดส่วนตามแกนเป็นอย่างดี อย่างไรก็ตาม ถ้าพูดตามตรง เงื่อนไขนี้ไม่จำเป็นต้องวาดอะไรเลย และภาพประกอบดังกล่าวก็เพียงพอแล้ว

โปรดทราบว่าที่นี่ไม่จำเป็นต้องค้นหาความสูงที่กระบอกสูบตัด "แคป" ออกจากลูกบอล - หากคุณใช้เข็มทิศในมือแล้วใช้มันเพื่อทำเครื่องหมายวงกลมโดยมีจุดศูนย์กลางที่จุดกำเนิดของรัศมี 2 ซม. จากนั้นจุดตัดกับทรงกระบอกจะปรากฏขึ้นมาเอง