Reševanje logaritmov osnovne ravni izpita. Reševanje logaritemskih enačb. Celoten vodnik (2019)

Ohranjanje vaše zasebnosti je za nas pomembno. Iz tega razloga smo razvili Politiko zasebnosti, ki opisuje, kako uporabljamo in shranjujemo vaše podatke. Preglejte naše postopke varovanja zasebnosti in nam sporočite, če imate kakršna koli vprašanja.

Zbiranje in uporaba osebnih podatkov

Osebni podatki se nanašajo na podatke, ki jih je mogoče uporabiti za identifikacijo ali vzpostavitev stika z določeno osebo.

Kadar koli stopite v stik z nami, boste morda morali posredovati svoje osebne podatke.

Spodaj je nekaj primerov vrst osebnih podatkov, ki jih lahko zbiramo, in kako lahko te podatke uporabimo.

Katere osebne podatke zbiramo:

• Ko na spletnem mestu oddate prijavo, lahko zberemo različne podatke, vključno z vašim imenom, telefonsko številko, naslovom E-naslov itd.

Kako uporabljamo vaše osebne podatke:

• Osebni podatki, ki jih zbiramo, nam omogočajo, da vas kontaktiramo z edinstvenimi ponudbami, promocijami in drugimi dogodki ter prihajajočimi dogodki.
• Občasno lahko uporabimo vaše osebne podatke za pošiljanje pomembnih obvestil in sporočil.
• Osebne podatke lahko uporabljamo tudi za interne namene, kot so izvajanje revizij, analize podatkov in različne raziskave, da bi izboljšali storitve, ki jih nudimo, in vam dali priporočila glede naših storitev.
• Če sodelujete v nagradni igri, tekmovanju ali podobni promociji, lahko podatke, ki nam jih posredujete, uporabimo za upravljanje takih programov.

Razkritje informacij tretjim osebam

Prejetih podatkov ne razkrivamo tretjim osebam.

Izjeme:

• Če je potrebno, v skladu z zakonom, sodni postopek, V sojenje, in/ali na podlagi javnih zahtev ali zahtev od vladne agencije na ozemlju Ruske federacije - razkrijte svoje osebne podatke. Podatke o vas lahko razkrijemo tudi, če ugotovimo, da je takšno razkritje potrebno ali primerno za varnostne namene, namene kazenskega pregona ali druge javno pomembne namene.
• V primeru reorganizacije, združitve ali prodaje lahko osebne podatke, ki jih zberemo, prenesemo na ustrezno naslednico tretje osebe.

Varstvo osebnih podatkov

Izvajamo previdnostne ukrepe – vključno z administrativnimi, tehničnimi in fizičnimi – za zaščito vaših osebnih podatkov pred izgubo, krajo in zlorabo ter nepooblaščenim dostopom, razkritjem, spreminjanjem in uničenjem.

Spoštovanje vaše zasebnosti na ravni podjetja

Da bi zagotovili varnost vaših osebnih podatkov, svojim zaposlenim sporočamo standarde zasebnosti in varnosti ter strogo uveljavljamo prakse glede zasebnosti.

Kot veste, se pri množenju izrazov s potencami njihovi eksponenti vedno seštevajo (a b *a c = a b+c). Ta matematični zakon je izpeljal Arhimed, pozneje, v 8. stoletju, pa je matematik Virasen ustvaril tabelo celih eksponentov. Prav ti so služili za nadaljnje odkrivanje logaritmov. Primere uporabe te funkcije je mogoče najti skoraj povsod, kjer morate poenostaviti okorno množenje s preprostim seštevanjem. Če porabite 10 minut za branje tega članka, vam bomo razložili, kaj so logaritmi in kako delati z njimi. V preprostem in dostopnem jeziku.

Definicija v matematiki

Logaritem je izraz v naslednji obliki: log a b=c, kar pomeni, da je logaritem katerega koli nenegativnega števila (to je katerega koli pozitivnega) "b" na njegovo osnovo "a" potenca "c". ”, na katero je treba dvigniti osnovo “a”, da na koncu dobimo vrednost “b”. Analizirajmo logaritem s primeri, recimo, da obstaja izraz log 2 8. Kako najti odgovor? Zelo preprosto je, najti morate takšno potenco, da od 2 do zahtevane potence dobite 8. Po nekaj izračunih v glavi dobimo številko 3! In to je res, ker 2 na potenco 3 daje odgovor 8.

Vrste logaritmov

Za mnoge učence in študente se ta tema zdi zapletena in nerazumljiva, v resnici pa logaritmi niso tako strašljivi, glavna stvar je razumeti njihov splošni pomen in se spomniti njihovih lastnosti in nekaterih pravil. Tam so drevesa posamezne vrste logaritemski izrazi:

1. Naravni logaritem ln a, kjer je osnova Eulerjevo število (e = 2,7).
2. Decimalno a, kjer je osnova 10.
3. Logaritem poljubnega števila b na osnovo a>1.

Vsak od njih je odločen na standarden način, ki vključuje poenostavitev, redukcijo in kasnejšo redukcijo na en logaritem z uporabo logaritemskih izrekov. Za pridobitev pravilne vrednosti logaritmov, si morate pri reševanju zapomniti njihove lastnosti in zaporedje dejanj.

Pravila in nekatere omejitve

V matematiki obstaja več pravil-omejitev, ki so sprejete kot aksiom, to pomeni, da niso predmet razprave in so resnica. Na primer, nemogoče je deliti številke z ničlo, prav tako je nemogoče izluščiti sodi koren negativna števila. Logaritmi imajo tudi svoja pravila, po katerih se zlahka naučite delati tudi z dolgimi in obsežnimi logaritemskimi izrazi:

• Osnova "a" mora biti vedno večja od nič in ne enaka 1, sicer bo izraz izgubil pomen, ker sta "1" in "0" do katere koli stopnje vedno enaka svojim vrednostim;
• če je a > 0, potem a b >0, se izkaže, da mora biti tudi "c" večji od nič.

Kako rešiti logaritme?

Naloga je na primer najti odgovor na enačbo 10 x = 100. To je zelo enostavno, izbrati morate potenco tako, da povišate število deset, na kar dobimo 100. To je seveda 10 2 = 100.

Zdaj predstavimo ta izraz v logaritemski obliki. Dobimo log 10 100 = 2. Pri reševanju logaritmov se vsa dejanja praktično konvergirajo, da bi našli potenco, na katero je treba vnesti osnovo logaritma, da dobimo dano število.

Če želite natančno določiti vrednost neznane stopnje, se morate naučiti delati s tabelo stopinj. Videti je takole:

Kot lahko vidite, lahko nekatere eksponente ugibate intuitivno, če imate tehnično miselnost in poznavanje tabele množenja. Vendar pa boste za večje vrednosti potrebovali tabelo moči. Uporabljajo ga lahko tudi tisti, ki o kompleksnih matematičnih temah ne vedo prav nič. Levi stolpec vsebuje števila (osnova a), zgornja vrstica števil je vrednost potence c, na katero je povzdignjeno število a. Na presečišču celice vsebujejo številske vrednosti, ki so odgovor (a c =b). Vzemimo na primer prvo celico s številko 10 in jo kvadriramo, dobimo vrednost 100, ki je navedena na presečišču naših dveh celic. Vse je tako preprosto in enostavno, da bo razumel tudi najbolj pravi humanist!

Enačbe in neenačbe

Izkazalo se je, da je pod določenimi pogoji eksponent logaritem. Zato lahko vse matematične numerične izraze zapišemo kot logaritemsko enakost. Na primer, 3 4 =81 lahko zapišemo kot osnovni logaritem 3 od 81, ki je enak štirim (log 3 81 = 4). Za negativne potence so pravila enaka: 2 -5 = 1/32 zapišemo kot logaritem, dobimo log 2 (1/32) = -5. Eden najbolj fascinantnih razdelkov matematike je tema "logaritmov". Spodaj si bomo ogledali primere in rešitve enačb, takoj po študiju njihovih lastnosti. Zdaj pa poglejmo, kako so videti neenakosti in kako jih ločiti od enačb.

Podan je izraz v naslednji obliki: log 2 (x-1) > 3 - je logaritemska neenakost, saj je neznana vrednost "x" pod znakom logaritma. In tudi v izrazu se primerjata dve količini: logaritem želenega števila na osnovi dve je večji od števila tri.

Najpomembnejša razlika med logaritemskimi enačbami in neenačbami je v tem, da enačbe z logaritmi (na primer logaritem 2 x = √9) pomenijo enega ali več specifičnih odgovorov. številčne vrednosti, medtem ko se pri reševanju neenakosti določi tako območje dovoljenih vrednosti kot prelomne točke te funkcije. Posledično odgovor ni preprost niz posameznih števil, kot pri odgovoru na enačbo, temveč neprekinjen niz ali niz števil.

Osnovni izreki o logaritmih

Pri reševanju primitivnih nalog iskanja vrednosti logaritma njegove lastnosti morda niso znane. Ko pa gre za logaritemske enačbe ali neenačbe, je najprej treba jasno razumeti in v praksi uporabiti vse osnovne lastnosti logaritmov. Pozneje si bomo ogledali primere enačb; najprej si podrobneje oglejmo vsako lastnost.

1. Glavna identiteta je videti takole: a logaB =B. Velja le, če je a večje od 0, ni enako ena, in je B večji od nič.
2. Logaritem produkta lahko predstavimo z naslednjo formulo: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. V tem primeru predpogoj je: d, s 1 in s 2 > 0; a≠1. Za to logaritemsko formulo lahko navedete dokaz s primeri in rešitvijo. Naj bo log a s 1 = f 1 in log a s 2 = f 2, potem je a f1 = s 1, a f2 = s 2. Dobimo, da je s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (lastnosti stopinj ), nato pa po definiciji: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, kar je bilo treba dokazati.
3. Logaritem količnika izgleda takole: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. Izrek v obliki formule ima naslednjo obliko: log a q b n = n/q log a b.

Ta formula se imenuje "lastnost stopnje logaritma." Podobna je lastnostim običajnih stopinj in ni presenetljivo, saj vsa matematika temelji na naravnih postulatih. Poglejmo dokaz.

Naj bo log a b = t, izkaže se, da je a t =b. Če oba dela dvignemo na potenco m: a tn = b n ;

ker pa je a tn = (a q) nt/q = b n, torej log a q b n = (n*t)/t, potem je log a q b n = n/q log a b. Izrek je dokazan.

Primeri problemov in neenakosti

Najpogostejše vrste problemov o logaritmih so primeri enačb in neenačb. Najdemo jih v skoraj vseh učbenikih in so tudi obvezen del izpitov iz matematike. Če želite vstopiti na univerzo ali opraviti sprejemne izpite iz matematike, morate vedeti, kako pravilno rešiti takšne naloge.

Na žalost ni enotnega načrta ali sheme za reševanje in določanje neznane vrednosti logaritma, vendar je mogoče za vsako matematično neenakost ali logaritemsko enačbo uporabiti določena pravila. Najprej bi morali ugotoviti, ali je izraz mogoče poenostaviti ali pripeljati do Splošni videz. Dolge logaritemske izraze lahko poenostavite, če pravilno uporabite njihove lastnosti. Hitro jih spoznajmo.

Pri reševanju logaritemskih enačb moramo ugotoviti, kakšno vrsto logaritma imamo: primer izraza lahko vsebuje naravni ali decimalni logaritem.

Tukaj sta primera ln100, ln1026. Njihova rešitev se skrči na dejstvo, da morajo določiti potenco, pri kateri bo osnova 10 enaka 100 oziroma 1026. Za rešitve naravni logaritmi morate uporabiti logaritemske identitete ali njihove lastnosti. Oglejmo si rešitev s primeri logaritemske težave različni tipi.

Kako uporabljati logaritemske formule: s primeri in rešitvami

Torej, poglejmo primere uporabe osnovnih izrekov o logaritmih.

1. Lastnost logaritma produkta lahko uporabimo pri nalogah, kjer je treba razširiti velik pomenštevila b na enostavnejše faktorje. Na primer, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Odgovor je 9.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - kot lahko vidite, nam je z uporabo četrte lastnosti potence logaritma uspelo rešiti na videz zapleten in nerešljiv izraz. Preprosto morate faktorizirati osnovo in nato vzeti vrednosti eksponenta iz znaka logaritma.

Naloge iz enotnega državnega izpita

Logaritme pogosto najdemo v sprejemni izpiti, še posebej veliko logaritemskih težav pri Enotnem državnem izpitu (državni izpit za vse maturante). Običajno te naloge niso prisotne samo v delu A (najlažji testni del izpit), ampak tudi v delu C (najbolj zapletene in obsežne naloge). Izpit zahteva natančno in popolno poznavanje teme “Naravni logaritmi”.

Primeri in rešitve problemov so vzeti iz uradnih Možnosti enotnega državnega izpita. Poglejmo, kako se takšne naloge rešujejo.

Podan log 2 (2x-1) = 4. Rešitev:
prepišimo izraz in ga malo poenostavimo log 2 (2x-1) = 2 2, po definiciji logaritma dobimo, da je 2x-1 = 2 4, torej 2x = 17; x = 8,5.

• Najbolje je reducirati vse logaritme na isto osnovo, da rešitev ne bo okorna in zmedena.
• Vsi izrazi pod znakom za logaritem so označeni kot pozitivni, zato mora biti izraz, ki ostane pod znakom za logaritem, pozitiven, ko je eksponent izraza, ki je pod znakom za logaritem in kot njegova osnova, vzet kot množitelj.

Kaj je logaritem?

Pozor!
Obstajajo dodatni
materiali v posebnem oddelku 555.
Za tiste, ki so zelo "ne zelo ..."
In za tiste, ki "zelo ...")

Kaj je logaritem? Kako rešiti logaritme? Ta vprašanja begajo mnoge diplomante. Tradicionalno velja, da je tema logaritmov zapletena, nerazumljiva in strašljiva. Še posebej enačbe z logaritmi.

To absolutno ni res. Vsekakor! ne verjameš? Globa. Zdaj v samo 10-20 minutah:

1. Razumeli boste kaj je logaritem.

2. Naučite se rešiti cel razred eksponentne enačbe. Tudi če o njih še niste slišali.

3. Naučite se računati preproste logaritme.

Še več, za to boste morali poznati samo tabelo množenja in kako povečati število na potenco ...

Zdi se mi, da dvomite ... No, v redu, označite čas! Pojdi!

Najprej reši to enačbo v svoji glavi:

Če vam je všeč ta stran ...

Mimogrede, za vas imam še nekaj zanimivih spletnih mest.)

Lahko vadite reševanje primerov in ugotovite svojo raven. Testiranje s takojšnjim preverjanjem. Učimo se - z zanimanjem!)

Lahko se seznanite s funkcijami in izpeljankami.

V tej video vadnici si bomo ogledali reševanje precej resne logaritemske enačbe, v kateri ne morate le najti korenin, ampak tudi izbrati tiste, ki ležijo na danem segmentu.

Problem C1. Reši enačbo. Poiščite vse korenine te enačbe, ki pripadajo intervalu.

Opomba o logaritemskih enačbah

Vendar iz leta v leto prihajajo k meni študenti, ki poskušajo rešiti takšne, odkrito povedano, težke enačbe, a hkrati ne morejo razumeti: kje naj sploh začnejo in kako se približati logaritmom? Ta težava se lahko pojavi tudi pri močnih, dobro pripravljenih študentih.

Posledično se mnogi začnejo bati te teme ali se imajo celo za neumne. Torej, zapomnite si: če ne morete rešiti takšne enačbe, to sploh ne pomeni, da ste neumni. Ker lahko na primer to enačbo obravnavate skoraj verbalno:

log 2 x = 4

In če temu ni tako, tega besedila zdaj ne bi brali, ker ste bili zaposleni s preprostejšimi in vsakdanjimi opravili. Seveda bo zdaj nekdo ugovarjal: "Kaj ima ta najenostavnejša enačba opraviti z našo zdravo strukturo?" Odgovorim: vsaka logaritemska enačba, ne glede na to, kako zapletena je, se na koncu zmanjša na te najpreprostejše strukture, ki jih je mogoče ustno rešiti.

Seveda je treba preiti od zapletenih logaritemskih enačb k enostavnejšim, ne s selekcijo ali plesom s tamburino, temveč z jasnimi, dolgoročnimi določena pravila, ki se imenujejo tako - pravila za pretvorbo logaritemskih izrazov. Če jih poznate, se zlahka spopadete tudi z najbolj zapletenimi enačbami na Enotnem državnem izpitu iz matematike.

In prav o teh pravilih bomo govorili v današnji lekciji. Pojdi!

Reševanje logaritemske enačbe v nalogi C1

Torej, rešimo enačbo:

Najprej se pri logaritemskih enačbah spomnimo osnovne taktike – tako rekoč osnovnega pravila za reševanje logaritemskih enačb. Sestavljen je iz naslednjega:

Izrek o kanonični obliki. Vsako logaritemsko enačbo, ne glede na to, kaj vključuje, ne glede na logaritme, ne glede na to, katero osnovo in ne glede na to, kaj vsebuje, je treba nujno reducirati na enačbo oblike:

log a f (x) = log a g (x)

Če pogledamo našo enačbo, takoj opazimo dve težavi:

1. Na levi strani imamo vsota dveh števil, od katerih eden sploh ni logaritem.
2. Na desni je pravi logaritem, toda na njegovi osnovi je koren. In logaritem na levi je preprosto 2, tj. Osnovi logaritmov na levi in ​​desni sta različni.

Torej smo sestavili ta seznam problemov, ki ločujejo našo enačbo od tega kanonična enačba , na katero je treba reducirati katero koli logaritemsko enačbo med postopkom reševanja. Tako je rešitev naše enačbe na tej stopnji se zmanjša na odpravo dveh zgoraj opisanih težav.

Vsako logaritemsko enačbo je mogoče rešiti hitro in enostavno, če jo reducirate na njeno kanonično obliko.

Vsota logaritmov in logaritem produkta

Nadaljujmo po vrsti. Najprej si oglejmo strukturo na levi. Kaj lahko rečemo o vsoti dveh logaritmov? Spomnimo se čudovite formule:

log a f (x) + log a g (x) = log a f (x) g (x)

Vendar je vredno upoštevati, da v našem primeru prvi člen sploh ni logaritem. To pomeni, da moramo enoto predstaviti kot logaritem na osnovi 2 (natančno 2, ker je logaritem na osnovi 2 na levi). Kako narediti? Spomnimo se še enkrat čudovite formule:

a = log b b a

Tukaj morate razumeti: ko rečemo "Katera koli osnova b", mislimo, da b še vedno ne more biti poljubno število. Če v logaritem vstavimo število, določeno omejitve, in sicer: osnova logaritma mora biti večja od 0 in ne sme biti enaka 1. V nasprotnem primeru logaritem preprosto nima smisla. Zapišimo tole:

0 < b ≠ 1

Poglejmo, kaj se zgodi v našem primeru:

1 = dnevnik 2 2 1 = dnevnik 2 2

Zdaj pa ponovno napišimo našo celotno enačbo ob upoštevanju tega dejstva. In takoj uporabimo še eno pravilo: vsota logaritmov je enaka logaritmu produkta argumentov. Kot rezultat dobimo:

Imamo novo enačbo. Kot vidimo, je že veliko bližje kanonični enačbi, h kateri stremimo. Vendar obstaja ena težava, zapisali smo jo kot drugo točko: naša logaritma, ki sta na levi in ​​desni, različni razlogi . Pojdimo na naslednji korak.

Pravila za odštevanje potence od logaritma

Torej ima logaritem na levi osnovo samo 2, logaritem na desni pa ima koren na osnovi. Toda to ni problem, če se spomnimo, da je mogoče osnove argumentov logaritma dvigniti na potence. Zapišimo eno od teh pravil:

log a b n = n log a b

Prevedeno v človeški jezik: osnovi logaritma lahko vzamete potenco in jo postavite spredaj kot množitelj. Število n se je "preselilo" iz logaritma navzven in postalo koeficient spredaj.

Potenco lahko prav tako enostavno izpeljemo iz osnove logaritma. Videti bo takole:

Z drugimi besedami, če odstranite stopnjo iz argumenta logaritma, je tudi ta stopnja zapisana kot faktor pred logaritmom, vendar ne kot število, ampak kot recipročno število 1/k .

Vendar to še ni vse! Ti dve formuli lahko združimo in dobimo naslednjo formulo:

Ko se potenca pojavi tako v osnovi kot v argumentu logaritma, lahko prihranimo čas in poenostavimo izračune tako, da takoj vzamemo potence iz baze in argumenta. V tem primeru se bo v števcu pojavilo tisto, kar je bilo v argumentu (v našem primeru je to koeficient n). In kolikšna je bila stopnja na osnovi, a k, bo šlo v imenovalec.

In prav te formule bomo zdaj uporabili, da zmanjšamo naše logaritme na isto osnovo.

Najprej si izberimo bolj ali manj lepo podlago. Očitno je veliko bolj prijetno delati z dvema na dnu kot s korenom. Poskusimo torej zmanjšati drugi logaritem na osnovo 2. Zapišimo ta logaritem ločeno:

Kaj lahko naredimo tukaj? Spomnimo se potenčne formule z racionalnim eksponentom. Z drugimi besedami, korene lahko zapišemo kot potenco z racionalnim eksponentom. In potem iz argumenta in osnove logaritma vzamemo potenco 1/2. Zmanjšamo dvojke v koeficientih v števcu in imenovalcu, obrnjeni proti logaritmu:

Nazadnje prepišimo prvotno enačbo ob upoštevanju novih koeficientov:

log 2 2(9x 2 + 5) = log 2 (8x 4 + 14)

Dobili smo kanonično logaritemsko enačbo. Tako na levi kot na desni imamo logaritem na isto osnovo 2. Razen teh logaritmov ni nobenih koeficientov, nobenih členov ne na levi ne na desni.

Posledično se lahko znebimo predznaka logaritma. Seveda ob upoštevanju domene definicije. Toda preden to storimo, se vrnimo nazaj in malo pojasnimo ulomke.

Deljenje ulomka z ulomkom: dodatni premisleki

Vsi učenci ne razumejo, od kod prihajajo faktorji pred desnim logaritmom in kam gredo. Zapišimo še enkrat:

Ugotovimo, kaj je ulomek. Zapišimo:

Zdaj pa se spomnimo pravila za deljenje ulomkov: če želite deliti z 1/2, morate pomnožiti z obrnjenim ulomkom:

Seveda lahko za lažje nadaljnje izračune dva zapišemo kot 2/1 - in to opazimo kot drugi koeficient v procesu reševanja.

Upam, da zdaj vsi razumejo, od kod prihaja drugi koeficient, zato pojdimo neposredno k reševanju naše kanonične logaritemske enačbe.

Znebiti se znaka za logaritem

Naj vas spomnim, da se zdaj lahko znebimo logaritmov in pustimo naslednji izraz:

2(9x 2 + 5) = 8x 4 + 14

Odprimo oklepaje na levi. Dobimo:

18x 2 + 10 = 8x 4 + 14

Premaknimo vse z leve strani na desno:

8x 4 + 14 − 18x 2 − 10 = 0

Prinesimo podobne in dobimo:

8x 4 − 18x 2 + 4 = 0

Obe strani te enačbe lahko delimo z 2, da poenostavimo koeficiente, in dobimo:

4x 4 − 9x 2 + 2 = 0

Pred nami je običajno bikvadratna enačba, njegove korenine pa je enostavno izračunati prek diskriminante. Torej, zapišimo diskriminanco:

D = 81 − 4 4 2 = 81 − 32 = 49

Super, diskriminant je "lep", njegov koren je 7. To je to, preštejmo X-je sami. Ampak v v tem primeru korenine ne bodo x, ampak x 2, ker imamo bikvadratno enačbo. Torej, naše možnosti:

Prosimo, upoštevajte: ekstrahirali smo korenine, zato bosta dva odgovora, ker... kvadrat - celo funkcijo. In če napišemo samo koren iz dva, potem bomo preprosto izgubili drugi koren.

Zdaj zapišemo drugi koren naše bikvadratne enačbe:

Spet izluščimo aritmetiko Kvadratni koren z obeh strani naše enačbe dobimo dva korena. Vendar ne pozabite:

Ni dovolj preprosto enačiti argumente logaritmov v kanonični obliki. Ne pozabite na domeno definicije!

Skupaj smo dobili štiri korenine. Vsi so dejansko rešitve naše prvotne enačbe. Poglejte: v naši prvotni logaritemski enačbi so notranji logaritmi 9x 2 + 5 (ta funkcija je vedno pozitivna) ali 8x 4 + 14 - kar je prav tako vedno pozitivno. Zato je domena definicije logaritmov zadoščena v vsakem primeru, ne glede na to, kateri koren dobimo, kar pomeni, da so vsi štirje koreni rešitve naše enačbe.

Super, zdaj pa preidimo na drugi del problema.

Izbira korenin logaritemske enačbe na segmentu

Iz naših štirih korenin izberemo tiste, ki ležijo na segmentu [−1; 8/9]. Vračamo se h koreninam, zdaj pa bomo izvedli njihovo selekcijo. Za začetek predlagam, da narišete koordinatno os in na njej označite konce segmenta:

Obe točki bosta zasenčeni. Tisti. Glede na pogoje problema nas zanima osenčen segment. Zdaj pa poglejmo korenine.

Iracionalne korenine

Začnimo z iracionalnimi koreninami. Upoštevajte, da 8/9< 9/9 = 1. С другой стороны, корень из двух явно больше единицы. Следовательно, наши корни будут находиться на отрезке в таком положении:

Iz tega sledi, da koren iz dva ne sodi v segment, ki nas zanima. Podobno bomo dobili z negativnim korenom: manjši je od −1, to pomeni, da leži levo od segmenta, ki nas zanima.

Racionalne korenine

Ostala sta dva korena: x = 1/2 in x = −1/2. Opazimo, da je levi konec segmenta (−1) negativen, desni konec (8/9) pa pozitiven. Zato nekje med tema koncema leži število 0. Koren x = −1/2 bo med −1 in 0, tj. se bo končalo v končnem odgovoru. Enako naredimo s korenom x = 1/2. Tudi ta koren leži na obravnavanem segmentu.

Lahko se prepričate, da je 8/9 večje od 1/2. Odštejmo te številke eno od druge:

Dobili smo ulomek 7/18 > 0, kar po definiciji pomeni, da je 8/9 > 1/2.

Označimo ustrezne korenine na koordinatni osi:

Končni odgovor bosta dva korena: 1/2 in −1/2.

Primerjava iracionalnih števil: univerzalni algoritem

Za zaključek bi se rad še enkrat vrnil k iracionalnim številkam. Na njihovem primeru si bomo zdaj ogledali, kako primerjati racionalne in iracionalne količine v matematiki. Za začetek je med njimi takšna kljukica V - znak "več" ali "manj", vendar še ne vemo, v katero smer je usmerjena. Zapišimo:

Zakaj sploh potrebujemo primerjalne algoritme? Dejstvo je, da smo imeli pri tem problemu veliko srečo: v procesu reševanja se je pojavilo delilno število 1, o katerem lahko zagotovo rečemo:

Vendar takšne številke ne boste vedno videli takoj. Poskusimo torej neposredno primerjati naše številke.

Kako se to naredi? Delamo enako kot z navadnimi neenakostmi:

1. Prvič, če bi imeli nekje negativne koeficiente, bi obe strani neenakosti pomnožili z −1. Seveda sprememba znaka. Ta kljukica V bi se spremenila v to - Λ.
2. Toda v našem primeru sta obe strani že pozitivni, tako da ni treba ničesar spreminjati. Kar je res potrebno, je kvadrat obe strani da se znebite radikalnega.

Če pri primerjavi iracionalnih števil ni mogoče takoj izbrati ločilnega elementa, priporočam, da takšno primerjavo izvedete "na glavo" - opisujemo jo kot navadno neenakost.

Pri reševanju se formalizira takole:

Zdaj je vse enostavno primerjati. Bistvo je, da 64/81< 81/81 = 1 < 2. На основании той цепочки преобразований мы заключаем, что 64/81 < 2 и, следовательно, корень больше 8/9.

To je to, dobili smo strog dokaz, da so vsa števila označena na številski premici x pravilno in točno v takšnem zaporedju, kot bi morala biti. Tej rešitvi ne bo nihče očital napake, zato si zapomnite: če ne vidite takoj delilnega števila (v našem primeru je to 1), potem brez skrbi izpišite zgornjo konstrukcijo, pomnožite, kvadrirajte – in na koncu boste dobili lepo neenakost. Iz te neenakosti bo razvidno, katero število je večje in katero manjše.

Če se vrnem k našemu problemu, bi vas rad še enkrat opozoril na to, kar smo storili na samem začetku pri reševanju naše enačbe. Namreč: pozorno smo pogledali našo prvotno logaritemsko enačbo in jo poskušali reducirati na kanoničen logaritemska enačba. Kjer so na levi in ​​desni le logaritmi - brez dodatnih členov, koeficientov spredaj itd. Ne potrebujemo dveh logaritmov, ki temeljita na a ali b, ampak logaritem, ki je enak drugemu logaritmu.

Poleg tega morata biti tudi osnovici logaritmov enaki. Poleg tega, če je enačba pravilno sestavljena, potem s pomočjo elementarnih logaritemskih transformacij (vsota logaritmov, pretvorba števila v logaritem itd.) To enačbo zmanjšamo na kanonično.

Zato se od zdaj naprej, ko vidite logaritemsko enačbo, ki je ni mogoče takoj rešiti, ne izgubite ali poskušajte ugotoviti odgovora. Vse kar morate storiti je, da sledite tem korakom:

1. Pretvori vse proste elemente v logaritem;
2. Nato dodajte te logaritme;
3. V dobljeni konstrukciji reducirajte vse logaritme na isto osnovo.

Kot rezultat dobite preprosto enačbo, ki jo je mogoče rešiti osnovna sredstva algebra iz snovi 8.-9. Na splošno pojdite na mojo spletno stran, vadite reševanje logaritmov, rešite logaritemske enačbe kot jaz, jih reši bolje od mene. In to je zame vse. Pavel Berdov je bil z vami. Se vidiva!

Logaritemski izrazi, reševanje primerov. V tem članku si bomo ogledali probleme, povezane z reševanjem logaritmov. Naloge postavljajo vprašanje iskanja pomena izraza. Opozoriti je treba, da se koncept logaritma uporablja v številnih nalogah in da je razumevanje njegovega pomena izjemno pomembno. Kar se tiče enotnega državnega izpita, se logaritem uporablja pri reševanju enačb, pri uporabnih problemih in tudi pri nalogah, povezanih s študijem funkcij.

Za razumevanje samega pomena logaritma navedimo primere:

Osnovna logaritemska identiteta:

Lastnosti logaritmov, ki si jih morate vedno zapomniti:

*Logaritem produkta enaka vsoti logaritmi faktorjev.

* * *

*Logaritem količnika (ulomka) je enak razliki med logaritmi faktorjev.

* * *

*Logaritem eksponenta je enak produktu eksponenta in logaritma njegove osnove.

* * *

*Prehod na novo podlago

* * *

Več nepremičnin:

* * *

Izračun logaritmov je tesno povezan z uporabo lastnosti eksponentov.

Naštejmo jih nekaj:

Bistvo te nepremičnine je v tem, da se pri prenosu števca na imenovalec in obratno znak eksponenta spremeni v nasprotno. Na primer:

Posledica te lastnosti:

* * *

Pri povišanju potence na potenco ostane osnova enaka, eksponenti pa se pomnožijo.

* * *

Kot ste videli, je sam koncept logaritma preprost. Glavna stvar je, da potrebujete dobro prakso, ki vam daje določeno spretnost. Seveda je potrebno poznavanje formul. Če spretnost pretvorbe elementarnih logaritmov ni bila razvita, potem lahko pri reševanju preprostih nalog zlahka naredite napako.

Vadite, najprej rešite najpreprostejše primere iz tečaja matematike, nato pa nadaljujte s kompleksnejšimi. V prihodnosti bom zagotovo pokazal, kako se rešujejo "strašljivi" logaritmi; na Enotnem državnem izpitu se ne bodo pojavili, vendar so zanimivi, ne zamudite jih!

To je vse! Srečno!

S spoštovanjem, Alexander Krutitskikh

P.S: Hvaležen bi bil, če bi mi povedali o spletnem mestu na družbenih omrežjih.