Medsebojno pravokotni stranici v pravokotnem trikotniku. Pravokotni trikotnik: koncept in lastnosti
Povprečna raven
Pravokotni trikotnik. Popolni ilustrirani vodnik (2019)
PRAVOKOTNI TRIKOTNIK. PRVA STOPNJA.
Pri težavah pravi kot sploh ni potreben - spodnji levi, zato se morate naučiti prepoznati pravokotni trikotnik v tej obliki,
in v tem
in v tem 
Kaj je dobrega pri pravokotnem trikotniku? No ..., prvič, obstajajo posebna lepa imena za njene strani.
Pozor na risbo!
Zapomnite si in ne zamenjujte: obstajata dva kraka in samo ena hipotenuza(ena in edina, edinstvena in najdaljša)!
No, razpravljali smo o imenih, zdaj pa najpomembnejša stvar: Pitagorov izrek.
Pitagorov izrek.
Ta izrek je ključ do rešitve mnogih problemov, ki vključujejo pravokotni trikotnik. Pitagora je to popolnoma dokazal od nekdaj, in od takrat je prinesla veliko koristi tistim, ki jo poznajo. In najboljše pri tem je, da je preprosto.
Torej, Pitagorov izrek:
Se spomnite šale: "Pitagorejske hlače so enake na vseh straneh!"?
Narišimo te iste pitagorejske hlače in jih poglejmo. 
Ali ne izgleda kot nekakšne kratke hlače? No, na katerih straneh in kje so enakopravni? Zakaj in od kod šala? In ta šala je povezana prav s Pitagorovim izrekom, natančneje z načinom, kako je Pitagora sam formuliral svoj izrek. In to je formuliral takole:
"Vsota površine kvadratov, zgrajen na nogah, je enak kvadratna površina, zgrajen na hipotenuzi."
Se res sliši malo drugače? In tako, ko je Pitagora narisal izjavo svojega izreka, je nastala natanko taka slika.
Na tej sliki je vsota ploščin malih kvadratov enaka ploščini velik kvadrat. In da si bodo otroci bolje zapomnili, da je vsota kvadratov katet enaka kvadratu hipotenuze, se je nekdo duhovit domislil te šale o Pitagorovih hlačah.
Zakaj zdaj oblikujemo Pitagorov izrek?
Ali je Pitagora trpel in govoril o kvadratih?
Vidite, v starih časih ni bilo ... algebre! Nobenih znakov ni bilo in tako naprej. Napisov ni bilo. Si lahko predstavljate, kako grozno je bilo za uboge starodavne študente, da so se vsega spominjali z besedami??! In lahko se veselimo, da imamo preprosto formulacijo Pitagorovega izreka. Ponovimo še enkrat, da si bolje zapomnimo:
Zdaj bi moralo biti enostavno:
| Kvadrat hipotenuze enaka vsoti kvadrati nog. |
No, najpomembnejši izrek o pravokotnih trikotnikih je bil obravnavan. Če vas zanima, kako se to dokazuje, preberite naslednje nivoje teorije, zdaj pa gremo naprej ... na temen gozd... trigonometrija! Na strašne besede sinus, kosinus, tangens in kotangens.
Sinus, kosinus, tangens, kotangens v pravokotnem trikotniku.
Pravzaprav vse sploh ni tako strašljivo. Seveda je treba v članku pogledati "pravo" definicijo sinusa, kosinusa, tangensa in kotangensa. Ampak res nočem, kajne? Lahko se veselimo: če želite rešiti probleme o pravokotnem trikotniku, lahko preprosto izpolnite naslednje preproste stvari:
Zakaj je vse tik pred vogalom? Kje je kotiček? Da bi to razumeli, morate vedeti, kako so izjave od 1 do 4 zapisane z besedami. Poglejte, razumejte in zapomnite si!
1.
Pravzaprav zveni takole:
Kaj pa kot? Ali obstaja krak, ki je nasproti kotu, torej nasprotni (za kot) krak? Seveda imajo! To je noga!
Kaj pa kot? Pazljivo poglejte. Kateri krak meji na kot? Seveda, noga. To pomeni, da je za kot krak sosednji in
Zdaj pa bodite pozorni! Poglejte, kaj imamo:
Poglejte, kako kul je:
Zdaj pa preidimo na tangento in kotangens.
Kako naj zdaj to zapišem z besedami? Kakšen je krak glede na kot? Nasproti, seveda - "leži" nasproti vogala. Kaj pa noga? V bližini vogala. Torej, kaj imamo?
Vidite, kako sta števec in imenovalec zamenjala mesti?
In zdaj spet vogali in naredili izmenjavo:
Povzetek
Na kratko zapišimo vse, kar smo se naučili.
 |
Pitagorov izrek: |
Glavni izrek o pravokotnem trikotniku je Pitagorov izrek.
Pitagorov izrek
Mimogrede, se dobro spomnite, kaj so noge in hipotenuza? Če ni zelo dobro, potem si oglejte sliko - osvežite svoje znanje
Povsem možno je, da ste že večkrat uporabili Pitagorov izrek, a ste se kdaj vprašali, zakaj takšen izrek drži? Kako naj to dokažem? Naredimo kot stari Grki. Narišimo kvadrat s stranico.
Poglejte, kako spretno smo njegove stranice razdelili na dolžine in!
Sedaj povežimo označene točke
Tu pa smo opazili še nekaj, sami pa poglejte risbo in pomislite, zakaj je tako.
Kolikšna je površina večjega kvadrata?
Prav, .
Kaj pa manjša površina?
Vsekakor,.
Skupna površina štirih vogalov ostaja. Predstavljajte si, da ju vzamemo po dve naenkrat in ju s hipotenuzama prislonimo enega na drugega.
Kaj se je zgodilo? Dva pravokotnika. To pomeni, da je površina "rezov" enaka.
Sestavimo vse skupaj.
Preobrazimo:
Tako smo obiskali Pitagoro – njegov izrek smo dokazali na starodaven način.
Pravokotni trikotnik in trigonometrija
Za pravokotni trikotnik veljajo razmerja:
Sinus ostrega kota je enak razmerju med nasprotno stranico in hipotenuzo
Kosinus ostrega kota je enak razmerju med sosednjim krakom in hipotenuzo.
Tangens ostrega kota je enak razmerju med nasprotno stranjo in sosednjo stranjo.
Kotangens ostrega kota je enak razmerju med sosednjo in nasprotno stranico.
In še enkrat vse to v obliki tablete:
Zelo je udobno!
Znaki enakosti pravokotnih trikotnikov
I. Na dveh straneh
II. Po nogi in hipotenuzi
III. S hipotenuzo in ostrim kotom
IV. Ob kraku in ostrem kotu
a) 
b) 
Pozor! Pri tem je zelo pomembno, da so noge »primerne«. Na primer, če gre takole:
POTEM TRIKOTNIKI NISO ENAKI, kljub dejstvu, da imata enak oster kot.
Moram v obeh trikotnikih je bil krak sosednji ali pa v obeh nasproti.
Ste opazili, kako se znaki enakosti pravokotnih trikotnikov razlikujejo od običajnih znakov enakosti trikotnikov?
Oglejte si temo »in bodite pozorni, da morajo biti za enakost »navadnih« trikotnikov enaki trije njihovi elementi: dve strani in kot med njima, dva kota in stranica med njima ali tri stranice.
Toda za enakost pravokotnih trikotnikov sta dovolj le dva ustrezna elementa. Super, kajne?
Približno enako je z znaki podobnosti pravokotnih trikotnikov.
Znaki podobnosti pravokotnih trikotnikov
I. Vzdolž ostrega kota
II. Na dveh straneh
III. Po nogi in hipotenuzi
Mediana v pravokotnem trikotniku
Zakaj je temu tako?
Namesto pravokotnega trikotnika razmislite o celem pravokotniku.
Narišimo diagonalo in upoštevajmo točko – presečišče diagonal. Kaj veš o diagonalah pravokotnika?
In kaj iz tega sledi?
Tako se je izkazalo, da
- - mediana:
Zapomni si to dejstvo! Zelo pomaga!
Še bolj presenetljivo pa je, da velja tudi nasprotno.
Kaj lahko koristimo iz dejstva, da je mediana, potegnjena hipotenuzi, enaka polovici hipotenuze? Poglejmo sliko
Pazljivo poglejte. Imamo: , to je, da so se razdalje od točke do vseh treh oglišč trikotnika izkazale za enake. Toda v trikotniku je samo ena točka, od katere so oddaljenosti od vseh treh oglišč trikotnika enake, in to je SREDIŠČE KROGA. Torej kaj se je zgodilo?
Pa začnimo s tem “poleg ...”.
Poglejmo in.
Ampak podobni trikotniki vsi koti so enaki!
Enako lahko rečemo za in
Zdaj pa ga narišimo skupaj:
Kakšno korist lahko izvlečemo iz te »trojne« podobnosti?
No, na primer - dve formuli za višino pravokotnega trikotnika.
Zapišimo razmerja korespondentnih strank:
Da bi našli višino, rešimo delež in dobimo prva formula "Višina v pravokotnem trikotniku":
Torej, uporabimo podobnost: .
Kaj bo zdaj?
Spet rešimo delež in dobimo drugo formulo:
Obe formuli si morate dobro zapomniti in uporabiti tisto, ki je bolj priročna.
Zapišimo jih še enkrat
Pitagorov izrek:
V pravokotnem trikotniku je kvadrat hipotenuze enak vsoti kvadratov katet: .
Znaki enakosti pravokotnih trikotnikov:
- na dveh straneh:
- po kateti in hipotenuzi: oz
- vzdolž kraka in prilegajočega ostrega kota: oz
- vzdolž kraka in nasprotnega ostrega kota: oz
- s hipotenuzo in ostrim kotom: oz.
Znaki podobnosti pravokotnih trikotnikov:
- en oster vogal: oz
- iz sorazmernosti dveh nog:
- iz sorazmernosti katete in hipotenuze: oz.
Sinus, kosinus, tangens, kotangens v pravokotnem trikotniku
- Sinus ostrega kota pravokotnega trikotnika je razmerje med nasprotno stranico in hipotenuzo:
- Kosinus ostrega kota pravokotnega trikotnika je razmerje med sosednjim krakom in hipotenuzo:
- Tangens ostrega kota pravokotnega trikotnika je razmerje med nasprotno stranjo in sosednjo stranjo:
- Kotangens ostrega kota pravokotnega trikotnika je razmerje med sosednjo in nasprotno stranico: .
Višina pravokotnega trikotnika: oz.
V pravokotnem trikotniku je mediana, potegnjena iz oglišča pravi kot, je enako polovici hipotenuze: .
Območje pravokotnega trikotnika:
- preko nog:
- skozi krak in ostri kot: .
Pa je tema končana. Če berete te vrstice, pomeni, da ste zelo kul.
Ker le 5% ljudi zmore nekaj obvladati samih. In če preberete do konca, potem ste v teh 5%!
Zdaj pa najpomembnejše.
Razumeli ste teorijo o tej temi. In ponavljam, to ... to je preprosto super! Že zdaj ste boljši od velike večine svojih vrstnikov.
Težava je v tem, da to morda ni dovolj ...
Za kaj?
Za uspešen zaključek Enotni državni izpit, za sprejem na fakulteto na proračun in, kar je NAJBOLJ POMEMBNO, za življenje.
Ne bom vas prepričeval v nič, samo eno stvar bom rekel ...
Ljudje, ki so prejeli dobra izobrazba, zaslužijo veliko več kot tisti, ki tega niso prejeli. To je statistika.
Ampak to ni glavna stvar.
Glavno, da so BOLJ SREČNI (obstajajo takšne študije). Morda zato, ker je pred njimi veliko več odprtega več možnosti in življenje postane svetlejše? ne vem ...
Ampak pomislite sami ...
Kaj je potrebno, da smo boljši od drugih na Enotnem državnem izpitu in na koncu ... srečnejši?
PRIDOBITE SE Z REŠEVANJEM PROBLEMOV NA TO TEMO.
Med izpitom ne boste zahtevali teorije.
Boste potrebovali reševanje težav s časom.
In če jih niste rešili (VELIKO!), boste zagotovo nekje naredili neumno napako ali preprosto ne boste imeli časa.
To je kot v športu – večkrat moraš ponoviti, da zagotovo zmagaš.
Poiščite zbirko kjer koli želite, nujno z rešitvami, podrobna analiza in odločaj se, odločaj se!
Uporabite lahko naše naloge (neobvezno) in jih seveda priporočamo.
Če želite bolje uporabljati naše naloge, morate pomagati podaljšati življenjsko dobo učbenika YouClever, ki ga trenutno berete.
kako Obstajata dve možnosti:
- Odklenite vse skrite naloge v tem članku - 299 rubljev.
- Odkleni dostop do vseh skritih nalog v vseh 99 členih učbenika - 499 rubljev.
Da, v našem učbeniku imamo 99 takih členov in dostop do vseh nalog in vseh skritih besedil v njih se lahko odpre takoj.
Dostop do vseh skritih nalog je zagotovljen za CELOTNO življenjsko dobo spletnega mesta.
V zaključku...
Če vam naše naloge niso všeč, poiščite druge. Samo ne ustavite se pri teoriji.
"Razumem" in "lahko rešim" sta popolnoma različni veščini. Potrebujete oboje.
Poiščite težave in jih rešite!
Lastnosti pravokotnega trikotnika
Dragi sedmošolci, že veste, kateri geometrijski liki se imenujejo trikotniki, znate dokazati znake njihove enakosti. Poznate tudi posebne primere trikotnikov: enakokrake in pravokotnike. Dobro poznate lastnosti enakokrakih trikotnikov.
Pravokotni trikotnik pa ima tudi številne lastnosti. Ena očitna je povezana z izrekom o vsoti notranjih kotov trikotnika: v pravokotnem trikotniku je vsota ostrih kotov 90°. Večina neverjetna lastnina o pravokotnem trikotniku se boste naučili v 8. razredu, ko boste preučevali znameniti Pitagorov izrek.
Zdaj bomo govorili še o dveh pomembne lastnosti. Ena je za pravokotne trikotnike 30°, druga pa za naključne pravokotne trikotnike. Formulirajmo in dokažimo te lastnosti.
Dobro veste, da je v geometriji običajno oblikovati izjave, ki so nasprotne dokazanim, ko pogoj in sklep v izjavi zamenjata mesti. Nasprotne izjave niso vedno resnične. V našem primeru držita obe obratni trditvi.
Lastnost 1.1 V pravokotnem trikotniku je krak nasproti kota 30° enak polovici hipotenuze.
Dokaz: Razmislite o pravokotniku ∆ ABC, v katerem je ÐA=90°, ÐB=30°, nato ÐC=60°..gif" width="167" height="41">, torej, kar je bilo treba dokazati.
Lastnost 1.2 (obratno na lastnost 1.1) Če je krak v pravokotnem trikotniku enak polovici hipotenuze, potem je kot nasproti njega 30°.
Lastnost 2.1 V pravokotnem trikotniku je mediana, potegnjena hipotenuzi, enaka polovici hipotenuze.
Oglejmo si pravokotnik ∆ ABC, v katerem je РВ=90°.
BD-mediana, to je AD=DC. Dokažimo to.
Da bi to dokazali, bomo naredili dodatno konstrukcijo: nadaljevali bomo BD preko točke D, tako da bo BD=DN in povezali N z A in C..gif" width="616" height="372 src=">
Podano: ∆ABC, ÐC=90o, ÐA=30o, ÐBEC=60o, EC=7cm
1. ÐEBC=30o, ker je v pravokotniku ∆BCE vsota ostrih kotov 90o
2. BE=14cm(lastnost 1)
3. ÐABE=30o, ker je ÐA+ÐABE=ÐBEC (lastnost zunanjega kota trikotnika) je torej ∆AEB enakokrak AE=EB=14cm.
BC=2AN=20 cm (lastnost 2).
Naloga 3. Dokažite, da višina in mediana pravokotnega trikotnika, vzeta na hipotenuzo, tvorita kot, ki je enak razliki med ostrima kotoma trikotnika.
Podano: ∆ ABC, ÐBAC=90°, AM-mediana, AH-višina.
Dokaži: RMAN=RS-RV.
Dokaz:
1)РМАС=РС (po lastnosti 2 ∆ AMC-ravnokraki, AM=SM)
2) ÐMAN = ÐMAS-ÐNAS = ÐS-ÐNAS.
Treba je še dokazati, da je РНАС=РВ. To izhaja iz dejstva, da je ÐB+ÐC=90° (v ∆ ABC) in ÐNAS+ÐC=90° (iz ∆ ANS).
Torej RMAN = RС-РВ, kar je bilo treba dokazati.
https://pandia.ru/text/80/358/images/image014_39.gif" width="194" height="184">Dano: ∆ABC, ÐBAC=90°, AN-višina, .
Najdi: РВ, РС.
Rešitev: Vzemimo mediano AM. Naj bo AN=x, potem je BC=4x in
VM=MS=AM=2x.
V pravokotniku ∆AMN je hipotenuza AM 2-krat večja od kraka AN, zato je ÐAMN=30°. Ker je VM=AM,
РВ=РВАМ100%">
Podaljšajmo AC čez točko A, tako da je AD=AC. Potem je ∆ABC=∆ABD (na 2 krakih). BD=BC=2AC=CD, torej ∆DBC-enakostranični, ÐC=60o in ÐABC=30o.
Problem 5
V enakokrakem trikotniku je eden od kotov 120°, osnova je 10 cm. Poiščite stransko višino.
Rešitev: za začetek opozorimo, da je kot 120° lahko samo na oglišču trikotnika in da bo stranica narisana višina padla na njegovo nadaljevanje.
AB - stopnišče, K - mucek.
V katerem koli položaju lestve, dokler končno ne pade na tla, je ∆ABC pravokoten. MC - mediana ∆ABC.
Po lastnosti 2 SC = 1/2AB. To pomeni, da je v katerem koli trenutku dolžina segmenta SK konstantna.
Odgovor: točka K se bo gibala vzdolž krožnega loka s središčem C in polmerom CK=1/2AB.
Problemi za samostojno rešitev.
Eden od kotov pravokotnega trikotnika je 60°, razlika med hipotenuzo in krajšim krakom pa je 4 cm. poiščite dolžino hipotenuze. V pravokotnik ∆ ABC s hipotenuzo BC in kotom B enakim 60° je narisana višina AD. Poiščite DC, če je DB=2cm. B ∆ABC ÐC=90o, CD - višina, BC=2ВD. Dokažite, da je AD=3ВD. Višina pravokotnega trikotnika deli hipotenuzo na 3 cm in 9 cm. Poiščite kote trikotnika in razdaljo od sredine hipotenuze do daljšega kraka. Simetrala razdeli trikotnik na dva enakokraka trikotnika. Poiščite kote prvotnega trikotnika. Mediana razdeli trikotnik na dva enakokraka trikotnika. Ali je mogoče najti kote
Originalni trikotnik?
Pravokotni trikotnik- to je trikotnik, v katerem je eden od kotov raven, to je enak 90 stopinj.
- Stran nasproti pravega kota se imenuje hipotenuza (na sliki označena kot c ali AB)
- Stran, ki meji na pravi kot, se imenuje krak. Vsak pravokotni trikotnik ima dva kraka (na sliki sta označena kot a in b ali AC in BC)
Formule in lastnosti pravokotnega trikotnika
Oznake formule:(glej sliko zgoraj)
a, b- noge pravokotnega trikotnika
c- hipotenuza
α, β - ostri koti trikotnik
S- kvadrat
h- višina, spuščena od vrha pravega kota do hipotenuze
m a a iz nasprotnega kota ( α )
m b- mediana potegnjena vstran b iz nasprotnega kota ( β )
m c- mediana potegnjena vstran c iz nasprotnega kota ( γ )
IN pravokotni trikotnik kateri koli od krakov je manjši od hipotenuze(Formuli 1 in 2). Ta lastnost je posledica Pitagorovega izreka.
Kosinus katerega koli ostrega kota manj kot ena (formuli 3 in 4). Ta lastnost izhaja iz prejšnje. Ker je kateri koli od krakov manjši od hipotenuze, je razmerje med krakom in hipotenuzo vedno manjše od ena.
Kvadrat hipotenuze je enak vsoti kvadratov katet (Pitagorov izrek). (Formula 5). Ta lastnost se nenehno uporablja pri reševanju problemov.
Območje pravokotnega trikotnika enaka polovici produkta nog (formula 6)
Vsota kvadratnih median na noge je enako petim kvadratom mediane hipotenuze in petim kvadratom hipotenuze deljeno s štiri (formula 7). Poleg naštetega obstaja Še 5 formul, zato je priporočljivo, da preberete tudi lekcijo »Mediana pravokotnega trikotnika«, ki podrobneje opisuje lastnosti mediane.
Višina pravokotnega trikotnika je enak zmnožku katet, deljenih s hipotenuzo (formula 8)
Kvadrati nog so obratno sorazmerni s kvadratom višine, spuščene na hipotenuzo (formula 9). Ta istovetnost je tudi ena od posledic Pitagorovega izreka.
Dolžina hipotenuze enak premeru (dvema polmeroma) opisanega kroga (formula 10). Hipotenuza pravokotnega trikotnika je premer opisanega kroga. Ta lastnost se pogosto uporablja pri reševanju problemov.
Včrtani polmer V pravokotni trikotnik krog lahko najdemo kot polovico izraza, vključno z vsoto krakov tega trikotnika minus dolžina hipotenuze. Ali kot produkt krakov, deljen z vsoto vseh stranic (obsega) danega trikotnika. (Formula 11)
Sinus kota odnos do nasprotja podani kot krak na hipotenuzo(po definiciji sinusa). (Formula 12). Ta lastnost se uporablja pri reševanju problemov. Če poznate velikosti strani, lahko ugotovite kot, ki ga tvorijo.
Kosinus kota A (α, alfa) v pravokotnem trikotniku bo enak odnos sosednji podani kot krak na hipotenuzo(po definiciji sinusa). (Formula 13)
Povprečna raven
Pravokotni trikotnik. Popolni ilustrirani vodnik (2019)
PRAVOKOTNI TRIKOTNIK. PRVA STOPNJA.
Pri težavah pravi kot sploh ni potreben - spodnji levi, zato se morate naučiti prepoznati pravokotni trikotnik v tej obliki,
in v tem
in v tem
Kaj je dobrega pri pravokotnem trikotniku? No ..., prvič, obstajajo posebna lepa imena za njene strani.
Pozor na risbo!
Zapomnite si in ne zamenjujte: obstajata dva kraka in samo ena hipotenuza(ena in edina, edinstvena in najdaljša)!
No, razpravljali smo o imenih, zdaj pa najpomembnejša stvar: Pitagorov izrek.
Pitagorov izrek.
Ta izrek je ključ do rešitve mnogih problemov, ki vključujejo pravokotni trikotnik. Dokazal jo je Pitagora že v povsem pradavnini in od takrat je vsem, ki jo poznajo, prinesla veliko koristi. In najboljše pri tem je, da je preprosto.
Torej, Pitagorov izrek:
Se spomnite šale: "Pitagorejske hlače so enake na vseh straneh!"?
Narišimo te iste pitagorejske hlače in jih poglejmo.
Ali ne izgleda kot nekakšne kratke hlače? No, na katerih straneh in kje so enakopravni? Zakaj in od kod šala? In ta šala je povezana prav s Pitagorovim izrekom, natančneje z načinom, kako je Pitagora sam formuliral svoj izrek. In to je formuliral takole:
"Vsota površine kvadratov, zgrajen na nogah, je enak kvadratna površina, zgrajen na hipotenuzi."
Se res sliši malo drugače? In tako, ko je Pitagora narisal izjavo svojega izreka, je nastala natanko taka slika.
Na tej sliki je vsota ploščin majhnih kvadratov enaka ploščini velikega kvadrata. In da si bodo otroci bolje zapomnili, da je vsota kvadratov katet enaka kvadratu hipotenuze, se je nekdo duhovit domislil te šale o Pitagorovih hlačah.
Zakaj zdaj oblikujemo Pitagorov izrek?
Ali je Pitagora trpel in govoril o kvadratih?
Vidite, v starih časih ni bilo ... algebre! Nobenih znakov ni bilo in tako naprej. Napisov ni bilo. Si lahko predstavljate, kako grozno je bilo za uboge starodavne študente, da so se vsega spominjali z besedami??! In lahko se veselimo, da imamo preprosto formulacijo Pitagorovega izreka. Ponovimo še enkrat, da si bolje zapomnimo:
Zdaj bi moralo biti enostavno:
| Kvadrat hipotenuze je enak vsoti kvadratov katet. |
No, najpomembnejši izrek o pravokotnih trikotnikih je bil obravnavan. Če vas zanima, kako se dokazuje, si preberite naslednje nivoje teorije, zdaj pa gremo še naprej... v temni gozd... trigonometrija! Na strašne besede sinus, kosinus, tangens in kotangens.
Sinus, kosinus, tangens, kotangens v pravokotnem trikotniku.
Pravzaprav vse sploh ni tako strašljivo. Seveda je treba v članku pogledati "pravo" definicijo sinusa, kosinusa, tangensa in kotangensa. Ampak res nočem, kajne? Lahko se veselimo: če želite rešiti probleme o pravokotnem trikotniku, lahko preprosto izpolnite naslednje preproste stvari:
Zakaj je vse tik pred vogalom? Kje je kotiček? Da bi to razumeli, morate vedeti, kako so izjave od 1 do 4 zapisane z besedami. Poglejte, razumejte in zapomnite si!
1.
Pravzaprav zveni takole:
Kaj pa kot? Ali obstaja krak, ki je nasproti kotu, torej nasprotni (za kot) krak? Seveda imajo! To je noga!
Kaj pa kot? Pazljivo poglejte. Kateri krak meji na kot? Seveda, noga. To pomeni, da je za kot krak sosednji in
Zdaj pa bodite pozorni! Poglejte, kaj imamo:
Poglejte, kako kul je:
Zdaj pa preidimo na tangento in kotangens.
Kako naj zdaj to zapišem z besedami? Kakšen je krak glede na kot? Nasproti, seveda - "leži" nasproti vogala. Kaj pa noga? V bližini vogala. Torej, kaj imamo?
Vidite, kako sta števec in imenovalec zamenjala mesti?
In zdaj spet vogali in naredili izmenjavo:
Povzetek
Na kratko zapišimo vse, kar smo se naučili.
|
Pitagorov izrek: |
Glavni izrek o pravokotnem trikotniku je Pitagorov izrek.
Pitagorov izrek
Mimogrede, se dobro spomnite, kaj so noge in hipotenuza? Če ni zelo dobro, potem si oglejte sliko - osvežite svoje znanje
Povsem možno je, da ste že večkrat uporabili Pitagorov izrek, a ste se kdaj vprašali, zakaj takšen izrek drži? Kako naj to dokažem? Naredimo kot stari Grki. Narišimo kvadrat s stranico.
Poglejte, kako spretno smo njegove stranice razdelili na dolžine in!
Sedaj povežimo označene točke
Tu pa smo opazili še nekaj, sami pa poglejte risbo in pomislite, zakaj je tako.
Kolikšna je površina večjega kvadrata?
Prav, .
Kaj pa manjša površina?
Vsekakor,.
Skupna površina štirih vogalov ostaja. Predstavljajte si, da ju vzamemo po dve naenkrat in ju s hipotenuzama prislonimo enega na drugega.
Kaj se je zgodilo? Dva pravokotnika. To pomeni, da je površina "rezov" enaka.
Sestavimo vse skupaj.
Preobrazimo:
Tako smo obiskali Pitagoro – njegov izrek smo dokazali na starodaven način.
Pravokotni trikotnik in trigonometrija
Za pravokotni trikotnik veljajo razmerja:
Sinus ostrega kota je enak razmerju med nasprotno stranico in hipotenuzo
Kosinus ostrega kota je enak razmerju med sosednjim krakom in hipotenuzo.
Tangens ostrega kota je enak razmerju med nasprotno stranjo in sosednjo stranjo.
Kotangens ostrega kota je enak razmerju med sosednjo in nasprotno stranico.
In še enkrat vse to v obliki tablete:
Zelo je udobno!
Znaki enakosti pravokotnih trikotnikov
I. Na dveh straneh
II. Po nogi in hipotenuzi
III. S hipotenuzo in ostrim kotom
IV. Ob kraku in ostrem kotu
a)
b)
Pozor! Pri tem je zelo pomembno, da so noge »primerne«. Na primer, če gre takole:
POTEM TRIKOTNIKI NISO ENAKI, kljub dejstvu, da imata enak oster kot.
Moram v obeh trikotnikih je bil krak sosednji ali pa v obeh nasproti.
Ste opazili, kako se znaki enakosti pravokotnih trikotnikov razlikujejo od običajnih znakov enakosti trikotnikov?
Oglejte si temo »in bodite pozorni, da morajo biti za enakost »navadnih« trikotnikov enaki trije njihovi elementi: dve strani in kot med njima, dva kota in stranica med njima ali tri stranice.
Toda za enakost pravokotnih trikotnikov sta dovolj le dva ustrezna elementa. Super, kajne?
Približno enako je z znaki podobnosti pravokotnih trikotnikov.
Znaki podobnosti pravokotnih trikotnikov
I. Vzdolž ostrega kota
II. Na dveh straneh
III. Po nogi in hipotenuzi
Mediana v pravokotnem trikotniku
Zakaj je temu tako?
Namesto pravokotnega trikotnika razmislite o celem pravokotniku.
Narišimo diagonalo in upoštevajmo točko – presečišče diagonal. Kaj veš o diagonalah pravokotnika?
In kaj iz tega sledi?
Tako se je izkazalo, da
- - mediana:
Zapomni si to dejstvo! Zelo pomaga!
Še bolj presenetljivo pa je, da velja tudi nasprotno.
Kaj lahko koristimo iz dejstva, da je mediana, potegnjena hipotenuzi, enaka polovici hipotenuze? Poglejmo sliko
Pazljivo poglejte. Imamo: , to je, da so se razdalje od točke do vseh treh oglišč trikotnika izkazale za enake. Toda v trikotniku je samo ena točka, od katere so oddaljenosti od vseh treh oglišč trikotnika enake, in to je SREDIŠČE KROGA. Torej kaj se je zgodilo?
Pa začnimo s tem “poleg ...”.
Poglejmo in.
Toda vsi podobni trikotniki imajo enake kote!
Enako lahko rečemo za in
Zdaj pa ga narišimo skupaj:
Kakšno korist lahko izvlečemo iz te »trojne« podobnosti?
No, na primer - dve formuli za višino pravokotnega trikotnika.
Zapišimo razmerja korespondentnih strank:
Da bi našli višino, rešimo delež in dobimo prva formula "Višina v pravokotnem trikotniku":
Torej, uporabimo podobnost: .
Kaj bo zdaj?
Spet rešimo delež in dobimo drugo formulo:
Obe formuli si morate dobro zapomniti in uporabiti tisto, ki je bolj priročna.
Zapišimo jih še enkrat
Pitagorov izrek:
V pravokotnem trikotniku je kvadrat hipotenuze enak vsoti kvadratov katet: .
Znaki enakosti pravokotnih trikotnikov:
- na dveh straneh:
- po kateti in hipotenuzi: oz
- vzdolž kraka in prilegajočega ostrega kota: oz
- vzdolž kraka in nasprotnega ostrega kota: oz
- s hipotenuzo in ostrim kotom: oz.
Znaki podobnosti pravokotnih trikotnikov:
- en oster vogal: oz
- iz sorazmernosti dveh nog:
- iz sorazmernosti katete in hipotenuze: oz.
Sinus, kosinus, tangens, kotangens v pravokotnem trikotniku
- Sinus ostrega kota pravokotnega trikotnika je razmerje med nasprotno stranico in hipotenuzo:
- Kosinus ostrega kota pravokotnega trikotnika je razmerje med sosednjim krakom in hipotenuzo:
- Tangens ostrega kota pravokotnega trikotnika je razmerje med nasprotno stranjo in sosednjo stranjo:
- Kotangens ostrega kota pravokotnega trikotnika je razmerje med sosednjo in nasprotno stranico: .
Višina pravokotnega trikotnika: oz.
V pravokotnem trikotniku je mediana, potegnjena iz vrha pravega kota, enaka polovici hipotenuze: .
Območje pravokotnega trikotnika:
- preko nog:
- skozi krak in ostri kot: .
Pa je tema končana. Če berete te vrstice, pomeni, da ste zelo kul.
Ker le 5% ljudi zmore nekaj obvladati samih. In če preberete do konca, potem ste v teh 5%!
Zdaj pa najpomembnejše.
Razumeli ste teorijo o tej temi. In ponavljam, to ... to je preprosto super! Že zdaj ste boljši od velike večine svojih vrstnikov.
Težava je v tem, da to morda ni dovolj ...
Za kaj?
Za uspešno opravljen enotni državni izpit, za vpis na fakulteto s proračunom in, kar je NAJBOLJ POMEMBNO, za življenje.
Ne bom vas prepričeval v nič, samo eno stvar bom rekel ...
Ljudje, ki so prejeli dobro izobrazbo, zaslužijo veliko več kot tisti, ki je niso prejeli. To je statistika.
Ampak to ni glavna stvar.
Glavno, da so BOLJ SREČNI (obstajajo takšne študije). Morda zato, ker se pred njimi odpre veliko več priložnosti in življenje postane svetlejše? ne vem ...
Ampak pomislite sami ...
Kaj je potrebno, da smo boljši od drugih na Enotnem državnem izpitu in na koncu ... srečnejši?
PRIDOBITE SE Z REŠEVANJEM PROBLEMOV NA TO TEMO.
Med izpitom ne boste zahtevali teorije.
Boste potrebovali reševanje težav s časom.
In če jih niste rešili (VELIKO!), boste zagotovo nekje naredili neumno napako ali preprosto ne boste imeli časa.
To je kot v športu – večkrat moraš ponoviti, da zagotovo zmagaš.
Poiščite zbirko kjer koli želite, nujno z rešitvami, podrobno analizo in odločaj se, odločaj se!
Uporabite lahko naše naloge (neobvezno) in jih seveda priporočamo.
Če želite bolje uporabljati naše naloge, morate pomagati podaljšati življenjsko dobo učbenika YouClever, ki ga trenutno berete.
kako Obstajata dve možnosti:
- Odklenite vse skrite naloge v tem članku - 299 rubljev.
- Odkleni dostop do vseh skritih nalog v vseh 99 členih učbenika - 499 rubljev.
Da, v našem učbeniku imamo 99 takih členov in dostop do vseh nalog in vseh skritih besedil v njih se lahko odpre takoj.
Dostop do vseh skritih nalog je zagotovljen za CELOTNO življenjsko dobo spletnega mesta.
V zaključku...
Če vam naše naloge niso všeč, poiščite druge. Samo ne ustavite se pri teoriji.
"Razumem" in "lahko rešim" sta popolnoma različni veščini. Potrebujete oboje.
Poiščite težave in jih rešite!
Reševanje geometrijskih problemov zahteva velika količina znanja. Ena temeljnih definicij te znanosti je pravokotni trikotnik.
Ta koncept pomeni sestavljen iz treh kotov in
stranice, pri čemer eden od kotov meri 90 stopinj. Stranice, ki sestavljajo pravi kot, se imenujejo noge, tretja stranica, ki je nasproti njega, pa se imenuje hipotenuza.
Če so noge v takšni sliki enake, se imenuje enakokraki pravokotni trikotnik. V tem primeru gre za članstvo v dveh, kar pomeni, da se upoštevajo lastnosti obeh skupin. Ne pozabite, da so koti na dnu enakokraki trikotnik so absolutno vedno enaki, zato bodo akutni koti takšne figure vključevali 45 stopinj.
Prisotnost ene od naslednjih lastnosti nam omogoča, da trdimo, da je en pravokotni trikotnik enak drugemu:
- stranice dveh trikotnikov so enake;
- številki imata enako hipotenuzo in eno od nog;
- hipotenuza in kateri koli od ostrih kotov sta enaka;
- pogoj enakosti kraka in ostrega kota je izpolnjen.
Območje pravokotnega trikotnika je enostavno izračunati tako s standardnimi formulami kot količino, enaka polovici dela njegovih nog.
V pravokotnem trikotniku opazimo naslednja razmerja:
- kateta ni nič drugega kot povprečje, sorazmerno s hipotenuzo in njeno projekcijo nanjo;
- če opišete krog okoli pravokotnega trikotnika, bo njegovo središče na sredini hipotenuze;
- višina, narisana iz pravega kota, je povprečje, sorazmerno s projekcijami krakov trikotnika na njegovo hipotenuzo.
Zanimivo je, da ne glede na to, kakšen je pravokotni trikotnik, so te lastnosti vedno upoštevane.
Pitagorov izrek
Poleg zgornjih lastnosti je za pravokotne trikotnike značilen naslednji pogoj:
Ta izrek je poimenovan po svojem utemeljitelju - Pitagorovem izreku. To razmerje je odkril, ko je preučeval lastnosti kvadratov, ki so zgrajeni na njih
Za dokaz izreka sestavimo trikotnik ABC, katerega kraka označimo z a in b, hipotenuzo pa s c. Nato bomo zgradili dva kvadrata. Za enega bo stranica hipotenuza, za drugega pa vsota dveh krakov.
Potem lahko površino prvega kvadrata najdemo na dva načina: kot vsoto ploščin štirih trikotnikov ABC in drugega kvadrata ali kot kvadrat stranice; seveda bosta ti razmerji enaki. To je:
z 2 + 4 (ab/2) = (a + b) 2 transformiramo nastali izraz:
c 2 +2 ab = a 2 + b 2 + 2 ab
Kot rezultat dobimo: c 2 = a 2 + b 2
torej geometrijski lik pravokotni trikotnik ne le ustreza vsem lastnostim, značilnim za trikotnike. Prisotnost pravega kota vodi do dejstva, da ima figura druga edinstvena razmerja. Njihova študija bo koristna ne le v znanosti, ampak tudi v Vsakdanje življenje, saj je taka figura, kot je pravokotni trikotnik, povsod.
