เบอร์นั้นเรียกว่า พีชคณิตถ้ามันคือรากของพหุนามบางตัวที่มีค่าสัมประสิทธิ์จำนวนเต็ม

a nxn +a n-1 x n-1 +... +a 1 x+a 0(นั่นคือรากของสมการ ก n x n +ก n-1 x n-1 +... +a 1 x+a 0 =0, ที่ไหน หนึ่ง, n-1, ..., 1, 0--- จำนวนทั้งหมด, หมายเลข 1, ไม่มี 0).

เราแสดงชุดของตัวเลขพีชคณิตด้วยตัวอักษร .

เป็นเรื่องง่ายที่จะเห็นว่าจำนวนตรรกยะใดๆ เป็นพีชคณิต แท้จริงแล้วรากของสมการ qx-p=0ด้วยสัมประสิทธิ์จำนวนเต็ม ก 1 = คิวและ 0 =-พี- ดังนั้น, .

อย่างไรก็ตาม ไม่ใช่ว่าตัวเลขพีชคณิตทั้งหมดจะเป็นจำนวนตรรกยะ เช่น จำนวนนั้นเป็นรากของสมการ x 2 -2=0จึงเป็นตัวเลขพีชคณิต

เป็นเวลานานแล้วที่คำถามสำคัญสำหรับคณิตศาสตร์ยังคงไม่ได้รับการแก้ไข: ตัวเลขจริงที่ไม่ใช่พีชคณิตมีอยู่จริงหรือไม่? ? เฉพาะในปี 1844 เท่านั้นที่ Liouville ได้ยกตัวอย่างตัวเลขเหนือธรรมชาติ (เช่น ไม่ใช่พีชคณิต) เป็นครั้งแรก

การสร้างตัวเลขนี้และการพิสูจน์ความเป็นเลิศนั้นเป็นเรื่องยากมาก เป็นไปได้ที่จะพิสูจน์ทฤษฎีบทเรื่องการมีอยู่ของจำนวนอดิศัยได้ง่ายกว่ามาก โดยใช้การพิจารณาเกี่ยวกับความสมมูลและความไม่สมมูลของชุดตัวเลข

กล่าวคือ เราจะพิสูจน์ว่าเซตของตัวเลขพีชคณิตสามารถนับได้ จากนั้น เนื่องจากเซตของจำนวนจริงทั้งหมดนับไม่ได้ เราจะสร้างการมีอยู่ของจำนวนที่ไม่ใช่พีชคณิต

มาสร้างการติดต่อสื่อสารแบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างกัน และเซตย่อยบางส่วน - นี่จะหมายความอย่างนั้น - มีขอบเขตหรือนับได้ แต่ตั้งแต่ , ที่ อนันต์จึงนับได้

ให้เป็นเลขพีชคณิตบ้าง ลองพิจารณาพหุนามทั้งหมดที่มีค่าสัมประสิทธิ์จำนวนเต็มซึ่งมีรูตเป็น และเลือกพหุนามจากพวกมัน ประดับต่ำสุด (เช่น จะไม่ใช่รากของพหุนามใดๆ ที่มีค่าสัมประสิทธิ์จำนวนเต็มในระดับที่น้อยกว่า)

ตัวอย่างเช่น สำหรับจำนวนตรรกยะ พหุนามนั้นมีดีกรี 1 และสำหรับจำนวนนั้นมีดีกรี 2

ลองหารสัมประสิทธิ์ทั้งหมดของพหุนามกัน ปโดยตัวหารร่วมมากของพวกเขา เราได้พหุนามที่มีค่าสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเฉพาะร่วมกัน (ตัวหารร่วมมากที่สุดคือ 1) สุดท้ายถ้านำค่าสัมประสิทธิ์ หนึ่งเป็นลบ ให้คูณสัมประสิทธิ์ทั้งหมดของพหุนามด้วย -1 .

พหุนามผลลัพธ์ (เช่น พหุนามที่มีค่าสัมประสิทธิ์จำนวนเต็มซึ่งรากคือจำนวนที่มีระดับต่ำสุดที่เป็นไปได้ สัมประสิทธิ์โคไพรม์ และสัมประสิทธิ์นำเชิงบวก) เรียกว่าพหุนามน้อยที่สุดของตัวเลข

สามารถพิสูจน์ได้ว่าพหุนามนั้นถูกกำหนดโดยเฉพาะ: จำนวนพีชคณิตทุกจำนวนจะมีพหุนามขั้นต่ำเพียงตัวเดียวเท่านั้น

จำนวนรากที่แท้จริงของพหุนามจะต้องไม่เกินระดับของมัน ซึ่งหมายความว่าเราสามารถนับรากทั้งหมดของพหุนามดังกล่าวได้ (เช่น เรียงลำดับจากน้อยไปหามาก)

ตอนนี้จำนวนพีชคณิตทุกจำนวนถูกกำหนดโดยพหุนามขั้นต่ำของมัน (นั่นคือ เซตของสัมประสิทธิ์) และจำนวนที่ทำให้พหุนามนี้แตกต่างจากรากอื่น: (ก 0 ,ก 1 ,...,ก-1 ,ก ,k)

ดังนั้น สำหรับจำนวนพีชคณิตแต่ละจำนวน เราได้เชื่อมโยงชุดจำนวนเต็มจำกัด และจากชุดนี้ เราสามารถสร้างมันขึ้นมาใหม่ได้โดยไม่ซ้ำกัน (นั่นคือ ชุดที่ต่างกันสอดคล้องกับตัวเลขที่ต่างกัน)

ขอให้เรานับจำนวนเฉพาะทั้งหมดตามลำดับจากน้อยไปหามาก (เป็นเรื่องง่ายที่จะแสดงว่ามีจำนวนจำนวนนับไม่ถ้วน) เราได้ลำดับอนันต์ (พีเค): พี 1 = 2,พี 2 = 3, หน้า 3 =5, หน้า 4 = 7, ... ตอนนี้เป็นเซตของจำนวนเต็ม (ก 0 ,ก 1 ,...,ก-1 ,ก ,k)สามารถเข้ากับงานได้

(จำนวนนี้เป็นจำนวนบวกและเป็นตรรกยะ แต่ไม่เป็นธรรมชาติเสมอไป เพราะในบรรดาตัวเลขต่างๆ 0, 1, ..., n-1อาจเป็นลบ) โปรดทราบว่าจำนวนนี้เป็นเศษส่วนที่ลดไม่ได้ เนื่องจากตัวประกอบเฉพาะที่อยู่ในส่วนขยายของตัวเศษและส่วนต่างกัน โปรดทราบว่าเศษส่วนที่ลดไม่ได้สองตัวที่มีทั้งเศษและส่วนเป็นบวกจะเท่ากันก็ต่อเมื่อทั้งเศษเท่ากันและส่วนเท่ากัน

ให้เราพิจารณาการทำแผนที่ตั้งแต่ต้นจนจบ:

(ก 0 ,ก 1 ,...,ก-1 ,ก ,k) =

เนื่องจากเราได้กำหนดชุดจำนวนเต็มที่แตกต่างกันให้กับจำนวนพีชคณิตที่แตกต่างกัน และจำนวนตรรกยะที่แตกต่างกันให้กับชุดที่ต่างกัน เราจึงสร้างการติดต่อแบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างชุด และเซตย่อยบางส่วน - ดังนั้นเซตของตัวเลขพีชคณิตจึงสามารถนับได้

เนื่องจากเซตของจำนวนจริงนับไม่ได้ เราจึงได้พิสูจน์การมีอยู่ของจำนวนที่ไม่ใช่พีชคณิตแล้ว

อย่างไรก็ตาม ทฤษฎีบทการดำรงอยู่ไม่ได้ระบุว่าจะระบุได้อย่างไรว่าจำนวนที่กำหนดนั้นเป็นพีชคณิตหรือไม่ และบางครั้งคำถามนี้ก็สำคัญมากสำหรับคณิตศาสตร์

คำว่า "ทิพย์" มักจะเกี่ยวข้องกับการทำสมาธิทิพย์และความลึกลับต่างๆ แต่หากต้องการใช้อย่างถูกต้อง อย่างน้อยคุณต้องแยกความแตกต่างจากคำว่า "เหนือธรรมชาติ" และอย่างน้อยที่สุดก็จำบทบาทของมันในผลงานของคานท์และนักปรัชญาคนอื่นๆ

แนวคิดนี้มาจากภาษาละตินว่า Transcendens - "การก้าวข้าม" "เหนือกว่า" "ก้าวไปไกลกว่านั้น" โดยทั่วไปหมายถึงบางสิ่งที่โดยพื้นฐานแล้วไม่สามารถเข้าถึงความรู้เชิงประจักษ์หรือไม่ได้ขึ้นอยู่กับประสบการณ์ ข้อกำหนดเบื้องต้นสำหรับคำนี้เกิดขึ้นในปรัชญาของ Neoplatonism - ผู้ก่อตั้งขบวนการ Plotinus ได้สร้างหลักคำสอนของ One - หลักการแรกที่ดีทั้งหมดซึ่งไม่สามารถรับรู้ได้ด้วยความพยายามในการคิดหรือด้วยความช่วยเหลือจากประสาทสัมผัส ประสบการณ์. “สิ่งหนึ่งไม่ใช่สิ่งมีชีวิต แต่เป็นพ่อแม่ของมัน” นักปรัชญาอธิบาย

คำว่า "ผู้อยู่เหนือธรรมชาติ" ได้รับการเปิดเผยอย่างเต็มที่ที่สุดในปรัชญาของอิมมานูเอล คานท์ ซึ่งใช้เพื่ออธิบายลักษณะของสิ่งต่าง ๆ ที่มีอยู่อย่างเป็นอิสระจากจิตสำนึกและกระทำตามประสาทสัมผัสของเรา ในขณะที่ยังคงเป็นสิ่งที่ไม่รู้โดยพื้นฐาน ทั้งในเชิงปฏิบัติและในทางทฤษฎี สิ่งที่ตรงกันข้ามกับความมีชัยคือ: มันหมายถึงการแยกไม่ออก การเชื่อมต่อภายในของคุณภาพบางอย่างของวัตถุกับตัววัตถุนั้นเอง หรือความรู้ของวัตถุผ่านประสบการณ์ส่วนตัว ตัวอย่างเช่น ถ้าเราสมมุติว่าจักรวาลถูกสร้างขึ้นตามแผนการที่สูงกว่า แผนนั้นก็เป็นสิ่งที่เหนือธรรมชาติสำหรับเรา เราทำได้เพียงสร้างสมมติฐานเกี่ยวกับมันเท่านั้น แต่ถ้าแผนนี้มีอยู่ในความเป็นจริง ผลที่ตามมาก็จะเกิดขึ้นกับเราโดยแสดงให้เห็นในกฎทางกายภาพและสภาวการณ์ที่เราพบตนเอง ดังนั้นในแนวคิดทางเทววิทยาบางประการ พระเจ้าทรงเป็นผู้อยู่เหนือธรรมชาติและอยู่นอกเหนือการดำรงอยู่ที่พระองค์สร้างขึ้น

บางสิ่งในตัวเองยังคงเข้าถึงได้ด้วยความรู้เชิงนิรนัย เช่น พื้นที่และเวลา ความคิดเกี่ยวกับพระเจ้า ความดีและความงาม หมวดหมู่เชิงตรรกะ กล่าวคือ วัตถุทิพย์นั้น “ถูกกำหนดไว้เป็นค่าเริ่มต้น” ในใจของเราในเชิงอุปมา

แนวคิดเรื่องการมีชัยก็มีอยู่ในคณิตศาสตร์เช่นกัน จำนวนเหนือธรรมชาติคือตัวเลขที่ไม่สามารถคำนวณโดยใช้พีชคณิตหรือแสดงพีชคณิตได้ (นั่นคือ ไม่สามารถเป็นรากของพหุนามที่มีค่าสัมประสิทธิ์จำนวนเต็มที่ไม่เหมือนกับศูนย์ได้) ซึ่งรวมถึงตัวเลข π และ e เป็นต้น

แนวคิดที่ใกล้เคียงกับ "ทิพย์" แต่ความหมายต่างกันคือ "ทิพย์" ในขั้นต้นมันแสดงถึงพื้นที่ของประเภทจิตนามธรรมและต่อมาได้รับการพัฒนาโดยคานท์ซึ่งตกหลุมพรางของเขาเอง: มันเป็นไปไม่ได้ที่จะสร้างระบบปรัชญาจากข้อมูลเชิงประจักษ์เท่านั้นและเขาไม่รู้จักใด ๆ แหล่งประสบการณ์อื่นนอกเหนือจากเชิงประจักษ์ ในการที่จะออกไป นักปรัชญาต้องยอมรับว่าบางสิ่งในตัวเองยังคงเข้าถึงได้ด้วยความรู้เชิงนิรนัย เช่น พื้นที่และเวลา ความคิดเกี่ยวกับพระเจ้า ความดีและความงาม หมวดหมู่เชิงตรรกะ นั่นคือวัตถุทิพย์นั้น "ถูกติดตั้งไว้ล่วงหน้าตามค่าเริ่มต้น" ในใจของเรา - ในขณะที่ข้อมูลเกี่ยวกับวัตถุเหล่านั้นมีอยู่ในตัวมันเองและไม่ได้ติดตามจากประสบการณ์ของเรา

มีแนวคิดที่เกี่ยวข้องอีกประการหนึ่งคือความมีชัย ในความหมายที่กว้างที่สุดของคำนี้ หมายถึง การเปลี่ยนแปลงของเขตแดนระหว่างสองพื้นที่ที่แตกต่างกัน โดยเฉพาะอย่างยิ่งการเปลี่ยนจากทรงกลมของโลกนี้ไปสู่ทรงกลมของอีกโลกหนึ่งซึ่งอยู่เหนือธรรมชาติ เพื่อความง่าย ลองยกตัวอย่างจากนิยายวิทยาศาสตร์: โลกคู่ขนานสำหรับคนธรรมดาเป็นปรากฏการณ์เหนือธรรมชาติ แต่เมื่อพระเอกพบว่าตัวเองอยู่ในโลกคู่ขนานนี้หรือสามารถรับรู้ได้นี่คือความมีชัย หรือตัวอย่างที่ซับซ้อนมากขึ้นจากปรัชญาอัตถิภาวนิยม: Jean-Paul Sartre เชื่อว่ามนุษย์อยู่เหนือธรรมชาติเพราะเขาก้าวไปไกลกว่าประสบการณ์ส่วนตัวใด ๆ ที่เป็นไปได้ เราสามารถศึกษาตัวเองและโลกรอบตัวเราจากมุมที่ต่างกัน แต่เราจะไม่มีวันเข้าใกล้การรู้อย่างถ่องแท้ด้วยซ้ำ ตัวเราเอง. แต่ในขณะเดียวกันบุคคลก็มีความสามารถในการก้าวข้าม: เขาก้าวข้ามสิ่งใดสิ่งหนึ่งโดยให้ความหมายบางอย่างแก่มัน การมีชัยเป็นองค์ประกอบสำคัญในศาสนา: ช่วยให้บุคคลหลุดพ้นจากธรรมชาติทางวัตถุและสัมผัสบางสิ่งที่นอกเหนือไปจากนั้น

จากปรัชญา แนวคิดเรื่องความเป็นเหนือธรรมชาติได้อพยพไปสู่จิตวิทยา: นักจิตวิทยาชาวสวิส คาร์ล จุง ได้แนะนำแนวคิดของ "ฟังก์ชันเหนือธรรมชาติ" ซึ่งเป็นฟังก์ชันที่รวมจิตสำนึกและจิตใต้สำนึกเข้าด้วยกัน โดยเฉพาะอย่างยิ่งนักจิตวิเคราะห์สามารถทำหน้าที่เหนือธรรมชาติได้ - เขาช่วยผู้ป่วยวิเคราะห์ภาพของจิตไร้สำนึก (เช่นความฝัน) และเชื่อมโยงภาพเหล่านั้นเข้ากับกระบวนการมีสติในจิตใจของเขา

วิธีการพูด

ไม่ถูกต้อง “ฉันสมัครเข้าร่วมชั้นเรียนสมาธิทิพย์” ถูกต้อง - "เหนือธรรมชาติ"

ถูกต้อง “เมื่อข้าพเจ้าเข้าไปในวัด ข้าพเจ้าสัมผัสได้ถึงความรู้สึกผสานกับสิ่งเหนือธรรมชาติ”

อย่างถูกต้อง “ศิลปะก้าวข้ามวัตถุที่คุ้นเคยจากโลกแห่งวัตถุ เติมเต็มด้วยความหมายที่สูงกว่า”

เลขเหนือธรรมชาติ

จำนวน (จริงหรือจินตภาพ) ที่ไม่เป็นไปตามสมการพีชคณิตใดๆ (ดูสมการพีชคณิต) ด้วยสัมประสิทธิ์จำนวนเต็ม ดังนั้น ตัวเลขจึงตรงกันข้ามกับตัวเลขพีชคณิต (ดูตัวเลขพีชคณิต) การดำรงอยู่ของ T. ch. ก่อตั้งขึ้นครั้งแรกโดย J. Liouville (1844) จุดเริ่มต้นของลิอูวิลล์คือทฤษฎีบทของเขา ซึ่งลำดับของการประมาณเศษส่วนตรรกยะที่มีตัวส่วนที่กำหนดให้กับจำนวนพีชคณิตที่ไม่ลงตัวที่กำหนดนั้นไม่สามารถสูงตามอำเภอใจได้ กล่าวคือถ้าเป็นตัวเลขพีชคณิต กเป็นไปตามสมการพีชคณิตระดับปริญญาที่ลดไม่ได้ nด้วยสัมประสิทธิ์จำนวนเต็ม ดังนั้นสำหรับจำนวนตรรกยะใดๆ c ขึ้นอยู่กับเท่านั้น α - ดังนั้น หากสำหรับจำนวนอตรรกยะที่กำหนด α เราสามารถระบุชุดการประมาณเหตุผลจำนวนอนันต์ที่ไม่เป็นไปตามอสมการที่กำหนดสำหรับค่าใดๆ กับและ n(เหมือนกันสำหรับการประมาณทั้งหมด) จากนั้น α คือ T.h. ตัวอย่างของตัวเลขดังกล่าวให้:

จี. คันทอร์ (ค.ศ. 1874) ให้ข้อพิสูจน์การมีอยู่ของตัวเลขอีกประการหนึ่ง โดยสังเกตว่าเซตของจำนวนเชิงพีชคณิตทั้งหมดสามารถนับได้ (กล่าวคือ เลขพีชคณิตทั้งหมดสามารถกำหนดหมายเลขใหม่ได้ ดูทฤษฎีเซต) ในขณะที่เซตของจำนวนจริงทั้งหมด นับไม่ได้ ต่อจากนั้นจึงทำให้ชุดตัวเลขนับไม่ได้ และยิ่งไปกว่านั้น ตัวเลขยังประกอบกันเป็นกลุ่มของชุดตัวเลขทั้งหมดอีกด้วย

งานที่สำคัญที่สุดของทฤษฎีจำนวนสัมบูรณ์คือการพิจารณาว่าค่าของฟังก์ชันการวิเคราะห์ที่มีคุณสมบัติทางคณิตศาสตร์และการวิเคราะห์บางอย่างสำหรับค่าพีชคณิตของการโต้แย้งนั้นเป็นตัวเลขจริงหรือไม่ ปัญหาประเภทนี้ถือเป็นปัญหาที่ยากที่สุดของคณิตศาสตร์สมัยใหม่ ในปี พ.ศ. 2416 ซี. เฮอร์ไมต์ได้พิสูจน์ว่าหมายเลขเนเปโร

ในปี ค.ศ. 1882 นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน เอฟ. ลินเดมันน์ ได้รับผลลัพธ์ที่กว้างกว่านี้: ถ้า α เป็นตัวเลขพีชคณิต แล้ว จผลลัพธ์ของα - T. h. Lipdemann ได้รับการสรุปอย่างมีนัยสำคัญโดยนักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน K. Siegel (1930) ซึ่งพิสูจน์ให้เห็นถึงความเหนือกว่าของค่าของฟังก์ชันทรงกระบอกระดับกว้างสำหรับค่าพีชคณิตของการโต้แย้ง ในปี 1900 ที่การประชุมทางคณิตศาสตร์ที่ปารีส ดี. ฮิลแบร์ต หนึ่งในปัญหาทางคณิตศาสตร์ที่ยังแก้ไม่ได้ 23 ข้อ ชี้ให้เห็นสิ่งต่อไปนี้: เป็นจำนวนทิพย์ α β , ที่ไหน α และ β - ตัวเลขพีชคณิตและ β - จำนวนอตรรกยะและโดยเฉพาะอย่างยิ่งคือจำนวน e π ทิพย์ (ปัญหาของการมีชัยของตัวเลขในรูปแบบ α β จัดแสดงครั้งแรกในรูปแบบส่วนตัวโดยแอล. ออยเลอร์, 1744) วิธีแก้ปัญหาที่สมบูรณ์สำหรับปัญหานี้ (ในแง่ที่ยืนยัน) ได้รับในปี 1934 โดย A. O. Gelfond u. จากการค้นพบของเกลฟอนด์ พบว่าลอการิทึมทศนิยมทั้งหมดของจำนวนธรรมชาติ (ซึ่งก็คือ "ลอการิทึมแบบตาราง") เป็นจำนวนเต็ม วิธีการของทฤษฎีตัวเลขถูกนำไปใช้กับการแก้สมการจำนวนหนึ่งเป็นจำนวนเต็ม

ความหมาย: Gelfond A. O. ตัวเลขเหนือธรรมชาติและพีชคณิต M. , 1952

สารานุกรมผู้ยิ่งใหญ่แห่งสหภาพโซเวียต - ม.: สารานุกรมโซเวียต. 1969-1978 .

ดูว่า "เลขอดิศัย" ในพจนานุกรมอื่น ๆ คืออะไร:

จำนวนที่ไม่เป็นไปตามสมการพีชคณิตใดๆ ที่มีค่าสัมประสิทธิ์จำนวนเต็ม เลขอดิศัย คือ เลข??3.14159...; ลอการิทึมทศนิยมของจำนวนเต็มใดๆ ที่ไม่ได้แสดงด้วยเลขศูนย์ตามด้วยศูนย์ เบอร์ e=2.71828... ฯลฯ... พจนานุกรมสารานุกรมขนาดใหญ่

- (จากภาษาละติน transcendere ถึง pass, เกิน) คือจำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อนที่ไม่ใช่พีชคณิต กล่าวคือ จำนวนที่ไม่สามารถเป็นรากของพหุนามที่มีค่าสัมประสิทธิ์จำนวนเต็มได้ สารบัญ 1 คุณสมบัติ 2 ... ... Wikipedia

จำนวนที่ไม่เป็นไปตามสมการพีชคณิตใดๆ ที่มีค่าสัมประสิทธิ์จำนวนเต็ม ตัวเลขอดิศัย ได้แก่ ตัวเลข π = 3.14159...; ลอการิทึมทศนิยมของจำนวนเต็มใดๆ ที่ไม่ได้แสดงด้วยเลขศูนย์ตามด้วยศูนย์ เลข e = 2.71828... ฯลฯ... พจนานุกรมสารานุกรม

จำนวนที่ไม่ตรงกับพีชคณิตใดๆ สมการกับสัมประสิทธิ์จำนวนเต็ม รวมไปถึง: หมายเลข PI = 3.14159...; ลอการิทึมทศนิยมของจำนวนเต็มใดๆ ที่ไม่ได้แสดงด้วยเลขศูนย์ตามด้วยศูนย์ เลข e = 2.71828... ฯลฯ... วิทยาศาสตร์ธรรมชาติ. พจนานุกรมสารานุกรม

จำนวนที่ไม่ใช่รากของพหุนามที่มีค่าสัมประสิทธิ์จำนวนเต็ม ขอบเขตของคำจำกัดความของตัวเลขดังกล่าวคือศูนย์ของจำนวนจริง จำนวนเชิงซ้อน และจำนวนรัศมี การมีอยู่และโครงสร้างที่ชัดเจนของชิ้นส่วน T. จริงได้รับการพิสูจน์โดย J. Liouville... ... สารานุกรมคณิตศาสตร์

สมการที่ไม่ใช่พีชคณิต โดยทั่วไปแล้วสมการเหล่านี้ประกอบด้วยฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเชียล ลอการิทึม ตรีโกณมิติ และตรีโกณมิติผกผัน ตัวอย่างเช่น คำจำกัดความที่เข้มงวดมากขึ้นคือ: สมการเหนือธรรมชาติคือสมการ ... Wikipedia

ตัวเลขประมาณเท่ากับ 2.718 ซึ่งมักพบในวิชาคณิตศาสตร์และวิทยาศาสตร์ ตัวอย่างเช่น เมื่อสารกัมมันตภาพรังสีสลายตัวหลังจากเวลา t เศษส่วนเท่ากับ e kt จะคงอยู่ของปริมาณตั้งต้นของสาร โดยที่ k คือตัวเลข... ... สารานุกรมถ่านหิน

E คือค่าคงที่ทางคณิตศาสตร์ ซึ่งเป็นฐานของลอการิทึมธรรมชาติ ซึ่งเป็นจำนวนอตรรกยะและเป็นจำนวนอดิศัย บางครั้งเลข e เรียกว่าเลขออยเลอร์ (อย่าสับสนกับเลขออยเลอร์ชนิดแรก) หรือเลขเนเปียร์ แสดงด้วยอักษรละตินตัวพิมพ์เล็ก “e”.... ... Wikipedia

E คือค่าคงที่ทางคณิตศาสตร์ ซึ่งเป็นฐานของลอการิทึมธรรมชาติ ซึ่งเป็นจำนวนอตรรกยะและเป็นจำนวนอดิศัย บางครั้งเลข e เรียกว่าเลขออยเลอร์ (อย่าสับสนกับเลขออยเลอร์ชนิดแรก) หรือเลขเนเปียร์ แสดงด้วยอักษรละตินตัวพิมพ์เล็ก “e”.... ... Wikipedia

4.2. พีชคณิตและตัวเลขเหนือธรรมชาติ

จำนวนจริงบางครั้งยังแบ่งออกเป็นพีชคณิตและทิพย์อีกด้วย

ตัวเลขพีชคณิตคือตัวเลขที่เป็นรากของพหุนามพีชคณิตที่มีค่าสัมประสิทธิ์จำนวนเต็ม เช่น 4, ตัวเลขอื่นๆ (ที่ไม่ใช่พีชคณิต) ทั้งหมดถือเป็นตัวเลขที่ยอดเยี่ยม เนื่องจากจำนวนตรรกยะแต่ละจำนวน p/q เป็นรากของพหุนามที่สอดคล้องกันของดีกรีแรกที่มีค่าสัมประสิทธิ์จำนวนเต็ม qx -p ดังนั้น จำนวนอดิศัยทั้งหมดจึงไม่มีเหตุผล

ให้เราเน้นคุณลักษณะที่เป็นลักษณะเฉพาะของตัวเลขที่พิจารณา (เป็นธรรมชาติ เหตุผล จริง): พวกเขาจำลองคุณสมบัติเดียวเท่านั้น - ปริมาณ; มันเป็นมิติเดียวและทั้งหมดแสดงด้วยจุดบนเส้นตรงเส้นเดียวที่เรียกว่าแกนพิกัด

5. จำนวนเชิงซ้อน

5.1. ตัวเลขจินตภาพ

แม้แต่คนแปลกหน้าที่ไร้เหตุผลก็คือตัวเลขของธรรมชาติใหม่ ซึ่งค้นพบโดยนักวิทยาศาสตร์ชาวอิตาลี Cardano ในปี 1545 เขาแสดงให้เห็นว่าระบบสมการที่ไม่มีคำตอบในชุดจำนวนจริงจะมีคำตอบอยู่ในรูป . คุณเพียงแค่ต้องตกลงที่จะดำเนินการกับนิพจน์ดังกล่าวตามกฎของพีชคณิตธรรมดาและถือว่า · = -

Cardano เรียกปริมาณดังกล่าวว่า "เป็นลบล้วนๆ" และแม้แต่ "เป็นลบอย่างซับซ้อน" ถือว่าปริมาณเหล่านี้ไร้ประโยชน์และพยายามที่จะไม่ใช้มัน

เป็นเวลานานแล้วที่ตัวเลขเหล่านี้ถูกมองว่าเป็นไปไม่ได้ ไม่มีอยู่จริง และเป็นเพียงจินตนาการ เดการ์ตเรียกสิ่งเหล่านั้นว่าไลบ์นิซในจินตนาการ - "ตัวประหลาดจากโลกแห่งความคิด ตัวตนที่อยู่ระหว่างความเป็นอยู่และสิ่งไม่มีอยู่"

ในความเป็นจริงด้วยความช่วยเหลือของตัวเลขดังกล่าวจึงเป็นไปไม่ได้ที่จะแสดงผลการวัดปริมาณใด ๆ หรือการเปลี่ยนแปลงของปริมาณใด ๆ

ไม่มีที่สำหรับจำนวนจินตภาพบนแกนพิกัด อย่างไรก็ตาม นักวิทยาศาสตร์สังเกตว่าถ้าเราหาจำนวนจริง b บนส่วนที่เป็นบวกของแกนพิกัดแล้วคูณด้วย เราจะได้เลขจินตภาพ b ซึ่งไม่ทราบตำแหน่งอยู่ที่ไหน แต่ถ้าเราคูณเลขนี้อีกครั้ง เราจะได้ -b นั่นคือเลขเดิม แต่อยู่บนส่วนลบของแกนพิกัด ดังนั้น ด้วยการคูณสองครั้ง เราจึงโยนเลข b จากบวกไปเป็นลบ และตัวเลขที่อยู่ตรงกลางของการโยนนี้ ตัวเลขนั้นเป็นจำนวนจินตภาพพอดี นี่คือวิธีที่เราพบสถานที่สำหรับจำนวนจินตภาพ ณ จุดบนแกนพิกัดจินตภาพที่ตั้งฉากกับจุดศูนย์กลางของแกนพิกัดจริง จุดของระนาบระหว่างแกนจินตภาพและแกนจริงแสดงถึงตัวเลขที่คาร์ดาโนค้นพบ ซึ่งในรูปแบบทั่วไป a + b·i ประกอบด้วยจำนวนจริง a และ b·i ในจินตภาพในเชิงซ้อนเดียว (องค์ประกอบ) ดังนั้นจึงถูกเรียกว่า จำนวนเชิงซ้อน

นี่คือระดับที่ 4 ของการวางนัยทั่วไปของจำนวน

เทคนิคการดำเนินการกับจำนวนจินตภาพค่อยๆพัฒนาขึ้น ในช่วงเปลี่ยนศตวรรษที่ 17 และ 17 ทฤษฎีทั่วไปเกี่ยวกับรากของกำลัง n ได้ถูกสร้างขึ้น เริ่มจากลบก่อน แล้วจึงมาจากจำนวนเชิงซ้อนใดๆ ตามสูตรของนักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษ A. Moivre ต่อไปนี้:

เมื่อใช้สูตรนี้ ยังสามารถหาสูตรสำหรับโคไซน์และไซน์ของส่วนโค้งหลายส่วนได้

Leonhard Euler ได้รับสูตรที่น่าทึ่งในปี 1748:

ซึ่งเชื่อมโยงฟังก์ชันเลขชี้กำลังกับฟังก์ชันตรีโกณมิติเข้าด้วยกัน ด้วยการใช้สูตรของออยเลอร์ จึงสามารถยกจำนวน e ให้เป็นกำลังเชิงซ้อนใดๆ ได้ ที่น่าสนใจก็คือว่า... คุณสามารถค้นหา sin และ cos ของจำนวนเชิงซ้อน คำนวณลอการิทึมของตัวเลขดังกล่าว ฯลฯ

เป็นเวลานานที่แม้แต่นักคณิตศาสตร์ยังถือว่าจำนวนเชิงซ้อนเป็นเรื่องลึกลับและใช้มันเพื่อการจัดการทางคณิตศาสตร์เท่านั้น ดังนั้น เบอร์นูลลี นักคณิตศาสตร์ชาวสวิสจึงใช้จำนวนเชิงซ้อนในการแก้ปริพันธ์ หลังจากนั้นไม่นาน พวกเขาเรียนรู้ที่จะแสดงคำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นที่มีค่าสัมประสิทธิ์คงที่โดยใช้จำนวนจินตภาพ ตัวอย่างเช่น สมการดังกล่าวพบได้ในทฤษฎีการแกว่งของจุดวัสดุในตัวกลางต้านทาน

กลุ่มเมทริกซ์พีชคณิต

ระบบปิดพีชคณิต

เริ่มจากแนวคิดของการดำเนินการเกี่ยวกับพีชคณิตกันก่อน ให้ A เป็นพีชคณิตสากลที่มีชุดการดำเนินการเกี่ยวกับพีชคณิต U แต่ละการดำเนินการ U จาก U จะมีค่าที่แน่นอน n, nN(0) สำหรับจำนวนธรรมชาติใดๆ การดำเนินการ n-ary u คือการโยงจาก An ถึง A...

พลังของจำนวนเฉพาะ

จำนวนเฉพาะร่วมกันคือจำนวนธรรมชาติหรือจำนวนเต็มที่ไม่มีจำนวนหน่วยที่มากกว่า 1 เท่ากัน หรือดูเหมือนจะมีจำนวนหน่วยที่มากกว่า 1 มากที่สุด ดังนั้น 2 และ 3 -- ในรูปแบบง่ายมาก และ 2 และ 4 ไม่ได้ (หารด้วย 2)...

กราฟและฟังก์ชันของมัน

ลองพิจารณาการดำเนินการพีชคณิตขั้นพื้นฐานเกี่ยวกับฟังก์ชันและกราฟ เช่น การบวกและการลบ (y = f(x) ±g(x)) การคูณ (y = f(x) g(x)) การหาร (y = f( x) / ก(x)) เมื่อสร้างกราฟประเภทนี้คุณควรคำนึงถึง...

จำนวนเชิงซ้อน: อดีตและปัจจุบัน

คณิตศาสตร์ในยุคกลาง

เงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับการประยุกต์ใช้วิธีฟ่านเฉิงกับระบบสมการคือการใส่จำนวนลบ เช่น เมื่อแก้ระบบเราจะได้ตาราง ขั้นตอนถัดไป: ลบองค์ประกอบของคอลัมน์ที่สามจากด้านขวา ออกจากองค์ประกอบของคอลัมน์แรก...

ศาสตร์แห่งตัวเลข

พีทาโกรัสถือว่าตัวเลขไม่ใช่แค่สิ่งทดแทนที่เป็นนามธรรมสำหรับของจริงเท่านั้น แต่ยังถือว่าสิ่งมีชีวิตสะท้อนคุณสมบัติของอวกาศ พลังงาน หรือการสั่นสะเทือนของเสียง ศาสตร์หลักของจำนวน เลขคณิต...

ศาสตร์แห่งตัวเลข

ตำนานเล่าว่าพีทาโกรัสเป็นผู้ค้นพบเลขฮาร์มอนิก ซึ่งเป็นอัตราส่วนที่ทำให้เกิดเสียงดนตรีของทรงกลม Flammarion เล่าตำนานนี้ว่า "พวกเขาบอกว่าขณะเดินผ่านโรงตีเหล็ก เขาได้ยินเสียงค้อน...

การประยุกต์ใช้สูตรการสร้างพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสกับตุ้มน้ำหนัก Chebyshev-Hermite ในทางปฏิบัติ

ให้ระบุฟังก์ชันน้ำหนักเท่ากันบนแกนทั้งหมด (1.1) การหาความแตกต่างของฟังก์ชันนี้อย่างต่อเนื่อง เราจะพบว่า (1.2) มันง่ายที่จะพิสูจน์โดยการเหนี่ยวนำว่าลำดับ n อนุพันธ์ของฟังก์ชัน (1.1) เป็นผลคูณของฟังก์ชันนี้ด้วยพหุนามบางตัวของดีกรี n...

ขอแนะนำตัวเลขที่ไม่ถูกต้องตัวใหม่ซึ่งมีกำลังสองเป็น -1 เราแสดงตัวเลขนี้ด้วยสัญลักษณ์ I และเรียกมันว่าหน่วยจินตภาพ ดังนั้น (2.1) จากนั้น (2.2) 1. รูปแบบพีชคณิตของจำนวนเชิงซ้อน ถ้าจำนวน (2.3) เรียกว่าจำนวนเชิงซ้อน...

ลำดับตัวเลขที่กำหนดซ้ำๆ

เมื่อแก้ไขปัญหาต่างๆ มากมาย คุณมักจะต้องจัดการกับลำดับที่ให้มาซ้ำๆ แต่ต่างจากลำดับ Fibonacci ตรงที่งานการวิเคราะห์ไม่สามารถทำได้เสมอไป...

สมการอดิศัยพร้อมพารามิเตอร์และวิธีการหาคำตอบ

สมการเหนือธรรมชาติเป็นสมการที่ประกอบด้วยฟังก์ชันเหนือธรรมชาติ (จำนวนอตรรกยะ ลอการิทึม เลขชี้กำลัง ตรีโกณมิติ และตรีโกณมิติผกผัน) ของตัวแปรที่ไม่รู้จัก (ตัวแปร) เช่น สมการ...

ตัวเลขที่น่าทึ่ง

นานมาแล้ว เมื่อช่วยเหลือตนเองในการนับด้วยก้อนกรวด ผู้คนต่างให้ความสนใจกับตัวเลขที่ถูกต้องซึ่งอาจทำจากก้อนกรวดได้ คุณสามารถวางก้อนกรวดเรียงกัน: หนึ่ง สอง สาม ถ้าจะเรียงเป็นสองแถวให้เป็นสี่เหลี่ยม...

ตัวเลขที่น่าทึ่ง

บางครั้งจำนวนสมบูรณ์ถือเป็นกรณีพิเศษของจำนวนที่เป็นมิตร: จำนวนสมบูรณ์ทุกจำนวนเป็นมิตรกับตัวมันเอง นิโคมาคุส แห่งเกรัส นักปรัชญาและนักคณิตศาสตร์ชื่อดัง เขียนไว้ว่า “ตัวเลขที่สมบูรณ์นั้นสวยงาม แต่ที่ทราบกันดีว่า...

คุณสมบัติแฟร็กทัลของกระบวนการทางสังคม

แฟร็กทัลเรขาคณิตเป็นตัวเลขคงที่ แนวทางนี้ค่อนข้างยอมรับได้ตราบใดที่ไม่จำเป็นต้องพิจารณาปรากฏการณ์ทางธรรมชาติ เช่น กระแสน้ำที่ตกลงมา ควันไฟที่ปั่นป่วน...

อิลยา ชชูรอฟ

นักคณิตศาสตร์ Ilya Shchurov เรื่องเศษส่วนทศนิยม ความมีชัย และความไร้เหตุผลของจำนวน Pi

“หนึ่ง” ช่วยสร้างเมืองแรกๆ และอาณาจักรอันยิ่งใหญ่ได้อย่างไร? คุณสร้างแรงบันดาลใจให้กับจิตใจที่โดดเด่นของมนุษยชาติได้อย่างไร? เธอมีบทบาทอย่างไรในการเกิดขึ้นของเงิน? "หนึ่ง" รวมกันเป็นศูนย์เพื่อครองโลกสมัยใหม่ได้อย่างไร? ประวัติศาสตร์ของหน่วยนี้เชื่อมโยงกับประวัติศาสตร์อารยธรรมยุโรปอย่างแยกไม่ออก เทอร์รี่ โจนส์ร่วมเดินทางสุดฮาเพื่อปะติดปะต่อเรื่องราวอันน่าทึ่งของจำนวนเฉพาะของเรา การใช้คอมพิวเตอร์กราฟิกส์ในโปรแกรมนี้ทำให้ตัวเครื่องมีชีวิตชีวาในรูปแบบต่างๆ ประวัติความเป็นมาของหน่วยนี้ทำให้ชัดเจนว่าตัวเลขสมัยใหม่มาจากไหน และการประดิษฐ์ศูนย์ช่วยให้เราไม่ต้องใช้เลขโรมันในปัจจุบันได้อย่างไร

ฌาคส์ เซเซียโน่

เรารู้เพียงเล็กน้อยเกี่ยวกับไดโอแฟนทัส ฉันคิดว่าเขาอาศัยอยู่ในอเล็กซานเดรีย นักคณิตศาสตร์ชาวกรีกไม่มีใครพูดถึงเขาก่อนศตวรรษที่ 4 ดังนั้นเขาจึงน่าจะมีชีวิตอยู่ในช่วงกลางศตวรรษที่ 3 งานที่สำคัญที่สุดของไดโอแฟนทัส "เลขคณิต" (Ἀριθμητικά) เกิดขึ้นตอนต้นของ "หนังสือ" 13 เล่ม (βιβλία) เช่น บทต่างๆ วันนี้เรามี 10 เล่ม ได้แก่ 6 เล่มในข้อความภาษากรีกและอีก 4 เล่มในการแปลภาษาอาหรับยุคกลางซึ่งมีที่อยู่ตรงกลางหนังสือภาษากรีก: หนังสือ I-III ในภาษากรีก, IV-VII ในภาษาอาหรับ, VIII-X ในภาษากรีก "เลขคณิต" ของไดโอแฟนตัสเป็นกลุ่มของปัญหาเป็นหลัก รวมประมาณ 260 ปัญหา ไม่มีทฤษฎีใดเลย การแนะนำหนังสือมีเพียงคำแนะนำทั่วไปเท่านั้น และความคิดเห็นเฉพาะในปัญหาบางอย่างเมื่อจำเป็น "เลขคณิต" มีคุณลักษณะของบทความเกี่ยวกับพีชคณิตอยู่แล้ว ในตอนแรก ไดโอแฟนทัสใช้สัญลักษณ์ที่แตกต่างกันเพื่อแสดงถึงสิ่งที่ไม่รู้และองศาของมัน รวมถึงการคำนวณบางอย่าง เช่นเดียวกับสัญลักษณ์พีชคณิตในยุคกลาง สัญลักษณ์ของมันมาจากคำทางคณิตศาสตร์ จากนั้น ไดโอแฟนทัสจะอธิบายวิธีแก้ปัญหาพีชคณิต แต่ปัญหาของไดโอแฟนตัสไม่ใช่พีชคณิตในความหมายปกติ เพราะปัญหาเกือบทั้งหมดมุ่งไปที่การแก้สมการหรือระบบสมการที่ไม่แน่นอนของสมการดังกล่าว

จอร์จี้ ชาบัต

โปรแกรมรายวิชา: ประวัติศาสตร์ การประมาณการครั้งแรก ปัญหาความไม่สมดุลของเส้นรอบวงของวงกลมที่มีเส้นผ่านศูนย์กลาง อนุกรมอนันต์ ผลิตภัณฑ์ และสำนวนอื่นๆ สำหรับ π การบรรจบกันและคุณภาพ นิพจน์ที่มี π ลำดับมาบรรจบกันอย่างรวดเร็วเป็น π วิธีการคำนวณ π สมัยใหม่โดยใช้คอมพิวเตอร์ เรื่องความไร้เหตุผลและความเหนือกว่าของ π และจำนวนอื่นๆ ไม่จำเป็นต้องมีความรู้มาก่อนจึงจะเข้าใจหลักสูตรได้

นักวิทยาศาสตร์จากมหาวิทยาลัยออกซ์ฟอร์ดกล่าวว่าการใช้เลข 0 ที่เร็วที่สุดที่ทราบเพื่อระบุว่าไม่มีค่าสถานที่ (เช่นในหมายเลข 101) ควรถือเป็นข้อความในต้นฉบับ Bakhshali ของอินเดีย

วาซิลี ปิปาเนน

ใครไม่เล่นเกม "ตั้งชื่อเลขเด็ดสุด" ตอนเด็กๆ บ้าง? เป็นเรื่องยากอยู่แล้วที่จะจินตนาการถึงล้าน ล้านล้าน และ "-on" อื่นๆ ในใจของคุณ แต่เราจะพยายามเข้าใจ "มาสโตดอน" ในคณิตศาสตร์ - เลขเกรแฮม

วิคเตอร์ เคลพท์ซิน

จำนวนจริงสามารถประมาณได้อย่างแม่นยำตามต้องการด้วยจำนวนตรรกยะ การประมาณดังกล่าวจะดีแค่ไหนเมื่อเทียบกับความซับซ้อนของมัน ตัวอย่างเช่น โดยการทำลายสัญลักษณ์ทศนิยมของตัวเลข x ที่หลัก k หลังจุดทศนิยม เราจะได้ค่าประมาณ xµa/10^k โดยมีข้อผิดพลาดอยู่ในลำดับ 1/10^k และโดยทั่วไป โดยการกำหนดตัวส่วน q ของเศษส่วนโดยประมาณ เราก็สามารถได้ค่าประมาณที่แม่นยำโดยมีข้อผิดพลาดในลำดับ 1/q เป็นไปได้ไหมที่จะทำได้ดีขึ้น? การประมาณค่าที่คุ้นเคย πµ22/7 ให้ค่าคลาดเคลื่อนที่ 1/1000 ซึ่งดีกว่าที่คาดไว้อย่างเห็นได้ชัด และทำไม? เราโชคดีไหมที่ π มีการประมาณเช่นนั้น? ปรากฎว่าสำหรับจำนวนอตรรกยะใดๆ จะมีเศษส่วนจำนวนอนันต์ p/q ที่ประมาณค่าได้ดีกว่า 1/q^2 นี่คือสิ่งที่ทฤษฎีบทของดิริชเลต์ระบุไว้ และเราจะเริ่มหลักสูตรนี้ด้วยการพิสูจน์ที่แหวกแนวเล็กน้อย

ในปี 1980 กินเนสส์บุ๊คได้กล่าวซ้ำคำกล่าวอ้างของการ์ดเนอร์ ซึ่งกระตุ้นให้สาธารณชนสนใจตัวเลขนี้มากขึ้น จำนวนของเกรแฮมเป็นจำนวนที่เกินกว่าจะจินตนาการได้ ซึ่งมากกว่าตัวเลขขนาดใหญ่อื่นๆ ที่รู้จักกันดี เช่น googol, googolplex และยังมากกว่าจำนวน Skewes และหมายเลข Moser ด้วยซ้ำ ในความเป็นจริง เอกภพที่สังเกตได้ทั้งหมดมีขนาดเล็กเกินกว่าที่จะระบุเลขทศนิยมธรรมดาของเลขเกรแฮมได้

มิทรี อาโนซอฟ

การบรรยายบรรยายโดย Dmitry Viktorovich Anosov แพทย์สาขาวิทยาศาสตร์กายภาพและคณิตศาสตร์ ศาสตราจารย์ นักวิชาการของ Russian Academy of Sciences โรงเรียนภาคฤดูร้อน “คณิตศาสตร์สมัยใหม่”, Dubna 16-18 กรกฎาคม 2545

เป็นไปไม่ได้ที่จะตอบคำถามนี้ให้ถูกต้อง เนื่องจากชุดตัวเลขไม่มีขีดจำกัดบน ดังนั้น สำหรับตัวเลขใดๆ ก็ตาม คุณเพียงแค่ต้องบวกหนึ่งตัวเพื่อให้ได้จำนวนที่มากขึ้น แม้ว่าตัวเลขจะไม่มีที่สิ้นสุด แต่ก็มีชื่อเฉพาะไม่มากนัก เนื่องจากส่วนใหญ่จะพอใจกับชื่อที่ประกอบด้วยตัวเลขที่น้อยกว่า เห็นได้ชัดว่าในชุดตัวเลขสุดท้ายที่มนุษยชาติมอบให้ในชื่อของตัวเองนั้น จะต้องมีจำนวนที่มากที่สุดจำนวนหนึ่ง แต่มันเรียกว่าอะไรและมันเท่ากับอะไร? ลองคิดดูและในขณะเดียวกันก็ค้นหาว่านักคณิตศาสตร์มีจำนวนเท่าใด