Kot med ravnima črtama, podana s kanoničnimi enačbami. Iskanje kota med ravnimi črtami

Oh-oh-oh-oh-oh ... no, težko je, kot da bi sam sebi bral stavek =) Bo pa kasneje pomagala sprostitev, sploh ker sem danes kupila ustrezne dodatke. Zato pojdimo na prvi del, upam, da bom do konca članka ohranil veselo razpoloženje.

Relativni položaj dveh ravnih črt

To je v primeru, ko občinstvo zapoje v zboru. Dve ravni črti lahko:

1) ujemanje;

2) biti vzporedna: ;

3) ali sekajo v eni točki: .

Pomoč za telebane : Zapomnite si matematični znak križišča, pojavljal se bo zelo pogosto. Zapis pomeni, da se premica seka s premico v točki .

Kako določiti relativni položaj dveh črt?

Začnimo s prvim primerom:

Dve premici sovpadata, če in samo če sta njuna ustrezna koeficienta sorazmerna, to pomeni, da obstaja število "lambda", tako da so enakosti izpolnjene

Oglejmo si premice in iz ustreznih koeficientov sestavimo tri enačbe: . Iz vsake enačbe sledi, da torej te premice sovpadajo.

Dejansko, če so vsi koeficienti enačbe pomnožite z –1 (spremenite predznake) in vse koeficiente enačbe zmanjšano za 2, dobite isto enačbo: .

Drugi primer, ko sta črti vzporedni:

Dve premici sta vzporedni, če in samo če sta njuna koeficienta spremenljivk sorazmerna: , Ampak.

Kot primer razmislite o dveh ravnih črtah. Preverimo sorazmernost ustreznih koeficientov za spremenljivke:

Vendar pa je povsem očitno, da.

In tretji primer, ko se črte sekajo:

Dve premici se sekata, če in samo če njuni koeficienti spremenljivk NISO sorazmerni, to pomeni, da NI take vrednosti "lambda", da so enakosti izpolnjene

Torej, za ravne črte bomo ustvarili sistem:

Iz prve enačbe sledi , iz druge enačbe pa: , kar pomeni sistem je nedosleden(brez rešitev). Tako koeficienti spremenljivk niso sorazmerni.

Zaključek: črte se sekajo

IN praktični problemi lahko uporabite shemo rešitev, o kateri smo pravkar razpravljali. Mimogrede, zelo spominja na algoritem za preverjanje kolinearnosti vektorjev, ki smo si ga ogledali v razredu Koncept linearne (ne)odvisnosti vektorjev. Osnova vektorjev. Vendar obstaja bolj civilizirana embalaža:

Primer 1

Ugotovite relativni položaj črt:

rešitev na podlagi preučevanja usmerjevalnih vektorjev ravnih črt:

a) Iz enačb poiščemo smerne vektorje premic: .

, kar pomeni, da vektorji niso kolinearni in se premice sekajo.

Za vsak slučaj bom na razpotje postavil kamen z znaki:

Ostali skočijo čez kamen in sledijo naprej, naravnost do Kaščeja Nesmrtnega =)

b) Poiščite smerne vektorje premic:

Premici imata enak smerni vektor, kar pomeni, da sta vzporedni ali sovpadajoči. Tukaj ni treba šteti determinante.

Očitno je, da so koeficienti neznank sorazmerni in .

Ugotovimo, ali enakost velja:

torej

c) Poiščite smerne vektorje premic:

Izračunajmo determinanto, sestavljeno iz koordinat teh vektorjev:
, zato so smerni vektorji kolinearni. Črte so vzporedne ali pa sovpadajo.

Proporcionalni koeficient "lambda" je enostavno videti neposredno iz razmerja vektorjev kolinearne smeri. Lahko pa ga najdemo tudi preko koeficientov samih enačb: .

Zdaj pa ugotovimo, ali enakost drži. Oba prosta izraza sta nič, torej:

Dobljena vrednost ustreza tej enačbi (na splošno jo izpolnjuje katera koli številka).

Tako črte sovpadajo.

Odgovori:

Kmalu se boste naučili (ali ste se že naučili) rešiti besedno razpravljano težavo dobesedno v nekaj sekundah. Glede tega ne vidim smisla ponujati ničesar za neodvisna odločitev, je bolje, da v geometrijski temelj položite še eno pomembno opeko:

Kako zgraditi premico, ki je vzporedna z dano?

Zaradi nevednosti tega najpreprostejša naloga Slavček razbojnik strogo kaznuje.

Primer 2

Ravna črta je podana z enačbo. Napišite enačbo za vzporedno premico, ki poteka skozi točko.

rešitev: Neznano vrstico označimo s črko . Kaj stanje pove o njej? Premica poteka skozi točko. In če sta črti vzporedni, potem je očitno, da je smerni vektor ravne črte "tse" primeren tudi za konstrukcijo ravne črte "de".

Iz enačbe vzamemo smerni vektor:

Odgovori:

Geometrija primera je videti preprosta:

Analitično testiranje je sestavljeno iz naslednjih korakov:

1) Preverimo, ali imata premici enak smerni vektor (če enačba premice ni pravilno poenostavljena, bosta vektorja kolinearna).

2) Preverite, ali točka ustreza nastali enačbi.

V večini primerov je analitično testiranje enostavno opraviti ustno. Poglejte obe enačbi in mnogi boste hitro ugotovili vzporednost premic brez risbe.

Primeri za samostojne rešitve danes bodo ustvarjalni. Ker boste še vedno morali tekmovati z Babo Yago, in ona, veste, je ljubiteljica vseh vrst ugank.

Primer 3

Napišite enačbo za premico, ki poteka skozi točko, ki je vzporedna s premico

Obstaja racionalno in manj racionalno racionalen način rešitve. Najkrajša pot je na koncu lekcije.

Malo smo delali z vzporednimi črtami in se bomo k njim vrnili kasneje. Primer sovpadajočih črt ni zanimiv, zato razmislimo o problemu, ki vam je znan iz šolski kurikulum:

Kako najti presečišče dveh črt?

Če naravnost sekata v točki , potem so njegove koordinate rešitev sistemi linearnih enačb

Kako najti presečišče črt? Reši sistem.

Izvoli geometrijski pomen sistemi dveh linearne enačbe z dvema neznankama- to sta dve sekajoči se (najpogosteje) premici na ravnini.

Primer 4

Poiščite presečišče črt

rešitev: Obstajata dva načina reševanja - grafični in analitični.

Grafična metoda je, da preprosto narišete dane črte in ugotovite presečišče neposredno iz risbe:

Tukaj je naša poanta: . Če želite preveriti, morate njene koordinate nadomestiti z vsako enačbo črte, prilegati bi se morale tam in tam. Z drugimi besedami, koordinate točke so rešitev sistema. V bistvu smo si ogledali grafično rešitev sistemi linearnih enačb z dvema enačbama, dvema neznankama.

Grafična metoda seveda ni slaba, vendar so opazne slabosti. Ne, ne gre za to, da se sedmošolci tako odločijo, gre za to, da bo za izdelavo pravilne in NATANČNE risbe potreben čas. Poleg tega nekaterih ravnih črt ni tako enostavno zgraditi, sama točka presečišča pa se lahko nahaja nekje v tridesetem kraljestvu zunaj lista zvezka.

Zato je presečišče smotrneje iskati z analitično metodo. Rešimo sistem:

Za rešitev sistema je bila uporabljena metoda seštevanja enačb po členih. Če želite razviti ustrezne veščine, vzemite lekcijo Kako rešiti sistem enačb?

Odgovori:

Preverjanje je trivialno - koordinate presečišča morajo zadostiti vsaki enačbi sistema.

Primer 5

Poiščite presečišče premic, če se sekajo.

To je primer, ki ga morate rešiti sami. Nalogo je priročno razdeliti na več stopenj. Analiza stanja kaže, da je potrebno:
1) Zapišite enačbo premice.
2) Sestavite enačbo premice.
3) Ugotovite relativni položaj črt.
4) Če se črti sekata, poiščite točko presečišča.

Razvoj akcijskega algoritma je značilen za številne geometrijske probleme in na to se bom večkrat osredotočil.

Popolna rešitev in odgovor na koncu lekcije:

Niti par čevljev ni bil obrabljen, preden smo prišli do drugega dela lekcije:

Pravokotne črte. Razdalja od točke do črte.
Kot med ravnimi črtami

Začnimo s tipično in zelo pomembno nalogo. V prvem delu smo se naučili zgraditi ravno črto, vzporedno s to, zdaj pa se bo koča na piščančjih nogah obrnila za 90 stopinj:

Kako zgraditi premico, pravokotno na dano?

Primer 6

Ravna črta je podana z enačbo. Napiši enačbo pravokotno na premico, ki poteka skozi točko.

rešitev: Po pogoju je znano, da . Lepo bi bilo najti usmerjevalni vektor premice. Ker so črte pravokotne, je trik preprost:

Iz enačbe »odstranimo« normalni vektor: , ki bo usmerjevalni vektor premice.

Sestavimo enačbo premice z uporabo točke in smernega vektorja:

Odgovori:

Razširimo geometrijsko skico:

Hmmm ... Oranžno nebo, oranžno morje, oranžna kamela.

Analitično preverjanje rešitve:

1) Iz enačb izvzamemo smerne vektorje in s pomočjo skalarni produkt vektorjev pridemo do zaključka, da so premice res pravokotne: .

Mimogrede, lahko uporabite običajne vektorje, še lažje je.

2) Preverite, ali točka ustreza nastali enačbi .

Test je spet enostavno izvesti ustno.

Primer 7

Poiščite presečišče pravokotnih premic, če je enačba znana in pika.

To je primer, ki ga morate rešiti sami. Problem ima več dejanj, zato je priročno oblikovati rešitev po točkah.

Je naš zabavno potovanje nadaljuje:

Razdalja od točke do črte

Pred nami je raven pas reke in naša naloga je, da pridemo do njega po najkrajši poti. Ni ovir, najbolj optimalna pot pa bo premikanje po pravokotnici. To pomeni, da je razdalja od točke do črte dolžina pravokotnega segmenta.

Razdalja v geometriji je tradicionalno označena grška črka“ro”, na primer: – razdalja od točke “em” do premice “de”.

Razdalja od točke do črte izraženo s formulo

Primer 8

Poiščite razdaljo od točke do črte

rešitev: vse kar morate storiti je, da številke previdno vstavite v formulo in izvedete izračune:

Odgovori:

Naredimo risbo:

Ugotovljena razdalja od točke do črte je natanko dolžina rdečega segmenta. Če na karirasti papir narišete risbo v merilu 1 enote. = 1 cm (2 celici), potem lahko razdaljo izmerimo z navadnim ravnilom.

Oglejmo si še eno nalogo, ki temelji na isti risbi:

Naloga je najti koordinate točke, ki je simetrična točki glede na premico . Predlagam, da korake izvedete sami, vendar bom orisal algoritem rešitve z vmesnimi rezultati:

1) Poišči premico, ki je pravokotna na premico.

2) Poiščite presečišče črt: .

Oba dejanja sta podrobno obravnavana v tej lekciji.

3) Točka je razpolovna točka odseka. Poznamo koordinate sredine in enega od koncev. Avtor: formule za koordinate razpolovišča odseka najdemo .

Dobro bi bilo preveriti, ali je tudi razdalja 2,2 enote.

Tukaj se lahko pojavijo težave pri izračunih, vendar je mikrokalkulator v veliko pomoč pri stolpu, saj vam omogoča izračun navadni ulomki. Večkrat sem vam svetoval in vam bom še enkrat.

Kako najti razdaljo med dvema vzporednima črtama?

Primer 9

Poišči razdaljo med dvema vzporednima premicama

To je še en primer, za katerega se lahko odločite sami. Malo vam bom namignil: obstaja neskončno veliko načinov, kako to rešiti. Povzetek na koncu lekcije, vendar je bolje, da poskusite uganiti sami, mislim, da je bila vaša iznajdljivost dobro razvita.

Kot med dvema ravnima črtama

Vsak kotiček je zastoj:


Kot med dvema premicama se v geometriji šteje za MANJŠI kot, iz česar samodejno sledi, da ne more biti top. Na sliki se kot, označen z rdečim lokom, ne šteje za kot med sekajočima se črtama. In njegov “zeleni” sosed oz nasprotno usmerjeni"malin" kotiček.

Če sta premici pravokotni, lahko za kot med njima vzamemo katerega koli od 4 kotov.

Kako se koti razlikujejo? Orientacija. Prvič, bistveno je pomembna smer, v katero se kot "pomika". Drugič, negativno usmerjen kot je zapisan z znakom minus, na primer, če .

Zakaj sem ti to povedal? Zdi se, da se lahko znajdemo z običajnim konceptom kota. Dejstvo je, da lahko formule, s katerimi bomo iskali kote, zlahka privedejo do negativnega rezultata, kar vas ne bi smelo presenetiti. Kot z znakom minus ni nič slabši in ima zelo specifičen geometrijski pomen. Na risbi pri negativnem kotu s puščico (v smeri urinega kazalca) označite njegovo usmerjenost.

Kako najti kot med dvema ravnima črtama? Obstajata dve delovni formuli:

Primer 10

Poiščite kot med črtami

rešitev in Prva metoda

Razmislite o dveh ravnih črtah, podane z enačbami V splošni pogled:

Če naravnost ne pravokotno, To usmerjeno Kot med njima lahko izračunamo po formuli:

Bodimo pozorni na imenovalec - točno to je skalarni produkt usmerjevalni vektorji ravnih črt:

Če , potem imenovalec formule postane nič, vektorji pa bodo pravokotni in premice pravokotne. Zato je bil pridržek glede nepravokotnosti ravnih črt v formulaciji.

Na podlagi zgoraj navedenega je priročno formalizirati rešitev v dveh korakih:

1) Izračunajmo skalarni produkt smernih vektorjev premic:
, kar pomeni, da črte niso pravokotne.

2) Poiščite kot med ravnimi črtami po formuli:

Z uporabo inverzna funkcija Sam kotiček je enostavno najti. V tem primeru uporabimo neparnost arktangensa (glej. Grafi in lastnosti elementarnih funkcij):

Odgovori:

V odgovoru navedemo točna vrednost, kot tudi približno vrednost (po možnosti v stopinjah in radianih), izračunano s kalkulatorjem.

No, minus, minus, nič hudega. Tukaj je geometrijska ilustracija:

Ni presenetljivo, da se je izkazalo, da je kot negativno usmerjen, saj je v izjavi problema prva številka ravna črta in "odvijanje" kota se je začelo prav z njo.

Če res želite dobiti pozitiven kot, morate premice zamenjati, to je vzeti koeficiente iz druge enačbe , in vzemite koeficiente iz prve enačbe. Skratka, začeti morate z neposrednim .

A. Naj sta podani dve premici. Te premice, kot je navedeno v 1. poglavju, tvorijo različne pozitivne in negativne kote, ki so lahko ostri ali topi. Če poznamo enega od teh kotov, zlahka najdemo katerega koli drugega.

Mimogrede, za vse te kote je številčna vrednost tangente enaka, razlika je lahko le v znaku

Enačbe premic. Številke so projekcije smernih vektorjev prve in druge premice, ki so enake enemu od kotov, ki jih tvorijo premice. Zato se problem zmanjša na določitev kota med vektorji, ki jih dobimo

Zaradi poenostavitve se lahko strinjamo, da je kot med dvema ravnima črtama oster pozitiven kot (kot na primer na sliki 53).

Potem bo tangens tega kota vedno pozitiven. Torej, če je na desni strani formule (1) znak minus, ga moramo zavreči, torej shraniti samo absolutno vrednost.

Primer. Določite kot med ravnimi črtami

Po formuli (1) imamo

z. Če je označeno, katera od stranic kota je njegov začetek in katera je njegov konec, potem lahko iz formule (1) vedno izluščimo smer kota v nasprotni smeri urinega kazalca. Kot je enostavno videti iz sl. 53 bo znak, dobljen na desni strani formule (1), pokazal, kakšen kot - oster ali tup - tvori druga ravna črta s prvo.

(Dejansko na sliki 53 vidimo, da je kot med prvim in drugim smernim vektorjem enak želenemu kotu med ravnima črtama ali pa se od njega razlikuje za ±180°.)

d. Če sta premici vzporedni, potem sta njuna smerna vektorja vzporedna. Če uporabimo pogoj vzporednosti dveh vektorjev, dobimo!

To je nujen in zadosten pogoj za vzporednost dveh premic.

Primer. Neposredno

so vzporedni, ker

e. Če sta premici pravokotni, sta pravokotna tudi njuna smerna vektorja. Z uporabo pogoja pravokotnosti dveh vektorjev dobimo pogoj pravokotnosti dveh premic, in sicer

Primer. Neposredno

so pravokotni zaradi dejstva, da

V povezavi s pogoji vzporednosti in pravokotnosti bomo rešili naslednja dva problema.

f. Skozi točko nariši premico, ki je vzporedna z dano premico

Rešitev se izvaja takole. Ker je želena premica vzporedna s to premico, potem lahko za njen smerni vektor vzamemo enakega kot dana premica, to je vektor s projekcijama A in B. In potem bo enačba želene premice zapisana v obrazec (§ 1)

Primer. Enačba premice, ki poteka skozi točko (1; 3) vzporedno s premico

naslednji bo!

g. Skozi točko nariši premico pravokotno na dano premico

Pri tem ni več primerno vzeti vektorja s projekcijama A in za vodilni vektor, ampak je treba vzeti vektor pravokoten nanj. Projekcije tega vektorja moramo torej izbrati glede na pogoj pravokotnosti obeh vektorjev, tj.

Ta pogoj je lahko izpolnjen nešteto metode, saj je tukaj ena enačba z dvema neznankama. Najlažji način je, da se enačba želene črte zapiše v obliki

Primer. Enačba premice, ki poteka skozi točko (-7; 2) v pravokotni premici

bo naslednje (po drugi formuli)!

h. V primeru, ko so premice podane z enačbami oblike

Navodila

Opomba

Pika trigonometrična funkcija Tangenta je enaka 180 stopinj, kar pomeni, da naklonski koti ravnih črt v absolutni vrednosti ne morejo preseči te vrednosti.

Koristen nasvet

če pobočjih so med seboj enake, potem je kot med takšnima premicama enak 0, saj te premice bodisi sovpadajo bodisi so vzporedne.

Za določitev vrednosti kota med sekajočima se črtama je treba obe črti (ali eno od njiju) z metodo vzporednega prevajanja premakniti na nov položaj, dokler se ne sekata. Po tem bi morali najti kot med nastalimi sekajočimi se črtami.

Boste potrebovali

• ravnilo, pravokotni trikotnik, svinčnik, kotomer.

Navodila

Torej, naj bo podan vektor V = (a, b, c) in ravnina A x + B y + C z = 0, kjer so A, B in C koordinate normale N. Potem kosinus kota α med vektorjema V in N je enako: cos α = (a A + b B + c C)/(√(a² + b² + c²) √(A² + B² + C²)).

Če želite izračunati kot v stopinjah ali radianih, morate iz dobljenega izraza izračunati inverzno na kosinusno funkcijo, tj. arkosinus:α = аrsсos ((a A + b B + c C)/(√(a² + b² + c²) √(A² + B² + C²))).

Primer: najdi kotiček med vektor(5, -3, 8) in letalo, dano splošna enačba 2 x – 5 y + 3 z = 0. Rešitev: zapišite koordinate vektorja normale ravnine N = (2, -5, 3). Zamenjajte vse znane vrednosti v dano formulo: cos α = (10 + 15 + 24)/√3724 ≈ 0,8 → α = 36,87°.

Video na temo

Premica, ki ima s krožnico eno skupno točko, se tangenta na krožnico. Druga značilnost tangente je, da je vedno pravokotna na polmer, narisan na stično točko, to pomeni, da tangenta in polmer tvorita ravno črto kotiček. Če iz ene točke A potegnemo dve tangenti na krožnico AB in AC, potem sta med seboj vedno enaki. Določanje kota med tangentama ( kotiček ABC) je narejen z uporabo Pitagorovega izreka.

Navodila

Za določitev kota morate poznati polmer kroga OB in OS ter oddaljenost začetne točke tangente od središča kroga - O. Torej, kota ABO in ACO sta enaka, polmer OB je, na primer 10 cm, razdalja do središča kroga AO pa je 15 cm. Dolžino tangente določite s formulo v skladu s Pitagorovim izrekom: AB =. Kvadratni koren iz AO2 – OB2 ali 152 - 102 = 225 – 100 = 125;

Opredelitev.Če sta podani dve premici y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, potem oster kot med temi ravnimi črtami bo definiran kot

Premici sta vzporedni, če je k 1 = k 2. Dve premici sta pravokotni, če je k 1 = -1/ k 2.

Izrek. Premici Ax + Bу + C = 0 in A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 sta vzporedni, ko sta koeficienta A 1 = λA, B 1 = λB sorazmerna. Če je tudi C 1 = λC, potem premice sovpadajo. Koordinate presečišča dveh premic najdemo kot rešitev sistema enačb teh premic.

Enačba premice, ki poteka skozi to točko

Pravokotno na dano premico

Opredelitev. Premica, ki poteka skozi točko M 1 (x 1, y 1) in je pravokotna na premico y = kx + b, je predstavljena z enačbo:

Razdalja od točke do črte

Izrek.Če je podana točka M(x 0, y 0), potem je razdalja do premice Ax + Bу + C = 0 določena kot

.

Dokaz. Naj bo točka M 1 (x 1, y 1) osnova navpičnice, spuščene iz točke M na dano premico. Potem je razdalja med točkama M in M ​​1:

(1)

Koordinati x 1 in y 1 lahko najdemo z rešitvijo sistema enačb:

Druga enačba sistema je enačba premice, ki poteka skozi dano točko M 0 je pravokotna na dano premico. Če pretvorimo prvo enačbo sistema v obliko:

A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

potem z reševanjem dobimo:

Če nadomestimo te izraze v enačbo (1), ugotovimo:

Izrek je dokazan.

Primer. Določite kot med premicama: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.

k 1 = -3; k 2 = 2; tgφ = ; φ= p /4.

Primer. Dokaži, da sta premici 3x – 5y + 7 = 0 in 10x + 6y – 3 = 0 pravokotni.

rešitev. Ugotovimo: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1* k 2 = -1, torej sta premici pravokotni.

Primer. Dana so oglišča trikotnika A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1). Poiščite enačbo višine, narisane iz oglišča C.

rešitev. Najdemo enačbo stranice AB: ; 4 x = 6 y – 6;

2 x – 3 y + 3 = 0;

Zahtevana višinska enačba ima obliko: Ax + By + C = 0 ali y = kx + b. k = . Potem je y = . Ker višina poteka skozi točko C, potem njene koordinate zadovoljujejo to enačbo: od koder je b = 17. Skupaj: .

Odgovor: 3 x + 2 y – 34 = 0.

Enačba premice, ki poteka skozi dano točko v dani smeri. Enačba premice, ki poteka skozi dve dani točki. Kot med dvema ravnima črtama. Pogoj vzporednosti in pravokotnosti dveh ravnih črt. Določanje presečišča dveh premic

1. Enačba premice, ki poteka skozi dano točko A(x 1 , l 1) v dani smeri, določeni z naklonom k,

l - l 1 = k(x - x 1). (1)

Ta enačba definira svinčnik črt, ki potekajo skozi točko A(x 1 , l 1), ki se imenuje središče žarka.

2. Enačba premice, ki poteka skozi dve točki: A(x 1 , l 1) in B(x 2 , l 2), napisano takole:

Kotni koeficient premice, ki poteka skozi dve dani točki, je določen s formulo

3. Kot med ravnimi črtami A in B je kot, za katerega je treba zasukati prvo premico A okoli presečišča teh črt v nasprotni smeri urinega kazalca, dokler ne sovpada z drugo črto B. Če sta dve ravni črti podani z enačbami z naklonom

l = k 1 x + B 1 ,

l = k 2 x + B 2 , (4)

potem je kot med njima določen s formulo

Upoštevati je treba, da se v števcu ulomka naklon prve črte odšteje od naklona druge črte.

Če so enačbe premice podane v splošni obliki

A 1 x + B 1 l + C 1 = 0,

A 2 x + B 2 l + C 2 = 0, (6)

kot med njima je določen s formulo

4. Pogoji za vzporednost dveh premic:

a) Če so premice podane z enačbami (4) s kotnim koeficientom, potem je nujen in zadosten pogoj za njihovo vzporednost enakost njihovih kotnih koeficientov:

k 1 = k 2 . (8)

b) Za primer, ko so premice podane z enačbami v splošni obliki (6), je nujen in zadosten pogoj za njihovo vzporednost ta, da so koeficienti za ustrezne trenutne koordinate v njihovih enačbah sorazmerni, tj.

5. Pogoji pravokotnosti dveh črt:

a) V primeru, ko so premice podane z enačbami (4) s kotnim koeficientom, je nujen in zadosten pogoj za njihovo pravokotnost ta, da so njihovi kotni koeficienti inverzni po velikosti in nasprotnega predznaka, tj.

Ta pogoj lahko zapišemo tudi v obrazec

k 1 k 2 = -1. (11)

b) Če so enačbe premic podane v splošni obliki (6), potem je pogoj za njihovo pravokotnost (potrebno in zadostno) izpolnjevanje enakosti

A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0. (12)

6. Koordinate presečišča dveh premic najdemo z reševanjem sistema enačb (6). Premice (6) se sekajo, če in samo če

1. Napišite enačbe premic, ki potekajo skozi točko M, od katerih je ena vzporedna, druga pa pravokotna na dano premico l.

Če na premici v prostoru označimo dve poljubni točki M 1 (x 1, y 1, z 1) in M ​​2 (x 2, y 2, z 2), potem morajo koordinate teh točk zadoščati enačbi premice pridobljeno zgoraj:

Poleg tega lahko za točko M 1 zapišemo:

.

Če rešimo te enačbe skupaj, dobimo:

.

To je enačba premice, ki poteka skozi dve točki v prostoru.

Splošne enačbe premice v prostoru.

Enačbo premice lahko obravnavamo kot enačbo presečišča dveh ravnin.

Splošne enačbe premice v koordinatni obliki:

Praktična naloga je pogosto sestavljena iz redukcije enačb premic v splošni obliki na kanonično obliko.

Če želite to narediti, morate najti poljubno točko na premici in številke m, n, p.

V tem primeru lahko usmerjevalni vektor premice najdemo kot vektorski produkt normalnih vektorjev na dane ravnine.

Primer. Poiščite kanonično enačbo, če je premica podana v obliki:

Da bi našli poljubno točko na premici, vzamemo njeno koordinato x = 0 in nato to vrednost nadomestimo v dani sistem enačb.

Tisti. A(0, 2, 1).

Poiščite komponente usmerjevalnega vektorja premice.

Nato kanonične enačbe premice:

Primer. Pripeljite enačbo premice v kanonično obliko v obliki:

Za iskanje poljubne točke na premici, ki je presečišče zgornjih ravnin, vzamemo z = 0. Potem:

;

2x – 9x – 7 = 0;

Dobimo: A(-1; 3; 0).

Neposredni vektor: .

Kot med ravninami.

Kot med dvema ravninama v prostoru  je povezan s kotom med normalama na ti ravnini  1 z razmerjem:  =  1 ali  = 180 0 -  1, tj.

cos = cos 1 .

Določimo kot  1. Znano je, da lahko ravnine določimo z razmerji:

, Kje

(A 1, B 1, C 1), (A 2, B 2, C 2). Iz njih poiščemo kot med normalnima vektorjema pikasti izdelek:

.

Tako se kot med ravninama najde po formuli:

Izbira znaka kosinusa je odvisna od tega, kateri kot med ravninama je treba najti - oster ali ob njem tup.

Pogoji vzporednosti in pravokotnosti ravnin.

Na podlagi zgoraj pridobljene formule za iskanje kota med ravninama je mogoče najti pogoje za vzporednost in pravokotnost ravnin.

Da sta ravnini pravokotni, je nujno in zadostno, da je kosinus kota med ravninama enak nič. Ta pogoj je izpolnjen, če:

Ravnini sta vzporedni, normalni vektorji kolinearni:  . Ta pogoj je izpolnjen, če: .

Kot med ravnimi črtami v prostoru.

Naj sta v prostoru podani dve premici. Njihove parametrične enačbe so:

Kot med premicami  in kot med smernimi vektorji  teh premic sta povezana z razmerjem:  =  1 ali  = 180 0 -  1. Kot med smernima vektorjema se izračuna iz skalarnega produkta. Torej:

.

Pogoji vzporednosti in pravokotnosti premic v prostoru.

Da sta dve premici vzporedni, je nujno in zadostno, da sta smerna vektorja teh premic kolinearna, tj. njihove ustrezne koordinate so bile sorazmerne.