หน่วยงานรัฐบาลกลางเพื่อการศึกษา

สาขาสเตอริทามัก

สถาบันการศึกษาของรัฐ

การศึกษาวิชาชีพชั้นสูง

"มหาวิทยาลัยรัฐบาชเคียร์"

คณะเศรษฐศาสตร์

ภาควิชาคณิตศาสตร์และสารสนเทศ

งานหลักสูตร

ในหัวข้อ:

ฟังก์ชันเบสเซล

จบโดยนักศึกษาชั้นปีที่ 2

กลุ่ม PMII-08

อเล็กซานโดรวา เอ.ยู._______

"___"___________2010

ผู้อำนวยการด้านวิทยาศาสตร์

ปริญญาเอก ศิลปะ ฯลฯ

ซิโดเรนโก O.G._______

"___"___________2010

สเตอร์ลิตามัก 2010

การแนะนำ

1 ฟังก์ชัน Bessel ที่มีเครื่องหมายจำนวนเต็มบวก

2 ฟังก์ชั่น Bessel พร้อมไอคอนที่กำหนดเอง

3 การนำเสนอทั่วไปของฟังก์ชันทรงกระบอก ฟังก์ชันเบสเซลชนิดที่สอง

การขยายซีรี่ส์ 4 ของฟังก์ชัน Bessel ของชนิดที่สองด้วยเครื่องหมายจำนวนเต็ม

5 ฟังก์ชัน Bessel ประเภทที่สาม

6 ฟังก์ชันเบสเซลของการโต้แย้งในจินตนาการ

7 ฟังก์ชันทรงกระบอกที่มีดัชนีเท่ากับครึ่งหนึ่งของจำนวนเต็มคี่

8 การแสดงเชิงเส้นกำกับของฟังก์ชันทรงกระบอกสำหรับค่าอาร์กิวเมนต์ขนาดใหญ่

ฟังก์ชันทรงกระบอก 9 ศูนย์

บทสรุป

บรรณานุกรม

การแนะนำ

ฟังก์ชันทรงกระบอกคือคำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นอันดับสอง

ตัวแปรที่ซับซ้อนอยู่ที่ไหน

คำว่า "ฟังก์ชันทรงกระบอก" มีต้นกำเนิดมาจากข้อเท็จจริงที่ว่าสมการ (1) เกิดขึ้นเมื่อพิจารณาปัญหาค่าขอบเขตของทฤษฎีที่เป็นไปได้สำหรับโดเมนทรงกระบอก

คลาสพิเศษของฟังก์ชันทรงกระบอกเป็นที่รู้จักในวรรณคดีว่า ฟังก์ชันเบสเซล และบางครั้งชื่อนี้ถูกกำหนดให้กับคลาสทั้งหมดของฟังก์ชันทรงกระบอก

ทฤษฎีฟังก์ชันที่ได้รับการพัฒนามาอย่างดีที่อยู่ระหว่างการพิจารณา ความพร้อมใช้งานของตารางรายละเอียด และการใช้งานที่หลากหลาย ให้เหตุผลที่เพียงพอในการจำแนกฟังก์ชันทรงกระบอกให้เป็นหนึ่งในฟังก์ชันพิเศษที่สำคัญที่สุด

สมการ Bessel เกิดขึ้นเมื่อหาคำตอบของสมการลาปลาซและสมการเฮล์มโฮลทซ์ในพิกัดทรงกระบอกและทรงกลม ดังนั้น ฟังก์ชัน Bessel จึงถูกนำมาใช้ในการแก้ปัญหาต่างๆ มากมายเกี่ยวกับการแพร่กระจายของคลื่น ความต่างศักย์คงที่ ฯลฯ ตัวอย่างเช่น

1) คลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าในท่อนำคลื่นทรงกระบอก

2) การนำความร้อนในวัตถุทรงกระบอก

3) โหมดการสั่นสะเทือนของเมมเบรนกลมบาง

4) ความเร็วของอนุภาคในกระบอกสูบที่เต็มไปด้วยของเหลวและหมุนรอบแกนของมัน

ฟังก์ชัน Bessel ยังใช้ในการแก้ไขปัญหาอื่นๆ เช่น ในการประมวลผลสัญญาณ

ฟังก์ชัน Cylindrical Bessel เป็นฟังก์ชันที่พบบ่อยที่สุดในบรรดาฟังก์ชันพิเศษทั้งหมด มีการประยุกต์ใช้งานมากมายในวิทยาศาสตร์ธรรมชาติและวิทยาศาสตร์ทางเทคนิคทั้งหมด (โดยเฉพาะดาราศาสตร์ กลศาสตร์ และฟิสิกส์) ในปัญหาหลายประการในฟิสิกส์คณิตศาสตร์ มีฟังก์ชันทรงกระบอกที่อาร์กิวเมนต์หรือดัชนี (บางครั้งทั้งสองอย่าง) ใช้ค่าที่ซับซ้อน เพื่อแก้ไขปัญหาดังกล่าวเป็นตัวเลข จำเป็นต้องพัฒนาอัลกอริธึมที่ช่วยให้สามารถคำนวณฟังก์ชัน Bessel ได้อย่างแม่นยำสูง

วัตถุประสงค์ของงานหลักสูตร:ศึกษาฟังก์ชันเบสเซลและการประยุกต์สมบัติในการแก้สมการเชิงอนุพันธ์

งาน:

1) ศึกษาสมการเบสเซลและสมการเบสเซลที่ถูกดัดแปลง

2) พิจารณาคุณสมบัติพื้นฐานของฟังก์ชัน Bessel การแทนซีมโทติค

3) แก้สมการเชิงอนุพันธ์โดยใช้ฟังก์ชัน Bessel

1 ฟังก์ชัน Bessel ที่มีเครื่องหมายจำนวนเต็มบวก

เพื่อพิจารณาปัญหาต่างๆ ที่เกี่ยวข้องกับการใช้ฟังก์ชันทรงกระบอก ก็เพียงพอที่จะจำกัดตัวเองให้ศึกษาคลาสพิเศษของฟังก์ชันเหล่านี้ ซึ่งสอดคล้องกับกรณีที่พารามิเตอร์ในสมการ (1) เท่ากับศูนย์หรือจำนวนเต็มบวก

การศึกษาในชั้นเรียนนี้เป็นการศึกษาขั้นพื้นฐานมากกว่าทฤษฎีที่เกี่ยวข้องกับค่านิยมที่กำหนดเอง และอาจใช้เป็นข้อมูลเบื้องต้นที่ดีสำหรับทฤษฎีทั่วไปนี้

ขอให้เราแสดงคำตอบหนึ่งของสมการนี้

0, 1, 2, …, (1.1)

คือฟังก์ชัน Bessel ของลำดับประเภทแรก ซึ่งสำหรับค่าใดๆ จะถูกกำหนดให้เป็นผลรวมของอนุกรม

(1.2)

เมื่อใช้การทดสอบของดาล็องแบร์ ​​เป็นเรื่องง่ายที่จะตรวจสอบว่าอนุกรมที่พิจารณามาบรรจบกันบนระนาบทั้งหมดของตัวแปรเชิงซ้อน ดังนั้นจึงแสดงถึงฟังก์ชันทั้งหมดของ

หากเราแสดงด้านซ้ายของสมการ (1.1) ด้วยและแนะนำสัญกรณ์แบบย่อสำหรับสัมประสิทธิ์ของอนุกรม (1.2) ให้วาง

แล้วผลจากการเปลี่ยนตัวเราจึงได้

จากนั้นนิพจน์ในวงเล็บปีกกาจะเท่ากับศูนย์ ดังนั้นฟังก์ชันจึงเป็นไปตามสมการ (1.1) กล่าวคือ เป็นฟังก์ชันทรงกระบอก

ฟังก์ชันที่ง่ายที่สุดของคลาสที่กำลังพิจารณาคือฟังก์ชัน Bessel ลำดับศูนย์และหนึ่ง:

(1.3)

ให้เราแสดงให้เห็นว่าฟังก์ชัน Bessel ของคำสั่งอื่นสามารถแสดงในรูปของฟังก์ชันทั้งสองนี้ได้ เพื่อพิสูจน์สิ่งนี้ สมมติว่า a เป็นจำนวนเต็มบวก ให้คูณอนุกรม (1.2) ด้วย และหาอนุพันธ์ด้วยความเคารพ เราจะได้มันแล้ว

(1.4)

ในทำนองเดียวกัน การคูณอนุกรมด้วยที่เราพบ

(1.5)

เมื่อสร้างความแตกต่างในความเท่าเทียมกัน (1.4 - 1.1) และหารด้วยปัจจัย เราจึงได้สูตร:

(1.6)

ซึ่งดังต่อไปนี้โดยตรง:

(1.7)

สูตรผลลัพธ์เรียกว่าความสัมพันธ์ที่เกิดซ้ำสำหรับฟังก์ชัน Bessel

ความสัมพันธ์ประการแรกทำให้สามารถแสดงฟังก์ชันของลำดับที่ต้องการผ่านฟังก์ชันของลำดับศูนย์และหนึ่งได้ ซึ่งจะลดการทำงานของการรวบรวมตารางของฟังก์ชัน Bessel ลงอย่างมาก

ความสัมพันธ์ที่สองอนุญาตให้แสดงอนุพันธ์ของฟังก์ชัน Bessel ผ่านฟังก์ชัน Bessel เพื่อให้ความสัมพันธ์นี้ถูกแทนที่ด้วยสูตร

(1.9)

โดยตรงจากคำจำกัดความของฟังก์ชันเหล่านี้

ฟังก์ชันเบสเซลประเภทแรกสัมพันธ์กับค่าสัมประสิทธิ์ของการขยายฟังก์ชัน ในซีรีส์ Laurent):

(1.10)

ค่าสัมประสิทธิ์ของการขยายตัวนี้สามารถคำนวณได้โดยการคูณอนุกรมกำลัง:

และสมาคมสมาชิกที่มีระดับเดียวกัน เมื่อทำสิ่งนี้แล้ว เราจะได้รับ:

(1.11)

โดยเหตุใดจึงจะสามารถเขียนส่วนขยายที่อยู่ระหว่างการพิจารณาได้ในรูป

ฟังก์ชันนี้เรียกว่าฟังก์ชันการสร้างสำหรับฟังก์ชัน Bessel ที่มีเครื่องหมายจำนวนเต็ม ความสัมพันธ์ที่พบ (1.12) มีบทบาทสำคัญในทฤษฎีของฟังก์ชันเหล่านี้

เพื่อให้ได้อินทิกรัลทั่วไปของสมการ (1.1) ซึ่งให้นิพจน์สำหรับฟังก์ชันทรงกระบอกตามอำเภอใจพร้อมเครื่องหมายจำนวนเต็ม จำเป็นต้องสร้างคำตอบที่สองของสมการ โดยเป็นอิสระเชิงเส้นด้วย วิธีแก้ปัญหาดังกล่าว สามารถใช้ฟังก์ชัน Bessel ของชนิดที่สองได้ โดยขึ้นอยู่กับคำจำกัดความที่ง่ายต่อการได้รับนิพจน์เชิงวิเคราะห์ในรูปแบบของอนุกรม

ที่ไหน

( เป็นค่าคงที่ของออยเลอร์) และในกรณีของ ผลรวมตัวแรกควรกำหนดให้เท่ากับศูนย์

ฟังก์ชั่นนี้เป็นเรื่องปกติในเครื่องบินที่มีการตัด คุณลักษณะที่สำคัญของโซลูชันที่อยู่ระหว่างการพิจารณาคือ จะไปถึงค่าอนันต์เมื่อ การแสดงออกทั่วไปของฟังก์ชันทรงกระบอกสำหรับ แสดงถึงผลรวมเชิงเส้นของสารละลายที่สร้างขึ้น

ที่ไหน และ เป็นค่าคงที่ตามอำเภอใจ

2 ฟังก์ชั่น Bessel พร้อมไอคอนที่กำหนดเอง

ฟังก์ชันทรงกระบอกเบสเซล

ฟังก์ชัน Bessel ที่กล่าวถึงในย่อหน้าที่ 1 ถือเป็นกรณีพิเศษของฟังก์ชันทรงกระบอกที่มีรูปแบบทั่วไปมากกว่า ซึ่งเรียกว่า ฟังก์ชัน Bessel ชนิดแรกที่มีเครื่องหมายที่กำหนดเอง หากต้องการกำหนดฟังก์ชันเหล่านี้ ให้พิจารณาอนุกรม

โดยที่ตัวแปรเชิงซ้อนของระนาบที่มีการตัด

– พารามิเตอร์ที่สามารถรับค่าจริงหรือค่าเชิงซ้อนใดๆ ได้

เป็นเรื่องง่ายที่จะเห็นว่าอนุกรมนี้มาบรรจบกันสำหรับค่าใดๆ และ และในภูมิภาค (เป็นตัวเลขคงที่ขนาดใหญ่โดยพลการ) การลู่เข้าจะสม่ำเสมอเมื่อเทียบกับตัวแปรแต่ละตัว

แท้จริงแล้วเริ่มต้นจากขนาดใหญ่เพียงพอ อัตราส่วนของโมดูลของสมาชิกที่ตามมาของซีรีส์ต่อโมดูลก่อนหน้าจะเท่ากับค่า

จะไม่เกินเศษส่วนบวกที่เหมาะสมบางส่วนโดยไม่ขึ้นกับ และ จากที่นี่ ตามเกณฑ์การบรรจบกันที่รู้จักกันดี ตามมาว่าซีรีส์ที่อยู่ระหว่างการพิจารณามาบรรจบกันอย่างสม่ำเสมอในภูมิภาคที่ระบุ

เนื่องจากเงื่อนไขของอนุกรมเป็นฟังก์ชันปกติในระนาบที่มีการตัด ผลรวมของอนุกรมจะกำหนดฟังก์ชันบางอย่างของตัวแปรเชิงซ้อนที่เป็นปกติในระนาบการตัดที่กำลังพิจารณา ฟังก์ชันนี้เรียกว่าฟังก์ชัน Bessel ชนิดแรกที่มีดัชนี และเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ ดังนั้น,

(2.1)

ไม่ใช่เรื่องยากที่จะแสดงว่าฟังก์ชันที่กำหนดในลักษณะนี้เป็นคำตอบเฉพาะของสมการ

(2.2)

อันที่จริงแสดงถึงด้านซ้ายของสมการและการตั้งค่านี้ เราพบเช่นเดียวกับในจุดที่ 1

ค่าสัมประสิทธิ์ของอนุกรมอยู่ที่ไหน (2.1)

เหตุใดจึงเป็นไปตามนั้น

เนื่องจากสำหรับค่าคงที่ ที่เป็นของระนาบที่มีการตัด เงื่อนไขของอนุกรม (2.1) แสดงถึงฟังก์ชันทั้งหมดของตัวแปร จากนั้นจากการบรรจบกันที่สม่ำเสมอด้วยความเคารพต่อตัวแปรนี้จะเป็นไปตามที่ฟังก์ชัน Bessel ชนิดแรกซึ่งถือว่าเป็น ฟังก์ชันของเครื่องหมาย คือฟังก์ชันทั้งหมด สำหรับจำนวนเต็มและอนุกรม (2.1) จะเข้าสู่อนุกรม (1.2) ดังนั้นฟังก์ชันที่กำหนดไว้ในส่วนนี้จึงเป็นลักษณะทั่วไปของฟังก์ชัน Bessel ที่มีจำนวนเต็มบวก ศึกษาในย่อหน้าที่ 2 สำหรับจำนวนเต็มลบที่เท่ากัน เทอมแรก ของอนุกรม (2.1) กลายเป็นศูนย์ และเขียนสูตรดังกล่าวได้เป็น

ตามมาที่ไหน

(2.3)

ดังนั้น ฟังก์ชัน Bessel ที่มีเครื่องหมายจำนวนเต็มลบจึงแตกต่างจากฟังก์ชันที่สอดคล้องกันซึ่งมีเครื่องหมายบวกด้วยตัวประกอบคงที่เท่านั้น

ผลความสัมพันธ์ที่เกิดขึ้นร่วมกับสูตร (1.10 – 1.11) แสดงว่าสามารถเขียนส่วนขยาย (1.12) ได้ในรูป

(2.4)

ความเสมอภาคหลายค่าที่กำหนดไว้ก่อนหน้านี้สำหรับฟังก์ชัน Bessel ที่มีเครื่องหมายจำนวนเต็มบวกจะถูกถ่ายโอนไปยังฟังก์ชันที่มีดัชนีที่กำหนดเองโดยไม่มีการเปลี่ยนแปลงใดๆ ตัวอย่างเช่น ความสัมพันธ์ต่อไปนี้ถือเป็น:

(2.5)

(2.6)

(2.7)

แสดงถึงลักษณะทั่วไปของสูตรที่สอดคล้องกันของย่อหน้า 2 การพิสูจน์สูตร (2.5 - 2.6) ทำซ้ำการให้เหตุผลของส่วนนี้และดังนั้นจึงไม่ได้ให้ไว้ สูตร (2.7) ได้มาจากการใช้ความเท่าเทียมกันซ้ำ ๆ (2.6)

3 การนำเสนอทั่วไปของฟังก์ชันทรงกระบอก ฟังก์ชันเบสเซลชนิดที่สอง

ตามคำนิยาม ฟังก์ชันทรงกระบอกเป็นวิธีแก้สมการเชิงอนุพันธ์อันดับสองตามอำเภอใจ

(3.1)

ดังนั้นการแสดงออกทั่วไปจึงมีอยู่ในแบบฟอร์ม

โดยที่ และ เป็นคำตอบอิสระเชิงเส้นใดๆ ของสมการที่อยู่ระหว่างการพิจารณา และเป็นค่าคงที่ ซึ่งโดยทั่วไปแล้วจะเป็นฟังก์ชันตามอำเภอใจของพารามิเตอร์ เป็นเรื่องง่ายที่จะได้นิพจน์ทั่วไปสำหรับฟังก์ชันทรงกระบอกสำหรับกรณีเมื่อแตกต่างจากจำนวนเต็ม แท้จริงแล้ว โดยการเลือก ฟังก์ชัน Bessel ที่กำหนดไว้ในย่อหน้าที่ 2 อยู่ที่ไหน เราสามารถใช้เป็นฟังก์ชัน ซึ่งเป็นคำตอบของสมการ (3.1) ได้เช่นกัน เนื่องจากฟังก์ชันหลังไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อแทนที่ด้วย

ถ้าไม่เท่ากับจำนวนเต็ม พฤติกรรมเชิงเส้นกำกับของโซลูชันที่กำลังพิจารณาจะเป็นดังนี้

(3.3)

ดังนั้น คำตอบเหล่านี้มีความเป็นอิสระเชิงเส้นตรงจากกัน และสามารถให้นิพจน์ที่ต้องการสำหรับฟังก์ชันทรงกระบอกได้ในรูปแบบ

(3.4)

ถ้า เป็นจำนวนเต็ม ดังนั้นโดยอาศัยความสัมพันธ์ (2.3) คำตอบบางส่วนที่สร้างขึ้นจะขึ้นอยู่กับแต่ละอื่นๆ เป็นเส้นตรง และนิพจน์ที่พบ (3.4) ไม่ใช่อินทิกรัลทั่วไปของสมการ Bessel (3.1) เพื่อให้ได้การเป็นตัวแทนของฟังก์ชันทรงกระบอกโดยพลการซึ่งเหมาะสมกับค่าใด ๆ ของพารามิเตอร์เราจะแนะนำให้พิจารณาฟังก์ชัน Bessel ของประเภทที่สองซึ่งสำหรับฟังก์ชันตามอำเภอใจที่อยู่ในระนาบที่มีการตัดเรากำหนดโดยใช้ความเท่าเทียมกัน

(3.5)

เมื่อตัวเลขเท่ากับจำนวนเต็ม ทางด้านขวามือของนิพจน์ที่กำลังพิจารณาจะอยู่ในรูปแบบไม่แน่นอน (2.3) และเราตกลงที่จะเข้าใจค่าของฟังก์ชันในกรณีนี้เป็นขีดจำกัด

(3.6)

เนื่องจาก ตามที่พิสูจน์แล้ว ตัวเศษและส่วนใน (3.5) เป็นฟังก์ชันทั้งหมด จึงมีขีดจำกัดที่เป็นปัญหาและสามารถคำนวณได้โดยใช้กฎของโลปิตัล ซึ่งการประยุกต์ใช้จะให้

(3.7)

จากคำจำกัดความของฟังก์ชัน ฟังก์ชันนี้จะเป็นไปตามปกติในระนาบที่มีการตัด และเมื่อแก้ไขแล้ว ฟังก์ชันนี้จะเป็นฟังก์ชันทั้งหมดของพารามิเตอร์ ตอนนี้ให้เราพิสูจน์ว่ามันเป็นไปตามสมการ (3.1) และดังนั้นจึงเป็นฟังก์ชันทรงกระบอก สำหรับ แตกต่างจากจำนวนเต็ม ผลลัพธ์ที่ต้องการจะตามหลังสูตร (3.4) โดยตรง ดังนั้นจึงเพียงพอที่จะดำเนินการพิสูจน์เฉพาะกรณีเท่านั้น

วิธีที่ง่ายที่สุดในการทำเช่นนี้คือการใช้หลักการวิเคราะห์ต่อเนื่อง เนื่องจากเป็นฟังก์ชันทั้งหมด จึงตามมาจากความเท่าเทียมกัน

คำตอบและมีความเป็นอิสระเชิงเส้นตรงจากกัน สำหรับผลลัพธ์นี้เป็นผลมาจากความเป็นอิสระเชิงเส้นของคำตอบ และ ความเป็นอิสระเชิงเส้นสำหรับการติดตามจากการเปรียบเทียบพฤติกรรมของฟังก์ชันที่พิจารณาสำหรับ [สูตร (3.3) และ (3.4)] ดังนั้นการแสดงออกทั่วไปของฟังก์ชันทรงกระบอกซึ่งเหมาะสมกับค่าใด ๆ ของ จะเป็นดังนี้

ฟังก์ชัน Bessel ประเภทที่สองเป็นไปตามความสัมพันธ์การเกิดซ้ำเช่นเดียวกับฟังก์ชันประเภทแรก กล่าวคือ:

(3.9)

สำหรับ ซึ่งแตกต่างจากจำนวนเต็ม ความถูกต้องของสูตรเหล่านี้ตามมาจากคำจำกัดความของฟังก์ชัน Bessel ประเภทที่สอง และสูตรที่สอดคล้องกันสำหรับฟังก์ชันประเภทแรก สำหรับจำนวนเต็ม ผลลัพธ์ที่ต้องการจะตามมาจากความต่อเนื่องของฟังก์ชันภายใต้การพิจารณาเกี่ยวกับเครื่องหมาย ซึ่งช่วยให้เราสามารถดำเนินการผ่านไปยังขีดจำกัดในความสัมพันธ์ (3.9)

ให้เราสังเกตสูตรด้วย

(3.10)

ซึ่งเป็นผลสืบเนื่องมาจาก (3.7) และทำให้เราสามารถลดการคำนวณฟังก์ชันที่มีเครื่องหมายจำนวนเต็มลบเป็นการคำนวณฟังก์ชันที่มีดัชนีเป็นบวกได้

ด้วยการเปลี่ยนตัวแปรในสมการ (3.1) ทำให้ง่ายต่อการได้รับสมการเชิงอนุพันธ์อื่นๆ จำนวนหนึ่ง ซึ่งอินทิกรัลทั่วไปสามารถแสดงในรูปของฟังก์ชันทรงกระบอกได้ สมการประเภทนี้ที่น่าสนใจที่สุดสำหรับการใช้งานคือสมการเชิงอนุพันธ์กรณีพิเศษต่างๆ

(3.11)

อินทิกรัลทั่วไปซึ่งจะเป็นดังนี้:

(3.12)

โดยที่หมายถึงฟังก์ชันทรงกระบอกโดยพลการ

ซีรีส์ 4 การขยายฟังก์ชัน Bessel ของชนิดที่สองด้วยเครื่องหมายจำนวนเต็ม

เพื่อให้ได้ฟังก์ชันการขยายแบบอนุกรม ก็เพียงพอที่จะใช้สูตร (3.7) และคำนวณอนุพันธ์เกี่ยวกับเครื่องหมายตามการขยาย (2.1) และเมื่อพิจารณาถึงความสัมพันธ์ (3.10) เราสามารถจำกัดตัวเองได้ เพื่อพิจารณากรณีจำนวนเต็มบวก

เนื่องจากอนุกรม (2.1) ตามที่พิสูจน์แล้ว มาบรรจบกันอย่างสม่ำเสมอด้วยความเคารพต่อ เราจึงสามารถแยกความแตกต่างได้ทีละเทอม จากนั้นจึงได้

โดยที่อนุพันธ์ลอการิทึมของฟังก์ชันแกมมาคือ

ในทำนองเดียวกันเรามี

ที่ และ ดังนั้น เงื่อนไขแรกของอนุกรมจึงมีรูปแบบไม่แน่นอน การใช้สูตรทฤษฎีฟังก์ชันแกมม่าที่รู้จักกันดี

;

เราได้รับเพื่อสิ่งนี้

โดยที่ไอคอนการรวมใหม่ถูกนำมาใช้

จากสูตร (3.7) เป็นไปตามว่าการขยายตัวที่ต้องการของฟังก์ชัน Bessel ประเภทที่สองที่มีเครื่องหมายจำนวนเต็มบวกมีรูปแบบ

โดยในกรณีนี้ควรกำหนดผลรวมแรกให้เท่ากับศูนย์

ค่าของอนุพันธ์ลอการิทึมของฟังก์ชันแกมมาสามารถคำนวณได้โดยใช้สูตร:

(4.2)

ค่าคงที่ของออยเลอร์อยู่ที่ไหน

เมื่อคำนึงถึงความเท่าเทียมกัน (1.2) เราสามารถนำเสนอส่วนขยาย (4.1) ในรูปแบบที่แตกต่างกันเล็กน้อย กล่าวคือ:

(4.3)

จาก (4.1) จะได้ว่าสูตรซีมโทติคนั้นใช้ได้

(4.4)

แสดงว่าเมื่อไร

5 ฟังก์ชัน Bessel ประเภทที่สาม

ฟังก์ชันทรงกระบอกยังรวมถึงฟังก์ชัน Bessel ของประเภทที่สามหรือฟังก์ชัน Hankel และ ซึ่งสำหรับกฎเกณฑ์และเป็นของระนาบที่มีการตัดตามกึ่งแกนจะถูกกำหนดโดยใช้สูตร

ฟังก์ชัน Bessel ของชนิดที่หนึ่งและชนิดที่สองอยู่ที่ไหน

ความเหมาะสมของการแนะนำฟังก์ชันเหล่านี้เกิดจากการที่ชุดค่าผสมเชิงเส้นที่พิจารณาแล้วมีการขยายตัวเชิงเส้นกำกับที่ง่ายที่สุดสำหรับค่าขนาดใหญ่ (จุดที่ 8) และมักพบในแอปพลิเคชัน

จากคำจำกัดความของฟังก์ชัน Hankel จะได้ว่าฟังก์ชันเหล่านี้เป็นฟังก์ชันปกติในระนาบที่มีการตัดและฟังก์ชันทั้งหมด เห็นได้ชัดว่าฟังก์ชันที่อยู่ระหว่างการพิจารณานั้นมีความเป็นอิสระเชิงเส้นจากกันและด้วยความเคารพ ดังนั้นอินทิกรัลทั่วไปของสมการ Bessel (3.1) จึงสามารถนำเสนอในรูปแบบใดรูปแบบหนึ่งต่อไปนี้:

ค่าคงที่ตามอำเภอใจอยู่ที่ไหน

เนื่องจากเป็นการรวมเชิงเส้นของฟังก์ชัน และ ฟังก์ชัน Hankel จึงตอบสนองความสัมพันธ์การเกิดซ้ำเช่นเดียวกับฟังก์ชันเหล่านี้ ตัวอย่างเช่น

(5.3)

ถ้าเราแยกฟังก์ชัน Bessel ของชนิดที่สองออกจาก (5.1) โดยใช้ (3.5) เราจะได้

(5.4)

ซึ่งมีความสัมพันธ์อันสำคัญดังนี้

6 ฟังก์ชันเบสเซลของการโต้แย้งในจินตนาการ

ที่เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับฟังก์ชัน Bessel คือฟังก์ชันสองรายการที่มักพบในแอปพลิเคชัน และ ซึ่งสำหรับ ที่เป็นของระนาบที่มีการตัดตามแนวกึ่งแกนลบและตามอำเภอใจ สามารถกำหนดได้โดยใช้สูตร:

(6.1)

(6.2)

และโดยทั่วไป

(6.3)

จากการทำซ้ำการใช้เหตุผลของจุดที่ 2 เราพบว่า และ เป็นฟังก์ชันปกติในระนาบที่มีการตัดและฟังก์ชันทั้งหมด

ฟังก์ชันที่เป็นปัญหาเกี่ยวข้องกับฟังก์ชัน Bessel ของอาร์กิวเมนต์

จริงอยู่ สมมุติว่า - แล้ว และจาก (2.1) เป็นไปตามนั้น

(6.4)

สำหรับทุกอย่าง

ในทำนองเดียวกันจากสูตร (5.4) เราได้รับสิ่งเดียวกัน

(6.5)

สำหรับค่านิยม ฟังก์ชั่นและสามารถแสดงในรูปของฟังก์ชัน Bessel ของการโต้แย้ง เรามี

(6.6)

สำหรับทุกอย่าง .

ขึ้นอยู่กับความสัมพันธ์ที่ได้รับ ฟังก์ชัน และ เรียกว่าฟังก์ชัน Bessel ของอาร์กิวเมนต์จินตภาพ ฟังก์ชันนี้ยังเป็นที่รู้จักในวรรณคดีว่าฟังก์ชันแมคโดนัลด์

จากสูตรที่ได้รับ จะตามมาทันทีว่าฟังก์ชันที่พิจารณานั้นเป็นคำตอบอิสระเชิงเส้นของสมการเชิงอนุพันธ์

(6.7)

ซึ่งแตกต่างจากสมการ Bessel เพียงสัญลักษณ์ของเทอมเดียวและเปลี่ยนเป็นสมการนั้นเมื่อมีการทดแทน

สมการ (6.7) มักพบในฟิสิกส์คณิตศาสตร์ อินทิกรัลทั่วไปของสมการตามอำเภอใจนี้สามารถเขียนได้ในรูปแบบ

ฟังก์ชั่นและตอบสนองความสัมพันธ์การเกิดซ้ำอย่างง่าย:

(6.9)

สูตรการเกิดซ้ำที่มีฟังก์ชันได้รับการพิสูจน์โดยการแทนที่อนุกรม (6.1) ลงไป สูตรที่เกี่ยวข้องสำหรับฟังก์ชันอื่นที่ไม่ใช่จำนวนเต็มจะถูกตรวจสอบโดยการแทนที่นิพจน์ (6.2) ลงไปและใช้สูตรของกลุ่มแรก ความถูกต้องของความสัมพันธ์ครั้งสุดท้ายสำหรับทั้งหมดตามมาจากความต่อเนื่องของฟังก์ชันภายใต้การพิจารณาที่เกี่ยวข้องกับเครื่องหมาย

ให้เราระบุสูตรที่มีประโยชน์อีกสองสูตร:

(6.10)

อันแรกตามมาจาก (6.1) ถ้าเราคำนึงว่าเทอมแรกของการขยายหายไป ในขณะที่อันที่สองเป็นผลโดยตรงจากคำจำกัดความของฟังก์ชันแมคโดนัลด์ (6.2)

การขยายฟังก์ชันที่ สามารถรับได้จาก (6.3) โดยใช้วิธีในจุดที่ 5 เรานำเสนอผลลัพธ์สุดท้ายของการคำนวณ:

นี่คืออนุพันธ์ลอการิทึมของฟังก์ชันแกมมาซึ่งสามารถหาค่าได้โดยใช้สูตร (4.2) ในกรณีนี้ ควรถือว่าผลรวมตัวแรกมีค่าเท่ากับศูนย์

จาก (6.11) จะได้ว่าพฤติกรรมเชิงเส้นกำกับของฟังก์ชัน at ถูกกำหนดโดยสูตร

(6.12)

7 ฟังก์ชันทรงกระบอกที่มีดัชนีเท่ากับครึ่งหนึ่งของจำนวนเต็มคี่

ฟังก์ชันทรงกระบอกระดับพิเศษถูกสร้างขึ้นโดยฟังก์ชันทรงกระบอกที่มีดัชนีเท่ากับครึ่งหนึ่งของจำนวนเต็มคี่ ในกรณีที่อยู่ระหว่างการพิจารณา ฟังก์ชันทรงกระบอกสามารถแสดงในรูปของฟังก์ชันพื้นฐานได้ เพื่อแสดงสิ่งนี้ ให้เราค้นหาค่าของฟังก์ชันก่อน ซึ่งเราใส่ไว้ใน (2.1) และใช้สูตรสำหรับการเพิ่มฟังก์ชันแกมม่าเป็นสองเท่าเพื่อแปลงอนุกรม

เราจะได้มันแล้ว

(7.1)

และในทำนองเดียวกัน

(7.2)

ความสามารถในการแสดงฟังก์ชัน Bessel ชนิดแรกด้วยสัญลักษณ์ครึ่งจำนวนเต็มใดๆ ในรูปของฟังก์ชันพื้นฐาน ในตอนนี้ตามมาจากสูตรที่เกิดซ้ำ (2.5)

โดยใช้ซึ่งคุณจะได้รับอย่างต่อเนื่อง:

นิพจน์ทั่วไปในแง่ของฟังก์ชันพื้นฐานได้มาจากสูตร (2.7) ตัวอย่างเช่น หากเราใส่ตัวที่สองและใช้ผลลัพธ์ (7.1) เราจะพบว่า:

(7.3)

สูตรที่สอดคล้องกันสำหรับฟังก์ชัน Bessel ประเภทที่สองและสามสามารถหาได้จากความสัมพันธ์ที่พบ หากเราใช้นิพจน์ของฟังก์ชันเหล่านี้ผ่านฟังก์ชัน Bessel ประเภทแรก (3.5 และ 5.4) ตัวอย่างเช่น เรามี:

(7.4)

โดยสรุป ให้เราชี้ให้เห็นสูตร:

(7.5)

เกิดจากคำจำกัดความของฟังก์ชันที่พิจารณา (6.1 – 6.2)

สูตรสำหรับค่าดัชนีครึ่งจำนวนเต็มอื่นๆ ได้มาจากสูตรเหล่านี้โดยใช้ความสัมพันธ์ที่เกิดซ้ำ (6.9) Liouville พิสูจน์ว่ากรณีของดัชนีครึ่งจำนวนเต็มเป็นเพียงกรณีเดียวเมื่อฟังก์ชันทรงกระบอกถูกลดขนาดให้เป็นค่าพื้นฐาน

8 การแสดงเชิงเส้นกำกับของฟังก์ชันทรงกระบอกสำหรับค่าอาร์กิวเมนต์ขนาดใหญ่

ฟังก์ชันทรงกระบอกมีการแสดงเส้นกำกับอย่างง่ายซึ่งสะดวกในการประมาณฟังก์ชันเหล่านี้สำหรับค่าโมดูลัสขนาดใหญ่และค่าดัชนีคงที่ เงื่อนไขหลักของสูตรเหล่านี้สามารถหาได้จากสมการเชิงอนุพันธ์ที่ได้รับความพึงพอใจจากฟังก์ชันที่กำลังพิจารณา

ในบรรดาฟังก์ชันทรงกระบอก ฟังก์ชันประเภทที่สามจะมีการแสดงเส้นกำกับที่ง่ายที่สุด

เพื่อให้ได้การแสดงฟังก์ชันเชิงเส้นกำกับ เราใช้ความเท่าเทียมกัน

(8.1)

และแปลงมันโดยใช้การทดแทน แล้วเราก็ได้

(8.2)

การแทนที่ตัวคูณด้วยส่วนขยายทวินามด้วยเทอมที่เหลือ

และเราจะพบการอินทิเกรตทีละเทอม

(8.3)

ที่ไหน

เรามาแกล้งทำเป็นว่า ( เป็นจำนวนบวกจำนวนน้อยตามอำเภอใจ) และเราจะถือว่ามันถูกเลือกไว้ชั่วคราว การประมาณระยะโมดูโลของส่วนที่เหลือจะได้

คงที่

ดังนั้นสำหรับเรื่องใหญ่

(8.4)

ให้เราแสดงว่าเงื่อนไขที่บังคับใช้นั้นสามารถละทิ้งได้ จริงๆ แล้วถ้า. แล้วเราก็สามารถเลือกแบบนั้นได้ - แทนโดยใช้สูตร (8.4) โดยแทนที่ด้วย และสังเกตว่า

เราก็ได้ผลลัพธ์เดียวกันอีกครั้ง

ยังใช้อัตราส่วนได้ง่ายอีกด้วย ปลดปล่อยตัวเองจากข้อจำกัดที่กำหนดให้กับพารามิเตอร์

สุดท้ายนี้ หากเราใช้แทน (8.1) การแสดงอินทิกรัลของรูปแบบทั่วไปที่มากกว่าเล็กน้อย เราสามารถแสดงให้เห็นว่าสูตรซีมโทติกที่พบยังคงใช้ได้ในภาคส่วนที่กว้างขึ้น .

สุดท้ายนี้สำหรับคนตัวใหญ่

(8.5)

การแทนเส้นกำกับสำหรับฟังก์ชันจะได้มาในลักษณะเดียวกันจากสูตร

(8.6)

และมีรูปแบบดังนี้

(8.7)

การแสดงเส้นกำกับสำหรับฟังก์ชันทรงกระบอกของชนิดที่หนึ่งและที่สองตามมาจากสูตรที่ได้รับ (8.5) และ (8.7) และความสัมพันธ์ (5.1) เราพบ

(8.8)

(8.9)

สูตรเชิงเส้นกำกับสำหรับฟังก์ชันทรงกระบอกที่แก้ไขสามารถรับได้โดยใช้ความสัมพันธ์ของย่อหน้าที่ 6

สูตรสุดท้ายมีดังนี้:

(8.10)

เครื่องหมายสอดคล้อง

โดยมีเงื่อนไขว่า เทอมที่สองใน (8.10) จะมีขนาดเล็กและสามารถเขียนสูตรนี้ได้ในรูป

จาก (8.5) และ (8.7 - 8.12) อนุกรมลู่ออกที่ได้รับหากเราตั้งค่าอย่างเป็นทางการ จะมีเส้นกำกับสำหรับฟังก์ชันทางด้านซ้ายของค่าเท่ากันที่กำลังพิจารณา

วิธีการหาสูตรที่เป็นปัญหาจะให้เฉพาะลำดับความสำคัญของเทอมที่เหลือเท่านั้น แต่ไม่อนุญาตให้มีการสรุปที่แม่นยำกว่านี้ ภายใต้สมมติฐานพิเศษที่เกี่ยวข้องและเป็นไปได้ โดยการปรับเปลี่ยนเหตุผลเล็กน้อย เพื่อให้ได้ผลลัพธ์ที่แม่นยำยิ่งขึ้น ตัวอย่างเช่น สามารถแสดงได้ว่า ถ้า และ เป็นจำนวนบวกจริง และจำนวนนั้นมีขนาดใหญ่มากจนส่วนที่เหลือของการขยายเส้นกำกับสำหรับ และ จะมีตัวเลขน้อยกว่าพจน์แรกที่ถูกละทิ้ง ในการแทนเส้นกำกับสำหรับ ผลลัพธ์เดียวกันนี้เกิดขึ้นสำหรับ

ฟังก์ชันทรงกระบอก 9 ศูนย์

เมื่อแก้ไขปัญหาที่ใช้หลายอย่างจำเป็นต้องมีแนวคิดในการแจกแจงศูนย์ของฟังก์ชันทรงกระบอกบนระนาบของตัวแปรที่ซับซ้อนและสามารถคำนวณค่าโดยประมาณได้

การแจกแจงค่าศูนย์ของฟังก์ชัน Bessel ที่มีเครื่องหมายจำนวนเต็มบวก เช่น ผลเฉลยของสมการ

ถูกกำหนดโดยทฤษฎีบทต่อไปนี้

ทฤษฎีบท 4ฟังก์ชันนี้ไม่มีศูนย์ที่ซับซ้อนและมีจำนวนศูนย์จริงจำนวนอนันต์ซึ่งอยู่ในตำแหน่งแบบสมมาตรเมื่อเทียบกับจุด ซึ่งในกรณีนี้จะเป็นของจำนวนนั้น ค่าศูนย์ทั้งหมดของฟังก์ชันเป็นแบบง่าย ยกเว้นจุด ซึ่ง at จะเป็นศูนย์ของการคูณตามลำดับ

การแจกแจงค่าศูนย์ของฟังก์ชัน Bessel ด้วยดัชนีจริงตามอำเภอใจ เช่น การแก้สมการ

– จริง (9.2)

ได้รับจากทฤษฎีบท 5 ทั่วไปมากกว่า

ทฤษฎีบท 5ฟังก์ชันคือจำนวนจริงใดๆ) มีจำนวนศูนย์บวกจริงจำนวนอนันต์และจำนวนศูนย์คอนจูเกตเชิงซ้อนจำนวนจำกัด โดยที่ ขึ้นอยู่กับค่าของพารามิเตอร์

(1) ถ้าหรือ

(2) ณ

หากในบรรดาศูนย์เชิงซ้อนนั้นมีคู่ของจินตภาพล้วนๆ

เลขศูนย์ทั้งหมดของฟังก์ชันนั้นเรียบง่าย ยกเว้นบางทีอาจเป็นจุด

ในฟิสิกส์คณิตศาสตร์ มักพบสมการนี้

(โดยที่ และ ได้รับจำนวนจริง ) ซึ่งถือเป็นลักษณะทั่วไปของสมการ (9.2) ด้วยข้อจำกัดของพารามิเตอร์ที่ระบุ สมการที่พิจารณาจะมีจำนวนรากที่เป็นบวกเป็นอนันต์ และไม่มีรากที่ซับซ้อน ยกเว้นกรณีที่สมการนี้มีรากจินตภาพล้วนๆ สองอัน

การแจกแจงค่าศูนย์ของฟังก์ชันสามารถหาได้จากทฤษฎีบทที่ 5 โดยใช้ความสัมพันธ์ของย่อหน้า 6 โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เราสังเกตผลลัพธ์ที่สำคัญว่าสำหรับศูนย์ทั้งหมดของฟังก์ชันนั้นเป็นจินตภาพล้วนๆ ฟังก์ชันแมคโดนัลด์สำหรับจำนวนจริงไม่มีศูนย์ในภูมิภาค ค่าศูนย์ของฟังก์ชันที่อยู่ในระนาบการตัดที่เหลือนั้นเป็นคอนจูเกตที่ซับซ้อนและมีจำนวนจำกัด

ในการคำนวณรากของสมการที่มีฟังก์ชันทรงกระบอกโดยประมาณ จะใช้วิธีการประมาณค่าต่อเนื่องกัน และในหลายกรณี รากของสมการที่ได้รับจากสมการดั้งเดิมเมื่อแทนที่ฟังก์ชันทรงกระบอกด้วยการแสดงเส้นกำกับสามารถใช้เป็นการประมาณเริ่มต้นที่ดีได้

10 ตัวอย่าง

แก้สมการเชิงอนุพันธ์:

ในสมการนี้เราจะทำการทดแทน

ที่ไหน

เพราะฉะนั้น,

แทนที่อนุพันธ์ที่พบลงในสมการดั้งเดิมเราจะได้:

คูณด้วย:

อนุญาต แล้วเราจะได้:

หารด้วย:

จากรูปแบบทั่วไปของสมการเบสเซล (1) จะได้ว่า

การแสดงออกทั่วไปของฟังก์ชันทรงกระบอกตามสูตร (1.14) แสดงถึงผลรวมเชิงเส้นของโซลูชันที่สร้างขึ้น:

ที่ไหน และ เป็นค่าคงที่ตามอำเภอใจ

ดังนั้น การแก้สมการดั้งเดิมจึงมีรูปแบบดังนี้

บทสรุป

ในรายวิชานี้ ฟังก์ชัน Bessel (สมการ Bessel และสมการ Bessel ดัดแปลง) ได้รับการศึกษาคุณสมบัติพื้นฐานของฟังก์ชันข้างต้น และสมการเชิงอนุพันธ์ได้รับการแก้ไขโดยใช้ฟังก์ชัน Bessel

บรรณานุกรม

1. เลเบเดฟ เอ็น.เอ็น. ฟังก์ชั่นพิเศษและการประยุกต์ (ฉบับที่ 2) – ม.-ล.: GIFML, 1963. – 359 วินาที

2. Romanovsky P.I. อนุกรมฟูริเยร์ ทฤษฎีภาคสนาม ฟังก์ชั่นการวิเคราะห์และพิเศษ การแปลงลาปลาซ หนังสือเรียนมหาวิทยาลัย – อ.: เนากา, 1983. – 336ส.

3. Bateman G. , Erdelyi A. ฟังก์ชันเหนือธรรมชาติที่สูงขึ้น ต. 2. ฟังก์ชันเบสเซล ฟังก์ชันของทรงกระบอกพาราโบลา พหุนามตั้งฉาก – อ.: เนากา, 1966. – 296ส.

4. พิสคูนอฟ เอ็น.เอส. แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์และอินทิกรัล หนังสือเรียนสำหรับมหาวิทยาลัย – อ.: เนากา, 1985. – 560

5. จี.เอ็น. วัตสัน บทความเกี่ยวกับทฤษฎีฟังก์ชันเบสเซล 2488 (มีการแปล: Watson G.N. ทฤษฎีของฟังก์ชัน Bessel: การแปลจากฉบับภาษาอังกฤษครั้งที่ 2 / คำนำของผู้แต่ง V.S. Berman. - M.: IL, 1949 - 798 หน้า)

6. ซาบิตอฟ เค.วี. สมการฟังก์ชัน อนุพันธ์ และปริพันธ์ – ม.: มัธยมปลาย, 2548. – 671ส.

7. คุซเนตซอฟ ดี.เอส. ฟังก์ชั่นพิเศษ – ม.: มัธยมปลาย, 2505. – 249 วินาที

8. Morse F.M. , Feshbach G. วิธีการทางฟิสิกส์เชิงทฤษฎี ต.2. – อ.: อิลลินอยส์, 1960. – 897

9. โคเรเนฟ บี.จี. ทฤษฎีฟังก์ชันเบสเซลเบื้องต้น – อ.: เนากา, 1971. – 287 วินาที

10. คุซมิน อาร์.โอ. ฟังก์ชันเบสเซล – ล.-ม.: GTTI, 1933. – 152ส.

การแนะนำ

ฟังก์ชันทรงกระบอกคือคำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นอันดับสอง

ตัวแปรที่ซับซ้อนอยู่ที่ไหน

พารามิเตอร์ที่สามารถรับค่าจริงหรือค่าที่ซับซ้อนได้

คำว่า "ฟังก์ชันทรงกระบอก" มีต้นกำเนิดมาจากข้อเท็จจริงที่ว่าสมการ (1) เกิดขึ้นเมื่อพิจารณาปัญหาค่าขอบเขตของทฤษฎีที่เป็นไปได้สำหรับโดเมนทรงกระบอก

คลาสพิเศษของฟังก์ชันทรงกระบอกเป็นที่รู้จักในวรรณคดีว่า ฟังก์ชันเบสเซล และบางครั้งชื่อนี้ถูกกำหนดให้กับคลาสทั้งหมดของฟังก์ชันทรงกระบอก

ทฤษฎีฟังก์ชันที่ได้รับการพัฒนามาอย่างดีที่อยู่ระหว่างการพิจารณา ความพร้อมใช้งานของตารางรายละเอียด และการใช้งานที่หลากหลาย ให้เหตุผลที่เพียงพอในการจำแนกฟังก์ชันทรงกระบอกให้เป็นหนึ่งในฟังก์ชันพิเศษที่สำคัญที่สุด

สมการ Bessel เกิดขึ้นเมื่อหาคำตอบของสมการลาปลาซและสมการเฮล์มโฮลทซ์ในพิกัดทรงกระบอกและทรงกลม ดังนั้น ฟังก์ชัน Bessel จึงถูกนำมาใช้ในการแก้ปัญหาต่างๆ มากมายเกี่ยวกับการแพร่กระจายของคลื่น ความต่างศักย์คงที่ ฯลฯ ตัวอย่างเช่น

1) คลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าในท่อนำคลื่นทรงกระบอก

2) การนำความร้อนในวัตถุทรงกระบอก

3) โหมดการสั่นสะเทือนของเมมเบรนกลมบาง

4) ความเร็วของอนุภาคในกระบอกสูบที่เต็มไปด้วยของเหลวและหมุนรอบแกนของมัน

ฟังก์ชัน Bessel ยังใช้ในการแก้ไขปัญหาอื่นๆ เช่น ในการประมวลผลสัญญาณ

ฟังก์ชัน Cylindrical Bessel เป็นฟังก์ชันที่พบบ่อยที่สุดในบรรดาฟังก์ชันพิเศษทั้งหมด มีการประยุกต์ใช้งานมากมายในวิทยาศาสตร์ธรรมชาติและวิทยาศาสตร์ทางเทคนิคทั้งหมด (โดยเฉพาะดาราศาสตร์ กลศาสตร์ และฟิสิกส์) ในปัญหาหลายประการในฟิสิกส์คณิตศาสตร์ มีฟังก์ชันทรงกระบอกที่อาร์กิวเมนต์หรือดัชนี (บางครั้งทั้งสองอย่าง) ใช้ค่าที่ซับซ้อน เพื่อแก้ไขปัญหาดังกล่าวเป็นตัวเลข จำเป็นต้องพัฒนาอัลกอริธึมที่ช่วยให้สามารถคำนวณฟังก์ชัน Bessel ได้อย่างแม่นยำสูง

วัตถุประสงค์ของงานหลักสูตร:ศึกษาฟังก์ชันเบสเซลและการประยุกต์สมบัติในการแก้สมการเชิงอนุพันธ์

1) ศึกษาสมการเบสเซลและสมการเบสเซลที่ถูกดัดแปลง

2) พิจารณาคุณสมบัติพื้นฐานของฟังก์ชัน Bessel การแทนซีมโทติค

3) แก้สมการเชิงอนุพันธ์โดยใช้ฟังก์ชัน Bessel

ฟังก์ชันเบสเซลที่มีเครื่องหมายจำนวนเต็มบวก

เพื่อพิจารณาปัญหาต่างๆ ที่เกี่ยวข้องกับการใช้ฟังก์ชันทรงกระบอก ก็เพียงพอที่จะจำกัดตัวเองให้ศึกษาคลาสพิเศษของฟังก์ชันเหล่านี้ ซึ่งสอดคล้องกับกรณีที่พารามิเตอร์ในสมการ (1) เท่ากับศูนย์หรือจำนวนเต็มบวก

การศึกษาในชั้นเรียนนี้เป็นการศึกษาขั้นพื้นฐานมากกว่าทฤษฎีที่เกี่ยวข้องกับค่านิยมที่กำหนดเอง และอาจใช้เป็นข้อมูลเบื้องต้นที่ดีสำหรับทฤษฎีทั่วไปนี้

ขอให้เราแสดงคำตอบหนึ่งของสมการนี้

0, 1, 2, …, (1.1)

คือฟังก์ชัน Bessel ของลำดับประเภทแรก ซึ่งสำหรับค่าใดๆ จะถูกกำหนดให้เป็นผลรวมของอนุกรม

เมื่อใช้การทดสอบของดาล็องแบร์ ​​เป็นเรื่องง่ายที่จะตรวจสอบว่าอนุกรมที่กำลังพิจารณามาบรรจบกันบนระนาบทั้งหมดของตัวแปรเชิงซ้อน ดังนั้นจึงแสดงถึงฟังก์ชันทั้งหมดของ

หากเราแสดงด้านซ้ายของสมการ (1.1) ด้วยและแนะนำสัญกรณ์แบบย่อสำหรับสัมประสิทธิ์ของอนุกรม (1.2) ให้วาง

แล้วผลจากการเปลี่ยนตัวเราจึงได้

จากนั้นนิพจน์ในวงเล็บปีกกาจะเท่ากับศูนย์ ดังนั้นฟังก์ชันจึงเป็นไปตามสมการ (1.1) กล่าวคือ เป็นฟังก์ชันทรงกระบอก

ฟังก์ชันที่ง่ายที่สุดของคลาสที่กำลังพิจารณาคือฟังก์ชัน Bessel ลำดับศูนย์และหนึ่ง:

ให้เราแสดงให้เห็นว่าฟังก์ชัน Bessel ของคำสั่งอื่นสามารถแสดงในรูปของฟังก์ชันทั้งสองนี้ได้ เพื่อพิสูจน์สิ่งนี้ สมมติว่า a เป็นจำนวนเต็มบวก ให้คูณอนุกรม (1.2) ด้วยและหาอนุพันธ์ด้วย เราจะได้มันแล้ว

ในทำนองเดียวกัน การคูณอนุกรมด้วยที่เราพบ

เมื่อสร้างความแตกต่างด้วยความเท่าเทียมกัน (1.4 - 1.1) และหารด้วยปัจจัย เราจึงได้สูตร:

ซึ่งดังต่อไปนี้โดยตรง:

สูตรผลลัพธ์เรียกว่าความสัมพันธ์ที่เกิดซ้ำสำหรับฟังก์ชัน Bessel

ความสัมพันธ์ประการแรกทำให้สามารถแสดงฟังก์ชันของลำดับที่ต้องการผ่านฟังก์ชันของลำดับศูนย์และหนึ่งได้ ซึ่งจะลดการทำงานของการรวบรวมตารางของฟังก์ชัน Bessel ลงอย่างมาก

ความสัมพันธ์ที่สองอนุญาตให้แสดงอนุพันธ์ของฟังก์ชัน Bessel ผ่านฟังก์ชัน Bessel เพื่อให้ความสัมพันธ์นี้ถูกแทนที่ด้วยสูตร

โดยตรงจากคำจำกัดความของฟังก์ชันเหล่านี้

ฟังก์ชัน Bessel ประเภทแรกนั้นสัมพันธ์กับค่าสัมประสิทธิ์ของการขยายฟังก์ชันของอนุกรม Laurent เท่านั้น):

ค่าสัมประสิทธิ์ของการขยายตัวนี้สามารถคำนวณได้โดยการคูณอนุกรมกำลัง:

และสมาคมสมาชิกที่มีระดับเดียวกัน เมื่อทำสิ่งนี้แล้ว เราจะได้รับ:

โดยเหตุใดจึงจะสามารถเขียนส่วนขยายที่อยู่ระหว่างการพิจารณาได้ในรูป

ฟังก์ชันนี้เรียกว่าฟังก์ชันการสร้างสำหรับฟังก์ชัน Bessel ที่มีเครื่องหมายจำนวนเต็ม ความสัมพันธ์ที่พบ (1.12) มีบทบาทสำคัญในทฤษฎีของฟังก์ชันเหล่านี้

เพื่อให้ได้อินทิกรัลทั่วไปของสมการ (1.1) ซึ่งให้นิพจน์สำหรับฟังก์ชันทรงกระบอกตามอำเภอใจที่มีเครื่องหมายจำนวนเต็ม จำเป็นต้องสร้างคำตอบที่สองของสมการ โดยเป็นอิสระเชิงเส้นจาก c วิธีแก้ปัญหาดังกล่าว สามารถใช้ฟังก์ชัน Bessel ของชนิดที่สองได้ โดยขึ้นอยู่กับคำจำกัดความที่ง่ายต่อการได้รับนิพจน์เชิงวิเคราะห์ในรูปแบบของอนุกรม

(- ค่าคงที่ของออยเลอร์) และในกรณีนี้ ผลรวมตัวแรกควรกำหนดให้เท่ากับศูนย์

ฟังก์ชั่นนี้เป็นเรื่องปกติในเครื่องบินที่มีการตัด คุณลักษณะที่สำคัญของโซลูชันที่อยู่ระหว่างการพิจารณาคือจะไปถึงจุดสิ้นสุดเมื่อใด การแสดงออกทั่วไปของฟังก์ชันทรงกระบอกสำหรับ แสดงถึงผลรวมเชิงเส้นของสารละลายที่สร้างขึ้น

ที่ไหน และ เป็นค่าคงที่ตามอำเภอใจ

เพื่อที่จะแก้ไขปัญหาการแกว่งของเมมเบรนทรงกลม เราต้องทำความคุ้นเคยกับฟังก์ชัน Bessel ก่อน ฟังก์ชันเบสเซลเป็นคำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นอันดับสองที่มีค่าสัมประสิทธิ์แปรผัน

สมการนี้เรียกว่าสมการเบสเซล ทั้งสมการและวิธีแก้ปัญหานั้นไม่เพียงพบในปัญหาการแกว่งของเมมเบรนทรงกลมเท่านั้น แต่ยังพบในปัญหาอื่นๆ อีกจำนวนมาก

โดยทั่วไปแล้ว พารามิเตอร์ k ที่อยู่ในสมการ (10.1) สามารถรับค่าบวกใดๆ ก็ได้ การแก้สมการของค่า k ที่กำหนดเรียกว่าฟังก์ชันเบสเซลของลำดับ k (บางครั้งเรียกว่าฟังก์ชันทรงกระบอก) เราจะพิจารณารายละเอียดเฉพาะกรณีที่ง่ายที่สุด เมื่อใดและตั้งแต่นั้นมาในการนำเสนอครั้งต่อไป เราจะพบเฉพาะฟังก์ชัน Bessel ของลำดับที่ศูนย์และลำดับแรกเท่านั้น

สำหรับการศึกษาทั่วไปเกี่ยวกับฟังก์ชันเบสเซล เราจะแนะนำให้ผู้อ่านอ่านคู่มือพิเศษ (ดู ตัวอย่าง ; α = 0 − Γ (α) π (2 x) α ; α > 0 , (\displaystyle Y_(\alpha )( x)\rightarrow \left\((\begin(เมทริกซ์)(\frac (2)(\pi ))\left[\ln(x/2)+\gamma \right]&(\mbox(;))\ รูปสี่เหลี่ยม \alpha = 0\\\\-(\frac (\Gamma (\alpha))(\pi ))\left((\frac (2)(x))\right)^(\alpha )&(\ mbox(;) )\quad \alpha >0\end(เมทริกซ์))\right.,)

ที่ไหน γ (\displaystyle \gamma )- ค่าคงที่ของออยเลอร์ - มาสเคโรนี (0.5772...) และ Γ (\displaystyle \Gamma )- ฟังก์ชันแกมมาของออยเลอร์ สำหรับการโต้แย้งครั้งใหญ่ ( x ≫ | α 2 − 1 / 4 | (\displaystyle x\gg |\alpha ^(2)-1/4|)) สูตรมีลักษณะดังนี้:

J α (x) → 2 π x cos ⁡ (x − α π 2 − π 4) , (\displaystyle J_(\alpha )(x)\rightarrow (\sqrt (\frac (2)(\pi x)) )\cos \left(x-(\frac (\alpha \pi )(2))-(\frac (\pi )(4))\right),) Y α (x) → 2 π x บาป ⁡ (x − α π 2 − π 4) (\displaystyle Y_(\alpha )(x)\rightarrow (\sqrt (\frac (2)(\pi x)))\sin \left(x-(\frac (\alpha \pi )(2))- (\frac (\pi )(4))\right).)

ซีรีส์ไฮเปอร์เรขาคณิต

ฟังก์ชันเบสเซลสามารถแสดงในรูปของฟังก์ชันไฮเปอร์จีโอเมตริกได้:

เจ α (z) = (z / 2) α Γ (α + 1) 0 F 1 (α + 1 ; − z 2 / 4) (\displaystyle J_(\alpha )(z)=(\frac ((z/2)^(\alpha ))(\Gamma (\alpha +1)))()_(0)F_(1)(\ อัลฟา +1;-z^(2)/4).)

ดังนั้นสำหรับจำนวนเต็ม α (\displaystyle \alpha )ฟังก์ชันเบสเซล วิเคราะห์ได้ชัดเจนและสำหรับจำนวนที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม - การวิเคราะห์หลายค่า.

กำลังสร้างฟังก์ชัน

มีการแทนค่าฟังก์ชัน Bessel ประเภทแรกและลำดับจำนวนเต็มผ่านค่าสัมประสิทธิ์ของอนุกรม Laurent ของฟังก์ชันบางประเภท กล่าวคือ:

e z 2 (w − 1 w) = ∑ n = − ∞ + ∞ J n (z) w n (\displaystyle e^((\frac (z)(2))\left(w-(\frac (1)(w))\right))=\sum _(n=-\infty )^(+\ infty )J_(n)(z)w^(n).)

สมการเชิงอนุพันธ์สามัญเชิงเส้นอันดับสอง ของรูปแบบ \[(x^2)y"" + xy" = \left(((x^2) - (v^2)) \right)y = 0\] เรียกว่า สมการเบสเซล - เรียกหมายเลข \(v\) ลำดับของสมการเบสเซล .

สมการเชิงอนุพันธ์นี้ตั้งชื่อตามนักคณิตศาสตร์และนักดาราศาสตร์ชาวเยอรมัน ฟรีดริช วิลเฮล์ม เบสเซล ซึ่งศึกษารายละเอียดและแสดงให้เห็น (ใน \(1824\)) ว่าการแก้สมการนั้นแสดงออกมาผ่านคลาสฟังก์ชันพิเศษที่เรียกว่า ฟังก์ชันทรงกระบอก หรือ ฟังก์ชันเบสเซล .

การแสดงวิธีแก้ปัญหาทั่วไปโดยเฉพาะนั้นขึ้นอยู่กับหมายเลข \(v.\) ต่อไป เราจะพิจารณาสองกรณีแยกกัน:

ลำดับ \(v\) ไม่ใช่จำนวนเต็ม

ลำดับของ \(v\) เป็นจำนวนเต็ม

กรณีที่ 1 ลำดับ \(v\) ไม่ใช่จำนวนเต็ม

สมมติว่าจำนวน \(v\) ไม่ใช่จำนวนเต็มและเป็นค่าบวก วิธีแก้ทั่วไปของสมการเบสเซลสามารถเขียนได้ในรูปแบบ \ โดยที่ \((C_1),\) \((C_2)\) เป็นค่าคงที่ตามอำเภอใจ และ \((J_v)\ left(x \right),\) \((J_( - v))\left(x \right)\) - ฟังก์ชัน Bessel ชนิดที่ 1 .

ฟังก์ชัน Bessel ประเภทแรกสามารถแสดงเป็นอนุกรมได้ ซึ่งเงื่อนไขดังกล่าวแสดงผ่านสิ่งที่เรียกว่า ฟังก์ชันแกมมา : \[(J_v)\left(x \right) = \sum\limits_(p = 0)^\infty (\frac((((\left(( - 1) \right))^p)))( (\Gamma \left((p + 1) \right)\Gamma \left((p + v + 1) \right)))((\left((\frac(x)(2)) \right)) ^(2p + v))).\] ฟังก์ชันแกมมาเป็นส่วนขยาย ฟังก์ชันแฟคทอเรียล จากเซตของจำนวนเต็มไปจนถึงเซตของจำนวนจริง โดยเฉพาะอย่างยิ่ง มันมีคุณสมบัติดังต่อไปนี้: \[ (\Gamma \left((p + 1) \right) = p!,)\;\; (\แกมมา \left((p + v + 1) \right) = \left((v + 1) \right)\left((v + 2) \right) \cdots \left((v + p) \ right)\Gamma \left((v + 1) \right).) \] ฟังก์ชัน Bessel ของลำดับเชิงลบประเภทแรก (โดยมีดัชนี \(-v\)) เขียนในลักษณะเดียวกัน ในที่นี้ เราถือว่า \(v > 0.\) \[(J_( - v))\left(x \right) = \sum\limits_(p = 0)^\infty (\frac((((\ left (( - 1) \right))^p)))((\Gamma \left((p + 1) \right)\Gamma \left((p - v + 1) \right)))((\ ซ้าย ((\frac(x)(2)) \right))^(2p - v))) .\] ฟังก์ชัน Bessel ถูกคำนวณในแพ็คเกจทางคณิตศาสตร์ส่วนใหญ่ ตัวอย่างเช่น รูปแบบของฟังก์ชัน Bessel ของลำดับประเภทแรกจาก \(v = 0\) ถึง \(v = 4\) จะแสดงในรูป \(1.\) ฟังก์ชันเหล่านี้สามารถคำนวณได้ใน MS Excel เช่นกัน

กรณีที่ 2 ลำดับ \(v\) เป็นจำนวนเต็ม

ถ้าลำดับ \(v\) ของสมการเชิงอนุพันธ์ Bessel เป็นจำนวนเต็ม ดังนั้นฟังก์ชัน Bessel ของชนิดแรก \((J_v)\left(x \right)\) และ \((J_( - v))\left (x \right)\ ) จะต้องพึ่งพาซึ่งกันและกัน ในกรณีนี้ การแก้สมการทั่วไปของสมการจะอธิบายได้ด้วยสูตรอื่น: \ โดยที่ \((Y_v)\left(x \right)\) − ฟังก์ชันเบสเซลชนิดที่สอง - บางครั้งเรียกฟังก์ชันตระกูลนี้ด้วย ฟังก์ชันของนอยมันน์ หรือ ฟังก์ชั่นของเวเบอร์ .

ฟังก์ชันเบสเซลชนิดที่สอง \((Y_v)\left(x \right)\) สามารถแสดงผ่านฟังก์ชัน Bessel ของชนิดแรก \((J_v)\left(x \right)\) และ \((J_( - v))\left (x \ right):\) \[(Y_v)\left(x \right) = \frac(((J_v)\left(x \right)\cos \pi v - (J_( - v))\left (x \ right)))((\sin \pi v)).\] กราฟของฟังก์ชัน \((Y_v)\left(x \right)\) สำหรับสองสามคำสั่งแรก \(v\) จะแสดงไว้ด้านบนใน รูป \(2.\ )

บันทึก: ที่จริงแล้ว ผลเฉลยทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์ Bessel สามารถแสดงได้ในรูปของฟังก์ชัน Bessel ของชนิดที่หนึ่งและที่สองสำหรับกรณีลำดับที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม \(v.\)

สมการเชิงอนุพันธ์บางสมการสามารถลดเป็นสมการเบสเซลได้

1. อีกสมการที่รู้จักกันดีของคลาสนี้คือ สมการเบสเซลที่ถูกแก้ไข ซึ่งได้มาจากสมการ Bessel ปกติโดยการแทนที่ \(x\) ด้วย \(-ix.\) สมการนี้มีรูปแบบ: \[(x^2)y"" + xy" - \left(((x ^2) + (v^2)) \right)y = 0.\] การแก้สมการนี้แสดงผ่านสิ่งที่เรียกว่า ฟังก์ชัน Bessel ที่แก้ไขแล้วของชนิดที่หนึ่งและที่สอง : \[ (y\left(x \right) = (C_1)(J_v)\left(( - ix) \right) + (C_2)(Y_v)\left(( - ix) \right) ) = (( C_1)(I_v)\left(x \right) + (C_2)(K_v)\left(x \right),) \] โดยที่ \((I_v)\left(x \right)\) และ \((K_v )\left(x \right)\) แสดงถึงฟังก์ชัน Bessel ที่แก้ไขแล้วของชนิดแรกและชนิดที่สอง ตามลำดับ

2. สมการเชิงอนุพันธ์โปร่งสบาย ซึ่งเป็นที่รู้จักในด้านดาราศาสตร์และฟิสิกส์ เขียนไว้ในรูปแบบ: \ นอกจากนี้ยังสามารถลดเหลือสมการ Bessel ได้อีกด้วย การแก้สมการ Airy แสดงผ่านฟังก์ชัน Bessel ของลำดับเศษส่วน \(\pm \large\frac(1)(3)\normalsize:\) \[ (y\left(x \right) ) = ((C_1) \sqrt x (J_ (\ขนาดใหญ่\frac(1)(3)\ขนาดปกติ))\left((\frac(2)(3)i(x^(\large\frac(3)(2)\ขนาดปกติ) )) \right) + (C_2)\sqrt x (J_( - \large\frac(1)(3)\normalsize))\left((\frac(2)(3)i(x^(\large\ frac(3)( 2)\ขนาดปกติ)))\right).)\]
3. สมการเชิงอนุพันธ์ของรูปแบบ \[(x^2)y"" + xy" + \left(((a^2)(x^2) - (v^2)) \right)y = 0\] แตกต่างออกไป จากสมการเบสเซลเพียงตัวประกอบ \((a^2)\) ก่อน \((x^2)\) และมีคำตอบทั่วไปในรูปแบบต่อไปนี้: \
4. สมการเชิงอนุพันธ์ที่คล้ายกัน \[(x^2)y"" + axy" + \left(((x^2) - (v^2)) \right)y = 0\] ก็ลดเหลือสมการ Bessel เช่นกัน \[ (x ^2)z"" + xz" + \left(((x^2) - (n^2)) \right)z = 0\] โดยใช้การทดแทน \ ที่นี่พารามิเตอร์ \((n^2)\ ) หมายถึง \[(n^2) = (v^2) + \frac(1)(4)(\left((a - 1) \right)^2).\] ด้วยเหตุนี้ วิธีแก้ปัญหาทั่วไปของ สมการเชิงอนุพันธ์นี้ถูกกำหนดโดยสูตร \.\]
ฟังก์ชันพิเศษ Bessel ถูกนำมาใช้กันอย่างแพร่หลายในการแก้ปัญหาของฟิสิกส์คณิตศาสตร์ ตัวอย่างเช่น ในการศึกษา

การแพร่กระจายคลื่น

การนำความร้อน

การสั่นสะเทือนของเมมเบรน

ในกรณีที่วัตถุมีความสมมาตรทรงกระบอกหรือทรงกลม