สัญญาณของการบรรจบกันของอนุกรมกับจำนวนบวก การเลือกเกณฑ์สำหรับการลู่เข้าของชุดตัวเลข เกณฑ์การบรรจบกันแบบมีเงื่อนไข

การทดสอบสำหรับแผนกการติดต่อสื่อสาร

Danko, P.E. คณิตศาสตร์ขั้นสูงในแบบฝึกหัดและปัญหา: ใน 2 ชั่วโมง / P.E. Danko, A. G. Popov, T. Ya. - ฉบับที่ 5, ว. - ม.: ม.ปลาย ตอนที่ 1.-2541.-304 น.

Bermant A.F., Aramanovich I.G. หลักสูตรระยะสั้นการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ -ฉบับที่ 12 – เซนต์ปีเตอร์สเบิร์ก: ลาน, 2548.- 736 หน้า

บี.เอ็ม. Vladimirsky, A.B. Gorstko, Ya.M. เยรูซาลิมสกี้. คณิตศาสตร์: รายวิชาทั่วไป – เซนต์ปีเตอร์สเบิร์ก: สำนักพิมพ์ Lan, 2002. – 954 หน้า

Kudryavtsev V.A., Demidovich B.P. หลักสูตรระยะสั้นของคณิตศาสตร์ขั้นสูง - ฉบับที่ 5 แบบเหมารวม. - อ.: Nauka, 2521. - 632 น.

เดมิโดวิช บี.พี. หลักสูตรระยะสั้นในวิชาคณิตศาสตร์ขั้นสูง: หนังสือเรียนสำหรับมหาวิทยาลัย - อ.: OOO "สำนักพิมพ์ Astrel": OOO "สำนักพิมพ์ AST", 2544. - 656 หน้า

พิสคูนอฟ เอ็น.เอส. แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์และปริพันธ์: หนังสือเรียน สำหรับวิทยาลัยและมหาวิทยาลัย ในปริมาณ 2 ชั่วโมง T.II: - M.: Integral-Press, 2004. -544 p.

การแนะนำ.

งานทดสอบควรแล้วเสร็จตามกำหนดเวลาอย่างเคร่งครัด นักเรียนแต่ละคนทำการทดสอบตามตัวเลือกนี้ โดยหมายเลขจะตรงกับหมายเลขประจำเครื่องในบันทึกประจำวันของกลุ่ม ต้องมีการระบุวิธีแก้ไขปัญหาเป็นลายลักษณ์อักษรในแผ่นงานแยกต่างหาก (รูปแบบ A4, เย็บเล่ม) สามารถส่งงานได้ทั้งแบบพิมพ์หรือเขียน ดำเนินการเค.อาร์. นักเรียนจะต้องเขียนเงื่อนไขของปัญหาที่เกี่ยวข้องใหม่ เขียนวิธีแก้ไขโดยละเอียด โดยเน้นคำตอบ ในกรณีที่จำเป็น ให้อธิบายสั้นๆ ในระหว่างการแก้ปัญหา

"ชุดตัวเลขและฟังก์ชัน"

ชุดตัวเลข สัญญาณที่เพียงพอของการบรรจบกัน

อนุญาต ยู 1 , ยู 2 , ยู 3 , … , คุณไม่มี, …, ที่ไหน คุณไม่มี = ฉ(n) เป็นลำดับจำนวนอนันต์ การแสดงออก ยู 1 + ยู 2 + ยู 3 + … + คุณไม่มี+ ... เรียกว่าไม่มีที่สิ้นสุด ชุดตัวเลขและตัวเลข ยู 1 , ยู 2 , ยู 3 , … , คุณไม่มี, … – สมาชิกของซีรีส์; คุณไม่มี = ฉ(n) ถูกเรียก สมาชิกทั่วไป- ซีรีส์มักเขียนในรูปแบบ

ผลรวมของครั้งแรก nสมาชิกของชุดตัวเลขจะแสดงด้วย สและโทร nไทย ผลรวมบางส่วนของซีรีส์:

ซีรีส์นี้มีชื่อว่า มาบรรจบกัน, ถ้ามัน n-i จำนวนบางส่วน สโดยเพิ่มขึ้นไม่จำกัด nมีแนวโน้มที่จะถึงขีด จำกัด สุดท้ายนั่นคือ ถ้า . ตัวเลข สเรียกว่า ผลรวมของซีรีส์- ถ้า n- ผลรวมบางส่วนของอนุกรมเมื่อไม่มีแนวโน้มที่จะมีขีดจำกัด จึงเรียกว่าอนุกรม แตกต่าง.

อนุกรมที่ประกอบด้วยเงื่อนไขของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงใดๆ จะมาบรรจบกันและมีผลรวม

ซีรีย์ที่มีชื่อว่า ฮาร์มอนิก, แตกต่าง.

สัญญาณที่จำเป็นของการบรรจบกันหากซีรีส์มาบรรจบกันนั่นคือ ที่ขีดจำกัดของเทอมทั่วไปของอนุกรมลู่เข้าจะเป็นศูนย์

ดังนั้น ถ้า อนุกรมจะแยกออกจากกัน

ให้เราแสดงรายการสัญญาณที่สำคัญที่สุดของการบรรจบกันและความแตกต่างของอนุกรมด้วยเงื่อนไขเชิงบวก

สัญญาณแรกของการเปรียบเทียบให้มีสองแถว

นอกจากนี้ สมาชิกแต่ละคนของซีรีส์ (1) ต้องไม่เกินสมาชิกที่สอดคล้องกันของซีรีส์ (2) เช่น - ถ้าอนุกรม (2) มาบรรจบกัน อนุกรม (1) ก็มาบรรจบกันด้วย ถ้าอนุกรม (1) แตกต่างออกไป อนุกรม (2) ก็จะต่างกันไปด้วย

เกณฑ์นี้ยังคงใช้ได้หากความไม่เท่าเทียมกันไม่เป็นที่พอใจสำหรับทุกคน nแต่เริ่มจากจำนวนหนึ่งเท่านั้น n = เอ็น.

สัญญาณที่สองของการเปรียบเทียบหากมีขีดจำกัดที่ไม่ใช่ศูนย์อันจำกัด อนุกรมก็จะมาบรรจบกันและลู่ออก

สัญญาณคอชี่หัวรุนแรงถ้าเป็นซีรีย์.

มีอยู่ แล้วอนุกรมนี้มาบรรจบกันที่ และแตกต่างที่

สัญลักษณ์ของดาล็องแบร์ถ้าชุดข้อมูลมี ชุดข้อมูลนี้จะมาบรรจบกันที่ และแตกต่างที่

การทดสอบอินทิกรัลคอชี่ถ้า ฉ(x) สำหรับ เป็นฟังก์ชันบวกต่อเนื่องและลดลงแบบซ้ำซาก จากนั้นอนุกรมที่ลู่เข้าหรือลู่ออก ขึ้นอยู่กับว่าอินทิกรัลลู่เข้าหรือลู่ออก

มาดูซีรีส์ที่สมาชิกมีสัญลักษณ์สลับกัน ได้แก่ ชุดของแบบฟอร์มโดยที่

การทดสอบการบรรจบกันของอนุกรมสลับ (การทดสอบไลบ์นิซ)อนุกรมสลับมาบรรจบกันหากค่าสัมบูรณ์ของคำศัพท์ลดลงอย่างซ้ำซากและคำศัพท์ทั่วไปมีแนวโน้มที่จะเป็นศูนย์ นั่นคือหากตรงตามเงื่อนไขสองข้อต่อไปนี้: 1) และ 2)

เอาล่ะ nผลรวมบางส่วนที่ 2 ของอนุกรมการสลับมาบรรจบกันซึ่งเป็นไปตามเกณฑ์ของไลบ์นิซ:

อนุญาต -- n- ส่วนที่เหลือของแถว สามารถเขียนเป็นผลต่างระหว่างผลรวมของอนุกรมได้ สและ nจำนวนบางส่วน ส, เช่น. - มันไม่ยากที่จะเห็นสิ่งนั้น

ค่าประมาณโดยใช้ความไม่เท่าเทียมกัน

ตอนนี้ให้เราพิจารณาคุณสมบัติบางอย่างของการสลับอนุกรม (เช่น การสลับอนุกรมและอนุกรมที่มีการสลับสัญลักษณ์ของสมาชิกโดยพลการ)

อนุกรมสลับมาบรรจบกันถ้าอนุกรมมาบรรจบกัน

ในกรณีนี้จะเรียกว่าซีรีส์ดั้งเดิม บรรจบกันอย่างแน่นอน.

อนุกรมแบบลู่เข้าเรียกว่า บรรจบกันอย่างมีเงื่อนไขถ้าซีรีย์แตกต่างออกไป

ตัวอย่างที่ 1 ตรวจสอบการบรรจบกันของอนุกรม

สารละลาย. ซีรีส์นี้ประกอบด้วยคำศัพท์เกี่ยวกับความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงอย่างไม่สิ้นสุดและดังนั้นจึงมาบรรจบกัน มาหาผลรวมของมันกัน. ที่นี่ , (ตัวหารของความก้าวหน้า) เพราะฉะนั้น,

ตัวอย่างที่ 2 ตรวจสอบการบรรจบกันของซีรีส์

สารละลาย. อนุกรมนี้ได้มาจากอนุกรมฮาร์มอนิกโดยละทิ้งสิบเทอมแรก ดังนั้นเขาจึงแตกต่าง

ตัวอย่างที่ 3 ตรวจสอบการบรรจบกันของซีรีส์, –– ซีรีส์มาบรรจบกัน

ในทางปฏิบัติ การหาผลรวมของอนุกรมมักจะไม่สำคัญเท่ากับการตอบคำถามเรื่องการบรรจบกันของอนุกรม เพื่อจุดประสงค์นี้ เกณฑ์การลู่เข้าจะถูกใช้โดยพิจารณาจากคุณสมบัติของคำศัพท์ทั่วไปของอนุกรม

สัญญาณที่จำเป็นของการบรรจบกันของซีรีส์

ทฤษฎีบท 1

ถ้าเป็นแถวมาบรรจบกัน จากนั้นก็เป็นคำทั่วไป มีแนวโน้มเป็นศูนย์เช่น
, เหล่านั้น.
.

สั้นๆ: หากอนุกรมมาบรรจบกัน คำศัพท์ทั่วไปของอนุกรมนั้นมีแนวโน้มเป็นศูนย์

การพิสูจน์.ให้อนุกรมมาบรรจบกันและผลรวมเท่ากัน - สำหรับใครก็ตาม จำนวนบางส่วน

.

แล้ว .

จากเกณฑ์ที่จำเป็นที่ได้รับการพิสูจน์แล้วสำหรับการบรรจบกันมีดังนี้ สัญญาณที่เพียงพอของความแตกต่างของซีรีส์: ถ้าที่
หากคำศัพท์ทั่วไปของอนุกรมไม่มีแนวโน้มเป็นศูนย์ แสดงว่าอนุกรมนั้นแยกออกไป

ตัวอย่างที่ 4

สำหรับซีรีส์นี้ คำทั่วไปคือ
และ
.

ดังนั้นซีรีย์นี้จึงแตกต่าง

ตัวอย่างที่ 5ตรวจสอบซีรีส์สำหรับการลู่เข้า

เห็นได้ชัดว่าคำศัพท์ทั่วไปของซีรีส์นี้ซึ่งรูปแบบที่ไม่ได้ระบุเนื่องจากความยุ่งยากในการแสดงออกมีแนวโน้มที่จะเป็นศูนย์เนื่องจาก
, เช่น. เกณฑ์ที่จำเป็นสำหรับการบรรจบกันของซีรีย์เป็นที่พอใจ แต่ซีรีย์นี้แตกต่างเนื่องจากผลรวมของมัน มีแนวโน้มที่จะไม่มีที่สิ้นสุด

ชุดจำนวนบวก

เรียกว่าชุดตัวเลขที่ทุกพจน์เป็นบวก สัญญาณบวก

ทฤษฎีบท 2 (เกณฑ์สำหรับการบรรจบกันของอนุกรมเชิงบวก)

สำหรับอนุกรมที่มีเครื่องหมายบวกที่จะมาบรรจบกัน จำเป็นและเพียงพอที่ผลรวมบางส่วนของอนุกรมนั้นจะถูกจำกัดขอบเขตจากด้านบนด้วยจำนวนเดียวกัน

การพิสูจน์.เพราะเพื่อใครก็ตาม
แล้วนั่นคือ ลำดับต่อมา
– เพิ่มขึ้นอย่างซ้ำซากจำเจ ดังนั้นสำหรับการมีอยู่ของขีดจำกัด จึงจำเป็นและเพียงพอที่จะจำกัดลำดับจากด้านบนด้วยจำนวนหนึ่ง

ทฤษฎีบทนี้มีความสำคัญทางทฤษฎีมากกว่าเชิงปฏิบัติ ด้านล่างนี้คือการทดสอบการลู่เข้าอื่นๆ ที่ใช้กันอย่างแพร่หลายมากขึ้น

สัญญาณที่เพียงพอของการบรรจบกันของอนุกรมเชิงบวก

ทฤษฎีบท 3 (เครื่องหมายเปรียบเทียบแรก)

ให้อนุกรมสัญญาณเชิงบวกสองชุดได้รับ:

(1)

(2)

และเริ่มจากจำนวนหนึ่ง
สำหรับใครก็ตาม
ความไม่เท่าเทียมกันถือ
แล้ว:

สัญกรณ์แผนผังของคุณลักษณะการเปรียบเทียบแรก:

การสืบเชื้อสายมา การรวมตัวกัน

ประสบการณ์ประสบการณ์

การพิสูจน์. 1) เนื่องจากการทิ้งพจน์จำนวนจำกัดของอนุกรมไม่ส่งผลต่อการบรรจบกัน เราจึงพิสูจน์ทฤษฎีบทสำหรับกรณีนี้
- ให้เป็นของใครก็ได้
เรามี

, (3)

ที่ไหน
และ
- ผลรวมบางส่วนของอนุกรม (1) และ (2) ตามลำดับ

ถ้าอนุกรม (2) มาบรรจบกัน ก็จะมีตัวเลข
. เนื่องจากในกรณีนี้ลำดับ
- เพิ่มขึ้น ขีดจำกัดของมันมากกว่าสมาชิกรายใด ๆ เช่น
สำหรับใครก็ตาม . ดังนั้น จากความไม่เท่าเทียมกัน (3) จึงเป็นไปตามนี้
. ดังนั้นผลบวกบางส่วนของอนุกรม (1) จึงถูกจำกัดไว้ด้านบนด้วยตัวเลข . ตามทฤษฎีบทที่ 2 ชุดนี้มาบรรจบกัน

2) แท้จริงแล้ว ถ้าอนุกรม (2) มาบรรจบกัน เมื่อเปรียบเทียบแล้ว อนุกรม (1) ก็จะมาบรรจบกันด้วย

ในการใช้คุณลักษณะนี้ มักใช้ชุดมาตรฐานดังกล่าว การลู่เข้าหรือความแตกต่างซึ่งทราบล่วงหน้าแล้ว เช่น:

3) - ซีรีส์ Dirichlet (มาบรรจบกันที่
และแตกต่างออกไปที่
).

นอกจากนี้ อนุกรมมักใช้ซึ่งสามารถหาได้โดยใช้อสมการที่เห็นได้ชัดเจนต่อไปนี้:

,

,
,
.

ให้เราพิจารณาโดยใช้ตัวอย่างที่เฉพาะเจาะจง โครงการศึกษาชุดข้อมูลเชิงบวกสำหรับการลู่เข้าโดยใช้เกณฑ์การเปรียบเทียบแรก

ตัวอย่างที่ 6สำรวจแถว
เพื่อการบรรจบกัน

ขั้นตอนที่ 1 มาตรวจสอบสัญญาณเชิงบวกของซีรีย์นี้กันดีกว่า:
สำหรับ

ขั้นตอนที่ 2 ตรวจสอบการปฏิบัติตามเกณฑ์ที่จำเป็นสำหรับการบรรจบกันของซีรีส์:
- เพราะ
, ที่

(หากคำนวณวงเงินยากสามารถข้ามขั้นตอนนี้ได้)

ขั้นตอนที่ 3 ใช้เครื่องหมายเปรียบเทียบอันแรก ในการดำเนินการนี้ เราจะเลือกซีรีส์มาตรฐานสำหรับซีรีส์นี้ เพราะ
แล้วเราก็สามารถนำซีรี่ส์มาเป็นมาตรฐานได้
, เช่น. ซีรีส์ดีริชเลต์ ชุดนี้มาบรรจบกันเพราะเลขชี้กำลัง
- ดังนั้น ตามเกณฑ์การเปรียบเทียบแรก ชุดข้อมูลที่กำลังศึกษาก็จะมาบรรจบกันด้วย

ตัวอย่างที่ 7สำรวจแถว
เพื่อการบรรจบกัน

1) ซีรีส์นี้เป็นบวก เนื่องจาก
สำหรับ

2) เกณฑ์ที่จำเป็นสำหรับการบรรจบกันของซีรีย์นั้นเป็นไปตามที่พอใจเพราะ

3) มาเลือกแถวมาตรฐานกัน เพราะ
จากนั้นเราสามารถนำอนุกรมเรขาคณิตมาเป็นมาตรฐานได้

- ซีรีส์นี้มาบรรจบกัน และซีรีส์ที่กำลังศึกษาก็มาบรรจบกันด้วย

ทฤษฎีบทที่ 4 (เกณฑ์การเปรียบเทียบที่สอง)

ถ้าเป็นซีรีย์เชิงบวก และ มีขีดจำกัดอันไม่สิ้นสุด
, ที่ แถวมาบรรจบกันหรือแยกออกพร้อมกัน

การพิสูจน์.ให้ซีรีส์ (2) มาบรรจบกัน; ให้เราพิสูจน์ว่าอนุกรม (1) มาบรรจบกันด้วย มาเลือกเลขกัน , มากกว่า . จากสภาพ
ตามมาว่ามีตัวเลขดังกล่าวอยู่ นั่นสำหรับทุกคน
ความไม่เท่าเทียมกันเป็นจริง
, หรือสิ่งที่เหมือนกัน

(4)

ทิ้งอันแรกในแถว (1) และ (2) (ซึ่งไม่ส่งผลกระทบต่อการบรรจบกัน) เราสามารถสรุปได้ว่าความไม่เท่าเทียมกัน (4) นั้นใช้ได้สำหรับทุกคน
แต่เป็นซีรีส์ที่มีสมาชิกร่วมกัน
มาบรรจบกันเนื่องจากการบรรจบกันของอนุกรม (2) ตามเกณฑ์การเปรียบเทียบแรก ความไม่เท่าเทียมกัน (4) หมายถึงการบรรจบกันของอนุกรม (1)

ตอนนี้ให้ซีรีส์ (1) มาบรรจบกัน ให้เราพิสูจน์การบรรจบกันของอนุกรม (2) เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เพียงสลับบทบาทของแถวที่กำหนด เพราะ

จากสิ่งที่พิสูจน์แล้วข้างต้น การบรรจบกันของอนุกรม (1) ควรบ่งบอกถึงการบรรจบกันของอนุกรม (2)

ถ้า
ที่
(สัญญาณที่จำเป็นของการบรรจบกัน) จากนั้นจากเงื่อนไข
ตามนั้น และ – ค่าน้อยที่สุดของความเล็กลำดับเดียวกัน (เทียบเท่ากับ
- ดังนั้นหากได้รับเป็นซีรีย์ , ที่ไหน
ที่
จากนั้นสำหรับซีรีส์นี้ คุณสามารถใช้ซีรีส์มาตรฐานได้ ที่ไหนเป็นคำทั่วไป มีลำดับเล็กเหมือนกับคำศัพท์ทั่วไปของอนุกรมที่กำหนด

เมื่อเลือกซีรี่ส์มาตรฐาน คุณสามารถใช้ตารางค่าเล็กน้อยที่เทียบเท่าต่อไปนี้ได้ที่
:

1)
; 4)
;

2)
; 5)
;

3)
; 6)
.

ตัวอย่างที่ 8ตรวจสอบซีรีส์สำหรับการลู่เข้า

.

สำหรับใครก็ตาม
.

เพราะ
จากนั้นเราจะนำอนุกรมไดเวอร์เจนต์ฮาร์มอนิกเป็นอนุกรมมาตรฐาน
- เนื่องจากขีดจำกัดของอัตราส่วนของเงื่อนไขทั่วไป และ มีขอบเขตจำกัดและแตกต่างจากศูนย์ (เท่ากับ 1) จากนั้นชุดข้อมูลนี้จะแตกต่างไปตามเกณฑ์การเปรียบเทียบที่สอง

ตัวอย่างที่ 9
ตามเกณฑ์การเปรียบเทียบสองประการ

ชุดนี้เป็นบวกเนื่องจาก
, และ
- เพราะว่า
จากนั้นเราสามารถนำอนุกรมฮาร์มอนิกมาเป็นอนุกรมมาตรฐานได้ - ซีรีส์นี้มีความแตกต่าง ดังนั้นตามสัญญาณแรกของการเปรียบเทียบ ซีรีส์ที่กำลังศึกษาจึงแตกต่างไปด้วย

เนื่องจากซีรีส์นี้และซีรีส์มาตรฐานเป็นไปตามเงื่อนไข
(ในที่นี้มีการใช้ขีดจำกัดที่น่าทึ่งประการที่ 1) จากนั้นจึงยึดตามเกณฑ์การเปรียบเทียบที่สองของซีรีส์
– แตกต่าง

ทฤษฎีบทที่ 5 (การทดสอบของดาล็องแบร์)

มีขีดจำกัด
แล้วซีรีส์ก็มาบรรจบกันที่
และแตกต่างออกไปที่
.

การพิสูจน์.อนุญาต
- เอาตัวเลขมาบ้าง , สรุประหว่าง และ 1:
- จากสภาพ
เป็นไปตามนั้นโดยเริ่มจากตัวเลขจำนวนหนึ่ง ความไม่เท่าเทียมกันถือ

;
;
(5)

พิจารณาซีรีส์

ตาม (5) เงื่อนไขทั้งหมดของอนุกรม (6) จะต้องไม่เกินเงื่อนไขที่สอดคล้องกันของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตอนันต์
เพราะว่า
ความก้าวหน้านี้มาบรรจบกัน จากที่นี่ เนื่องจากเกณฑ์การเปรียบเทียบแรก การบรรจบกันของอนุกรมจะตามมา

กำลังเกิดขึ้น
พิจารณาด้วยตัวคุณเอง

หมายเหตุ :

มันตามมาว่าส่วนที่เหลือของซีรีส์

.

การทดสอบของดาล็องแบร์นั้นสะดวกในทางปฏิบัติเมื่อคำศัพท์ทั่วไปของอนุกรมประกอบด้วยฟังก์ชันเลขชี้กำลังหรือแฟกทอเรียล

ตัวอย่างที่ 10ตรวจสอบซีรีส์สำหรับการลู่เข้า ตามป้ายของดาล็องแบร์

ชุดนี้เป็นบวกและ

.

(ในการคำนวณนี้ จะใช้กฎของโลปิตาลสองครั้ง)

จากนั้นตามเกณฑ์ของ d'Alembert ชุดนี้จะมาบรรจบกัน

ตัวอย่างที่ 11.

ชุดนี้เป็นบวกและ
- เพราะว่า

แล้วซีรีย์นี้ก็มาบรรจบกัน

ทฤษฎีบท 6 (การทดสอบคอชี่)

หากเป็นซีรีส์เชิงบวก มีขีดจำกัด
, แล้วเมื่อไหร่
ซีรีส์จะมาบรรจบกันและเมื่อใด
แถวนั้นแยกออกจากกัน

การพิสูจน์คล้ายกับทฤษฎีบทที่ 5

หมายเหตุ :

ตัวอย่างที่ 12ตรวจสอบซีรีส์สำหรับการลู่เข้า
.

ชุดนี้เป็นบวกเนื่องจาก
สำหรับใครก็ตาม
- เนื่องจากการคำนวณวงเงิน
ทำให้เกิดปัญหาบางอย่าง จากนั้นเราจะละเว้นการตรวจสอบความเป็นไปได้ของเกณฑ์ที่จำเป็นสำหรับการบรรจบกันของซีรีส์

จากนั้น ตามเกณฑ์ของ Cauchy ซีรีส์นี้จะแตกต่างออกไป

ทฤษฎีบทที่ 7 (การทดสอบอินทิกรัลสำหรับ Maclaurin - การบรรจบกันของ Cauchy)

เลยแจกซีรีย์.

ซึ่งมีเงื่อนไขเป็นบวกและไม่เพิ่มขึ้น:

ให้ต่อไป
- ฟังก์ชั่นที่กำหนดไว้สำหรับของจริงทั้งหมด
, ต่อเนื่องกัน, ไม่เพิ่มขึ้น และ

ก่อนที่จะเริ่มทำงานในหัวข้อนี้ ฉันแนะนำให้คุณดูส่วนที่มีคำศัพท์เฉพาะสำหรับชุดตัวเลข เป็นเรื่องที่ควรค่าแก่การใส่ใจกับแนวคิดของสมาชิกทั่วไปของซีรีส์ หากคุณมีข้อสงสัยเกี่ยวกับการเลือกเกณฑ์การลู่เข้าที่ถูกต้อง ฉันแนะนำให้คุณดูหัวข้อ "การเลือกเกณฑ์การลู่เข้าสำหรับชุดตัวเลข"

สัญญาณที่จำเป็นของการบรรจบกันอนุกรมจำนวนมีสูตรง่ายๆ คือ คำทั่วไปของอนุกรมลู่เข้ามีแนวโน้มเป็นศูนย์ คุณลักษณะนี้สามารถเขียนได้อย่างเป็นทางการมากขึ้น:

หากอนุกรม $\sum\limits_(n=1)^(\infty)u_n$ มาบรรจบกัน แล้ว $\lim_(n\to\infty)u_n=0$

บ่อยครั้งในวรรณกรรม แทนที่จะเขียนวลี “เกณฑ์ที่จำเป็นสำหรับการลู่เข้า” พวกเขาเขียนว่า “เงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับการลู่เข้า” อย่างไรก็ตาม เรามาดูประเด็นกันดีกว่า: เครื่องหมายนี้หมายความว่าอย่างไร? และมันหมายถึงสิ่งต่อไปนี้: ถ้า $\lim_(n\to\infty)u_n=0$ ดังนั้นอนุกรม อาจจะมาบรรจบกัน ถ้า $\lim_(n\to\infty)u_n\neq 0$ (หรือไม่มีขีดจำกัด) อนุกรม $\sum\limits_(n=1)^(\infty)u_n$ จะลู่ออก

เป็นที่น่าสังเกตว่าความเท่าเทียมกัน $\lim_(n\to\infty)u_n=0$ ไม่ได้หมายถึงการบรรจบกันของอนุกรม อนุกรมสามารถมาบรรจบกันหรือแยกออกได้ แต่ถ้า $\lim_(n\to\infty)u_n\neq 0$ แสดงว่าซีรีส์นี้จะต้องแยกออกจากกัน หากความแตกต่างเหล่านี้ต้องการคำอธิบายโดยละเอียด โปรดเปิดบันทึก

คำว่า “เงื่อนไขที่จำเป็น” หมายถึงอะไร? แสดงซ่อน

ให้เราอธิบายแนวคิดเกี่ยวกับเงื่อนไขที่จำเป็นพร้อมตัวอย่าง เพื่อซื้อปากกาให้นักเรียน จำเป็นมี 10 รูเบิล สามารถเขียนได้ดังนี้: ถ้านักเรียนซื้อปากกาเขาก็มี 10 รูเบิล การมีสิบรูเบิลเป็นเงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับการซื้อปากกา

ปล่อยให้เงื่อนไขนี้เป็นที่พอใจนั่นคือ นักเรียนมีสิบ นี่หมายความว่าเขาจะซื้อปากกาใช่ไหม? ไม่เลย. เขาสามารถซื้อปากกาหรือจะเก็บเงินไว้ใช้ทีหลังก็ได้ หรือซื้ออย่างอื่น. หรือมอบให้ใครสักคน - มีตัวเลือกมากมาย :) กล่าวอีกนัยหนึ่งการปฏิบัติตามเงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับการซื้อปากกา (เช่น การมีเงิน) ไม่ได้รับประกันการซื้อปากกานี้เลย

ในทำนองเดียวกัน เงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับการลู่เข้าของอนุกรมตัวเลข $\lim_(n\to\infty)u_n=0$ ไม่ได้รับประกันการลู่เข้าของอนุกรมนี้แต่อย่างใด การเปรียบเทียบง่ายๆ: ถ้ามีเงิน นักเรียนจะซื้อปากกาหรือไม่ก็ได้ ถ้า $\lim_(n\to\infty)u_n=0$ อนุกรมสามารถมาบรรจบกันหรือแยกออกได้

อย่างไรก็ตาม จะเกิดอะไรขึ้นหากไม่ตรงตามเงื่อนไขที่จำเป็นในการซื้อปากกา เช่น ไม่มีเงินเหลือเหรอ? แล้วลูกศิษย์จะไม่ซื้อปากกาแน่นอน เช่นเดียวกับอนุกรม: หากเงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับการลู่เข้าไม่เป็นที่พอใจ เช่น $\lim_(n\to\infty)u_n\neq 0$ จากนั้นซีรีส์นี้จะแตกต่างออกไปอย่างแน่นอน

กล่าวโดยย่อ: หากตรงตามเงื่อนไขที่จำเป็น ผลที่ตามมาก็อาจเกิดขึ้นหรือไม่ก็ได้ อย่างไรก็ตาม หากไม่เป็นไปตามเงื่อนไขที่จำเป็น ผลที่ตามมาก็จะไม่เกิดขึ้นอย่างแน่นอน

เพื่อความชัดเจน ผมจะยกตัวอย่างอนุกรมสองชุด: $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(n)$ และ $\sum\limits_(n=1)^(\ infty)\frac( 1)(n^2)$. พจน์ทั่วไปของอนุกรมแรก $u_n=\frac(1)(n)$ และพจน์ทั่วไปของอนุกรมที่สอง $v_n=\frac(1)(n^2)$ มีแนวโน้มเป็นศูนย์ กล่าวคือ

$$ \lim_(n\to\infty)u_n=\lim_(n\to\infty)\frac(1)(n)=0;\; \lim_(n\to\infty)v_n=\lim_(n\to\infty)\frac(1)(n^2)=0 -

อย่างไรก็ตาม อนุกรมฮาร์มอนิก $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(n)$ ลู่ออก และอนุกรม $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\ frac(1 )(n^2)$ มาบรรจบกัน การปฏิบัติตามเงื่อนไขการลู่เข้าที่จำเป็นไม่ได้รับประกันการลู่เข้าของอนุกรมเลย

ตามเงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับการลู่เข้าของอนุกรม เราสามารถกำหนดได้ มีหลักฐานที่เพียงพอของความแตกต่างชุดตัวเลข:

ถ้า $\lim_(n\to\infty)u_n\neq 0$ ดังนั้นอนุกรม $\sum\limits_(n=1)^(\infty)u_n$ จะลู่ออก

ส่วนใหญ่แล้วในตัวอย่างมาตรฐาน สัญญาณที่จำเป็นของการลู่เข้าจะถูกตรวจสอบหากคำศัพท์ทั่วไปของอนุกรมแสดงด้วยเศษส่วน ซึ่งตัวเศษและส่วนเป็นพหุนามบางตัว ตัวอย่างเช่น $u_n=\frac(3n^2+2n-1)(5n^2+7)$ (ดูตัวอย่างหมายเลข 1) หรืออาจมีรากมาจากพหุนาม (ดูตัวอย่างที่ 2) มีตัวอย่างที่เบี่ยงเบนไปจากแบบแผนนี้บ้าง แต่พบไม่บ่อยสำหรับการทดสอบมาตรฐาน (ดูตัวอย่างในส่วนที่สองของหัวข้อนี้) ฉันขอเน้นย้ำสิ่งสำคัญ: เป็นไปไม่ได้ที่จะพิสูจน์การบรรจบกันของซีรีส์โดยใช้เกณฑ์ที่จำเป็น เครื่องหมายนี้ใช้เมื่อคุณต้องการพิสูจน์ว่ามีอนุกรมที่แตกต่างกัน

ตัวอย่างหมายเลข 1

ตรวจสอบการบรรจบกันของอนุกรม $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(3n^2+2n-1)(5n^2+7)$

เนื่องจากขีดจำกัดล่างของการรวมคือ 1 คำศัพท์ทั่วไปของอนุกรมจึงเขียนไว้ใต้เครื่องหมายผลรวม: $u_n=\frac(3n^2+2n-1)(5n^2+7)$ เรามาค้นหาขีดจำกัดของคำศัพท์ทั่วไปของอนุกรมนี้กัน:

$$ \lim_(n\to\infty)u_n=\lim_(n\to\infty)\frac(3n^2+2n-1)(5n^2+7)=\left|\frac(\infty) (\infty)\right|= \lim_(n\to\infty)\frac(\frac(3n^2)(n^2)+\frac(2n)(n^2)-\frac(1)( n^2))(\frac(5n^2)(n^2)+\frac(7)(n^2))= \lim_(n\to\infty)\frac(3+\frac(2) (n)-\frac(1)(n^2))(5+\frac(7)(n^2))=\frac(3+0-0)(5+0)=\frac(3) (5) -

"ขีดจำกัดของอัตราส่วนของพหุนามสองตัว" เนื่องจากขีดจำกัดของเทอมทั่วไปของอนุกรมไม่เท่ากับศูนย์ นั่นคือ $\lim_(n\to\infty)u_n=\frac(3)(5)\neq 0$ ดังนั้นเกณฑ์ที่จำเป็นสำหรับการลู่เข้าจึงไม่เป็นที่พอใจ ดังนั้นซีรีส์จึงแตกต่าง

การแก้ปัญหาเสร็จสมบูรณ์แล้ว แต่ฉันเชื่อว่าผู้อ่านจะมีคำถามที่สมเหตุสมผล: เราเห็นได้อย่างไรว่าจำเป็นต้องตรวจสอบการปฏิบัติตามเงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับการลู่เข้า? มีสัญญาณของการบรรจบกันของอนุกรมตัวเลขอยู่มากมาย แล้วเหตุใดคุณจึงเลือกอนุกรมนี้ คำถามนี้ไม่ได้ใช้งานเลย แต่เนื่องจากคำตอบอาจไม่เป็นที่สนใจของผู้อ่านทุกคน ฉันจึงซ่อนมันไว้ใต้โน้ต

เหตุใดเราจึงเริ่มใช้เกณฑ์ที่จำเป็นสำหรับการลู่เข้า แสดงซ่อน

พูดง่ายๆ ก็คือ ปัญหาของการมาบรรจบกันของซีรีส์เรื่องนี้ได้รับการแก้ไขก่อนที่จะมีการศึกษาอย่างเป็นทางการเสียอีก ฉันจะไม่พูดถึงหัวข้อเช่นลำดับการเติบโต ฉันจะให้เหตุผลทั่วไปบางอย่าง ลองดูคำศัพท์ทั่วไปของอนุกรม $u_n=\frac(3n^2+2n-1)(5n^2+7)$ ให้ละเอียดยิ่งขึ้น มาดูตัวเศษกันก่อน. ตัวเลข (-1) ที่อยู่ในตัวเศษสามารถละทิ้งได้ทันที: หาก $n\to\infty$ จำนวนนี้จะน้อยมากเมื่อเทียบกับเงื่อนไขอื่นๆ

มาดูเลขยกกำลัง $n^2$ และ $n$ ในตัวเศษกัน คำถาม: องค์ประกอบใด ($n^2$ หรือ $n$) จะเติบโตเร็วกว่าองค์ประกอบอื่น

คำตอบนั้นง่ายมาก: $n^2$ จะเพิ่มค่าให้เร็วที่สุด ตัวอย่างเช่น เมื่อ $n=100$ แล้ว $n^2=10\;000$ และช่องว่างระหว่าง $n$ และ $n^2$ จะมีมากขึ้นเรื่อยๆ ดังนั้นเราจึงละทิ้งคำศัพท์ทั้งหมดในใจ ยกเว้นที่มี $n^2$ หลังจาก "ทิ้ง" แล้ว $3n^2$ จะยังคงอยู่ในตัวเศษ และหลังจากดำเนินการขั้นตอนที่คล้ายกันสำหรับตัวส่วนแล้ว จะยังคงอยู่ $5n^2$ และเศษส่วน $\frac(3n^2+2n-1)(5n^2+7)$ จะกลายเป็น: $\frac(3n^2)(5n^2)=\frac(3)(5)$ . เหล่านั้น. ที่อนันต์ พจน์ทั่วไปจะไม่มีแนวโน้มเป็นศูนย์อย่างชัดเจน สิ่งที่เหลืออยู่คือการแสดงสิ่งนี้อย่างเป็นทางการซึ่งได้ทำไว้ข้างต้น

บ่อยครั้ง ในการเขียนคำศัพท์ทั่วไปของอนุกรม มีการใช้องค์ประกอบต่างๆ เช่น $\sin\alpha$ หรือ $\arctg\alpha$ และอื่นๆ ที่คล้ายคลึงกัน คุณเพียงแค่ต้องจำไว้ว่าค่าของปริมาณดังกล่าวไม่สามารถเกินขอบเขตตัวเลขที่แน่นอนได้ ตัวอย่างเช่น ไม่ว่าค่าของ $\alpha$ จะเป็นค่าใดก็ตาม ค่าของ $\sin\alpha$ จะยังคงอยู่ใน $-1≤\sin\alpha≤ 1$ ตัวอย่างเช่น เราสามารถเขียนได้ว่า $-1≤\sin(n!e^n)≤ 1$ ตอนนี้ลองจินตนาการว่าในสัญลักษณ์ของคำศัพท์ทั่วไปของอนุกรมนี้มีสำนวนเช่น $5n+\sin(n!e^n)$ ไซน์ซึ่งสามารถ "ผันผวน" จาก -1 เป็น 1 เท่านั้นจะมีบทบาทสำคัญหรือไม่ ท้ายที่สุดแล้วค่าของ $n$ มีแนวโน้มที่จะไม่มีที่สิ้นสุดและไซน์ก็ไม่สามารถเกินหนึ่งได้! ดังนั้น เมื่อพิจารณาเบื้องต้นเกี่ยวกับนิพจน์ $5n+\sin(n!e^n)$ ไซน์ก็สามารถถูกละทิ้งไปได้เลย

หรือ ตัวอย่างเช่น ลองหาอาร์กแทนเจนต์ดู ไม่ว่าค่าของอาร์กิวเมนต์ $\alpha$ จะเป็นอย่างไร ค่าของ $\arctg\alpha$ จะเป็นไปตามความไม่เท่าเทียมกัน $-\frac(\pi)(2)<\arctg\alpha<\frac{\pi}{2}$. Т.е., например, в выражении вроде $7n^3+\sqrt{9n+100}-6\arctg(5^n+587n^{258})$ можно сразу отбросить арктангенс. Да и $\sqrt{9n+100}$ тоже, оставив при этом лишь $7n^3$.

ต้องใช้ทักษะเล็กน้อยในการพิจารณาว่าองค์ประกอบใดที่สามารถ "ทิ้ง" ได้ และองค์ประกอบใดไม่สามารถทำได้ บ่อยครั้งที่ปัญหาของการบรรจบกันของซีรีส์สามารถแก้ไขได้ก่อนการศึกษาอย่างเป็นทางการ และการวิจัยอย่างเป็นทางการในตัวอย่างมาตรฐานจะทำหน้าที่เป็นการยืนยันผลลัพธ์ที่ได้รับโดยสัญชาตญาณเท่านั้น

คำตอบ: ซีรีส์แตกต่าง

ตัวอย่างหมายเลข 2

ตรวจสอบอนุกรม $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(\sqrt(4n^7+5n^3-4))(9n^2-n+12)$ สำหรับการลู่เข้า

เนื่องจากขีดจำกัดล่างของการรวมคือ 1 คำศัพท์ทั่วไปของอนุกรมจึงเขียนไว้ใต้เครื่องหมายผลรวม: $u_n=\frac(\sqrt(4n^7+5n^3-4))(9n^2-n+12 )$ เรามาค้นหาขีดจำกัดของคำศัพท์ทั่วไปของอนุกรมนี้กันดีกว่า:

$$ \lim_(n\to\infty)u_n=\lim_(n\to\infty)\frac(\sqrt(4n^7+5n^3-4))(9n^2-n+12)=\ ซ้าย|\frac(\infty)(\infty)\right|= \lim_(n\to\infty)\frac(\sqrt(\frac(4n^7)(n^7)+\frac(5n^3 )(n^7)-\frac(4)(n^7)))(\frac(9n^2)(n^(\frac(7)(3)))-\frac(n)(n^ (\frac(7)(3)))+\frac(12)(n^(\frac(7)(3))))= \lim_(n\to\infty)\frac(\sqrt(4+ \frac(5)(n^4)-\frac(4)(n^7)))(\frac(9)(n^\frac(1)(3))-\frac(1)(n^ \frac(4)(3))+\frac(12)(n^\frac(7)(3)))=+\infty. -

หากวิธีการแก้ไขขีด จำกัด นี้ทำให้เกิดคำถามฉันขอแนะนำให้คุณดูหัวข้อ "ข้อ จำกัด ด้วยความไร้เหตุผล" (ตัวอย่างที่ 7) เนื่องจากขีดจำกัดของเทอมทั่วไปของอนุกรมไม่เท่ากับศูนย์ นั่นคือ $\lim_(n\to\infty)u_n\neq 0$ ดังนั้นเกณฑ์ที่จำเป็นสำหรับการลู่เข้าไม่เป็นที่พอใจ ดังนั้นซีรีส์จึงแตกต่าง

มาพูดคุยกันเล็กน้อยจากตำแหน่งของการให้เหตุผลตามสัญชาตญาณ โดยหลักการแล้ว ทุกอย่างที่กล่าวไว้ในหมายเหตุของวิธีแก้ปัญหาตัวอย่างที่ 1 จะเป็นเรื่องจริงที่นี่ หากคุณ "ละทิ้ง" คำศัพท์ที่ "ไม่มีนัยสำคัญ" ทั้งหมดในตัวเศษและตัวส่วนของคำศัพท์ทั่วไปของอนุกรมนั้นไปในทางจิตใจ แล้วเศษส่วน $\frac(\sqrt(4n^7+5n^3-4))(9n^2 -n+12)$ จะอยู่ในรูปแบบ : $\frac(\sqrt(4n^7))(9n^2)=\frac(n^2\sqrt(4n))(9n^2)=\frac( \sqrt(4n))(9)$ เหล่านั้น. ก่อนการศึกษาอย่างเป็นทางการ จะเห็นได้ชัดว่าสำหรับ $n\to\infty$ คำศัพท์ทั่วไปของอนุกรมจะไม่มีแนวโน้มเป็นศูนย์ ไปสู่อนันต์มันจะเป็น แต่ถึงศูนย์มันจะไม่เป็นเช่นนั้น ดังนั้นสิ่งที่เหลืออยู่คือการแสดงสิ่งนี้อย่างเคร่งครัดซึ่งได้ทำไว้ข้างต้น

คำตอบ: ซีรีส์แตกต่าง

ตัวอย่างหมายเลข 3

ตรวจสอบการบรรจบกันของอนุกรม $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\left(5^n\sin\frac(8)(3^n)\right)$

เนื่องจากขีดจำกัดล่างของผลรวมคือ 1 คำศัพท์ทั่วไปของอนุกรมจึงเขียนไว้ใต้เครื่องหมายผลรวม: $u_n=5^n\sin\frac(8)(3^n)$ เรามาค้นหาขีดจำกัดของคำศัพท์ทั่วไปของอนุกรมนี้กันดีกว่า:

$$ \lim_(n\to\infty)u_n=\lim_(n\to\infty)\left(5^n\sin\frac(8)(3^n)\right)=\lim_(n\to \infty)\frac(\sin\frac(8)(3^n))(\frac(1)(5^n))=\left|\frac(0)(0)\right|=\left| \begin(ชิด)&\frac(8)(3^n)\to 0;\\&\sin\frac(8)(3^n)\sim\frac(8)(3^n) \end(ชิด)\right|=\lim_(n\to\infty)\frac(\frac(8)(3^n))(\frac(1)(5^n))=8\cdot\lim_ (n\to\infty)\left(\frac(5)(3)\right)^n=+\infty. -

เนื่องจากขีดจำกัดของเทอมทั่วไปของอนุกรมไม่เท่ากับศูนย์ นั่นคือ $\lim_(n\to\infty)u_n\neq 0$ ดังนั้นเกณฑ์ที่จำเป็นสำหรับการลู่เข้าไม่เป็นที่พอใจ ดังนั้นซีรีส์จึงแตกต่าง

คำไม่กี่คำเกี่ยวกับการเปลี่ยนแปลงที่ดำเนินการเมื่อคำนวณขีด จำกัด นิพจน์ $5^n$ ถูกวางไว้ในตัวเศษเพื่อทำให้นิพจน์ทั้งตัวเศษและตัวส่วนมีน้อยมาก เหล่านั้น. สำหรับ $n\to\infty$ เรามี: $\sin\frac(8)(3^n)\to 0$ และ $\frac(1)(5^n)\to 0$ และหากเรามีอัตราส่วนของค่าเล็กน้อยเราก็สามารถใช้สูตรที่ระบุในเอกสาร "ฟังก์ชันเทียบเท่าค่าจิ๋ว" ได้อย่างปลอดภัย (ดูตารางท้ายเอกสาร) ตามสูตรใดสูตรหนึ่งเหล่านี้ ถ้า $x\ถึง 0$ แล้ว $\sin x\sim x$ และเรามีกรณีเช่นนี้: เนื่องจาก $\frac(8)(3^n)\ถึง 0$ จากนั้น $\sin\frac(8)(3^n)\sim\frac(8)( 3^n )$ กล่าวอีกนัยหนึ่ง เราเพียงแทนที่นิพจน์ $\sin\frac(8)(3^n)$ ด้วยนิพจน์ $\frac(8)(3^n)$

ฉันคิดว่าคำถามอาจเกิดขึ้นว่าทำไมเราจึงแปลงนิพจน์ $5^n\sin\frac(8)(3^n)$ เป็นรูปแบบเศษส่วน เนื่องจากการแทนที่สามารถทำได้โดยไม่ต้องแปลงเช่นนั้น คำตอบคือ: สามารถเปลี่ยนทดแทนได้ แต่จะถูกกฎหมายหรือไม่ ทฤษฎีบทเกี่ยวกับฟังก์ชันจำนวนน้อยที่เท่ากันให้ข้อบ่งชี้ที่ชัดเจนว่าการแทนที่นั้นเป็นไปได้เฉพาะในนิพจน์ในรูปแบบ $\frac(\alpha(x))(\beta(x))$ (ในกรณีนี้ $\alpha(x)$ และ $\beta (x)$ - จิ๋ว) ซึ่งอยู่ใต้เครื่องหมายจำกัด ดังนั้นเราจึงแปลงนิพจน์ของเราให้อยู่ในรูปเศษส่วน โดยปรับให้เข้ากับข้อกำหนดของทฤษฎีบท

คำตอบ: ซีรีส์แตกต่าง

ตัวอย่างหมายเลข 4

ตรวจสอบการบรรจบกันของอนุกรม $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(3^n)(n^2)$

เนื่องจากขีดจำกัดล่างของผลรวมคือ 1 คำทั่วไปของอนุกรมจึงเขียนไว้ใต้เครื่องหมายผลรวม: $u_n=\frac(3^n)(n^2)$ ในความเป็นจริง ปัญหาของการลู่เข้าของซีรีส์นี้แก้ไขได้อย่างง่ายดายโดยใช้การทดสอบของ D'Alembert อย่างไรก็ตาม สามารถใช้การทดสอบการลู่เข้าที่จำเป็นได้เช่นกัน

มาดูคำศัพท์ทั่วไปของซีรีส์นี้กันดีกว่า ตัวเศษประกอบด้วยนิพจน์ $3^n$ ซึ่งเมื่อ $n$ เพิ่มขึ้น จะเพิ่มขึ้นเร็วกว่า $n^2$ ที่อยู่ในตัวส่วนมาก เปรียบเทียบด้วยตัวคุณเอง: เช่น ถ้า $n=10$ แล้ว $3^n=59049$ และ $n^2=100$ และช่องว่างนี้จะเพิ่มขึ้นอย่างรวดเร็วเมื่อ $n$ เติบโตขึ้น

มันค่อนข้างสมเหตุสมผลที่จะถือว่าถ้า $n\to\infty$ แล้ว $u_n$ จะไม่มีแนวโน้มเป็นศูนย์ กล่าวคือ เงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับการบรรจบกันจะไม่เป็นที่พอใจ สิ่งที่เหลืออยู่คือการทดสอบสมมติฐานที่เป็นไปได้มากและคำนวณ $\lim_(n\to\infty)u_n=\lim_(n\to\infty)\frac(3^n)(n^2)$ อย่างไรก็ตาม ก่อนที่จะคำนวณขีดจำกัดนี้ เราจะหาขีดจำกัดเสริมของฟังก์ชัน $y=\frac(3^x)(x^2)$ สำหรับ $x\to +\infty$ กล่าวคือ ลองคำนวณ $\lim_(x\to +\infty)\frac(3^x)(x^2)$ ทำไมเราถึงทำเช่นนี้: ความจริงก็คือในนิพจน์ $u_n=\frac(3^n)(n^2)$ พารามิเตอร์ $n$ รับเฉพาะค่าธรรมชาติ ($n=1,2,3, \ldots$) และอาร์กิวเมนต์ $x$ ของฟังก์ชัน $y=\frac(3^x)(x^2)$ รับค่าจริง เมื่อหา $\lim_(x\to+\infty)\frac(3^x)(x^2)$ เราสามารถใช้กฎของโลปิตาลได้:

$$ \lim_(x\to +\infty)\frac(3^x)(x^2)=\left|\frac(\infty)(\infty)\right|=|\text (ใช้ L'Hopital's กฎ) |=\lim_(x\to +\infty)\frac(\left(3^x\right)")(\left(x^2\right)")=\lim_(x\to +\infty )\ frac(3^x\ln 3)(2x)=\\ =\frac(\ln 3)(2)\cdot\lim_(x\to +\infty)\frac(3^x)(x) =\ left|\frac(\infty)(\infty)\right|=|\text(ใช้กฎของ L'Hopital)|=\frac(\ln 3)(2)\cdot\lim_(x\to +\ infty)\frac (\left(3^x\right)")(\left(x\right)")=\\ =\frac(\ln 3)(2)\cdot\lim_(x\to +\ infty)\frac (3^x\ln 3)(1)=\frac(\ln^2 3)(2)\cdot\lim_(x\to +\infty)3^x=+\infty. -

เนื่องจาก $\lim_(x\to +\infty)\frac(3^x)(x^2)=+\infty$ ดังนั้น $\lim_(n\to\infty)u_n=\lim_(n\to \ infty)\frac(3^n)(n^2)=+\infty$. เนื่องจาก $\lim_(n\to\infty)u_n\neq 0$ ดังนั้นเงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับการลู่เข้าของอนุกรมจึงไม่เป็นที่พอใจ กล่าวคือ ซีรีส์ที่ให้มานั้นแตกต่างออกไป

คำตอบ: ซีรีส์แตกต่าง

ตัวอย่างอื่นๆ ของชุดข้อมูลที่มีการตรวจสอบการลู่เข้าโดยใช้การทดสอบการลู่เข้าที่จำเป็นอยู่ในส่วนที่สองของหัวข้อนี้

คณิตศาสตร์ขั้นสูง

ชุดตัวเลข

บรรยาย.ชุดตัวเลข

1. คำจำกัดความของชุดตัวเลข การบรรจบกัน

2. คุณสมบัติพื้นฐานของอนุกรมจำนวน

3. ซีรีส์ที่มีเงื่อนไขเชิงบวก สัญญาณของการบรรจบกัน

4. การสลับแถว การทดสอบการบรรจบกันของไลบนิซ

5. ซีรีย์สลับกัน

คำถามทดสอบตัวเอง

วรรณกรรม

บรรยาย. ซีรี่ส์ตัวเลข

1. คำจำกัดความของชุดตัวเลข การบรรจบกัน

2. คุณสมบัติพื้นฐานของอนุกรมจำนวน

3. ซีรีส์ที่มีเงื่อนไขเชิงบวก สัญญาณของการบรรจบกัน

4. การสลับแถว การทดสอบการบรรจบกันของไลบนิซ

5. ซีรีย์สลับกัน

1. คำจำกัดความของชุดตัวเลข การบรรจบกัน

ในการประยุกต์ทางคณิตศาสตร์ เช่นเดียวกับในการแก้ปัญหาบางอย่างในเศรษฐศาสตร์ สถิติ และสาขาอื่นๆ จะพิจารณาผลบวกที่มีจำนวนเทอมไม่สิ้นสุด ในที่นี้เราจะให้คำจำกัดความว่าจำนวนเงินดังกล่าวหมายถึงอะไร

ให้ลำดับจำนวนอนันต์ได้รับ

, , …, , …

คำจำกัดความ 1.1. ชุดตัวเลขหรือเพียงแค่ ใกล้เรียกว่านิพจน์ (ผลรวม) ของแบบฟอร์ม

- (1.1) เรียกว่า สมาชิกของตัวเลข, – ทั่วไปหรือ n – มสมาชิกของซีรีส์

ในการกำหนดอนุกรม (1.1) ก็เพียงพอที่จะระบุฟังก์ชันของอาร์กิวเมนต์ธรรมชาติ

การคำนวณเทอมที่ 3 ของอนุกรมด้วยจำนวน

ตัวอย่างที่ 1.1- อนุญาต

- แถว (1.2)

เรียกว่า ซีรีย์ฮาร์มอนิก .

ตัวอย่างที่ 1.2- อนุญาต

, แถว (1.3)

เรียกว่า อนุกรมฮาร์มอนิกทั่วไป. ในกรณีพิเศษเมื่อ

ได้รับอนุกรมฮาร์มอนิก

ตัวอย่างที่ 1.3- อนุญาต

- แถว (1.4)

เรียกว่า ใกล้ความก้าวหน้าทางเรขาคณิต.

จากเงื่อนไขของอนุกรม (1.1) เราสร้างตัวเลข ลำดับของบางส่วนจำนวนเงินที่ไหน

– ผลรวมของพจน์แรกของอนุกรมซึ่งเรียกว่า n-จำนวนบางส่วน, เช่น. , , ,

…………………………….

, (1.5)

…………………………….

ลำดับหมายเลข

ด้วยจำนวนที่เพิ่มขึ้นไม่จำกัด จึงสามารถ:

1) มีขีดจำกัด;

2) ไม่มีขีดจำกัดจำกัด (ขีดจำกัดไม่มีอยู่หรือเท่ากับอนันต์)

คำจำกัดความ 1.2. ซีรีส์ (1.1) เรียกว่า มาบรรจบกัน,ถ้าลำดับของผลรวมบางส่วน (1.5) มีขีดจำกัดจำกัด เช่น

ในกรณีนี้คือหมายเลข

เรียกว่า จำนวนซีรีส์ (1.1) และถูกเขียน .

คำจำกัดความ 1.3ซีรีส์ (1.1) เรียกว่า แตกต่าง,ถ้าลำดับของผลรวมบางส่วนไม่มีขีดจำกัด.

ไม่มีการกำหนดผลรวมให้กับซีรีส์ไดเวอร์เจนท์

ดังนั้น ปัญหาในการหาผลรวมของอนุกรมลู่เข้า (1.1) จึงเทียบเท่ากับการคำนวณขีดจำกัดของลำดับของผลรวมบางส่วน

ลองดูตัวอย่างบางส่วน

ตัวอย่างที่ 1.4พิสูจน์ได้ว่าซีรีส์นี้

มาบรรจบกันและหาผลรวมของมัน

เราจะพบ n- ผลรวมบางส่วนของอนุกรมนี้

.

สมาชิกทั่วไป

มาเป็นตัวแทนซีรีย์ในรูปแบบ

จากที่นี่เรามี:

- ดังนั้นอนุกรมนี้มาบรรจบกันและผลรวมเท่ากับ 1:

ตัวอย่างที่ 1.5- ตรวจสอบซีรีส์สำหรับการลู่เข้า

(1.6)

สำหรับแถวนี้

- ดังนั้นซีรีย์นี้จึงแตกต่าง

ความคิดเห็น ที่

อนุกรม (1.6) คือผลรวมของจำนวนศูนย์อนันต์และเป็นการลู่เข้ากันอย่างเห็นได้ชัด

ตัวอย่างที่ 1.6ตรวจสอบซีรีส์สำหรับการลู่เข้า

(1.7)

สำหรับแถวนี้

ในกรณีนี้ ขีดจำกัดของลำดับของผลรวมบางส่วนคือ

ไม่มีอยู่จริง และซีรีส์ก็แยกออกไป

ตัวอย่างที่ 1.7ตรวจสอบชุดของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต (1.4) สำหรับการลู่เข้า:

มันง่ายที่จะแสดงสิ่งนั้น n- ผลรวมบางส่วนของอนุกรมความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่

จะได้รับจากสูตร

ลองพิจารณากรณีต่างๆ:

แล้วและ.

ดังนั้นอนุกรมมาบรรจบกันและผลรวมจึงเท่ากับ

นิยามของอนุกรมจำนวนและการบรรจบกัน

สัญญาณที่จำเป็นของการบรรจบกัน

อนุญาต เป็นลำดับของตัวเลขอนันต์.

คำนิยาม.การแสดงออก

, (1)

หรือสิ่งเดียวกันเรียกว่าอะไร ชุดตัวเลขและตัวเลข https://pandia.ru/text/79/302/images/image005_146.gif" width="53" height="31"> – สมาชิกของซีรีส์สมาชิกที่มีหมายเลขที่กำหนดเองจะถูกเรียกn-ม.หรือ สมาชิกทั่วไปของซีรีส์.

ในตัวมันเอง นิพจน์ (1) ไม่ได้มีความหมายเชิงตัวเลขใดๆ เป็นพิเศษ เพราะเมื่อคำนวณผลรวม แต่ละครั้งเราจะจัดการกับคำศัพท์ที่มีจำนวนจำกัดเท่านั้น เป็นเรื่องธรรมชาติที่สุดที่จะกำหนดความหมายของสำนวนนี้ดังนี้

ให้ซีรีย์ (1) มอบให้

คำนิยาม.ผลรวมnสมาชิกคนแรกของซีรีส์

เรียกว่า n จำนวนบางส่วน แถว. มาสร้างลำดับของผลรวมบางส่วนกัน:

font-size:14.0pt">เพิ่มจำนวนได้ไม่จำกัดnผลรวมคำนึงถึงจำนวนสมาชิกของซีรีส์ที่เพิ่มขึ้น ดังนั้นจึงสมควรให้คำนิยามดังกล่าว

คำนิยาม.หาก ที่ มีการจำกัดลำดับของผลรวมบางส่วน https://pandia.ru/text/79/302/images/image011_76.gif" width="103" height="41"> จะถูกเรียกว่า จำนวน.

ถ้าลำดับเป็นhttps://pandia.ru/text/79/302/images/image013_77.gif" width="80" height="31">, 2) ถ้าลำดับมีความผันผวนทั้งสองกรณีเขาบอกว่า ซีรีส์ไม่มีผลรวม

ตัวอย่างที่ 1พิจารณาอนุกรมที่ประกอบด้วยเงื่อนไขของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต:

, (2)

โดยที่ – เรียกว่าเทอมแรกของความก้าวหน้า และ font-size:14.0pt"> ผลรวมบางส่วนของชุดนี้ที่ font-size:14.0pt">font-size:14.0pt">จากที่นี่:

1) ถ้า แล้ว

font-size:14.0pt">นั่นคือ ชุดของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตมาบรรจบกันและผลรวมของมัน

โดยเฉพาะถ้า , แถว ผลรวมของมันก็มาบรรจบกัน

เมื่อ https://pandia.ru/text/79/302/images/image026_42.gif" width="307" height="59 src="> ผลรวมของมันก็มาบรรจบกันเช่นกัน

2) ถ้า แล้ว เช่น ซีรีส์ (2) แตกต่าง

3) ถ้า จากนั้นแถว (2) จะอยู่ในรูปแบบ font-size:14.0pt"> และกล่าวคือซีรีส์แตกต่างออกไป(ที่ขนาดตัวอักษร:18.0pt">)

4) ถ้า https://pandia.ru/text/79/302/images/image036_32.gif" width="265" height="37"> สำหรับแถวนี้

https://pandia.ru/text/79/302/images/image038_28.gif" width="253" height="31 src=">,

เช่น..gif" width="67" height="41"> ไม่มีอยู่ ดังนั้นซีรีส์จึงมีความแตกต่างกัน(ที่ ) .

การคำนวณผลรวมของอนุกรมโดยตรงตามคำจำกัดความนั้นไม่สะดวกอย่างมากเนื่องจากความยากลำบากในการคำนวณผลรวมบางส่วนอย่างชัดเจน font-size:14.0pt"> และการค้นหาขีด จำกัด ของลำดับ แต่ถ้ามีการพิสูจน์แล้วว่าอนุกรมมาบรรจบกัน ผลรวมของมันสามารถคำนวณได้โดยประมาณ เนื่องจากจากการกำหนดขีดจำกัดของลำดับ มันจะเป็นไปตามนั้นสำหรับขนาดใหญ่ที่เพียงพอ- ดังนั้นเมื่อเรียนซีรีย์ก็พอแล้ว

1) รู้เทคนิคที่ช่วยให้คุณระบุการบรรจบกันของอนุกรมโดยไม่ต้องหาผลรวม

2) สามารถกำหนดได้font-size:14.0pt">.gif" width="16 height=24" height="24"> ด้วยความแม่นยำระดับหนึ่ง

การบรรจบกันของอนุกรมจำนวนถูกสร้างขึ้นโดยใช้ทฤษฎีบทที่เรียกว่าการทดสอบการลู่เข้า

เครื่องหมายที่จำเป็น การบรรจบกัน

หากอนุกรมมาบรรจบกัน คำทั่วไปของอนุกรมก็มีแนวโน้มที่จะเป็นศูนย์ เช่น font-size:14.0pt">.gif" width="61 height=63" height="63"> แตกต่าง

ตัวอย่างที่ 2พิสูจน์แถวนั้น 0 " style="border-collapse:collapse">

;

;

;

.

สารละลาย.

A) https://pandia.ru/text/79/302/images/image051_28.gif" width="176" height="81 src="> แตกต่าง

ดังนั้นซีรีส์จึงแตกต่างออกไป วิธีแก้ปัญหาใช้ข้อที่สองที่น่าทึ่ง

ขีดจำกัด: (ดูรายละเอียด).

B) ขนาดตัวอักษร:14.0pt"> เช่น ลำดับ

- ไม่มีที่สิ้นสุด

เล็ก ตั้งแต่ด้วย font-size:14.0pt">~ (ดู) ดังนั้น ~ .

เมื่อคำนึงถึงสิ่งนี้ เราได้รับ:

ซึ่งหมายความว่าซีรีส์จะแตกต่างออกไป

D) ขนาดตัวอักษร:14.0pt">,

ดังนั้นซีรีส์จึงแตกต่างออกไป

เงื่อนไข เป็น จำเป็น,แต่ ไม่พอเงื่อนไขสำหรับการบรรจบกันของอนุกรม: มีหลายอนุกรมที่แต่กลับมีความแตกต่างกันออกไป

ตัวอย่างที่ 3ตรวจสอบการบรรจบกันของชุด font-size:14.0pt"> สารละลาย.สังเกตว่า https://pandia.ru/text/79/302/images/image066_20.gif" width="119" height="59 src="> กล่าวคือ เงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับการลู่เข้าเป็นที่พอใจ จำนวนเงินบางส่วน

ซ้าย">

- ครั้งหนึ่ง

ดังนั้น font-size:14.0pt"> ซึ่งหมายความว่าซีรีส์จะแตกต่างกันไปตามคำจำกัดความ

สัญญาณที่เพียงพอของการบรรจบกันของอนุกรมเชิงบวก

อนุญาต . แล้วซีรีย์ขนาดตัวอักษร:14.0pt"> เครื่องหมายเปรียบเทียบ

อนุญาต และเป็นซีรีส์สัญญาณเชิงบวก หากทุกคนพึงพอใจในความไม่เท่าเทียมกัน การบรรจบกันของซีรีส์จะตามมาจากการบรรจบกันของซีรีส์ และจากความแตกต่างของซีรีส์ https://pandia.ru/text/79/302/images/image074_19.gif" width ="55" ความสูง="60">.

เครื่องหมายนี้ยังคงมีผลบังคับใช้หากความไม่เท่าเทียมกันhttps://pandia.ru/text/79/302/images/image072_18.gif" width="60" height="24">แต่เริ่มต้นจากจำนวนที่แน่นอนเท่านั้น มันสามารถ ตีความได้ดังนี้: ถ้าอนุกรมที่ใหญ่กว่ามาบรรจบกัน อนุกรมที่เล็กกว่าก็จะลู่เข้าหากันมากขึ้น

ตัวอย่างที่ 4ตรวจสอบการบรรจบกันของซีรีส์ 0 " style="margin-left:50.4pt;border-collapse:collapse">

;

สารละลาย.

A) โปรดทราบว่า font-size:14.0pt"> สำหรับทุกคน - ซีรีส์ที่มีสมาชิกร่วมกัน

มาบรรจบกันเพราะเป็นอนุกรมของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่มีตัวส่วน (ดูตัวอย่างที่ 1) ดังนั้นอนุกรมนี้มาบรรจบกันโดยการเปรียบเทียบ

B) เปรียบเทียบแถวกับแถว ..gif" width="91" height="29 src=">.gif" width="87" height="59"> แตกต่าง ซึ่งหมายความว่าซีรีส์นี้ก็แตกต่างเช่นกัน

แม้ว่าการกำหนดเกณฑ์การเปรียบเทียบจะเรียบง่าย แต่ในทางปฏิบัติทฤษฎีบทต่อไปนี้ซึ่งเป็นข้อพิสูจน์จะสะดวกกว่า

ขีดจำกัดของการเปรียบเทียบ

อนุญาต https://pandia.ru/text/79/302/images/image071_17.gif" width="53" height="60 src="> – ชุดเครื่องหมายบวก หากมี มีจำกัดและ ไม่เท่ากับศูนย์ลิมิตแล้วทั้งซีรีย์และ

มาบรรจบกันในเวลาเดียวกันหรือแยกออกในเวลาเดียวกัน

ชุดที่ใช้เปรียบเทียบกับข้อมูลมักเลือกเป็นชุดของแบบฟอร์ม - ซีรีส์ดังกล่าวมีชื่อว่า ใกล้ดิริชเลต์- ในตัวอย่างที่ 3 และ 4 แสดงให้เห็นว่าอนุกรม Dirichlet ที่มีและลู่ออก เป็นไปได้สำหรับตอนนี้

โปรดทราบว่าแถวนี้เป็นขนาดตัวอักษร:14.0pt"> .

ถ้าอย่างนั้นซีรีส์ เรียกว่า ฮาร์มอนิก- อนุกรมฮาร์มอนิกจะแตกต่างออกไป

ตัวอย่างที่ 5ตรวจสอบซีรีส์สำหรับการลู่เข้าโดยใช้เกณฑ์การเปรียบเทียบที่จำกัด ถ้า

;

;

;

สารละลาย.ก) เนื่องจาก https://pandia.ru/text/79/302/images/image101_9.gif" width="31" height="23 src="> มีขนาดใหญ่เพียงพอ และ

~ แล้ว ~ font-size:14.0pt">การเปรียบเทียบกับอนุกรมฮาร์มอนิกที่กำหนดขนาดตัวอักษร:14.0pt"> เช่น .

font-size:14.0pt"> เนื่องจากขีดจำกัดมีจำกัดและไม่เป็นศูนย์ และอนุกรมฮาร์มอนิกต่างกัน อนุกรมนี้จึงต่างกันด้วย

B) สำหรับ https://pandia.ru/text/79/302/images/image109_10.gif" width="111" height="31 src=">.gif" width="129" height="31 มีขนาดใหญ่เพียงพอ src=">.gif" width="132" height="64 src="> – สมาชิกทั่วไปของซีรีส์ที่เราจะเปรียบเทียบอันนี้:

Font-size:14.0pt">ชุดมาบรรจบกัน ( ชุด Dirichlet ที่มีขนาดตัวอักษร:16.0pt">)ซีรีส์นี้ก็เลยมาบรรจบกันด้วย

ใน) ดังนั้นจึงไม่มีขอบเขตขนาดตัวอักษร:14.0pt"> เป็นไปได้

แทนที่ด้วยค่าที่เทียบเท่ากับมัน(https://pandia.ru/text/79/302/images/image058_20.gif" width="13" height="21 src="> พร้อมขนาดตัวอักษร: 20.0pt">). ;

;

;

กรัม)

;

.

1