Logaritemska enačba: osnovne formule in tehnike. Logaritemske enačbe

Danes bomo govorili o logaritemske formule in dali bomo okvirno primeri rešitev.

Sami nakazujejo vzorce rešitev glede na osnovne lastnosti logaritmov. Preden uporabimo logaritemske formule za reševanje, naj vas spomnimo na vse lastnosti:

Zdaj bomo na podlagi teh formul (lastnosti) pokazali primeri reševanja logaritmov.

Primeri reševanja logaritmov na podlagi formul.

Logaritem pozitivno število b na osnovo a (označeno z log a b) je eksponent, na katerega je treba dvigniti a, da dobimo b, pri čemer je b > 0, a > 0 in 1.

Po definiciji je log a b = x, kar je enakovredno a x = b, torej log a a x = x.

Logaritmi, primeri:

log 2 8 = 3, ker 2 3 = 8

dnevnik 7 49 = 2, ker 7 2 = 49

log 5 1/5 = -1, ker 5 -1 = 1/5

Decimalni logaritem- to je navaden logaritem, katerega osnova je 10. Označena je kot lg.

log 10 100 = 2, ker 10 2 = 100

Naravni logaritem- tudi navaden logaritem, logaritem, vendar z osnovo e (e = 2,71828... - iracionalno število). Označeno kot ln.

Formule oziroma lastnosti logaritmov si je priporočljivo zapomniti, saj jih bomo kasneje potrebovali pri reševanju logaritmov, logaritemskih enačb in neenačb. Ponovno preučimo vsako formulo s primeri.

• Osnovna logaritemska identiteta
  hlod a b = b

  8 2log 8 3 = (8 2log 8 3) 2 = 3 2 = 9

• Logaritem produkta je enak vsoti logaritmov
  log a (bc) = log a b + log a c

  log 3 8,1 + log 3 10 = log 3 (8,1*10) = log 3 81 = 4

• Logaritem količnika je enak razliki logaritmov
  log a (b/c) = log a b - log a c

  9 log 5 50 /9 log 5 2 = 9 log 5 50- log 5 2 = 9 log 5 25 = 9 2 = 81

• Lastnosti potence logaritemskega števila in osnove logaritma

  Eksponent logaritemskega števila log a b m = mlog a b

  Eksponent osnove logaritma log a n b =1/n*log a b

  log a n b m = m/n*log a b,

  če je m = n, dobimo log a n b n = log a b

  dnevnik 4 9 = dnevnik 2 2 3 2 = dnevnik 2 3

• Prehod na novo podlago
  log a b = log c b/log c a,

  če je c = b, dobimo log b b = 1

  potem je log a b = 1/log b a

  log 0,8 3*log 3 1,25 = log 0,8 3*log 0,8 1,25/log 0,8 3 = log 0,8 1,25 = log 4/5 5/4 = -1

Kot lahko vidite, formule za logaritme niso tako zapletene, kot se zdijo. Zdaj, ko smo si ogledali primere reševanja logaritmov, lahko preidemo na logaritemske enačbe. Primere reševanja logaritemskih enačb si bomo podrobneje ogledali v članku: "". Ne spreglejte!

Če imate še vedno vprašanja o rešitvi, jih napišite v komentarje k članku.

Opomba: odločili smo se za drug razred izobraževanja in študij v tujini kot možnost.

glavne lastnosti.

1. logax + logay = loga(x y);
2. logax − logay = loga (x: y).

enake podlage

Log6 4 + log6 9.

Zdaj pa malo zapletimo nalogo.

Primeri reševanja logaritmov

Kaj pa, če je osnova ali argument logaritma potenca? Nato lahko eksponent te stopnje vzamemo iz znaka logaritma po naslednjih pravilih:

Seveda so vsa ta pravila smiselna, če upoštevamo ODZ logaritma: a > 0, a ≠ 1, x >

Naloga. Poiščite pomen izraza:

Prehod na novo podlago

Naj bo podan logaritem logax. Potem za vsako število c, tako da je c > 0 in c ≠ 1, velja enakost:

Naloga. Poiščite pomen izraza:

Poglej tudi:

Osnovne lastnosti logaritma

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Eksponent je 2,718281828…. Če si želite zapomniti eksponent, lahko preučite pravilo: eksponent je enak 2,7 in dvakratni letnici rojstva Leva Nikolajeviča Tolstoja.

Osnovne lastnosti logaritmov

Če poznate to pravilo, boste vedeli tako natančno vrednost eksponenta kot datum rojstva Leva Tolstoja.

Primeri za logaritme

Logaritemski izrazi

Primer 1.
A). x=10ac^2 (a>0,c>0).

Z uporabo lastnosti 3.5 izračunamo

2.

3.

4. Kje .

Primer 2. Poiščite x, če

Primer 3. Naj bo podana vrednost logaritmov

Izračunajte log(x), če

Osnovne lastnosti logaritmov

Logaritme, tako kot vsa števila, lahko seštevamo, odštevamo in preoblikujemo na vse načine. Ker pa logaritmi niso ravno navadna števila, so tukaj pravila, ki se imenujejo glavne lastnosti.

Ta pravila vsekakor morate poznati - brez njih ni mogoče rešiti niti enega resnega logaritemskega problema. Poleg tega jih je zelo malo - vsega se lahko naučiš v enem dnevu. Pa začnimo.

Seštevanje in odštevanje logaritmov

Razmislite o dveh logaritmih z enakimi osnovami: logax in logay. Nato jih je mogoče seštevati in odštevati in:

1. logax + logay = loga(x y);
2. logax − logay = loga (x: y).

Torej je vsota logaritmov enaka logaritmu produkta, razlika pa je enaka logaritmu količnika. Prosimo, upoštevajte: ključna točka je enake podlage. Če so razlogi drugačni, ta pravila ne delujejo!

Te formule vam bodo pomagale izračunati logaritemski izraz, tudi če ne upoštevate njegovih posameznih delov (glejte lekcijo "Kaj je logaritem"). Oglejte si primere in si oglejte:

Ker imajo logaritmi enake osnove, uporabimo formulo za vsoto:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Naloga. Poišči vrednost izraza: log2 48 − log2 3.

Osnove so enake, uporabljamo formulo razlike:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Naloga. Poišči vrednost izraza: log3 135 − log3 5.

Osnove so spet enake, tako da imamo:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Kot lahko vidite, so prvotni izrazi sestavljeni iz "slabih" logaritmov, ki se ne izračunajo posebej. A po transformacijah dobimo povsem normalne številke. Mnogi testi temeljijo na tem dejstvu. Da, na Enotnem državnem izpitu so izrazi, podobni testom, na voljo z vso resnostjo (včasih skoraj brez sprememb).

Ekstrakcija eksponenta iz logaritma

Zlahka je videti, da zadnje pravilo sledi prvima dvema. Vendar je bolje, da si ga vseeno zapomnite - v nekaterih primerih bo to znatno zmanjšalo količino izračunov.

Seveda so vsa ta pravila smiselna, če se upošteva ODZ logaritma: a > 0, a ≠ 1, x > 0. In še nekaj: naučite se uporabljati vse formule ne le od leve proti desni, ampak tudi obratno , tj. Številke pred znakom za logaritem lahko vnesete v sam logaritem. To je tisto, kar se najpogosteje zahteva.

Naloga. Poiščite vrednost izraza: log7 496.

Znebimo se stopnje v argumentu s prvo formulo:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Naloga. Poiščite pomen izraza:

Upoštevajte, da imenovalec vsebuje logaritem, katerega osnova in argument sta točni potenci: 16 = 24; 49 = 72. Imamo:

Mislim, da zadnji primer zahteva nekaj pojasnila. Kam so izginili logaritmi? Do zadnjega trenutka delamo samo z imenovalcem.

Logaritemske formule. Logaritmi primeri rešitve.

Osnovo in argument logaritma, ki stoji tam, smo predstavili v obliki potenc in vzeli eksponente - dobili smo "trinadstropni" ulomek.

Zdaj pa poglejmo glavni del. Števec in imenovalec vsebujeta isto število: log2 7. Ker je log2 7 ≠ 0, lahko skrajšamo ulomek - 2/4 bo ostalo v imenovalcu. Po aritmetičnih pravilih lahko štiri prenesemo v števec, kar je bilo tudi storjeno. Rezultat je bil odgovor: 2.

Prehod na novo podlago

Ko sem govoril o pravilih za seštevanje in odštevanje logaritmov, sem posebej poudaril, da delujejo le z enakimi osnovami. Kaj pa, če so razlogi drugačni? Kaj pa, če nista natančni potenci istega števila?

Na pomoč pridejo formule za prehod na novo podlago. Oblikujmo jih v obliki izreka:

Naj bo podan logaritem logax. Potem za vsako število c, tako da je c > 0 in c ≠ 1, velja enakost:

Zlasti, če nastavimo c = x, dobimo:

Iz druge formule sledi, da lahko osnovo in argument logaritma zamenjamo, vendar je v tem primeru celoten izraz "obrnjen", tj. logaritem se pojavi v imenovalcu.

Te formule redko najdemo v običajnih številskih izrazih. Kako priročni so, je mogoče oceniti le pri reševanju logaritemskih enačb in neenačb.

Vendar pa obstajajo težave, ki jih sploh ni mogoče rešiti, razen s selitvijo na novo podlago. Oglejmo si nekaj teh:

Naloga. Poiščite vrednost izraza: log5 16 log2 25.

Upoštevajte, da argumenta obeh logaritmov vsebujejo natančne potence. Izločimo indikatorje: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Zdaj pa "obrnimo" drugi logaritem:

Ker se zmnožek pri preurejanju faktorjev ne spremeni, smo mirno pomnožili štiri in dva, nato pa se lotili logaritmov.

Naloga. Poiščite vrednost izraza: log9 100 lg 3.

Osnova in argument prvega logaritma sta natančni potenci. Zapišimo to in se znebimo indikatorjev:

Zdaj pa se znebimo decimalnega logaritma s premikom na novo osnovo:

Osnovna logaritemska identiteta

Pogosto je treba v procesu reševanja število predstaviti kot logaritem na dano osnovo. V tem primeru nam bodo pomagale naslednje formule:

V prvem primeru postane število n eksponent v argumentu. Število n je lahko karkoli, saj je le logaritemska vrednost.

Druga formula je pravzaprav parafrazirana definicija. Tako se imenuje: .

Pravzaprav, kaj se zgodi, če število b dvignemo na takšno potenco, da število b na to potenco da število a? Tako je: rezultat je enako število a. Še enkrat natančno preberite ta odstavek - veliko ljudi se mu zatakne.

Tako kot formule za prehod na novo bazo je osnovna logaritemska identiteta včasih edina možna rešitev.

Naloga. Poiščite pomen izraza:

Upoštevajte, da je log25 64 = log5 8 - preprosto vzel kvadrat iz osnove in argumenta logaritma. Ob upoštevanju pravil za množenje potenc z isto bazo dobimo:

Če kdo ne ve, je bila to prava naloga iz enotnega državnega izpita :)

Logaritemska enota in logaritemska ničla

Za zaključek bom podal dve identiteti, ki ju težko imenujemo lastnosti - prej sta posledici definicije logaritma. Nenehno se pojavljajo v težavah in, presenetljivo, delajo težave tudi »naprednejšim« študentom.

1. logaa = 1 je. Zapomnite si enkrat za vselej: logaritem katere koli baze a te same baze je enak ena.
2. loga 1 = 0 je. Osnova a je lahko karkoli, če pa argument vsebuje ena, je logaritem enak nič! Ker je a0 = 1 neposredna posledica definicije.

To so vse lastnosti. Bodite prepričani, da jih vadite v praksi! Prenesite goljufijo na začetku lekcije, jo natisnite in rešite naloge.

Poglej tudi:

Logaritem od b na osnovi a označuje izraz. Izračunati logaritem pomeni najti potenco x (), pri kateri je enakost izpolnjena

Osnovne lastnosti logaritma

Zgornje lastnosti je treba poznati, saj so skoraj vsi problemi in primeri, povezani z logaritmi, rešeni na njihovi podlagi. Ostale eksotične lastnosti je mogoče izpeljati z matematičnimi manipulacijami s temi formulami

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Pri izračunu formule za vsoto in razliko logaritmov (3.4) naletite precej pogosto. Ostali so nekoliko zapleteni, vendar so v številnih nalogah nepogrešljivi za poenostavitev zapletenih izrazov in izračun njihovih vrednosti.

Pogosti primeri logaritmov

Nekateri pogosti logaritmi so tisti, pri katerih je osnova celo deset, eksponentna ali dve.
Logaritemu na osnovi deset se običajno reče decimalni logaritem in ga preprosto označimo z lg(x).

Iz posnetka je razvidno, da v posnetku niso zapisane osnove. Na primer

Naravni logaritem je logaritem, katerega osnova je eksponent (označen z ln(x)).

Eksponent je 2,718281828…. Če si želite zapomniti eksponent, lahko preučite pravilo: eksponent je enak 2,7 in dvakratni letnici rojstva Leva Nikolajeviča Tolstoja. Če poznate to pravilo, boste vedeli tako natančno vrednost eksponenta kot datum rojstva Leva Tolstoja.

In še en pomemben logaritem z osnovo dve je označen z

Odvod logaritma funkcije je enak ena deljeno s spremenljivko

Integralni ali antiderivacijski logaritem je določen z razmerjem

Dano gradivo je dovolj za reševanje širokega razreda problemov, povezanih z logaritmi in logaritmi. Za lažje razumevanje gradiva bom navedel le nekaj običajnih primerov iz šolskega kurikuluma in univerz.

Primeri za logaritme

Logaritemski izrazi

Primer 1.
A). x=10ac^2 (a>0,c>0).

Z uporabo lastnosti 3.5 izračunamo

2.
Z lastnostjo razlike logaritmov imamo

3.
Z uporabo lastnosti 3.5 najdemo

4. Kje .

Navidezno zapleten izraz je poenostavljen v obliki z uporabo številnih pravil

Iskanje vrednosti logaritmov

Primer 2. Poiščite x, če

rešitev. Za izračun uporabimo zadnji člen 5 in 13 lastnosti

Zabeležimo in žalujemo

Ker sta bazi enaki, izraza enačimo

Logaritmi. Prva stopnja.

Naj bo podana vrednost logaritmov

Izračunajte log(x), če

Rešitev: Vzemimo logaritem spremenljivke, da zapišemo logaritem skozi vsoto njenih členov

To je šele začetek našega spoznavanja logaritmov in njihovih lastnosti. Vadite računanje, obogatite svoje praktične spretnosti - pridobljeno znanje boste kmalu potrebovali za reševanje logaritemskih enačb. Ko smo preučili osnovne metode reševanja takšnih enačb, bomo vaše znanje razširili na drugo, enako pomembno temo - logaritemske neenakosti ...

Osnovne lastnosti logaritmov

Logaritme, tako kot vsa števila, lahko seštevamo, odštevamo in preoblikujemo na vse načine. Ker pa logaritmi niso ravno navadna števila, so tukaj pravila, ki se imenujejo glavne lastnosti.

Ta pravila vsekakor morate poznati - brez njih ni mogoče rešiti niti enega resnega logaritemskega problema. Poleg tega jih je zelo malo - vsega se lahko naučiš v enem dnevu. Pa začnimo.

Seštevanje in odštevanje logaritmov

Razmislite o dveh logaritmih z enakimi osnovami: logax in logay. Nato jih je mogoče seštevati in odštevati in:

1. logax + logay = loga(x y);
2. logax − logay = loga (x: y).

Torej je vsota logaritmov enaka logaritmu produkta, razlika pa je enaka logaritmu količnika. Prosimo, upoštevajte: ključna točka je enake podlage. Če so razlogi drugačni, ta pravila ne delujejo!

Te formule vam bodo pomagale izračunati logaritemski izraz, tudi če ne upoštevate njegovih posameznih delov (glejte lekcijo "Kaj je logaritem"). Oglejte si primere in si oglejte:

Naloga. Poiščite vrednost izraza: log6 4 + log6 9.

Ker imajo logaritmi enake osnove, uporabimo formulo za vsoto:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Naloga. Poišči vrednost izraza: log2 48 − log2 3.

Osnove so enake, uporabljamo formulo razlike:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Naloga. Poišči vrednost izraza: log3 135 − log3 5.

Osnove so spet enake, tako da imamo:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Kot lahko vidite, so prvotni izrazi sestavljeni iz "slabih" logaritmov, ki se ne izračunajo posebej. A po transformacijah dobimo povsem normalne številke. Mnogi testi temeljijo na tem dejstvu. Da, na Enotnem državnem izpitu so izrazi, podobni testom, na voljo z vso resnostjo (včasih skoraj brez sprememb).

Ekstrakcija eksponenta iz logaritma

Zdaj pa malo zapletimo nalogo. Kaj pa, če je osnova ali argument logaritma potenca? Nato lahko eksponent te stopnje vzamemo iz znaka logaritma po naslednjih pravilih:

Zlahka je videti, da zadnje pravilo sledi prvima dvema. Vendar je bolje, da si ga vseeno zapomnite - v nekaterih primerih bo to znatno zmanjšalo količino izračunov.

Seveda so vsa ta pravila smiselna, če se upošteva ODZ logaritma: a > 0, a ≠ 1, x > 0. In še nekaj: naučite se uporabljati vse formule ne le od leve proti desni, ampak tudi obratno , tj. Številke pred znakom za logaritem lahko vnesete v sam logaritem.

Kako rešiti logaritme

To je tisto, kar se najpogosteje zahteva.

Naloga. Poiščite vrednost izraza: log7 496.

Znebimo se stopnje v argumentu s prvo formulo:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Naloga. Poiščite pomen izraza:

Upoštevajte, da imenovalec vsebuje logaritem, katerega osnova in argument sta točni potenci: 16 = 24; 49 = 72. Imamo:

Mislim, da zadnji primer zahteva nekaj pojasnila. Kam so izginili logaritmi? Do zadnjega trenutka delamo samo z imenovalcem. Osnovo in argument logaritma, ki stoji tam, smo predstavili v obliki potenc in vzeli eksponente - dobili smo "trinadstropni" ulomek.

Zdaj pa poglejmo glavni del. Števec in imenovalec vsebujeta isto število: log2 7. Ker je log2 7 ≠ 0, lahko skrajšamo ulomek - 2/4 bo ostalo v imenovalcu. Po aritmetičnih pravilih lahko štiri prenesemo v števec, kar je bilo tudi storjeno. Rezultat je bil odgovor: 2.

Prehod na novo podlago

Ko sem govoril o pravilih za seštevanje in odštevanje logaritmov, sem posebej poudaril, da delujejo le z enakimi osnovami. Kaj pa, če so razlogi drugačni? Kaj pa, če nista natančni potenci istega števila?

Na pomoč pridejo formule za prehod na novo podlago. Oblikujmo jih v obliki izreka:

Naj bo podan logaritem logax. Potem za vsako število c, tako da je c > 0 in c ≠ 1, velja enakost:

Zlasti, če nastavimo c = x, dobimo:

Iz druge formule sledi, da lahko osnovo in argument logaritma zamenjamo, vendar je v tem primeru celoten izraz "obrnjen", tj. logaritem se pojavi v imenovalcu.

Te formule redko najdemo v običajnih številskih izrazih. Kako priročni so, je mogoče oceniti le pri reševanju logaritemskih enačb in neenačb.

Vendar pa obstajajo težave, ki jih sploh ni mogoče rešiti, razen s selitvijo na novo podlago. Oglejmo si nekaj teh:

Naloga. Poiščite vrednost izraza: log5 16 log2 25.

Upoštevajte, da argumenta obeh logaritmov vsebujejo natančne potence. Izločimo indikatorje: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Zdaj pa "obrnimo" drugi logaritem:

Ker se zmnožek pri preurejanju faktorjev ne spremeni, smo mirno pomnožili štiri in dva, nato pa se lotili logaritmov.

Naloga. Poiščite vrednost izraza: log9 100 lg 3.

Osnova in argument prvega logaritma sta natančni potenci. Zapišimo to in se znebimo indikatorjev:

Zdaj pa se znebimo decimalnega logaritma s premikom na novo osnovo:

Osnovna logaritemska identiteta

Pogosto je treba v procesu reševanja število predstaviti kot logaritem na dano osnovo. V tem primeru nam bodo pomagale naslednje formule:

V prvem primeru postane število n eksponent v argumentu. Število n je lahko karkoli, saj je le logaritemska vrednost.

Druga formula je pravzaprav parafrazirana definicija. Tako se imenuje: .

Pravzaprav, kaj se zgodi, če število b dvignemo na takšno potenco, da število b na to potenco da število a? Tako je: rezultat je enako število a. Še enkrat natančno preberite ta odstavek - veliko ljudi se mu zatakne.

Tako kot formule za prehod na novo bazo je osnovna logaritemska identiteta včasih edina možna rešitev.

Naloga. Poiščite pomen izraza:

Upoštevajte, da je log25 64 = log5 8 - preprosto vzel kvadrat iz osnove in argumenta logaritma. Ob upoštevanju pravil za množenje potenc z isto bazo dobimo:

Če kdo ne ve, je bila to prava naloga iz enotnega državnega izpita :)

Logaritemska enota in logaritemska ničla

Za zaključek bom podal dve identiteti, ki ju težko imenujemo lastnosti - prej sta posledici definicije logaritma. Nenehno se pojavljajo v težavah in, presenetljivo, delajo težave tudi »naprednejšim« študentom.

1. logaa = 1 je. Zapomnite si enkrat za vselej: logaritem katere koli baze a te same baze je enak ena.
2. loga 1 = 0 je. Osnova a je lahko karkoli, če pa argument vsebuje ena, je logaritem enak nič! Ker je a0 = 1 neposredna posledica definicije.

To so vse lastnosti. Bodite prepričani, da jih vadite v praksi! Prenesite goljufijo na začetku lekcije, jo natisnite in rešite naloge.

Ohranjanje vaše zasebnosti je za nas pomembno. Iz tega razloga smo razvili Politiko zasebnosti, ki opisuje, kako uporabljamo in shranjujemo vaše podatke. Preglejte naše postopke varovanja zasebnosti in nam sporočite, če imate kakršna koli vprašanja.

Zbiranje in uporaba osebnih podatkov

Osebni podatki se nanašajo na podatke, ki jih je mogoče uporabiti za identifikacijo ali vzpostavitev stika z določeno osebo.

Kadar koli stopite v stik z nami, boste morda morali posredovati svoje osebne podatke.

Spodaj je nekaj primerov vrst osebnih podatkov, ki jih lahko zbiramo, in kako lahko te podatke uporabimo.

Katere osebne podatke zbiramo:

• Ko na spletnem mestu oddate prijavo, lahko zberemo različne podatke, vključno z vašim imenom, telefonsko številko, e-poštnim naslovom itd.

Kako uporabljamo vaše osebne podatke:

• Osebni podatki, ki jih zbiramo, nam omogočajo, da vas kontaktiramo z edinstvenimi ponudbami, promocijami in drugimi dogodki ter prihajajočimi dogodki.
• Občasno lahko uporabimo vaše osebne podatke za pošiljanje pomembnih obvestil in sporočil.
• Osebne podatke lahko uporabljamo tudi za interne namene, kot so izvajanje revizij, analize podatkov in različne raziskave, da bi izboljšali storitve, ki jih nudimo, in vam dali priporočila glede naših storitev.
• Če sodelujete v nagradni igri, tekmovanju ali podobni promociji, lahko podatke, ki nam jih posredujete, uporabimo za upravljanje takih programov.

Razkritje informacij tretjim osebam

Prejetih podatkov ne razkrivamo tretjim osebam.

Izjeme:

• Če je potrebno - v skladu z zakonom, sodnim postopkom, v sodnem postopku in/ali na podlagi javnih zahtev ali zahtev državnih organov na ozemlju Ruske federacije - za razkritje vaših osebnih podatkov. Podatke o vas lahko razkrijemo tudi, če ugotovimo, da je takšno razkritje potrebno ali primerno za varnostne namene, namene kazenskega pregona ali druge javne pomembne namene.
• V primeru reorganizacije, združitve ali prodaje lahko osebne podatke, ki jih zberemo, prenesemo na ustrezno naslednico tretje osebe.

Varstvo osebnih podatkov

Izvajamo previdnostne ukrepe – vključno z administrativnimi, tehničnimi in fizičnimi – za zaščito vaših osebnih podatkov pred izgubo, krajo in zlorabo ter nepooblaščenim dostopom, razkritjem, spreminjanjem in uničenjem.

Spoštovanje vaše zasebnosti na ravni podjetja

Da bi zagotovili varnost vaših osebnih podatkov, našim zaposlenim sporočamo standarde zasebnosti in varnosti ter strogo uveljavljamo prakse varovanja zasebnosti.

S tem videom začenjam dolgo serijo lekcij o logaritemskih enačbah. Zdaj imate pred seboj tri primere, na podlagi katerih se bomo naučili reševati najenostavnejše probleme, ki se imenujejo - praživali.

log 0,5 (3x − 1) = −3

log (x + 3) = 3 + 2 log 5

Naj vas spomnim, da je najpreprostejša logaritemska enačba naslednja:

log a f (x) = b

V tem primeru je pomembno, da je spremenljivka x prisotna le znotraj argumenta, torej samo v funkciji f (x). In števili a in b sta samo števili in v nobenem primeru nista funkciji, ki vsebujeta spremenljivko x.

Osnovne metode reševanja

Obstaja veliko načinov za rešitev takšnih struktur. Na primer, večina učiteljev v šoli ponuja to metodo: Takoj izrazite funkcijo f (x) s formulo f ( x ) = a b . To pomeni, da ko naletite na najpreprostejšo konstrukcijo, lahko takoj preidete na rešitev brez dodatnih dejanj in konstrukcij.

Ja, seveda, odločitev bo pravilna. Vendar je težava te formule v tem, da večina študentov ne razumem, od kod izvira in zakaj črko a dvignemo v črko b.

Zaradi tega pogosto vidim zelo zoprne napake, ko na primer te črke zamenjamo. To formulo je treba bodisi razumeti bodisi natlačiti, druga metoda pa vodi do napak v najbolj neprimernih in najbolj ključnih trenutkih: med izpiti, testi itd.

Zato vsem svojim učencem predlagam, da opustijo standardno šolsko formulo in za reševanje logaritemskih enačb uporabijo drugi pristop, ki se, kot ste verjetno uganili iz imena, imenuje kanonična oblika.

Zamisel o kanonični obliki je preprosta. Poglejmo našo težavo še enkrat: na levi strani imamo log a, s črko a pa mislimo na število, nikakor pa ne na funkcijo, ki vsebuje spremenljivko x. Posledično za to črko veljajo vse omejitve, ki veljajo za logaritem. namreč:

1 ≠ a > 0

Po drugi strani pa iz iste enačbe vidimo, da mora biti logaritem enak številu b in za to črko ni nobenih omejitev, ker lahko sprejme katero koli vrednost - tako pozitivno kot negativno. Vse je odvisno od tega, katere vrednosti ima funkcija f(x).

In tukaj se spomnimo našega čudovitega pravila, da lahko vsako število b predstavimo kot logaritem na osnovi a od a na potenco b:

b = log a a b

Kako si zapomniti to formulo? Da, zelo preprosto. Zapišimo naslednjo konstrukcijo:

b = b 1 = b log a a

Seveda se v tem primeru pojavijo vse omejitve, ki smo jih zapisali na začetku. Zdaj pa uporabimo osnovno lastnost logaritma in predstavimo množitelj b kot potenco a. Dobimo:

b = b 1 = b log a a = log a a b

Posledično bo prvotna enačba prepisana na naslednji način:

log a f (x) = log a a b → f (x) = a b

To je vse. Nova funkcija ne vsebuje več logaritma in jo je mogoče rešiti s standardnimi algebrskimi tehnikami.

Seveda bo zdaj nekdo ugovarjal: zakaj je bilo sploh treba pripraviti nekakšno kanonično formulo, zakaj narediti dva dodatna nepotrebna koraka, če je bilo mogoče takoj preiti od prvotne zasnove do končne formule? Da, čeprav samo zato, ker večina študentov ne razume, od kod izvira ta formula, in posledično redno delajo napake pri njeni uporabi.

Toda to zaporedje dejanj, sestavljeno iz treh korakov, vam omogoča, da rešite prvotno logaritemsko enačbo, tudi če ne razumete, od kod prihaja končna formula. Mimogrede, ta vnos se imenuje kanonična formula:

log a f (x) = log a a b

Priročnost kanonične oblike je tudi v tem, da jo je mogoče uporabiti za reševanje zelo širokega razreda logaritemskih enačb in ne le najpreprostejših, ki jih obravnavamo danes.

Primeri rešitev

Zdaj pa poglejmo resnične primere. Torej, odločimo se:

log 0,5 (3x − 1) = −3

Prepišimo takole:

log 0,5 (3x − 1) = log 0,5 0,5 −3

Številnim učencem se mudi in poskušajo število 0,5 takoj dvigniti na potenco, ki nam je prišla iz prvotnega problema. Ko ste že dobro usposobljeni za reševanje takšnih problemov, lahko takoj izvedete ta korak.

Če pa zdaj šele začenjate preučevati to temo, je bolje, da nikamor ne hitite, da se izognete žaljivim napakam. Torej, imamo kanonično obliko. Imamo:

3x − 1 = 0,5 −3

To ni več logaritemska enačba, ampak linearna glede na spremenljivko x. Da bi jo rešili, si najprej poglejmo število 0,5 na potenco −3. Upoštevajte, da je 0,5 1/2.

(1/2) −3 = (2/1) 3 = 8

Pri reševanju logaritemske enačbe pretvorite vse decimalne ulomke v navadne ulomke.

Prepišemo in dobimo:

3x − 1 = 8
3x = 9
x = 3

To je to, dobili smo odgovor. Prvi problem je rešen.

Druga naloga

Gremo k drugi nalogi:

Kot vidimo, ta enačba ni več najenostavnejša. Že zato, ker je razlika na levi strani in ne en sam logaritem na eno osnovo.

Zato se moramo te razlike nekako znebiti. V tem primeru je vse zelo preprosto. Oglejmo si baze podrobneje: na levi je številka pod korenom:

Splošno priporočilo: v vseh logaritemskih enačbah se poskušajte znebiti radikalov, tj. od vnosov s koreninami in preiti na potenčne funkcije, preprosto zato, ker se eksponenti teh potenc zlahka vzamejo iz predznaka logaritma in na koncu takšni vnos bistveno poenostavi in ​​pohitri izračune. Zapišimo takole:

Zdaj pa se spomnimo izjemne lastnosti logaritma: potence je mogoče izpeljati iz argumenta, pa tudi iz osnove. V primeru razlogov se zgodi naslednje:

log a k b = 1/k loga b

Z drugimi besedami, število, ki je bilo v osnovni moči, se premakne naprej in hkrati obrne, to pomeni, da postane recipročno število. V našem primeru je bila osnovna stopinja 1/2. Zato ga lahko izvzamemo kot 2/1. Dobimo:

5 2 log 5 x − log 5 x = 18
10 log 5 x − log 5 x = 18

Prosimo, upoštevajte: v nobenem primeru se ne smete znebiti logaritmov na tem koraku. Spomnite se matematike 4.-5. razreda in vrstnega reda operacij: najprej se izvede množenje in šele nato seštevanje in odštevanje. V tem primeru odštejemo enega od enakih elementov od 10 elementov:

9 log 5 x = 18
log 5 x = 2

Zdaj je naša enačba videti, kot bi morala. To je najpreprostejša konstrukcija in jo rešimo s kanonično obliko:

log 5 x = log 5 5 2
x = 5 2
x = 25

To je vse. Drugi problem je rešen.

Tretji primer

Gremo k tretji nalogi:

log (x + 3) = 3 + 2 log 5

Naj vas spomnim na naslednjo formulo:

log b = log 10 b

Če vas iz nekega razloga zmede zapis log b , lahko pri vseh izračunih preprosto napišete log 10 b . Z decimalnimi logaritmi lahko delate na enak način kot z drugimi: potenite, seštejte in predstavite poljubna števila v obliki lg 10.

Te lastnosti bomo zdaj uporabili za rešitev problema, saj ni najpreprostejši, ki smo ga zapisali na samem začetku naše lekcije.

Najprej upoštevajte, da je faktor 2 pred lg 5 mogoče dodati in postane potenca osnove 5. Poleg tega lahko prosti člen 3 predstavimo tudi kot logaritem - to je zelo enostavno opaziti iz našega zapisa.

Presodite sami: katero koli število je mogoče predstaviti kot log z osnovo 10:

3 = dnevnik 10 10 3 = dnevnik 10 3

Ponovno napišimo prvotni problem ob upoštevanju dobljenih sprememb:

log (x − 3) = log 1000 + log 25
log (x − 3) = log 1000 25
log (x − 3) = log 25.000

Pred nami je spet kanonična oblika, ki smo jo dobili, ne da bi šli skozi fazo transformacije, tj. najpreprostejša logaritemska enačba se ni pojavila nikjer.

Prav o tem sem govoril na samem začetku lekcije. Kanonična oblika vam omogoča reševanje širšega razreda problemov kot standardna šolska formula, ki jo daje večina šolskih učiteljev.

No, to je to, znebimo se predznaka decimalnega logaritma in dobimo preprosto linearno konstrukcijo:

x + 3 = 25.000
x = 24.997

Vse! Problem je rešen.

Opomba o obsegu

Tukaj bi rad dal pomembno pripombo glede obsega opredelitve. Zagotovo bodo zdaj učenci in učitelji, ki bodo rekli: "Ko rešujemo izraze z logaritmi, se moramo spomniti, da mora biti argument f (x) večji od nič!" Pri tem se postavlja logično vprašanje: zakaj pri nobenem od obravnavanih problemov nismo zahtevali, da je ta neenakost izpolnjena?

Ne skrbi. V teh primerih se ne bodo pojavile dodatne korenine. In to je še en odličen trik, ki vam omogoča, da pospešite rešitev. Vedite le, da če se v nalogi spremenljivka x pojavi samo na enem mestu (ali bolje rečeno v enem samem argumentu enega logaritma) in se v našem primeru spremenljivka x ne pojavi nikjer drugje, potem zapišite domeno definicije ni potrebno, ker se bo izvršil samodejno.

Presodite sami: v prvi enačbi smo dobili, da je 3x − 1, torej mora biti argument enak 8. To samodejno pomeni, da bo 3x − 1 večje od nič.

Z enakim uspehom lahko zapišemo, da bi moral biti v drugem primeru x enak 5 2, torej je gotovo večji od nič. In v tretjem primeru, kjer je x + 3 = 25.000, torej spet očitno večje od nič. Z drugimi besedami, obseg je samodejno izpolnjen, vendar le, če se x pojavi samo v argumentu samo enega logaritma.

To je vse, kar morate vedeti za reševanje najpreprostejših problemov. Samo to pravilo vam bo skupaj s transformacijskimi pravili omogočilo reševanje zelo širokega razreda problemov.

Toda bodimo iskreni: da bi končno razumeli to tehniko, da bi se naučili uporabljati kanonično obliko logaritemske enačbe, ni dovolj, da si ogledate le eno video lekcijo. Zato si zdaj prenesite možnosti za samostojne rešitve, ki so priložene tej video lekciji, in začnite reševati vsaj eno od teh dveh samostojnih del.

Vzelo vam bo dobesedno nekaj minut. Toda učinek takšnega usposabljanja bo veliko večji, kot če bi preprosto gledali to video lekcijo.

Upam, da vam bo ta lekcija pomagala razumeti logaritemske enačbe. Uporabite kanonično obliko, poenostavite izraze s pravili za delo z logaritmi - in ne boste se bali težav. To je vse, kar imam za danes.

Ob upoštevanju domene definicije

Zdaj pa se pogovorimo o domeni definicije logaritemske funkcije in o tem, kako to vpliva na rešitev logaritemskih enačb. Razmislite o konstrukciji obrazca

log a f (x) = b

Tak izraz se imenuje najenostavnejši - vsebuje samo eno funkcijo, števili a in b pa sta le števili in nikakor ne funkcija, ki je odvisna od spremenljivke x. Rešljivo je zelo preprosto. Uporabiti morate le formulo:

b = log a a b

Ta formula je ena od ključnih lastnosti logaritma in pri zamenjavi v prvotni izraz dobimo naslednje:

log a f (x) = log a a b

f (x) = a b

To je znana formula iz šolskih učbenikov. Mnogi učenci bodo verjetno imeli vprašanje: ker je v izvirnem izrazu funkcija f (x) pod znakom dnevnika, so zanjo naložene naslednje omejitve:

f(x) > 0

Ta omejitev velja, ker logaritem negativnih števil ne obstaja. Torej bi morda zaradi te omejitve morali uvesti preverjanje odgovorov? Morda jih je treba vstaviti v vir?

Ne, pri najenostavnejših logaritemskih enačbah dodatno preverjanje ni potrebno. In zato. Oglejte si našo končno formulo:

f (x) = a b

Dejstvo je, da je število a v vsakem primeru večje od 0 - to zahtevo nalaga tudi logaritem. Število a je osnova. V tem primeru za število b ni nobenih omejitev. Vendar to ni pomembno, ker ne glede na to, na katero potenco dvignemo pozitivno število, bomo na izhodu še vedno dobili pozitivno število. Tako je zahteva f (x) > 0 samodejno izpolnjena.

Kar je resnično vredno preveriti, je domena funkcije pod znakom dnevnika. Obstajajo lahko precej zapletene strukture, ki jih morate med postopkom reševanja zagotovo paziti. Gremo pogledat.

Prva naloga:

Prvi korak: pretvorite ulomek na desni. Dobimo:

Znebimo se znaka logaritma in dobimo običajno iracionalno enačbo:

Od dobljenih korenin nam ustreza le prva, saj je druga korenina manjša od nič. Edini odgovor bo številka 9. To je to, problem je rešen. Za zagotovitev, da je izraz pod znakom logaritma večji od 0, niso potrebna nobena dodatna preverjanja, ker ni le večji od 0, ampak je glede na pogoj enačbe enak 2. Zato velja zahteva »večji od nič ” se samodejno izpolni.

Gremo k drugi nalogi:

Tukaj je vse po starem. Ponovno napišemo konstrukcijo in zamenjamo trojno:

Znebimo se logaritmov in dobimo iracionalno enačbo:

Obe strani kvadriramo ob upoštevanju omejitev in dobimo:

4 − 6x − x 2 = (x − 4) 2

4 − 6x − x 2 = x 2 + 8x + 16

x 2 + 8x + 16 −4 + ​​​​6x + x 2 = 0

2x 2 + 14x + 12 = 0 |:2

x 2 + 7x + 6 = 0

Nastalo enačbo rešimo preko diskriminante:

D = 49 − 24 = 25

x 1 = −1

x 2 = −6

Toda x = −6 nam ne ustreza, ker če to število nadomestimo v našo neenakost, dobimo:

−6 + 4 = −2 < 0

V našem primeru se zahteva, da je večji od 0 ali v skrajnem primeru enak. Toda x = −1 nam ustreza:

−1 + 4 = 3 > 0

Edini odgovor v našem primeru bo x = −1. To je rešitev. Vrnimo se na sam začetek naših izračunov.

Glavna ugotovitev te lekcije je, da vam ni treba preverjati omejitev za funkcijo v preprostih logaritemskih enačbah. Ker so med postopkom rešitve vse omejitve samodejno izpolnjene.

Vendar to nikakor ne pomeni, da lahko na pregled povsem pozabite. V procesu dela na logaritemski enačbi se lahko ta spremeni v iracionalno, ki bo imela svoje omejitve in zahteve za desno stran, kar smo danes videli v dveh različnih primerih.

Prosto rešujte takšne težave in bodite še posebej previdni, če je v prepiru korenina.

Logaritemske enačbe z različnimi bazami

Nadaljujemo s preučevanjem logaritemskih enačb in si ogledamo še dve precej zanimivi tehniki, s katerimi je moderno reševati zahtevnejše konstrukcije. Najprej pa se spomnimo, kako se rešijo najpreprostejši problemi:

log a f (x) = b

V tem vnosu sta a in b števili, v funkciji f (x) pa mora biti prisotna spremenljivka x in samo tam, torej mora biti x samo v argumentu. Takšne logaritemske enačbe bomo pretvorili v kanonično obliko. Če želite to narediti, upoštevajte to

b = log a a b

Poleg tega je a b natanko argument. Prepišimo ta izraz na naslednji način:

log a f (x) = log a a b

To je točno to, kar poskušamo doseči, tako da obstaja logaritem za osnovo a tako na levi kot na desni. V tem primeru lahko, slikovito rečeno, prečrtamo znake hloda, z matematičnega vidika pa lahko rečemo, da preprosto enačimo argumente:

f (x) = a b

Posledično bomo dobili nov izraz, ki ga bo veliko lažje rešiti. Uporabimo to pravilo za naše današnje težave.

Torej, prvi dizajn:

Najprej ugotavljam, da je na desni ulomek, katerega imenovalec je log. Ko vidite izraz, kot je ta, je dobro, da se spomnite čudovite lastnosti logaritmov:

Prevedeno v ruščino, to pomeni, da lahko vsak logaritem predstavimo kot količnik dveh logaritmov s katero koli osnovo c. Seveda 0< с ≠ 1.

Torej: ta formula ima en čudovit poseben primer, ko je spremenljivka c enaka spremenljivki b. V tem primeru dobimo konstrukcijo, kot je:

To je točno konstrukcija, ki jo vidimo iz znaka na desni v naši enačbi. Zamenjajmo to konstrukcijo z log a b, dobimo:

Povedano drugače, v primerjavi s prvotno nalogo smo zamenjali argument in osnovo logaritma. Namesto tega smo morali ulomek obrniti.

Spomnimo se, da lahko katero koli stopnjo izpeljemo iz osnove v skladu z naslednjim pravilom:

Z drugimi besedami, koeficient k, ki je potenca baze, je izražen kot obrnjeni ulomek. Upodabljajmo ga kot obrnjen ulomek:

Delnega faktorja ne moremo pustiti spredaj, ker v tem primeru tega zapisa ne bomo mogli predstaviti kot kanonično obliko (navsezadnje v kanonični obliki pred drugim logaritmom ni dodatnega faktorja). Zato dodamo ulomek 1/4 argumentu kot potenco:

Zdaj enačimo argumente, katerih baze so enake (in naše baze so res enake), in zapišemo:

x + 5 = 1

x = −4

To je vse. Dobili smo odgovor na prvo logaritemsko enačbo. Prosimo, upoštevajte: v prvotni težavi se spremenljivka x pojavi samo v enem dnevniku in se pojavi v njegovem argumentu. Zato domene ni treba preverjati in naše število x = −4 je res odgovor.

Zdaj pa preidimo na drugi izraz:

log 56 = log 2 log 2 7 − 3log (x + 4)

Tukaj bomo poleg običajnih logaritmov morali delati z log f (x). Kako rešiti takšno enačbo? Nepripravljenemu študentu se morda zdi, da je to nekakšna težka naloga, v resnici pa je vse mogoče rešiti na elementaren način.

Pozorno si oglejte izraz lg 2 log 2 7. Kaj lahko rečemo o njem? Osnove in argumenti log in lg so enaki in to bi moralo dati nekaj idej. Spomnimo se še enkrat, kako se potence vzamejo izpod znaka logaritma:

log a b n = nlog a b

Z drugimi besedami, kar je bila potenca b v argumentu, postane faktor pred samim logom. Uporabimo to formulo za izraz lg 2 log 2 7. Naj vas lg 2 ne prestraši - to je najpogostejši izraz. Lahko ga prepišete na naslednji način:

Zanj veljajo vsa pravila, ki veljajo za katerikoli drug logaritem. Zlasti faktor spredaj se lahko doda stopnji argumenta. Zapišimo:

Zelo pogosto učenci tega dejanja neposredno ne vidijo, ker ni dobro vnašati enega dnevnika pod znak drugega. Pravzaprav v tem ni nič kaznivega. Poleg tega dobimo formulo, ki jo je enostavno izračunati, če se spomnite pomembnega pravila:

To formulo lahko obravnavamo kot definicijo in kot eno od njenih lastnosti. V vsakem primeru, če pretvarjate logaritemsko enačbo, bi morali poznati to formulo, tako kot bi poznali log predstavitev katerega koli števila.

Vrnimo se k naši nalogi. Prepišemo ga ob upoštevanju dejstva, da bo prvi člen desno od znaka enačaja preprosto enak lg 7. Imamo:

lg 56 = lg 7 − 3lg (x + 4)

Premaknimo lg 7 v levo, dobimo:

lg 56 − lg 7 = −3lg (x + 4)

Izraze na levi odštejemo, ker imajo enako osnovo:

lg (56/7) = −3lg (x + 4)

Zdaj pa si podrobneje oglejmo enačbo, ki smo jo dobili. To je praktično kanonična oblika, vendar je na desni strani faktor −3. Dodajmo ga desnemu argumentu lg:

log 8 = log (x + 4) −3

Pred nami je kanonična oblika logaritemske enačbe, zato prečrtamo znake lg in izenačimo argumente:

(x + 4) −3 = 8

x + 4 = 0,5

To je vse! Rešili smo drugo logaritemsko enačbo. V tem primeru dodatna preverjanja niso potrebna, ker je bil v prvotni težavi x prisoten le v enem argumentu.

Naj ponovno naštejem ključne točke te lekcije.

Glavna formula, ki se je učijo v vseh lekcijah na tej strani, namenjenih reševanju logaritemskih enačb, je kanonična oblika. In naj vas ne prestraši dejstvo, da vas večina šolskih učbenikov uči reševati takšne probleme drugače. To orodje deluje zelo učinkovito in vam omogoča reševanje veliko širšega razreda problemov od najpreprostejših, ki smo jih preučevali na samem začetku naše lekcije.

Poleg tega bo za reševanje logaritemskih enačb koristno poznati osnovne lastnosti. namreč:

1. Formula za premik na eno bazo in poseben primer, ko obrnemo dnevnik (to nam je zelo koristilo pri prvi nalogi);
2. Formula za seštevanje in odštevanje potenc od znaka logaritma. Tukaj se veliko študentov zatakne in ne vidijo, da lahko izpisana in vnesena diploma sama vsebuje log f (x). Nič narobe s tem. En log lahko uvedemo glede na predznak drugega in hkrati bistveno poenostavimo rešitev problema, kar opazimo v drugem primeru.

Na koncu bi rad dodal, da v vsakem od teh primerov ni potrebno preverjati domene definicije, saj je povsod spremenljivka x prisotna le v enem znaku loga, hkrati pa je v njegovem argumentu. Posledično so vse zahteve obsega izpolnjene samodejno.

Težave s spremenljivo osnovo

Danes si bomo ogledali logaritemske enačbe, ki se mnogim učencem zdijo nestandardne, če ne povsem nerešljive. Govorimo o izrazih, ki ne temeljijo na številih, ampak na spremenljivkah in celo funkcijah. Takšne konstrukcije bomo reševali z našo standardno tehniko, in sicer skozi kanonično obliko.

Najprej se spomnimo, kako se rešujejo najpreprostejši problemi, ki temeljijo na navadnih številkah. Tako se imenuje najpreprostejša konstrukcija

log a f (x) = b

Za rešitev takšnih težav lahko uporabimo naslednjo formulo:

b = log a a b

Prepišemo svoj prvotni izraz in dobimo:

log a f (x) = log a a b

Nato argumente izenačimo, torej zapišemo:

f (x) = a b

Tako se znebimo znaka dnevnika in rešimo običajno težavo. V tem primeru bodo koreni, dobljeni iz rešitve, koreni prvotne logaritemske enačbe. Poleg tega se zapis, ko sta leva in desna v istem logaritmu z isto osnovo, natančno imenuje kanonična oblika. Na takšen rekord bomo skušali zmanjšati današnje dizajne. Torej, gremo.

Prva naloga:

log x − 2 (2x 2 − 13x + 18) = 1

Zamenjajte 1 z log x − 2 (x − 2) 1 . Stopnja, ki jo opazimo v argumentu, je pravzaprav število b, ki je stalo desno od znaka enačaja. Tako prepišemo naš izraz. Dobimo:

log x − 2 (2x 2 − 13x + 18) = log x − 2 (x − 2)

Kaj vidimo? Pred nami je kanonična oblika logaritemske enačbe, tako da lahko mirno enačimo argumente. Dobimo:

2x 2 − 13x + 18 = x − 2

Toda rešitev se tu ne konča, saj ta enačba ni enakovredna prvotni. Navsezadnje je nastala konstrukcija sestavljena iz funkcij, ki so definirane na celotni številski premici, naši prvotni logaritmi pa niso definirani povsod in ne vedno.

Zato moramo domeno definicije zapisati posebej. Ne bomo cepili in najprej zapišimo vse zahteve:

Prvič, argument vsakega od logaritmov mora biti večji od 0:

2x 2 − 13x + 18 > 0

x − 2 > 0

Drugič, osnova ne sme biti samo večja od 0, ampak tudi drugačna od 1:

x − 2 ≠ 1

Kot rezultat dobimo sistem:

Vendar ne bodite prestrašeni: pri obdelavi logaritemskih enačb je tak sistem mogoče bistveno poenostaviti.

Presodite sami: po eni strani zahtevamo, da je kvadratna funkcija večja od nič, po drugi strani pa je ta kvadratna funkcija enačena z določenim linearnim izrazom, ki prav tako zahteva, da je večji od nič.

V tem primeru, če zahtevamo, da je x − 2 > 0, bo zahteva 2x 2 − 13x + 18 > 0 samodejno izpolnjena. Zato lahko neenakost, ki vsebuje kvadratno funkcijo, mirno prečrtamo. Tako se bo število izrazov v našem sistemu zmanjšalo na tri.

Seveda bi z enakim uspehom lahko prečrtali linearno neenačbo, torej prečrtali x − 2 > 0 in zahtevali, da je 2x 2 − 13x + 18 > 0. A strinjate se, da je rešitev najenostavnejše linearne neenačbe veliko hitrejša in enostavnejši od kvadratnega, tudi pod pogojem, da kot rezultat reševanja tega celotnega sistema dobimo enake korenine.

Na splošno poskušajte optimizirati izračune, kadar koli je to mogoče. In pri logaritemskih enačbah prečrtajte najtežje neenakosti.

Prepišimo naš sistem:

Tukaj je sistem treh izrazov, od katerih smo dva pravzaprav že obravnavali. Zapišimo kvadratno enačbo posebej in jo rešimo:

2x 2 − 14x + 20 = 0

x 2 − 7x + 10 = 0

Pred nami je reducirani kvadratni trinom in zato lahko uporabimo Vietove formule. Dobimo:

(x − 5)(x − 2) = 0

x 1 = 5

x 2 = 2

Zdaj se vrnemo k našemu sistemu in ugotovimo, da nam x = 2 ne ustreza, ker zahtevamo, da je x strogo večji od 2.

Toda x = 5 nam popolnoma ustreza: število 5 je večje od 2, hkrati pa 5 ni enako 3. Zato bo edina rešitev tega sistema x = 5.

To je to, problem je rešen, vključno z upoštevanjem ODZ. Pojdimo k drugi enačbi. Več zanimivih in poučnih izračunov nas čaka tukaj:

Prvi korak: kot zadnjič, celotno zadevo spravimo v kanonično obliko. Če želite to narediti, lahko številko 9 zapišemo na naslednji način:

Ni vam treba dotikati osnove s korenom, vendar je bolje preoblikovati argument. Pojdimo od korena na potenco z racionalnim eksponentom. Zapišimo:

Naj ne prepišem naše celotne velike logaritemske enačbe, ampak samo takoj izenačim argumente:

x 3 + 10x 2 + 31x + 30 = x 3 + 9x 2 + 27x + 27

x 2 + 4x + 3 = 0

Pred nami je na novo reducirani kvadratni trinom, uporabimo Vietove formule in zapišimo:

(x + 3) (x + 1) = 0

x 1 = −3

x 2 = −1

Torej, dobili smo korenine, vendar nam nihče ni zagotovil, da bodo ustrezale prvotni logaritemski enačbi. Navsezadnje znaki dnevnika postavljajo dodatne omejitve (tukaj bi morali zapisati sistem, vendar sem se zaradi okornosti celotne strukture odločil, da domeno definicije izračunam posebej).

Najprej si zapomnite, da morajo biti argumenti večji od 0, in sicer:

To so zahteve, ki jih nalaga obseg definicije.

Naj takoj opozorimo, da ker prva dva izraza sistema enačimo med seboj, lahko kateregakoli prečrtamo. Prvega prečrtajmo, ker je videti bolj grozeč od drugega.

Poleg tega upoštevajte, da bodo rešitve druge in tretje neenakosti enake množice (kocka nekega števila je večja od nič, če je to število samo večje od nič; podobno, s korenom tretje stopnje - te neenakosti so popolnoma analogne, zato jih lahko prečrtamo).

Toda s tretjo neenakostjo to ne bo delovalo. Znebimo se radikalnega znaka na levi tako, da oba dela dvignemo v kocko. Dobimo:

Tako dobimo naslednje zahteve:

− 2 ≠ x > −3

Katera od naših korenin: x 1 = −3 ali x 2 = −1 izpolnjuje te zahteve? Očitno samo x = −1, ker x = −3 ne zadošča prvi neenakosti (ker je naša neenakost stroga). Torej, če se vrnemo k našemu problemu, dobimo en koren: x = −1. To je to, problem rešen.

Še enkrat, ključne točke te naloge:

1. Lahko uporabite in rešite logaritemske enačbe z uporabo kanonične oblike. Učenci, ki naredijo tak zapis, namesto da bi se premaknili neposredno od prvotnega problema do konstrukcije, kot je log a f (x) = b, naredijo veliko manj napak kot tisti, ki nekam hitijo in preskočijo vmesne korake izračunov;
2. Takoj ko se v logaritmu pojavi spremenljiva osnova, problem ni več najenostavnejši. Zato je pri reševanju potrebno upoštevati domeno definicije: argumenti morajo biti večji od nič, baze pa ne le večje od 0, ampak tudi ne smejo biti enake 1.

Končne zahteve je mogoče na različne načine uporabiti za končne odgovore. Na primer, rešite lahko celoten sistem, ki vsebuje vse zahteve za domeno definicije. Po drugi strani pa lahko najprej rešite sam problem, nato pa si zapomnite domeno definicije, jo posebej razdelate v obliki sistema in jo uporabite za dobljene korenine.

Katero metodo izbrati pri reševanju določene logaritemske enačbe, je odvisno od vas. V vsakem primeru bo odgovor enak.

Logaritemske enačbe. Še naprej obravnavamo težave iz dela B Enotnega državnega izpita iz matematike. Rešitve nekaterih enačb smo že preučili v člankih "", "". V tem članku si bomo ogledali logaritemske enačbe. Takoj bom rekel, da pri reševanju takšnih enačb na Enotnem državnem izpitu ne bo zapletenih transformacij. Preprosti so.

Dovolj je poznati in razumeti osnovno logaritemsko identiteto, poznati lastnosti logaritma. Upoštevajte, da po rešitvi MORATE opraviti preverjanje - nadomestite dobljeno vrednost v prvotno enačbo in izračunajte, na koncu bi morali dobiti pravilno enakost.

Opredelitev:

Logaritem števila na osnovo b je eksponent,na katerega je treba dvigniti b, da dobimo a.

Na primer:

Log 3 9 = 2, ker je 3 2 = 9

Lastnosti logaritmov:

Posebni primeri logaritmov:

Rešimo probleme. V prvem primeru bomo naredili preverjanje. V prihodnje preverite sami.

Poiščite koren enačbe: log 3 (4–x) = 4

Ker je log b a = x b x = a, potem

3 4 = 4 – x

x = 4 – 81

x = – 77

Pregled:

log 3 (4–(–77)) = 4

dnevnik 3 81 = 4

3 4 = 81 Pravilno.

Odgovor: – 77

Odločite se sami:

Poiščite koren enačbe: log 2 (4 – x) = 7

Poiščite koren enačbe log 5(4 + x) = 2

Uporabljamo osnovno logaritemsko identiteto.

Ker je log a b = x b x = a, potem

5 2 = 4 + x

x =5 2 – 4

x = 21

Pregled:

log 5 (4 + 21) = 2

dnevnik 5 25 = 2

5 2 = 25 Pravilno.

Odgovor: 21

Poiščite koren enačbe log 3 (14 – x) = log 3 5.

Velja naslednja lastnost, njen pomen pa je naslednji: če imamo na levi in ​​desni strani enačbe logaritme z isto osnovo, potem lahko enačimo izraze pod znaki logaritmov.

14 – x = 5

x=9

Naredite pregled.

Odgovor: 9

Odločite se sami:

Poiščite koren enačbe log 5 (5 – x) = log 5 3.

Poiščite koren enačbe: log 4 (x + 3) = log 4 (4x – 15).

Če je log c a = log c b, potem je a = b

x + 3 = 4x – 15

3x = 18

x = 6

Naredite pregled.

Odgovor: 6

Poiščite koren enačbe log 1/8 (13 – x) = – 2.

(1/8) –2 = 13 – x

8 2 = 13 – x

x = 13 – 64

x = – 51

Naredite pregled.

Majhen dodatek - nepremičnina se uporablja tukaj

stopinj ().

Odgovor: – 51

Odločite se sami:

Poiščite koren enačbe: log 1/7 (7 – x) = – 2

Poiščite koren enačbe log 2 (4 – x) = 2 log 2 5.

Preoblikujemo desno stran. Uporabimo lastnost:

log a b m = m∙log a b

log 2 (4 – x) = log 2 5 2

Če je log c a = log c b, potem je a = b

4 – x = 5 2

4 – x = 25

x = – 21

Naredite pregled.

Odgovor: – 21

Odločite se sami:

Poiščite koren enačbe: log 5 (5 – x) = 2 log 5 3

Rešite enačbo log 5 (x 2 + 4x) = log 5 (x 2 + 11)

Če je log c a = log c b, potem je a = b

x 2 + 4x = x 2 + 11

4x = 11

x = 2,75

Naredite pregled.

Odgovor: 2,75

Odločite se sami:

Poiščite koren enačbe log 5 (x 2 + x) = log 5 (x 2 + 10).

Rešite enačbo log 2 (2 – x) = log 2 (2 – 3x) +1.

Na desni strani enačbe je treba dobiti izraz oblike:

dnevnik 2 (......)

1 predstavljamo kot logaritem z osnovo 2:

1 = dnevnik 2 2

log c (ab) = log c a + log c b

log 2 (2 – x) = log 2 (2 – 3x) + log 2 2

Dobimo:

log 2 (2 – x) = log 2 2 (2 – 3x)

Če je log c a = log c b, potem je a = b, potem

2 – x = 4 – 6x

5x = 2

x = 0,4

Naredite pregled.

Odgovor: 0,4

Odločite se sami: Nato morate rešiti kvadratno enačbo. Mimogrede,

korena sta 6 in – 4.

Koren "–4" ni rešitev, ker mora biti osnova logaritma večja od nič, in z "– 4" je enako " – 5". Rešitev je root 6.Naredite pregled.

Odgovor: 6.

R jejte sami:

Rešite enačbo log x –5 49 = 2. Če ima enačba več kot en koren, odgovorite z manjšim.

Kot ste videli, ni zapletenih transformacij z logaritemskimi enačbamišt. Dovolj je poznati lastnosti logaritma in jih znati uporabiti. Pri problemih USE, povezanih s transformacijo logaritemskih izrazov, se izvajajo resnejše transformacije in zahtevajo več poglobljenih veščin pri reševanju. Ogledali si bomo takšne primere, ne zamudite jih!Želim ti uspeh!!!

S spoštovanjem, Alexander Krutitskikh.

P.S: Hvaležen bi bil, če bi mi povedali o spletnem mestu na družbenih omrežjih.