Vrste napredovanj. Vsota prvih n členov aritmetične progresije
Težave z aritmetično progresijo so obstajale že v starih časih. Pojavili so se in zahtevali rešitev, ker so imeli praktično potrebo.
Torej, v enem od papirusov Starodavni Egipt«, ki ima matematično vsebino – Rhindov papirus (19. stoletje pr. n. št.) – vsebuje naslednjo nalogo: razdeli deset mer kruha med deset ljudi, pri čemer mora biti razlika med vsakim ena osmina mere.«
In v matematičnih delih starih Grkov so elegantni izreki, povezani z aritmetičnim napredovanjem. Tako je Hipsik iz Aleksandrije (2. stoletje, ki je sestavil mnogo zanimivih problemov in Evklidovim Elementom dodal štirinajsto knjigo) oblikoval misel: »V aritmetični progresiji, ki ima sodo številočlenov, je vsota členov 2. polčasa večja od vsote členov 1. polčasa za kvadrat 1/2 števila členov.«
Zaporedje je označeno z an. Številke zaporedja imenujemo njegovi členi in so običajno označene s črkami z indeksi, ki označujejo zaporedno številko tega člena (a1, a2, a3 ... beri: “a 1st”, “a 2nd”, “a 3rd”). in tako naprej ).
Zaporedje je lahko neskončno ali končno.
Kaj je aritmetična progresija? Z njim razumemo tistega, ki ga dobimo s seštevanjem prejšnjega člena (n) z istim številom d, ki je razlika progresije.
Če d<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0, potem se to napredovanje šteje za naraščajoče.
Aritmetična progresija imenujemo končna, če upoštevamo samo prvih nekaj členov. Pri zelo velike količinečlanov je že neskončno napredovanje.
Vsako aritmetično napredovanje je definirano z naslednjo formulo:
an =kn+b, medtem ko sta b in k nekaj števil.
Nasprotna izjava je absolutno resnična: če je zaporedje podano s podobno formulo, potem ima ravno aritmetična progresija lastnosti:
- Vsak člen napredovanja je aritmetična sredina prejšnjega in naslednjega člena.
- Obratno: če je, začenši od 2., vsak člen aritmetična sredina prejšnjega in naslednjega člena, tj. če je pogoj izpolnjen, potem je to zaporedje aritmetična progresija. Ta enakost je tudi znak progresije, zato jo navadno imenujemo značilna lastnost progresije.
Na enak način je resničen izrek, ki odraža to lastnost: zaporedje je aritmetična progresija le, če ta enakost velja za katerega koli člena zaporedja, začenši z 2.
Značilno lastnost poljubnih štirih števil aritmetične progresije lahko izrazimo s formulo an + am = ak + al, če je n + m = k + l (m, n, k so progresijska števila).
V aritmetični progresiji lahko vsak potreben (N-ti) člen najdemo z naslednjo formulo:
Na primer: prvi člen (a1) v aritmetični progresiji je podan in je enak tri, razlika (d) pa je enaka štiri. Najti morate petinštirideseti člen tega napredovanja. a45 = 1+4(45-1)=177
Formula an = ak + d(n - k) nam omogoča določitev n-ti izraz aritmetična progresija skozi kateri koli od njegovih k-tih členov, pod pogojem, da je znan.
Vsota členov aritmetične progresije (kar pomeni prvih n členov končne progresije) se izračuna na naslednji način:
Sn = (a1+an) n/2.
Če je znan tudi prvi člen, je za izračun primerna druga formula:
Sn = ((2a1+d(n-1))/2)*n.
Vsota aritmetične progresije, ki vsebuje n členov, se izračuna na naslednji način:
Izbira formul za izračun je odvisna od pogojev problemov in začetnih podatkov.
Naravna vrsta poljubnih števil, kot so 1,2,3,...,n,...- najpreprostejši primer aritmetična progresija.
Poleg aritmetične progresije obstaja tudi geometrijska progresija, ki ima svoje lastnosti in značilnosti.
Nekateri ljudje besedo "napredovanje" obravnavajo previdno, kot zelo kompleksen izraz iz vej višje matematike. Medtem je najenostavnejša aritmetična progresija delo taksimetra (kjer še obstajajo). In razumevanje bistva (in v matematiki ni nič pomembnejšega kot "razumevanje bistva") aritmetičnega zaporedja ni tako težko, če analiziramo nekaj elementarnih konceptov.
Matematično zaporedje števil
Številčno zaporedje običajno imenujemo niz števil, od katerih ima vsako svojo številko.
a 1 je prvi član zaporedja;
in 2 je drugi člen zaporedja;
in 7 je sedmi člen zaporedja;
in n je n-ti člen zaporedja;
Vendar nas ne zanima poljuben nabor številk in števil. Osredotočili se bomo na številsko zaporedje, v katerem je vrednost n-tega člena povezana z njegovim rednim številom z razmerjem, ki ga je mogoče jasno matematično formulirati. Z drugimi besedami: številska vrednost n-tega števila je neka funkcija od n.
a je vrednost člana številskega zaporedja;
n je njegova serijska številka;
f(n) je funkcija, kjer je zaporedna številka v številskem zaporedju n argument.
Opredelitev
Aritmetična progresija se običajno imenuje številčno zaporedje, v katerem je vsak naslednji člen večji (manjši) od prejšnjega za isto število. Formula za n-ti člen aritmetičnega zaporedja je naslednja:
a n - vrednost trenutnega člana aritmetične progresije;
a n+1 - formula naslednjega števila;
d - razlika (določeno število).
Enostavno je ugotoviti, da če je razlika pozitivna (d>0), bo vsak naslednji član obravnavane serije večji od prejšnjega in taka aritmetična progresija bo naraščala.
V spodnjem grafu je enostavno videti, zakaj številčno zaporedje imenovano "povečanje".
V primerih, ko je razlika negativna (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.
Podana vrednost člana
Včasih je treba določiti vrednost katerega koli poljubnega člena a n aritmetične progresije. To lahko storite tako, da zaporedno izračunate vrednosti vseh članov aritmetičnega napredovanja, začenši od prvega do želenega. Vendar ta pot ni vedno sprejemljiva, če je na primer treba najti vrednost pettisočinke ali osemmilijontine. Tradicionalni izračuni bodo vzeli veliko časa. Vendar pa je mogoče določeno aritmetično progresijo preučiti z uporabo določenih formul. Obstaja tudi formula za n-ti člen: vrednost katerega koli člena aritmetičnega napredovanja je mogoče določiti kot vsoto prvega člena napredovanja z razliko napredovanja, pomnoženo s številom želenega člena, zmanjšano za eno.
Formula je univerzalna za povečanje in zmanjšanje napredovanja.
Primer izračuna vrednosti danega izraza
Rešimo naslednji problem iskanja vrednosti n-tega člena aritmetične progresije.
Pogoj: obstaja aritmetična progresija s parametri:
Prvi člen zaporedja je 3;
Razlika v številski seriji je 1,2.
Naloga: poiskati morate vrednost 214 izrazov
Rešitev: za določitev vrednosti danega izraza uporabimo formulo:
a(n) = a1 + d(n-1)
Če podatke iz izjave o problemu nadomestimo v izraz, imamo:
a(214) = a1 + d(n-1)
a(214) = 3 + 1,2 (214-1) = 258,6
Odgovor: 214. člen zaporedja je enak 258,6.
Prednosti tega načina izračuna so očitne - celotna rešitev ne zavzame več kot 2 vrstici.
Vsota danega števila izrazov
Zelo pogosto je treba v danem aritmetičnem nizu določiti vsoto vrednosti nekaterih njegovih segmentov. Za to tudi ni treba izračunati vrednosti vsakega izraza in jih nato sešteti. Ta metoda je uporabna, če je število členov, katerih vsoto je treba najti, majhno. V drugih primerih je bolj priročno uporabiti naslednjo formulo.
Vsota členov aritmetičnega napredovanja od 1 do n je enaka vsoti prvega in n-tega člena, pomnožena s številom člena n in deljena z dva. Če v formuli vrednost n-tega člena nadomestimo z izrazom iz prejšnjega odstavka člena, dobimo:
Primer izračuna
Na primer, rešimo problem z naslednjimi pogoji:
Prvi člen zaporedja je nič;
Razlika je 0,5.
Problem zahteva določitev vsote členov serije od 56 do 101.
rešitev. Za določitev stopnje napredovanja uporabimo formulo:
s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2
Najprej določimo vsoto vrednosti 101 členov napredovanja tako, da dane pogoje našega problema nadomestimo v formulo:
s 101 = (2∙0 + 0,5∙(101-1))∙101/2 = 2,525
Očitno je treba, da bi ugotovili vsoto členov napredovanja od 56. do 101., od S 101 odšteti S 55.
s 55 = (2∙0 + 0,5∙(55-1))∙55/2 = 742,5
Tako je vsota aritmetične progresije za ta primer:
s 101 - s 55 = 2.525 - 742,5 = 1.782,5
Primer praktične uporabe aritmetične progresije
Na koncu članka se vrnimo k primeru aritmetičnega zaporedja, podanemu v prvem odstavku – taksimeter (števec taksi avtomobilov). Poglejmo ta primer.
Vkrcanje na taksi (ki vključuje 3 km vožnje) stane 50 rubljev. Vsak naslednji kilometer se plača po stopnji 22 rubljev/km. Dolžina potovanja je 30 km. Izračunajte stroške potovanja.
1. Zavrzimo prve 3 km, katerih cena je vključena v ceno pristanka.
30 - 3 = 27 km.
2. Nadaljnji izračun ni nič drugega kot razčlenjevanje niza aritmetičnega števila.
Članska številka - število prevoženih kilometrov (minus prvi trije).
Vrednost člana je vsota.
Prvi izraz v tej nalogi bo enak a 1 = 50 rubljev.
Razlika napredovanja d = 22 r.
število, ki nas zanima, je vrednost (27+1)-tega člena aritmetične progresije - stanje števca na koncu 27. kilometra je 27,999... = 28 km.
a 28 = 50 + 22 ∙ (28 - 1) = 644
Izračuni koledarskih podatkov za poljubno dolgo obdobje temeljijo na formulah, ki opisujejo določena številska zaporedja. V astronomiji je dolžina orbite geometrično odvisna od oddaljenosti nebesnega telesa od zvezde. Poleg tega se različne številske serije uspešno uporabljajo v statistiki in drugih uporabnih področjih matematike.
Druga vrsta številskega zaporedja je geometrijsko
Za geometrijsko progresijo so značilne večje stopnje sprememb v primerjavi z aritmetično progresijo. Ni naključje, da v politiki, sociologiji in medicini, da bi prikazali visoko hitrost širjenja določenega pojava, na primer bolezni med epidemijo, pravijo, da se proces razvija v geometrijski progresiji.
N-ti člen niza geometrijskih števil se od prejšnjega razlikuje po tem, da je pomnožen z neko konstantno številko - imenovalec, na primer, prvi člen je 1, imenovalec je ustrezno enak 2, potem:
n=1: 1 ∙ 2 = 2
n=2: 2 ∙ 2 = 4
n=3: 4 ∙ 2 = 8
n=4: 8 ∙ 2 = 16
n=5: 16 ∙ 2 = 32,
b n - vrednost trenutnega člena geometrijske progresije;
b n+1 - formula naslednjega člena geometrijske progresije;
q je imenovalec geometrijske progresije (konstantno število).
Če je graf aritmetične progresije ravna črta, potem geometrijska progresija slika nekoliko drugačno sliko:
Kot v primeru aritmetike ima geometrijska progresija formulo za vrednost poljubnega člena. Vsak n-ti člen geometrijske progresije je enak zmnožku prvega člena in imenovalca progresije na potenco n, zmanjšanega za ena:
Primer. Imamo geometrijsko progresijo s prvim členom, ki je enak 3, in imenovalec progresije, ki je enak 1,5. Poiščimo 5. člen napredovanja
b 5 = b 1 ∙ q (5-1) = 3 ∙ 1,5 4 = 15,1875
S posebno formulo se izračuna tudi vsota danega števila členov. Vsota prvih n členov geometrijske progresije je enaka razliki med produktom n-tega člena progresije in njegovim imenovalcem ter prvim členom progresije, deljeni z imenovalcem, zmanjšanim za ena:
Če b n nadomestimo z zgoraj obravnavano formulo, bo vrednost vsote prvih n členov obravnavanega številskega niza v obliki:
Primer. Geometrična progresija se začne s prvim členom, ki je enak 1. Imenovalec je nastavljen na 3. Poiščemo vsoto prvih osmih členov.
s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280
Pozor!
Obstajajo dodatni
materiali v posebnem oddelku 555.
Za tiste, ki so zelo "ne zelo ..."
In za tiste, ki "zelo ...")
Aritmetična progresija je niz števil, v katerem je vsako število večje (ali manjše) od prejšnjega za enako količino.
Ta tema se pogosto zdi zapletena in nerazumljiva. Indeksi črk, n-ti člen napredovanja, razlika napredovanja - vse to je nekako zmedeno, ja ... Ugotovimo pomen aritmetičnega napredovanja in vse bo takoj bolje.)
Koncept aritmetične progresije.
Aritmetična progresija je zelo preprost in jasen koncept. Imate kakšne dvome? Zaman.) Prepričajte se sami.
Napisal bom nedokončano vrsto številk:
1, 2, 3, 4, 5, ...
Lahko podaljšate to serijo? Katere številke bodo naslednje, za petico? Vsi... uf..., skratka vsi bodo spoznali, da bodo na vrsto prišle številke 6, 7, 8, 9 itd.
Zakomplicirajmo nalogo. Dajem vam nedokončano serijo številk:
2, 5, 8, 11, 14, ...
Lahko boste ujeli vzorec, razširili serijo in poimenovali sedmičštevilo serij?
Če ste ugotovili, da je ta številka 20, čestitamo! Ne samo, da ste čutili ključne točke aritmetične progresije, pa tudi uspešno uporabili v poslu! Če še niste ugotovili, berite dalje.
Zdaj pa prevedimo ključne točke iz občutkov v matematiko.)
Prva ključna točka.
Aritmetična progresija obravnava serije števil. To je na začetku zmedeno. Navajeni smo reševati enačbe, risati grafe in vse to ... Tukaj pa vrsto razširimo, poiščemo številko serije ...
V redu je. Samo napredovanje je prvo spoznavanje nove veje matematike. Razdelek se imenuje "Serije" in deluje posebej z nizi števil in izrazov. Navadi se.)
Druga ključna točka.
V aritmetični progresiji je katero koli število drugačno od prejšnjega za enak znesek.
V prvem primeru je ta razlika ena. Katero koli številko vzamete, je ena večja od prejšnje. V drugem - tri. Vsako število je tri večje od prejšnjega. Pravzaprav nam ta trenutek daje priložnost, da dojamemo vzorec in izračunamo naslednje številke.
Tretja ključna točka.
Ta trenutek ni vpadljiv, ja ... Je pa zelo, zelo pomemben. Tukaj je: Vsaka številka napredovanja je na svojem mestu. Obstaja prva številka, obstaja sedma, obstaja petinštirideseta itd. Če jih naključno pomešate, bo vzorec izginil. Izginila bo tudi aritmetična progresija. Kar ostane, je le niz številk.
To je bistvo.
Seveda se novi izrazi in poimenovanja pojavijo v novi temi. Morate jih poznati. V nasprotnem primeru naloge ne boste razumeli. Na primer, odločiti se boste morali nekaj takega:
Zapišite prvih šest členov aritmetične progresije (a n), če je a 2 = 5, d = -2,5.
Navdihujoče?) Črke, nekaj kazal ... In naloga, mimogrede, ne bi mogla biti preprostejša. Samo razumeti morate pomen izrazov in oznak. Zdaj bomo to zadevo obvladali in se vrnili k nalogi.
Izrazi in poimenovanja.
Aritmetična progresija je niz števil, v katerem je vsako število drugačno od prejšnjega za enak znesek.
Ta količina se imenuje . Oglejmo si ta koncept podrobneje.
Razlika aritmetične progresije.
Razlika aritmetične progresije je znesek, za katerega katero koli število napredovanja več prejšnji.
Ena pomembna točka. Prosimo, bodite pozorni na besedo "več". Matematično to pomeni, da je vsako število napredovanja z dodajanjem razlika aritmetične progresije glede na prejšnje število.
Za izračun, recimo drugoštevilke serije, morate prvištevilo dodati prav ta razlika aritmetične progresije. Za izračun peti- razlika je nujna dodati Za četrtič, dobro itd.
Razlika aritmetične progresije Mogoče pozitivno, potem se bo vsako število v nizu izkazalo za resnično več kot prejšnji. To napredovanje se imenuje povečevanje. Na primer:
8; 13; 18; 23; 28; .....
Tukaj se dobi vsaka številka z dodajanjem pozitivno število, +5 k prejšnjemu.
Razlika je lahko negativno, potem bo vsaka številka v seriji manj kot prejšnji. To napredovanje se imenuje (ne boste verjeli!) zmanjševanje.
Na primer:
8; 3; -2; -7; -12; .....
Tukaj se tudi dobi vsaka številka z dodajanjem prejšnjemu, vendar že negativno število, -5.
Mimogrede, pri delu z napredovanjem je zelo koristno takoj določiti njegovo naravo - ali se povečuje ali zmanjšuje. To zelo pomaga pri navigaciji pri odločitvi, opazite svoje napake in jih popravite, preden bo prepozno.
Razlika aritmetične progresije običajno označen s črko d.
Kako najti d? Zelo preprosto. Od katere koli številke v nizu je treba odšteti prejšnjištevilo. Odštej. Mimogrede, rezultat odštevanja se imenuje "razlika".)
Določimo npr. d za povečanje aritmetične progresije:
2, 5, 8, 11, 14, ...
V nizu vzamemo poljubno število, ki ga želimo, na primer 11. Od tega odštejemo prejšnja številka tiste. 8:
To je pravilen odgovor. Za to aritmetično napredovanje je razlika tri.
Lahko ga vzameš katero koli število napredovanja, Ker za določeno napredovanje d-vedno isto. Vsaj nekje na začetku vrste, vsaj v sredini, vsaj kjerkoli. Ne morete vzeti samo prve številke. Preprosto zato, ker je prva številka nobena prejšnja.)
Mimogrede, vem, da d=3, je iskanje sedme številke tega napredovanja zelo preprosto. Petemu številu dodamo 3 – dobimo šesto, to bo 17. Šesti številki dodamo tri, dobimo sedmo številko – dvajset.
Določimo d za padajočo aritmetično progresijo:
8; 3; -2; -7; -12; .....
Opozarjam vas, da ne glede na znake določite d potrebujete s katere koli številke odvzeti prejšnjega. Izberite poljubno število napredovanja, na primer -7. Njegovo prejšnje število je -2. Nato:
d = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5
Razlika aritmetične progresije je lahko poljubno število: celo število, ulomek, iracionalno, poljubno število.
Drugi izrazi in poimenovanja.
Vsaka številka v nizu je poklicana člen aritmetične progresije.
Vsak član napredovanja ima svojo številko.Številke so strogo urejene, brez trikov. Prvi, drugi, tretji, četrti itd. Na primer, v napredovanju 2, 5, 8, 11, 14, ... dva je prvi člen, pet je drugi, enajst je četrti, no, razumete ...) Prosim, jasno razumejte - same številke je lahko absolutno karkoli, celota, ulomek, negativ, karkoli, ampak številčenje številk- strogo v redu!
Kako napisati napredovanje v splošni obliki? Brez problema! Vsaka številka v seriji je zapisana kot črka. Za označevanje aritmetične progresije se običajno uporablja črka a. Številka člana je označena z indeksom desno spodaj. Pojme pišemo ločene z vejicami (ali podpičji), takole:
a 1, a 2, a 3, a 4, a 5, .....
a 1- to je prva številka, a 3- tretji itd. Nič posebnega. To serijo lahko na kratko zapišemo takole: (a n).
Napredovanja se dogajajo končno in neskončno.
Ultimativno napredovanje ima omejeno število članov. Pet, osemintrideset, karkoli. Ampak to je končno število.
Neskončno napredovanje - ima neskončno število članov, kot morda ugibate.)
Končno napredovanje skozi serijo lahko zapišete takole, vse izraze in piko na koncu:
a 1, a 2, a 3, a 4, a 5.
Ali takole, če je članov veliko:
a 1, a 2, ... a 14, a 15.
V kratkem vnosu boste morali dodatno navesti število članov. Na primer (za dvajset članov), takole:
(a n), n = 20
Neskončno napredovanje je mogoče prepoznati po elipsi na koncu vrstice, kot v primerih v tej lekciji.
Zdaj lahko rešite naloge. Naloge so preproste, zgolj za razumevanje pomena aritmetičnega napredovanja.
Primeri nalog o aritmetičnem napredovanju.
Oglejmo si podrobneje zgoraj navedeno nalogo:
1. Izpišite prvih šest členov aritmetične progresije (a n), če je a 2 = 5, d = -2,5.
Nalogo prevedemo v razumljiv jezik. Podana je neskončna aritmetična progresija. Druga številka tega napredovanja je znana: a 2 = 5. Razlika v napredovanju je znana: d = -2,5. Najti moramo prvi, tretji, četrti, peti in šesti člen tega napredovanja.
Zaradi jasnosti bom zapisal vrsto glede na pogoje problema. Prvih šest členov, kjer je drugi člen pet:
1, 5, 3, 4, 5, 6, ....
a 3 = a 2 + d
Zamenjaj v izraz a 2 = 5 in d = -2,5. Ne pozabite na minus!
a 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5
Tretji člen se je izkazal za manjšega od drugega. Vse je logično. Če je število večje od prejšnjega negativno vrednost, kar pomeni, da bo samo število manjše od prejšnjega. Napredovanje se zmanjšuje. V redu, upoštevajmo to.) Štejemo četrti člen naše serije:
a 4 = a 3 + d
a 4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0
a 5 = a 4 + d
a 5=0+(-2,5)= - 2,5
a 6 = a 5 + d
a 6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5
Torej so bili izračunani izrazi od tretjega do šestega. Rezultat je naslednja serija:
a 1, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ....
Še vedno je treba najti prvi izraz a 1 po znanem drugem. To je korak v drugo smer, v levo.) Torej razlika aritmetične progresije d ne bi smeli dodati a 2, A odnesi:
a 1 = a 2 - d
a 1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5
To je vse. Odgovor na nalogo:
7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...
Mimogrede bi rad opozoril, da smo to nalogo rešili ponavljajoče se način. Ta strašna beseda pomeni samo iskanje člana napredovanja glede na prejšnjo (sosednjo) številko. Spodaj si bomo ogledali druge načine dela z napredovanjem.
Iz te preproste naloge lahko potegnemo pomemben sklep.
Ne pozabite:
Če poznamo vsaj en člen in razliko aritmetične progresije, lahko najdemo katerikoli člen te progresije.
Ali se spomniš? Ta preprost zaključek vam omogoča, da rešite večino težav šolskega tečaja na to temo. Vse naloge se vrtijo okoli treh glavnih parametrov: člen aritmetične progresije, razlika progresije, število člena progresije. Vse.
Seveda vsa prejšnja algebra ni preklicana.) Neenakosti, enačbe in druge stvari so povezane z napredovanjem. Ampak glede na samo napredovanje- vse se vrti okoli treh parametrov.
Kot primer si poglejmo nekaj priljubljenih nalog na to temo.
2. Končno aritmetično progresijo zapišite kot niz, če je n=5, d = 0,4 in a 1 = 3,6.
Tukaj je vse preprosto. Vse je že dano. Zapomniti si morate, kako se štejejo člani aritmetičnega napredovanja, jih prešteti in zapisati. Priporočljivo je, da v pogojih nalog ne zamudite besed: "končno" in " n=5". Da ne šteješ, dokler ne boš popolnoma moder.) V tem napredovanju je samo 5 (pet) članov:
a 2 = a 1 + d = 3,6 + 0,4 = 4
a 3 = a 2 + d = 4 + 0,4 = 4,4
a 4 = a 3 + d = 4,4 + 0,4 = 4,8
a 5 = a 4 + d = 4,8 + 0,4 = 5,2
Ostaja še zapisati odgovor:
3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.
Druga naloga:
3. Ugotovite, ali bo število 7 član aritmetične progresije (a n), če a 1 = 4,1; d = 1,2.
Hmm ... Kdo ve? Kako nekaj določiti?
Kako-kako ... Zapiši napredovanje v obliki serije in poglej, ali bo tam sedmica ali ne! Štejemo:
a 2 = a 1 + d = 4,1 + 1,2 = 5,3
a 3 = a 2 + d = 5,3 + 1,2 = 6,5
a 4 = a 3 + d = 6,5 + 1,2 = 7,7
4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...
Zdaj je jasno razvidno, da nas je šele sedem zdrsnil skozi med 6,5 in 7,7! Sedem ni sodilo v naš niz števil in zato sedem ne bo član danega napredovanja.
Odgovor: ne.
In tukaj je problem, ki temelji na resnični različici GIA:
4. Izpisanih je več zaporednih členov aritmetičnega napredovanja:
...; 15; X; 9; 6; ...
Tukaj je serija, napisana brez konca in začetka. Brez številk članov, brez razlike d. V redu je. Za rešitev problema je dovolj, da razumemo pomen aritmetičnega napredovanja. Poglejmo in poglejmo, kaj je mogoče vedeti iz te serije? Kateri so trije glavni parametri?
Članske številke? Tukaj ni niti ene številke.
Ampak tam so tri številke in - pozor! - beseda "dosleden" v stanju. To pomeni, da so številke strogo urejene, brez vrzeli. Ali sta v tej vrsti dva? sosednji znane številke? Ja, jaz imam! To sta 9 in 6. Torej lahko izračunamo razliko aritmetične progresije! Odštej od šest prejšnjištevilo, tj. devet:
Ostale so le malenkosti. Katero število bo prejšnje za X? Petnajst. To pomeni, da lahko X zlahka najdemo s preprostim seštevanjem. Razliko aritmetične progresije dodajte 15:
To je vse. odgovor: x=12
Naslednje probleme rešujemo sami. Opomba: te težave ne temeljijo na formulah. Čisto zato, da razumemo pomen aritmetičnega napredovanja.) Samo zapišemo niz številk in črk, pogledamo in ugotovimo.
5. Poiščite prvi pozitivni člen aritmetične progresije, če je a 5 = -3; d = 1,1.
6. Znano je, da je število 5,5 člen aritmetične progresije (a n), kjer je a 1 = 1,6; d = 1,3. Določite število n tega člena.
7. Znano je, da je v aritmetični progresiji a 2 = 4; a 5 = 15,1. Poiščite 3.
8. Izpisanih je več zaporednih členov aritmetičnega napredovanja:
...; 15,6; X; 3,4; ...
Poiščite člen napredovanja, označen s črko x.
9. Vlak se je začel premikati s postaje in enakomerno povečeval hitrost za 30 metrov na minuto. Kolikšna bo hitrost vlaka čez pet minut? Odgovorite v km/h.
10. Znano je, da je v aritmetični progresiji a 2 = 5; a 6 = -5. Poiščite 1.
Odgovori (v razsulu): 7,7; 7,5; 9,5; 9; 0,3; 4.
Je vse uspelo? Neverjetno! V naslednjih lekcijah lahko obvladate aritmetično napredovanje na višji ravni.
Se ni vse izšlo? Brez težav. V posebnem oddelku 555 so vse te težave razvrščene po delih.) In seveda je opisana preprosta praktična tehnika, ki takoj osvetli rešitev takšnih nalog jasno, jasno, na prvi pogled!
Mimogrede, v uganki vlaka sta dve težavi, ob kateri se ljudje pogosto spotaknejo. Ena je zgolj v smislu napredovanja, druga pa je splošna za morebitne probleme v matematiki in tudi fiziki. To je prevod dimenzij iz ene v drugo. Prikazuje, kako je treba te probleme reševati.
V tej lekciji smo si ogledali osnovni pomen aritmetične progresije in njene glavne parametre. To je dovolj za rešitev skoraj vseh težav na to temo. Dodaj d k številkam, napiši vrsto, vse se bo rešilo.
Rešitev s prsti dobro deluje za zelo kratke dele vrste, kot v primerih v tej vadnici. Če je serija daljša, postanejo izračuni bolj zapleteni. Na primer, če v nalogi 9 v vprašanju zamenjamo "pet minut" na "petintrideset minut" težava se bo znatno poslabšala.)
In obstajajo tudi naloge, ki so v bistvu preproste, vendar absurdne v smislu izračunov, na primer:
Podana je aritmetična progresija (a n). Poiščite 121, če je a 1 =3 in d=1/6.
Pa kaj, ali bomo dodajali 1/6 veliko, velikokrat?! Se lahko ubiješ!?
Lahko.) Če ne poznate preproste formule, s katero lahko takšne naloge rešite v minuti. Ta formula bo v naslednji lekciji. In ta problem je tam rešen. Čez minuto.)
Če vam je všeč ta stran ...
Mimogrede, za vas imam še nekaj zanimivih spletnih mest.)
Lahko vadite reševanje primerov in ugotovite svojo raven. Testiranje s takojšnjim preverjanjem. Učimo se - z zanimanjem!)
Lahko se seznanite s funkcijami in izpeljankami.
Pri učenju algebre v srednji šoli (9. razred) je ena od pomembnih tem študij številskih zaporedij, ki vključujejo progresije - geometrijske in aritmetične. V tem članku si bomo ogledali aritmetično progresijo in primere z rešitvami.
Kaj je aritmetična progresija?
Da bi to razumeli, je treba definirati zadevno napredovanje in podati osnovne formule, ki se bodo kasneje uporabljale pri reševanju problemov.
Aritmetika ali je niz urejenih racionalnih števil, katerih vsak člen se od prejšnjega razlikuje za neko konstantno vrednost. Ta vrednost se imenuje razlika. To pomeni, da poznate katerega koli člana urejenega niza števil in razlike, lahko obnovite celotno aritmetično napredovanje.
Dajmo primer. Naslednje zaporedje števil bo aritmetična progresija: 4, 8, 12, 16, ..., saj je razlika v tem primeru 4 (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12). Toda nabora števil 3, 5, 8, 12, 17 ni več mogoče pripisati obravnavani vrsti napredovanja, saj razlika zanj ni konstantna vrednost (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17 - 12).
Pomembne formule
Predstavimo zdaj osnovne formule, ki bodo potrebne za reševanje problemov z uporabo aritmetičnega napredovanja. S simbolom a n označimo n-ti člen zaporedja, kjer je n celo število. Razliko označujemo z latinsko črko d. Potem veljajo naslednji izrazi:
- Za določitev vrednosti n-tega člena je primerna naslednja formula: a n = (n-1)*d+a 1 .
- Za določitev vsote prvih n členov: S n = (a n +a 1)*n/2.
Za razumevanje vseh primerov aritmetičnega napredovanja z rešitvami v 9. razredu je dovolj, da se spomnimo teh dveh formul, saj vse težave obravnavane vrste temeljijo na njihovi uporabi. Ne pozabite tudi, da je razlika napredovanja določena s formulo: d = a n - a n-1.
Primer #1: iskanje neznanega člana
Dajmo preprost primer aritmetične progresije in formule, ki jih je treba uporabiti za njeno rešitev.
Naj je podano zaporedje 10, 8, 6, 4, ..., v njem morate najti pet členov.
Že iz pogojev naloge sledi, da so prvi 4 členi znani. Peto lahko definiramo na dva načina:
- Najprej izračunajmo razliko. Imamo: d = 8 - 10 = -2. Podobno lahko vzamete katera koli druga člana, ki stojita drug poleg drugega. Na primer, d = 4 - 6 = -2. Ker je znano, da je d = a n - a n-1, potem je d = a 5 - a 4, iz česar dobimo: a 5 = a 4 + d. Nadomestimo znane vrednosti: a 5 = 4 + (-2) = 2.
- Druga metoda prav tako zahteva poznavanje razlike zadevnega napredovanja, zato jo morate najprej določiti, kot je prikazano zgoraj (d = -2). Ker vemo, da je prvi člen a 1 = 10, uporabimo formulo za število n zaporedja. Imamo: a n = (n - 1) * d + a 1 = (n - 1) * (-2) + 10 = 12 - 2*n. Če nadomestimo n = 5 v zadnji izraz, dobimo: a 5 = 12-2 * 5 = 2.
Kot lahko vidite, sta obe rešitvi privedli do enakega rezultata. Upoštevajte, da je v tem primeru progresijska razlika d negativna vrednost. Takšna zaporedja imenujemo padajoče, saj je vsak naslednji člen manjši od prejšnjega.
Primer #2: razlika v napredovanju
Zdaj pa malo zapletimo problem, dajmo primer, kako najti razliko aritmetičnega napredovanja.
Znano je, da je v neki algebrski progresiji 1. člen enak 6, 7. člen pa 18. Treba je najti razliko in to zaporedje obnoviti na 7. člen.
Za določitev neznanega člena uporabimo formulo: a n = (n - 1) * d + a 1 . Vanj nadomestimo znane podatke iz pogoja, torej števili a 1 in a 7, imamo: 18 = 6 + 6 * d. Iz tega izraza lahko preprosto izračunate razliko: d = (18 - 6) /6 = 2. Tako smo odgovorili na prvi del naloge.
Če želite obnoviti zaporedje na 7. člen, morate uporabiti definicijo algebraične progresije, to je a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d itd. Posledično obnovimo celotno zaporedje: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2=8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14. , a 6 = 14 + 2 = 16, a 7 = 18.
Primer št. 3: sestavljanje progresije
Zapletimo problem še bolj. Zdaj moramo odgovoriti na vprašanje, kako najti aritmetično progresijo. Navedemo lahko naslednji primer: podani sta dve števili, na primer - 4 in 5. Potrebno je ustvariti algebraično napredovanje, tako da so med njimi še trije členi.
Preden začnete reševati to težavo, morate razumeti, kakšno mesto bodo dane številke zasedle v prihodnjem napredovanju. Ker bodo med njimi še trije členi, potem je a 1 = -4 in a 5 = 5. Ko to ugotovimo, preidemo na problem, ki je podoben prejšnjemu. Spet za n-ti člen uporabimo formulo, dobimo: a 5 = a 1 + 4 * d. Iz: d = (a 5 - a 1)/4 = (5 - (-4)) / 4 = 2,25. To, kar imamo tukaj, ni celoštevilska vrednost razlike, ampak je racionalno število, zato formule za algebraično napredovanje ostajajo enake.
Sedaj pa prištejmo najdeno razliko k 1 in obnovimo manjkajoče člene napredovanja. Dobimo: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a 5 = 2,75 + 2,25 = 5, kar je sovpadalo s pogoji problema.
Primer št. 4: prvi člen napredovanja
Nadaljujmo s primeri aritmetičnega napredovanja z rešitvami. V vseh prejšnjih nalogah je bilo prvo število algebraične progresije znano. Zdaj pa razmislimo o problemu drugačne vrste: naj sta podani dve števili, kjer je 15 = 50 in 43 = 37. Ugotoviti je treba, s katero številko se to zaporedje začne.
Do sedaj uporabljene formule predpostavljajo poznavanje a 1 in d. V izjavi o problemu ni nič znanega o teh številkah. Kljub temu bomo za vsak člen, o katerem so na voljo podatki, zapisali izraze: a 15 = a 1 + 14 * d in a 43 = a 1 + 42 * d. Dobili smo dve enačbi, v katerih sta 2 neznani količini (a 1 in d). To pomeni, da se problem zmanjša na reševanje sistema linearnih enačb.
Najlažji način za rešitev tega sistema je, da izrazite 1 v vsaki enačbi in nato primerjate dobljene izraze. Prva enačba: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; druga enačba: a 1 = a 43 - 42 * d = 37 - 42 * d. Z enačenjem teh izrazov dobimo: 50 - 14 * d = 37 - 42 * d, od koder razlika d = (37 - 50) / (42 - 14) = - 0,464 (navedena so samo 3 decimalna mesta).
Če poznate d, lahko uporabite katerega koli od zgornjih dveh izrazov za 1. Na primer, najprej: a 1 = 50 - 14 * d = 50 - 14 * (- 0,464) = 56,496.
Če dvomite o dobljenem rezultatu, ga lahko preverite, na primer določite 43. člen napredovanja, ki je določen v pogoju. Dobimo: a 43 = a 1 + 42 * d = 56,496 + 42 * (- 0,464) = 37,008. Majhna napaka je posledica dejstva, da je bilo pri izračunih uporabljeno zaokroževanje na tisočinke.
Primer št. 5: znesek
Zdaj pa si poglejmo več primerov z rešitvami za vsoto aritmetične progresije.
Naj bo podana številska progresija naslednje oblike: 1, 2, 3, 4, ...,. Kako izračunati vsoto 100 teh števil?
Zahvaljujoč razvoju računalniške tehnologije je mogoče rešiti to težavo, to je zaporedno seštevanje vseh številk, kar bo računalnik naredil takoj, ko oseba pritisne tipko Enter. Vendar pa je problem mogoče rešiti miselno, če ste pozorni, da je predstavljena serija števil algebraična progresija, njena razlika pa je enaka 1. Z uporabo formule za vsoto dobimo: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.
Zanimivo je, da se ta problem imenuje "Gaussov", ker ga je v začetku 18. stoletja slavni Nemec, star še komaj 10 let, lahko rešil v svoji glavi v nekaj sekundah. Deček ni poznal formule za vsoto algebrske progresije, je pa opazil, da če števila na koncih zaporedja sešteješ v parih, dobiš vedno enak rezultat, to je 1 + 100 = 2 + 99. = 3 + 98 = ..., in ker bodo te vsote natanko 50 (100 / 2), je za pravilen odgovor dovolj, da pomnožite 50 s 101.
Primer št. 6: vsota členov od n do m
Drug tipičen primer vsote aritmetičnega napredovanja je naslednji: glede na niz števil: 3, 7, 11, 15, ... morate ugotoviti, čemu bo enaka vsota njegovih členov od 8 do 14. .
Problem se rešuje na dva načina. Prvi od njih vključuje iskanje neznanih izrazov od 8 do 14 in njihovo zaporedno seštevanje. Ker je izrazov malo, ta metoda ni precej delovno intenzivna. Kljub temu je predlagano, da se ta problem reši z drugo metodo, ki je bolj univerzalna.
Ideja je dobiti formulo za vsoto algebraične progresije med členoma m in n, kjer so n > m cela števila. Za oba primera zapišemo dva izraza za vsoto:
- S m = m * (a m + a 1) / 2.
- S n = n * (a n + a 1) / 2.
Ker je n > m, je očitno, da 2. vsota vključuje prvo. Zadnji sklep pomeni, da če vzamemo razliko med temi vsotami in ji dodamo člen a m (v primeru jemanja razlike se ta odšteje od vsote S n), dobimo potreben odgovor na problem. Imamo: S mn = S n - S m + a m =n * (a 1 + a n) / 2 - m *(a 1 + a m)/2 + a m = a 1 * (n - m) / 2 + a n * n/2 + a m * (1- m/2). V ta izraz je treba nadomestiti formuli za n in a m. Nato dobimo: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2.
Dobljena formula je nekoliko okorna, vendar je vsota S mn odvisna samo od n, m, a 1 in d. V našem primeru je a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Če te številke zamenjamo, dobimo: S mn = 301.
Kot je razvidno iz zgornjih rešitev, vse naloge temeljijo na poznavanju izraza za n-ti člen in formule za vsoto množice prvih členov. Preden začnete reševati katero od teh težav, je priporočljivo, da natančno preberete pogoj, jasno razumete, kaj morate najti, in šele nato nadaljujete z rešitvijo.
Še en nasvet je, da si prizadevate za preprostost, to je, če lahko odgovorite na vprašanje brez uporabe zapletenih matematičnih izračunov, potem morate storiti prav to, saj je v tem primeru verjetnost napake manjša. Na primer, v primeru aritmetične progresije z rešitvijo št. 6 bi se lahko ustavili pri formuli S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m in celotno težavo razdelite na ločene podnaloge (V v tem primeru najprej poišči pojma a n in a m).
Če dvomite o dobljenem rezultatu, je priporočljivo, da ga preverite, kot je bilo storjeno v nekaterih navedenih primerih. Ugotovili smo, kako najti aritmetično progresijo. Če to ugotovite, ni tako težko.
Spletni kalkulator.
Reševanje aritmetične progresije.
Dano: a n , d, n
Najdi: a 1
Ta matematični program najde \(a_1\) aritmetičnega napredovanja na podlagi uporabniško določenih števil \(a_n, d\) in \(n\).
Števili \(a_n\) in \(d\) lahko podate ne le kot cela števila, ampak tudi kot ulomke. Poleg tega lahko delno število vnesete v obliki decimalnega ulomka (\(2,5\)) in v obliki navadni ulomek(\(-5\frac(2)(7)\)).
Program ne daje samo odgovora na problem, ampak tudi prikaže proces iskanja rešitve.
Ta spletni kalkulator je lahko koristen za srednješolce srednje šole v pripravah na testi in izpite, pri preverjanju znanja pred enotnim državnim izpitom, da starši nadzorujejo rešitev številnih problemov iz matematike in algebre. Ali pa vam je morda predrago najeti mentorja ali kupiti nove učbenike? Ali pa želite le opraviti čim hitreje? Domača naloga pri matematiki ali algebri? V tem primeru lahko uporabite tudi naše programe s podrobnimi rešitvami.
Tako lahko izvajate lastno usposabljanje in/ali svoje usposabljanje. mlajši bratje ali sester, medtem ko se stopnja izobrazbe na področju problemov, ki se rešujejo, povečuje.
Če niste seznanjeni s pravili vnosa številk, priporočamo, da se z njimi seznanite.
Pravila za vnos številk
Števili \(a_n\) in \(d\) lahko podate ne le kot cela števila, ampak tudi kot ulomke.
Število \(n\) je lahko samo pozitivno celo število.
Pravila za vnos decimalnih ulomkov.
Celi in ulomki v decimalnih ulomkih so lahko ločeni s piko ali vejico.
Na primer, lahko vnesete decimalke torej 2,5 ali tako 2,5
Pravila za vnos navadnih ulomkov.
Samo celo število lahko deluje kot števec, imenovalec in celo število ulomka.
Imenovalec ne more biti negativen.
Pri vnosu številskega ulomka je števec ločen od imenovalca z znakom za deljenje: /
Vnos:
Rezultat: \(-\frac(2)(3)\)
Celoten del je ločen od ulomka z znakom &: &
Vnos:
Rezultat: \(-1\frac(2)(3)\)
Ugotovljeno je bilo, da nekateri skripti, potrebni za rešitev te težave, niso bili naloženi in program morda ne bo deloval.
Morda imate omogočen AdBlock.
V tem primeru ga onemogočite in osvežite stran.
Da se rešitev prikaže, morate omogočiti JavaScript.
Tu so navodila, kako omogočiti JavaScript v brskalniku.
Ker Veliko ljudi je pripravljenih rešiti problem, vaša zahteva je v čakalni vrsti.
Čez nekaj sekund se spodaj prikaže rešitev.
Prosim počakaj sek...
Če ti opazil napako v rešitvi, potem lahko o tem pišete v obrazcu za povratne informacije.
Ne pozabi navedite, katero nalogo ti se odloči kaj vnesite v polja.
Naše igre, uganke, emulatorji:
Malo teorije.
Zaporedje številk
Številčenje se pogosto uporablja v vsakdanji praksi razne predmete da označite vrstni red, v katerem se pojavljajo. Na primer, hiše na vsaki ulici so oštevilčene. V knjižnici so naročnine bralcev oštevilčene in nato razvrščene po vrstnem redu dodeljenih številk v posebne kartoteke.
V hranilnici lahko po številki osebnega računa vlagatelja enostavno poiščete ta račun in vidite, kakšen depozit je na njem. Naj račun št. 1 vsebuje depozit a1 rubljev, račun št. 2 vsebuje depozit a2 rubljev itd. Izkazalo se je številčno zaporedje
a 1, a 2, a 3, ..., a N
kjer je N število vseh računov. Tu je vsako naravno število n od 1 do N povezano s številom a n.
Študiral tudi matematiko neskončna številska zaporedja:
a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n , ... .
Število a 1 se imenuje prvi člen zaporedja, številka a 2 - drugi člen zaporedja, številka a 3 - tretji člen zaporedja itd.
Število a n imenujemo n-ti (n-ti) člen zaporedja, naravno število n pa je njeno število.
Na primer v zaporedju kvadratov naravna števila 1, 4, 9, 16, 25, ..., n 2, (n + 1) 2, ... in 1 = 1 je prvi člen zaporedja; in n = n 2 je n-ti izraz zaporedja; a n+1 = (n + 1) 2 je (n + 1)-ti (n plus prvi) člen zaporedja. Pogosto je zaporedje mogoče določiti s formulo njegovega n-tega člena. Na primer, formula \(a_n=\frac(1)(n), \; n \in \mathbb(N) \) definira zaporedje \(1, \; \frac(1)(2) , \; \frac(1)(3) , \frac(1)(4) , \dots,\frac(1)(n) , \dots \)
Aritmetična progresija
Dolžina leta je približno 365 dni. več točna vrednost je enako \(365\frac(1)(4)\) dni, tako da se vsaka štiri leta kopiči napaka za en dan.
Za upoštevanje te napake se vsakemu četrtemu letu doda dan, podaljšano leto pa imenujemo prestopno leto.
Na primer v tretjem tisočletju prestopna leta so letnice 2004, 2008, 2012, 2016, ... .
V tem zaporedju je vsak člen, začenši z drugim, enak prejšnjemu, dodanemu istemu številu 4. Takšna zaporedja imenujemo aritmetične progresije.
Opredelitev.
Številsko zaporedje a 1, a 2, a 3, ..., a n, ... se imenuje aritmetična progresija, če za vse naravne n velja enakost
\(a_(n+1) = a_n+d, \)
kjer je d neko število.
Iz te formule sledi, da je a n+1 - a n = d. Število d imenujemo razlika aritmetična progresija.
Po definiciji aritmetične progresije imamo:
\(a_(n+1)=a_n+d, \quad a_(n-1)=a_n-d, \)
kje
\(a_n= \frac(a_(n-1) +a_(n+1))(2) \), kjer \(n>1 \)
Tako je vsak člen aritmetične progresije, začenši z drugim, enak aritmetični sredini svojih dveh sosednjih členov. To pojasnjuje ime "aritmetična" progresija.
Upoštevajte, da če sta podana a 1 in d, je mogoče preostale člene aritmetične progresije izračunati z uporabo ponavljajoče se formule a n+1 = a n + d. Na ta način ni težko izračunati prvih nekaj členov napredovanja, vendar bo na primer 100 že zahtevalo veliko izračunov. Običajno se za to uporablja formula n-tega člena. Po definiciji aritmetične progresije
\(a_2=a_1+d, \)
\(a_3=a_2+d=a_1+2d, \)
\(a_4=a_3+d=a_1+3d \)
itd.
Nasploh,
\(a_n=a_1+(n-1)d, \)
ker n-ti člen aritmetičnega napredovanja dobimo iz prvega člena s seštevanjem (n-1)-krat števila d.
Ta formula se imenuje formula za n-ti člen aritmetičnega napredovanja.
Vsota prvih n členov aritmetične progresije
Poišči vsoto vseh naravnih števil od 1 do 100.
Zapišimo ta znesek na dva načina:
S = l + 2 + 3 + ... + 99 + 100,
S = 100 + 99 + 98 + ... + 2 + 1.
Dodajmo te enakosti člen za členom:
2S = 101 + 101 + 101 + ... + 101 + 101.
Ta vsota ima 100 členov
Zato je 2S = 101 * 100, zato je S = 101 * 50 = 5050.
Oglejmo si zdaj poljubno aritmetično progresijo
a 1, a 2, a 3, ..., a n, ...
Naj bo S n vsota prvih n členov tega napredovanja:
S n = a 1, a 2, a 3, ..., a n
Potem vsota prvih n členov aritmetične progresije je enaka
\(S_n = n \cdot \frac(a_1+a_n)(2) \)
Ker \(a_n=a_1+(n-1)d\), potem z zamenjavo n v tej formuli dobimo drugo formulo za iskanje vsota prvih n členov aritmetične progresije:
\(S_n = n \cdot \frac(2a_1+(n-1)d)(2) \)
