Kako pomnožiti decimalko z negativnim številom. Pravila za množenje negativnih števil

V tem članku bomo oblikovali pravilo množenja negativna števila in mu daj razlago. Podrobneje bomo obravnavali postopek množenja negativnih števil. Primeri prikazujejo vse možne primere.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Množenje negativnih števil

Definicija 1

Pravilo za množenje negativnih števil je, da je treba za množenje dveh negativnih števil pomnožiti njuna modula. To pravilo je zapisano takole: za katera koli negativna števila – a, - b, velja ta enakost za resnično.

(- a) · (- b) = a · b.

Zgoraj je pravilo za množenje dveh negativnih števil. Na podlagi tega dokažemo izraz: (- a) · (- b) = a · b. Članek o množenju števil z različnimi predznaki pravi, da veljajo enakosti a · (- b) = - a · b, kot tudi (- a) · b = - a · b. To izhaja iz lastnosti nasprotnih števil, zaradi katere bodo enačbe zapisane takole:

(- a) · (- b) = - (- a · (- b)) = - (- (a · b)) = a · b.

Tukaj lahko jasno vidite dokaz pravila za množenje negativnih števil. Na podlagi primerov je jasno, da je produkt dveh negativnih števil pozitivno število. Pri množenju modulov števil je rezultat vedno pozitivno število.

To pravilo velja za množenje realna števila, racionalna števila, cela števila.

Zdaj pa si podrobneje oglejmo primere množenja dveh negativnih števil. Pri izračunu morate uporabiti zgoraj napisano pravilo.

Primer 1

Pomnožite številke - 3 in - 5.

rešitev.

Absolutna vrednost obeh števil, ki ju množimo, je enaka pozitivnima številoma 3 in 5. Rezultat njihovega izdelka je 15. Iz tega sledi, da je produkt danih števil 15

Naj na kratko zapišemo samo množenje negativnih števil:

(- 3) · (- 5) = 3 · 5 = 15

Odgovor: (- 3) · (- 5) = 15.

Pri množenju negativnih racionalnih števil z uporabo obravnavanega pravila se lahko mobilizirate za množenje ulomkov, množenje mešana števila, množenje decimalnih mest.

Primer 2

Izračunaj zmnožek (- 0 , 125) · (- 6) .

rešitev.

Z uporabo pravila za množenje negativnih števil dobimo, da je (− 0, 125) · (− 6) = 0, 125 · 6. Če želite dobiti rezultat, morate decimalni ulomek pomnožiti z naravno število stolpce. Videti je takole:

Ugotovili smo, da bo izraz v obliki (− 0, 125) · (− 6) = 0, 125 · 6 = 0, 75.

Odgovor: (− 0, 125) · (− 6) = 0, 75.

V primeru, ko so faktorji iracionalna števila, lahko njihov produkt zapišemo v obliki številski izraz. Vrednost se izračuna samo, kadar je to potrebno.

Primer 3

Potrebno je pomnožiti negativno - 2 z nenegativnim logom 5 1 3.

rešitev

Iskanje modulov danih števil:

2 = 2 in log 5 1 3 = - log 5 3 = log 5 3 .

Izhajajoč iz pravil za množenje negativnih števil, dobimo rezultat - 2 · log 5 1 3 = - 2 · log 5 3 = 2 · log 5 3 . Ta izraz je odgovor.

odgovor: - 2 · log 5 1 3 = - 2 · log 5 3 = 2 · log 5 3 .

Če želite nadaljevati s preučevanjem teme, morate ponoviti razdelek o množenju realnih števil.

Če v besedilu opazite napako, jo označite in pritisnite Ctrl+Enter

V tem članku se bomo ukvarjali z množenje števil z različnimi predznaki. Tu bomo najprej oblikovali pravilo za množenje pozitivnih in negativnih števil, ga utemeljili, nato pa razmislili o uporabi tega pravila pri reševanju primerov.

Navigacija po strani.

Pravilo za množenje števil z različnimi predznaki

Množenje pozitivnega števila z negativnim številom, pa tudi negativnega števila s pozitivnim številom, se izvede na naslednji način: pravilo množenja števil z različnimi predznaki: če želite pomnožiti števila z različnimi predznaki, morate pomnožiti in pred rezultatom dati znak minus.

Zapišimo to pravilo v črkovni obliki. Za vsako pozitivno realno število a in vsako negativno realno število −b velja enakost a·(−b)=−(|a|·|b|) , in tudi za negativno število −a in pozitivno število b enakost (−a)·b=−(|a|·|b|) .

Pravilo za množenje števil z različnimi znaki je popolnoma skladno z lastnosti operacij z realnimi števili. Dejansko je na njihovi podlagi enostavno pokazati, da za realna in pozitivna števila a in b obstaja veriga enakosti oblike a·(−b)+a·b=a·((−b)+b)=a·0=0, kar dokazuje, da sta a·(−b) in a·b nasprotni števili, kar implicira enakost a·(−b)=−(a·b) . In iz tega sledi veljavnost zadevnega pravila množenja.

Upoštevati je treba, da navedeno pravilo za množenje števil z različnimi predznaki velja tako za realna števila kot za racionalna števila in za cela števila. To izhaja iz dejstva, da imajo operacije z racionalnimi in celimi števili enake lastnosti, kot so bile uporabljene v zgornjem dokazu.

Jasno je, da se množenje števil z različnimi predznaki po dobljenem pravilu zmanjša na množenje pozitivnih števil.

Pretehtamo le primere uporabe razstavljenega pravila množenja pri množenju števil z različnimi znaki.

Primeri množenja števil z različnimi predznaki

Poglejmo si več rešitev primeri množenja števil z različnimi predznaki. Začnimo s preprostim primerom, da se osredotočimo na korake pravila in ne na računsko zapletenost.

Pomnožite negativno število −4 s pozitivnim številom 5.

Po pravilu za množenje števil z različnimi predznaki moramo najprej pomnožiti absolutne vrednosti prvotnih faktorjev. Modul −4 je 4, modul 5 pa 5 in če pomnožimo naravni števili 4 in 5, dobimo 20. Na koncu ostane še, da pred nastalo številko postavimo znak minus, imamo −20. S tem je množenje končano.

Na kratko lahko rešitev zapišemo takole: (−4)·5=−(4·5)=−20.

(−4)·5=−20.

Pri množenju ulomkov z različnimi predznaki morate znati izvesti množenje navadni ulomki, množenje decimalnih ulomkov in njihovih kombinacij z naravnimi in mešanimi števili.

Pomnožite števila z različnimi predznaki 0, (2) in.

Ko smo izvedli pretvorbo periodičnega decimalnega ulomka v navadni ulomek in izvedli tudi prehod iz mešanega števila v nepravilni ulomek, bomo iz prvotnega produkta prišli do produkta navadnih ulomkov z različnimi znaki oblike . Ta produkt je enak pravilu za množenje števil z različnimi predznaki. Vse, kar ostane, je, da pomnožimo navadne ulomke v oklepajih, ki jih imamo .

.

Ločeno je treba omeniti množenje števil z različnimi predznaki, ko sta eden ali oba faktorja

Zdaj pa se ukvarjajmo s množenje in deljenje.

Recimo, da moramo +3 pomnožiti z -4. Kako narediti?

Razmislimo o takem primeru. Trije ljudje so zadolženi in vsak ima 4 dolarje dolga. Kolikšen je skupni dolg? Da bi ga našli, morate sešteti vse tri dolgove: 4 dolarje + 4 dolarje + 4 dolarje = 12 dolarjev. Odločili smo se, da seštevek treh številk 4 označimo kot 3x4. Od leta v tem primeru govorimo o dolgu, pred 4 je znak "-". Vemo, da je skupni dolg 12 $, zato je naš problem zdaj 3x(-4)=-12.

Enak rezultat bomo dobili, če ima v skladu s problemom vsaka od štirih oseb dolg 3 $. Z drugimi besedami, (+4)x(-3)=-12. In ker vrstni red faktorjev ni pomemben, dobimo (-4)x(+3)=-12 in (+4)x(-3)=-12.

Povzemimo rezultate. Ko pomnožite eno pozitivno število in eno negativno število, bo rezultat vedno negativno število. Številčna vrednost odgovora bo enaka kot v primeru pozitivnih števil. Produkt (+4)x(+3)=+12. Prisotnost znaka »-« vpliva samo na znak, ne pa na številčno vrednost.

Kako pomnožiti dve negativni števili?

Na žalost je na to temo zelo težko najti primeren primer iz resničnega življenja. Zlahka si je predstavljati dolg v višini 3 ali 4 dolarjev, popolnoma nemogoče pa si je predstavljati -4 ali -3 ljudi, ki so se zadolžili.

Morda bomo šli drugače. Pri množenju, ko se spremeni predznak enega od faktorjev, se predznak produkta spremeni. Če spremenimo predznaka obeh faktorjev, moramo spremeniti dvakrat delovna oznaka, najprej iz pozitivnega v negativno, nato pa obratno, iz negativnega v pozitivno, to pomeni, da bo izdelek imel začetni predznak.

Zato je povsem logično, čeprav malo čudno, da je (-3) x (-4) = +12.

Položaj znaka ko se pomnoži, se spremeni takole:

• pozitivno število x pozitivno število = pozitivno število;
• negativno število x pozitivno število = negativno število;
• pozitivno število x negativno število = negativno število;
• negativno število x negativno število = pozitivno število.

Z drugimi besedami, če pomnožimo dve števili z enakimi predznaki, dobimo pozitivno število. Če pomnožimo dve števili z različnimi predznaki, dobimo negativno število.

Enako pravilo velja za dejanje, ki je nasprotno množenju – za.

To lahko preprosto preverite tako, da zaženete inverzne operacije množenja. Če v vsakem od zgornjih primerov pomnožite količnik z deliteljem, boste dobili dividendo in se prepričajte, da ima enak predznak, na primer (-3)x(-4)=(+12).

Ker prihaja zima, je čas, da razmislite, v kaj preobuti čevlje svojega železnega konja, da ne bi zdrsnil na ledu in se počutil samozavestnega na zimskih cestah. Pnevmatike Yokohama lahko na primer kupite na spletnem mestu: mvo.ru ali nekaterih drugih, glavna stvar je, da so visoke kakovosti, več informacij in cene najdete na spletnem mestu Mvo.ru.

Ta članek daje podroben pregled deljenje števil z različnimi predznaki. Najprej je podano pravilo za deljenje števil z različnimi predznaki. Spodaj so primeri deljenja pozitivnih števil z negativnimi in negativnih števil s pozitivnimi.

Navigacija po strani.

Pravilo za deljenje števil z različnimi predznaki

V članku deljenje celih števil je bilo pridobljeno pravilo za deljenje celih števil z različnimi predznaki. Razširimo ga lahko na racionalna in realna števila, če ponovimo vse sklepanje iz zgornjega članka.

Torej, pravilo za deljenje števil z različnimi predznaki ima naslednjo formulacijo: če želite pozitivno število deliti z negativnim ali negativno število s pozitivnim, morate dividendo deliti z modulom delitelja in pred dobljeno številko postaviti znak minus.

Zapišimo to pravilo delitve s črkami. Če imata števili a in b različna znamenja, potem je formula veljavna a:b=−|a|:|b| .

Iz navedenega pravila je razvidno, da je rezultat deljenja števil z različnimi predznaki negativno število. Ker sta modul dividende in modul delitelja pozitivni števili, je njun količnik pozitivno število, znak minus pa naredi to število negativno.

Upoštevajte, da obravnavano pravilo reducira deljenje števil z različnimi predznaki na deljenje pozitivnih števil.

Lahko podate še eno formulacijo pravila za deljenje števil z različnimi predznaki: če želite število a deliti s številom b, morate število a pomnožiti s številom b −1, inverznim številom b. to je a:b=a b −1 .

To pravilo je mogoče uporabiti, ko je mogoče preseči nabor celih števil (ker vsako celo število nima inverza). Z drugimi besedami, velja tako za niz racionalnih števil kot tudi za niz realnih števil.

Jasno je, da vam to pravilo za deljenje števil z različnimi predznaki omogoča prehod od deljenja k množenju.

Enako pravilo se uporablja pri deljenju negativnih števil.

Še vedno je treba razmisliti, kako se to pravilo za deljenje števil z različnimi znaki uporablja pri reševanju primerov.

Primeri deljenja števil z različnimi predznaki

Razmislimo o rešitvah več značilnosti primeri deljenja števil z različnimi predznaki razumeti načelo uporabe pravil iz prejšnjega odstavka.

Deli negativno število −35 s pozitivnim številom 7.

Pravilo za deljenje števil z različnimi predznaki predpisuje najprej iskanje modulov dividende in delitelja. Modul −35 je 35, modul 7 pa 7. Zdaj moramo modul dividende deliti z modulom delitelja, to je, da moramo 35 deliti s 7. Če se spomnimo, kako poteka deljenje naravnih števil, dobimo 35:7=5. Zadnji preostali korak v pravilu deljenja števil z različnimi predznaki je, da pred dobljeno številko postavimo minus, imamo −5.

Tukaj je celotna rešitev: .

Izhajati je bilo mogoče iz drugačne formulacije pravila za deljenje števil z različnimi znaki. V tem primeru najprej poiščemo inverz delitelja 7. To število je navadni ulomek 1/7. Tako,. Ostaja še pomnožiti števila z različnimi predznaki: . Očitno smo prišli do enakega rezultata.

(−35):7=−5 .

Izračunaj količnik 8:(−60) .

Po pravilu za deljenje števil z različnimi predznaki imamo 8:(−60)=−(|8|:|−60|)=−(8:60) . Dobljeni izraz ustreza negativnemu navadnemu ulomku (glejte znak deljenja kot ulomkovo vrstico), ulomek lahko zmanjšate za 4, dobimo .

Na kratko zapišimo celotno rešitev: .

.

Pri deljenju ulomkov racionalnih števil z različnimi predznaki sta njihov delitelj in delitelj običajno predstavljena kot navadni ulomki. To je posledica dejstva, da ni vedno priročno izvajati deljenja s številkami v drugem zapisu (na primer v decimalnem).

Modul dividende je enak, modul delitelja pa 0,(23) . Če želite deliti modul dividende z modulom delitelja, pojdimo na navadne ulomke.

V tem članku bomo razumeli postopek množenje negativnih števil. Najprej oblikujemo pravilo množenja negativnih števil in ga utemeljimo. Po tem bomo prešli na reševanje tipičnih primerov.

Navigacija po strani.

Takoj ga objavimo pravilo množenja negativnih števil: Če želite pomnožiti dve negativni števili, morate pomnožiti njuni absolutni vrednosti.

Zapišimo to pravilo s črkami: za poljubni negativni realni števili −a in −b (v tem primeru sta števili a in b pozitivni) velja enakost: (−a)·(−b)=a·b .

Dokažimo pravilo množenja negativnih števil, torej dokažimo enakost (−a)·(−b)=a·b.

V članku o množenju števil z različnimi predznaki smo utemeljili veljavnost enakosti a·(−b)=−a·b, podobno je prikazano, da je (−a)·b=−a·b. Ti rezultati in lastnosti nasprotnih števil nam omogočajo, da zapišemo naslednje enačbe (−a)·(−b)=−(a·(−b))=−(−(a·b))=a·b. To dokazuje pravilo za množenje negativnih števil.

Iz zgornjega pravila množenja je jasno, da je produkt dveh negativnih števil pozitivno število. Ker je modul katerega koli števila pozitiven, je tudi produkt modulov pozitivno število.

Za zaključek te točke ugotavljamo, da se obravnavano pravilo lahko uporablja za množenje realnih števil, racionalnih števil in celih števil.

Čas je, da to uredimo primeri množenja dveh negativnih števil, bomo pri reševanju uporabili pravilo, pridobljeno v prejšnjem odstavku.

Pomnožite dve negativni števili −3 in −5.

Modula števil, ki jih množimo, sta 3 oziroma 5. Zmnožek teh števil je 15 (po potrebi glejte množenje naravnih števil), torej je zmnožek prvotnih števil 15.

Celoten postopek množenja začetnih negativnih števil na kratko zapišemo takole: (−3)·(−5)= 3·5=15.

Množenje negativnih racionalnih števil z uporabo razstavljenega pravila je mogoče zmanjšati na množenje navadnih ulomkov, množenje mešanih števil ali množenje decimalnih mest.

Izračunaj zmnožek (−0,125)·(−6) .

Po pravilu za množenje negativnih števil imamo (−0,125)·(−6)=0,125·6. Ostane le še dokončati izračune; decimalni ulomek pomnožimo z naravnim številom v stolpcu:

Nazadnje upoštevajte, da če sta eden ali oba faktorja iracionalna števila, podana v obliki korenov, logaritmov, potenc itd., je treba njihov produkt pogosto zapisati kot numerični izraz. Vrednost dobljenega izraza se izračuna le, kadar je to potrebno.

Pomnožite negativno število z negativnim številom.

Najprej poiščimo module števil, ki jih množimo: in (glej lastnosti logaritma). Potem imamo po pravilu množenja negativnih števil. Nastali izdelek je odgovor.

.

S preučevanjem teme lahko nadaljujete s sklicevanjem na razdelek množenje realnih števil.

Z nekaj natega velja enaka razlaga za produkt 1-5, če predpostavimo, da je "vsota" iz enega samega

izraz je enak temu izrazu. Toda produkta 0 5 ali (-3) 5 ni mogoče razložiti na ta način: kaj pomeni vsota nič ali minus treh členov?

Vendar pa lahko dejavnike preuredite

Če želimo, da se produkt ne spremeni, ko se faktorji prerazporedijo - kot je bilo v primeru pozitivnih števil -, potem moramo predpostaviti, da

Zdaj pa preidimo na produkt (-3) (-5). Kaj je enako: -15 ali +15? Obe možnosti imata razlog. Po eni strani že minus pri enem faktorju naredi produkt negativen - še toliko bolj bi moral biti negativen, če sta negativna oba dejavnika. Po drugi strani pa v tabeli. 7 ima že dva minusa, vendar le en plus, in "po pravici" (-3)-(-5) bi moralo biti enako +15. Kaj bi torej raje imeli?

Seveda vas takšno govorjenje ne bo zmedlo: iz šolskega tečaja matematike ste se trdno naučili, da minus za minusom daje plus. Toda predstavljajte si, da vas vaš mlajši brat ali sestra vpraša: zakaj? Kaj je to - učiteljeva muha, ukaz višjih oblasti ali izrek, ki ga je mogoče dokazati?

Običajno je pravilo za množenje negativnih števil razloženo s primeri, kot je prikazan v tabeli. 8.

Lahko se razloži drugače. Zapišimo števila v vrsto

• Seštevanje negativnih števil Seštevanje pozitivnih in negativnih števil lahko analiziramo s pomočjo številske premice. Seštevanje števil s koordinatno črto Priročno je seštevati majhna modulo števila z uporabo [...]
• Pomen besede Pojasnite pomen besed: zakon, oderuh, suženj-dolžnik. Pojasnite pomen besed: zakon, oderuh, suženj-dolžnik. SLASTNE JAGODE (Gost) Šole Vprašanja na temo 1. Na katere 3 vrste lahko razdelimo […]
• Enotna davčna stopnja - 2018 Enotna davčna stopnja - 2018 za podjetnike posameznike prve in druge skupine se izračuna kot odstotek velikosti življenjska plača in minimalna plača, določena 1. januarja […]
• Ali potrebujete dovoljenje za uporabo radia v avtu? kje ga lahko preberem? Svojo radijsko postajo morate v vsakem primeru registrirati. Voki-tokiji, ki delujejo na frekvenci 462MHz, če niste predstavnik Ministrstva za notranje zadeve, niso […]
• Izpitne karte kategorije prometnih pravil SD 2018 Izpitne karte CD Državnega inšpektorata za varnost prometa 2018 Uradne izpitne karte kategorije SD 2018. Vstopnice in komentarji temeljijo na prometnih pravilih od 18. julija 2018 […]
• Tečaji tuji jeziki v Kijevu "European Education" angleški italijanski nizozemski norveški islandski vietnamski burmanski bengalski sinhalski tagaloški nepalski malgaški kjer koli […]

Zdaj zapišimo iste številke, pomnožene s 3:

Zlahka opazimo, da je vsaka številka za 3 večja od prejšnje. Zdaj zapišimo iste številke v obratnem vrstnem redu (začenši na primer s 5 in 15):

Še več, pod številko -5 je bilo število -15, torej 3 (-5) = -15: plus z minusom daje minus.

Zdaj pa ponovimo isti postopek in pomnožimo števila 1,2,3,4,5. za -3 (že vemo, da plus z minusom daje minus):

Vsak naslednja številka spodnja vrstica je za 3 manjša od prejšnje. Zapišite številke v obratnem vrstnem redu

Pod številko -5 je 15, torej (-3) (-5) = 15.

Morda bi vas te razlage zadovoljile mlajši brat ali sestra. Imate pa pravico vprašati, kako je v resnici in ali je mogoče dokazati, da je (-3) (-5) = 15?

Odgovor je, da lahko dokažemo, da mora biti (-3) (-5) enako 15, če želimo, da običajne lastnosti seštevanja, odštevanja in množenja ostanejo resnične za vsa števila, vključno z negativnimi. Oris tega dokaza je naslednji.

Najprej dokažimo, da je 3 (-5) = -15. Kaj je -15? To je nasprotno število od 15, to je število, ki ga prištejemo k 15, da 0. Torej moramo dokazati, da

(Če smo vzeli 3 iz oklepaja, smo uporabili zakon distribucije ab + ac = a(b + c) za – navsezadnje predpostavljamo, da ostaja resničen za vsa števila, vključno z negativnimi.) Torej, (Natančni bralec nas bo vprašal, zakaj. Iskreno priznamo: preskočili smo dokaz tega dejstva - kot tudi splošno razpravo o tem, kaj je nič.)

Dokažimo zdaj, da je (-3) (-5) = 15. Da bi to naredili, zapišemo

in obe strani enakosti pomnožimo z -5:

Odprimo oklepaje na levi strani:

tj. (-3) (-5) + (-15) = 0. Število je torej nasprotno številu -15, tj. enako 15. (V tem razmišljanju so tudi vrzeli: treba bi bilo dokazati, da obstaja samo eno število, nasprotno od -15.)

Pravila za množenje negativnih števil

Ali pravilno razumemo množenje?

»A in B sta sedela na cevi. A je padel, B je izginil, kaj je ostalo na cevi?
"Vaše pismo I ostaja."

(Iz filma "Mladi v vesolju")

Zakaj množenje števila z nič povzroči nič?

Zakaj z množenjem dveh negativnih števil nastane pozitivno število?

Učitelji najdejo vse, kar lahko, da bi odgovorili na ti dve vprašanji.

A nihče nima poguma priznati, da so v formulaciji množenja tri pomenske napake!

Ali je možna napaka pri osnovni aritmetiki? Navsezadnje se matematika postavlja kot natančna znanost.

Šolski učbeniki matematike ne dajejo odgovorov na ta vprašanja, razlage nadomeščajo s pravili, ki si jih je treba zapomniti. Morda je to temo težko razložiti v srednji šoli? Poskusimo razumeti ta vprašanja.

7 je množitelj. 3 je množitelj. 21-delo.

Po uradnem besedilu:

• pomnožiti število z drugim številom pomeni prišteti toliko množiteljev, kot jih predpisuje množitelj.

V skladu s sprejeto formulacijo nam faktor 3 pove, da bi morale biti na desni strani enakosti tri sedmice.

7 * 3 = 7 + 7 + 7 = 21

Toda ta formulacija množenja ne more pojasniti zgoraj zastavljenih vprašanj.

Popravimo besedilo množenja

Ponavadi je pri matematiki veliko mišljenega, a se o tem ne govori in ne zapisuje.

To se nanaša na znak plus pred prvimi sedmimi na desni strani enačbe. Zapišimo ta plus.

7 * 3 = + 7 + 7 + 7 = 21

Toda čemu je dodano prvih sedem? To seveda pomeni na nulo. Zapišimo nulo.

7 * 3 = 0 + 7 + 7 + 7 = 21

Kaj pa, če pomnožimo s tri minus sedem?

— 7 * 3 = 0 + (-7) + (-7) + (-7) = — 21

Zapišemo seštevek množitelja -7, v resnici pa večkrat odštejemo od nič. Odprimo oklepaje.

— 7 * 3 = 0 — 7 — 7 — 7 = — 21

Zdaj lahko podamo prečiščeno formulacijo množenja.

• Množenje je postopek ponavljajočega seštevanja (ali odštevanja od nič) množitelja (-7) tolikokrat, kot kaže množitelj. Množitelj (3) in njegov predznak (+ ali -) označujeta število operacij, ki se dodajo ali odštejejo od nič.

Z uporabo te razjasnjene in nekoliko spremenjene formulacije množenja so preprosto razložena "predznakovalna pravila" za množenje, ko je množitelj negativen.

7 * (-3) - za ničlo morajo biti trije znaki minus = 0 - (+7) - (+7) - (+7) = - 21

- 7 * (-3) - spet morajo biti trije znaki minus za ničlo =

0 — (-7) — (-7) — (-7) = 0 + 7 + 7 + 7 = + 21

Pomnoži z nič

7 * 0 = 0 + . ni operacij seštevanja z ničlo.

Če je množenje dodatek k ničli in množitelj prikazuje število operacij dodajanja k ničli, potem množitelj nič kaže, da nič ni dodano nič. Zato ostaja nič.

Tako smo v obstoječi formulaciji množenja našli tri semantične napake, ki blokirajo razumevanje dveh "predznakovnih pravil" (ko je množitelj negativen) in množenje števila z ničlo.

1. Ni vam treba dodati množitelja, ampak ga dodajte ničli.
2. Množenje ni samo seštevanje na nič, ampak tudi odštevanje od nič.
3. Množitelj in njegov predznak ne kažeta števila členov, temveč število predznakov plus ali minus pri razgradnji množenja na člene (ali odštete).

Ko smo formulacijo nekoliko razjasnili, smo lahko razložili pravila predznakov za množenje in množenje števila z nič brez pomoči komutativnega zakona množenja, brez distribucijskega zakona, brez vključevanja analogij s številsko premico, brez enačb. , brez dokaza iz nasprotne strani itd.

Pravila znakov za prečiščeno formulacijo množenja so izpeljana zelo preprosto.

7 * (+3) = 0 + (-7) + (-7) + (-7) = 0 — 7 — 7 — 7 = -21 (- + = -)

7 * (-3) = 0 — (+7) — (+7) — (+7) = 0 — 7 — 7 — 7 = -21 (+ — = -)

7 * (-3) = 0 — (-7) — (-7) — (-7) = 0 + 7 + 7 + 7 = +21 (- — = +)

Množitelj in njegov predznak (+3 ali -3) označujeta število predznakov »+« ali »-« na desni strani enačbe.

Spremenjena formulacija množenja ustreza operaciji dviga števila na potenco.

2^0 = 1 (ena se ne pomnoži ali deli z ničemer, tako da ostane ena)

2^-2 = 1: 2: 2 = 1/4

2^-3 = 1: 2: 2: 2 = 1/8

Matematiki se strinjajo, da povišanje števila na pozitivna stopnja je večkratno množenje enega. Dvig števila na negativno potenco pomeni večkratno deljenje števila.

Operacija množenja bi morala biti podobna operaciji potenciranja.

2*3 = 0 + 2 + 2 + 2 = 6

2*0 = 0 (nič ni dodano nič in nič ni odšteto od nič)

2*-3 = 0 — 2 — 2 — 2 = -6

Spremenjena formulacija množenja ne spreminja ničesar v matematiki, ampak vrača prvotni pomen operacije množenja, pojasnjuje "pravila znakov", množenje števila z ničlo in usklajuje množenje s potenciranjem.

Preverimo, ali je naša formulacija množenja skladna z operacijo deljenja.

15: 5 = 3 (obratno množenje 5 * 3 = 15)

Kvocient (3) ustreza številu operacij dodajanja na nič (+3) med množenjem.

Deljenje števila 15 s 5 pomeni ugotoviti, kolikokrat morate 5 odšteti od 15. To se naredi z zaporednim odštevanjem, dokler ne dobimo rezultata nič.

Če želite najti rezultat deljenja, morate prešteti število minusov. Trije so.

15: 5 = 3 operacije odštevanja pet od 15, da dobimo nič.

15 - 5 - 5 - 5 = 0 (delitev 15:5)

0 + 5 + 5 + 5 = 15 (množenje 5 * 3)

Deljenje z ostankom.

17 — 5 — 5 — 5 — 2 = 0

17: 5 = 3 in 2 ostanek

Če obstaja deljenje z ostankom, zakaj ne bi bilo množenja z dodatkom?

2 + 5 * 3 = 0 + 2 + 5 + 5 + 5 = 17

Poglejmo razliko v besedilu na kalkulatorju

Obstoječa formulacija množenja (trije členi).

10 + 10 + 10 = 30

Popravljena formulacija množenja (trije dodatki k ničelnim operacijam).

0 + 10 = = = 30

(Trikrat pritisnite »enako«.)

10 * 3 = 0 + 10 + 10 + 10 = 30

Množitelj 3 pomeni, da je treba množitelj 10 trikrat dodati ničli.

Poskusite pomnožiti (-10) * (-3) tako, da trikrat dodate člen (-10) minus!

(-10) * (-3) = (-10) + (-10) + (-10) = -10 — 10 — 10 = -30 ?

Kaj pomeni znak minus za tri? Morda?

(-10) * (-3) = (-10) — (-10) — (-10) = — 10 + 10 + 10 = 10?

Ops. Produkta ni mogoče razstaviti na vsoto (ali razliko) členov (-10).

Spremenjeno besedilo je to pravilno.

0 — (-10) = = = +30

(-10) * (-3) = 0 — (-10) — (-10) — (-10) = 0 + 10 + 10 + 10 = 30

Množitelj (-3) pomeni, da je treba množitelj (-10) trikrat odšteti od nič.

Pravila znaka za seštevanje in odštevanje

Zgoraj smo pokazali preprost način za izpeljavo pravil znakov za množenje s spreminjanjem pomena besedila množenja.

Za zaključek pa smo uporabili pravila znakov za seštevanje in odštevanje. So skoraj enaki kot pri množenju. Ustvarimo vizualizacijo pravil znakov za seštevanje in odštevanje, da jo bo razumel tudi prvošolec.

Kaj je "minus", "negativ"?

V naravi ni nič negativnega. št negativna temperatura, brez negativne smeri, brez negativne mase, brez negativnih nabojev. Tudi sinus je po svoji naravi lahko le pozitiven.

Toda matematiki so prišli do negativnih števil. Za kaj? Kaj pomeni "minus"?

Znak minus pomeni nasprotno smer. Levo desno. Zgoraj spodaj. V smeri urinega kazalca - v nasprotni smeri urinega kazalca. Naprej in nazaj. Hladno - vroče. Lahka težka. Počasi - hitro. Če dobro razmislite, lahko navedete veliko drugih primerov, kjer je priročno uporabljati negativne vrednosti količine

V svetu, ki ga poznamo, se neskončnost začne od nič in gre do plus neskončnosti.

"Minus neskončnost" v resnični svet ne obstaja. To je enaka matematična konvencija kot koncept "minus".

Torej "minus" označuje nasprotno smer: gibanje, vrtenje, proces, množenje, seštevanje. Analizirajmo različne smeri pri seštevanju in odštevanju pozitivnih in negativnih (naraščajočih v drugo smer) števil.

Težave pri razumevanju pravil znakov za seštevanje in odštevanje so posledica dejstva, da so ta pravila običajno razložena na številski premici. Na številski premici se mešajo tri različne komponente, iz katerih izhajajo pravila. In zaradi zmede, zaradi zlaganja različnih pojmov na en kup, nastajajo težave z razumevanjem.

Da bi razumeli pravila, moramo razdeliti:

• prvi člen in vsota (bodo na vodoravni osi);
• drugi člen (bo na navpični osi);
• smer operacij seštevanja in odštevanja.

Ta delitev je jasno prikazana na sliki. Mentalno si predstavljajte, da se navpična os lahko vrti in se prekriva z vodoravno osjo.

Operacija seštevanja se vedno izvede z vrtenjem navpične osi v smeri urinega kazalca (znak plus). Operacija odštevanja se vedno izvede z vrtenjem navpične osi v nasprotni smeri urnega kazalca (predznak minus).

Primer. Diagram v spodnjem desnem kotu.

Vidi se, da sta v bližini dva stoječi znak Znak minus (znak operacije odštevanja in znak števila 3) imata različen pomen. Prvi minus kaže smer odštevanja. Drugi minus je predznak števila na navpični osi.

Poiščite prvi člen (-2) na vodoravni osi. Poiščite drugi člen (-3) na navpični osi. Mentalno zavrtite navpično os v nasprotni smeri urinega kazalca, dokler se (-3) ne poravna s številko (+1) na vodoravni osi. Število (+1) je rezultat seštevanja.

daje enak rezultat kot operacija seštevanja v diagramu v zgornjem desnem kotu.

Zato lahko dva sosednja znaka minus nadomestimo z enim znakom plus.

Vsi smo navajeni uporabljati že pripravljena aritmetična pravila, ne da bi razmišljali o njihovem pomenu. Zato pogosto sploh ne opazimo, kako se pravila znakov za seštevanje (odštevanje) razlikujejo od pravil znakov za množenje (deljenje). Ali se zdijo enaki? Skoraj. Majhna razlika je vidna na naslednji sliki.

Zdaj imamo vse, kar potrebujemo za izpeljavo predznakovnih pravil za množenje. Izhodno zaporedje je naslednje.

1. Nazorno pokažemo, kako dobimo pravila znakov za seštevanje in odštevanje.
2. Pomensko spremenimo obstoječo formulacijo množenja.
3. Na podlagi spremenjene formulacije množenja in pravil znakov za seštevanje izpeljemo pravila znakov za množenje.

Spodaj so napisani Pravila znaka za seštevanje in odštevanje, pridobljeno iz vizualizacije. In v rdeči barvi, za primerjavo, ista pravila znakov iz učbenika za matematiko. Sivi plus v oklepaju je nevidni plus, ki se ne piše pri pozitivnem številu.

Med pojmi sta vedno dva znaka: znak operacije in znak števila (ne pišemo plusa, ampak mislimo). Pravila znakov predpisujejo zamenjavo enega para znakov z drugim parom brez spreminjanja rezultata seštevanja (odštevanja). Pravzaprav obstajata le dve pravili.

Pravili 1 in 3 (za vizualizacijo) - dvojnik pravil 4 in 2.. Pravili 1 in 3 v šolski interpretaciji ne sovpadata z vizualno shemo, zato ne veljata za pravila znakov za dodajanje. To so neka druga pravila.

Šolsko pravilo 1. (rdeča) omogoča zamenjavo dveh plusov zapored z enim plusom. Pravilo ne velja za zamenjavo znakov pri seštevanju in odštevanju.

Šolsko pravilo 3. (rdeča) dovoljuje, da po operaciji odštevanja ne zapišete plusa za pozitivno število. Pravilo ne velja za zamenjavo znakov pri seštevanju in odštevanju.

Pomen pravil predznakov za seštevanje je zamenjava enega PARA predznakov z drugim PAR predznakov brez spremembe rezultata seštevanja.

Šolski metodologi so zmešali dve pravili v eno pravilo:

— dve pravili predznakov pri seštevanju in odštevanju pozitivnih in negativnih števil (zamenjava enega para predznakov z drugim parom predznakov);

- dve pravili, po katerih ne morete napisati znaka plus za pozitivno število.

Dva različna pravila, pomešana v eno, so podobna pravilom predznakov pri množenju, kjer dva predznaka povzročita tretjega. Izgledata popolnoma enako.

Velika zmeda! Še enkrat isto, za boljše razčesavanje. Označimo operacijske znake z rdečo barvo, da jih ločimo od številskih znakov.

1. Seštevanje in odštevanje. Dve predznakovni pravili, po katerih se pari predznakov med pojmi zamenjujejo. Znak operacije in znak številke.

2. Dve pravili, po katerih je dovoljeno, da znaka plus za pozitivno število ne pišemo. To so pravila za prijavnico. Ne velja za dodajanje. Pri pozitivnem številu se zapiše samo predznak operacije.

3. Štiri pravila znakov za množenje. Kadar dva znaka dejavnikov povzročita tretji znak produkta. Znakovna pravila za množenje vsebujejo samo številska znamenja.

Zdaj, ko smo ločili pravila oblike, mora biti jasno, da predznakovna pravila za seštevanje in odštevanje niso prav nič podobna predznakovalnim pravilom za množenje.

"Pravilo za množenje negativnih števil in števil z različnimi predznaki." 6. razred

Predstavitev za lekcijo

Prenesi predstavitev (622,1 kB)

Pozor! Predogledi diapozitivov so zgolj informativne narave in morda ne predstavljajo vseh funkcij predstavitve. Če vas zanima to delo, prenesite polno različico.

Cilji lekcije.

Zadeva:

• oblikovati pravilo za množenje negativnih števil in števil z različnimi predznaki,
• učence naučiti, kako uporabiti to pravilo.

Metapredmet:

• razviti sposobnost dela v skladu s predlaganim algoritmom, pripraviti načrt za svoja dejanja,
• razvijati sposobnosti samokontrole.

Osebno:

• razvijati komunikacijske sposobnosti,
• oblika spoznavni interesštudenti.

Oprema: računalnik, zaslon, multimedijski projektor, PowerPoint predstavitev, izroček: tabela za zapis pravil, testi.

(Učbenik N. Ya. Vilenkin "Matematika. 6. razred", M: "Mnemosyne", 2013.)

Med poukom

I. Organizacijski trenutek.

Sporočanje teme učne ure in zapisovanje teme v zvezke s strani učencev.

II. Motivacija.

Diapozitiv št. 2. (Cilj lekcije. Načrt lekcije).

Danes bomo nadaljevali s preučevanjem pomembne aritmetične lastnosti - množenja.

Naravna števila že znate množiti - ustno in stolpično,

Naučil se je množiti decimalke in navadne ulomke. Danes boste morali oblikovati pravilo množenja za negativna števila in števila z različnimi predznaki. In ne le oblikovati, ampak se ga tudi naučiti uporabljati.

III. Posodabljanje znanja.

Rešite enačbe: a) x: 1,8 = 0,15; b) y: = . (Učenec pri tabli)

Zaključek: za reševanje takšnih enačb morate znati množiti različna števila.

2) Samostojno preverjanje domače naloge. Preglejte pravila za množenje decimalnih mest, ulomkov in mešanih števil. (Prosojnici št. 4 in št. 5).

IV. Oblikovanje pravila.

Razmislite o nalogi 1 (številka diapozitiva 6).

Razmislite o nalogi 2 (diapozitiv št. 7).

Pri reševanju nalog smo morali množiti števila z različnimi predznaki in negativna števila. Oglejmo si podrobneje to množenje in njegove rezultate.

Z množenjem števil z različnimi predznaki dobimo negativno število.

Poglejmo še en primer. Poiščite produkt (–2) * 3, pri čemer množenje nadomestite z vsoto enakih členov. Podobno poiščite produkt 3 * (–2). (Preveri - diapozitiv št. 8).

vprašanja:

1) Kakšen je predznak rezultata pri množenju števil z različnimi predznaki?

2) Kako se pridobi modul rezultata? Oblikujemo pravilo množenja števil z različnimi predznaki in pravilo zapišemo v levi stolpec tabele. (Slide št. 9 in Dodatek 1).

Pravilo za množenje negativnih števil in števil z različnimi predznaki.

Vrnimo se k drugi nalogi, pri kateri smo množili dve negativni števili. Takšno množenje je precej težko drugače razložiti.

Uporabimo razlago, ki jo je že v 18. stoletju podal veliki ruski znanstvenik (rojen v Švici), matematik in mehanik Leonhard Euler. (Leonard Euler je za seboj pustil ne samo znanstvena dela, napisal pa je tudi vrsto učbenikov za matematiko, namenjenih dijakom akademske gimnazije).

Tako je Euler razložil rezultat približno takole. (Slide številka 10).

Jasno je, da je –2 · 3 = – 6. Zato produkt (–2) · (–3) ne more biti enak –6. Vendar mora biti nekako povezano s številom 6. Ostaja ena možnost: (–2) · (–3) = 6. .

vprašanja:

1) Kakšen je znak izdelka?

2) Kako je bil pridobljen modul produkta?

Oblikujemo pravilo množenja negativnih števil in izpolnimo desni stolpec tabele. (Slide št. 11).

Da bi si lažje zapomnili pravilo znakov pri množenju, lahko uporabite njegovo formulacijo v verzih. (Slide št. 12).

Plus z minusom, množenje,
Brez zehanja smo postavili minus.
Pomnoži minus z minusom
V odgovor vam bomo dali plus!

V. Oblikovanje veščin.

Naučimo se uporabiti to pravilo za izračune. Danes bomo v lekciji računali samo s celimi števili in decimalnimi ulomki.

1) Priprava akcijskega načrta.

Sestavljena je shema za uporabo pravila. Zapiski so narejeni na tabli. Približen diagram na diapozitivu št. 13.

2) Izvajanje ukrepov po shemi.

Rešujemo iz učbenika št. 1121 (b, c, i, j, p, p). Rešitev izvajamo v skladu z izdelanim diagramom. Vsak primer razloži eden od učencev. Hkrati je rešitev prikazana na diapozitivu št. 14.

3) Delajte v parih.

Naloga na diapozitivu številka 15.

Učenci delajo na možnostih. Najprej učenec 1. možnosti reši in razloži rešitev 2. možnosti, učenec 2. možnosti pozorno posluša, pomaga in po potrebi popravi, nato pa učenci zamenjajo vloge.

Dodatna naloga za tiste pare, ki prej končajo delo: št. 1125.

Po končanem delu se opravi preverjanje po že pripravljena rešitev, postavljen na diapozitiv št. 15 (uporabljena je animacija).

Če je veliko ljudi uspelo rešiti številko 1125, potem je sklep, da se predznak števila spremeni, ko se pomnoži z (?1).

4) Psihološka olajšava.

5) Samostojno delo.

Samostojno delo - besedilo na diapozitivu št. 17. Po končanem delu - samotestiranje z že pripravljeno rešitvijo (diapozitiv št. 17 - animacija, hiperpovezava do diapozitiva št. 18).

VI. Preverjanje stopnje asimilacije preučenega gradiva. Odsev.

Učenci opravljajo test. Na istem listu ocenite svoje delo pri pouku tako, da izpolnite tabelo.

Preizkus "Pravilo množenja". Možnost 1.

Množenje negativnih števil: pravilo, primeri

V tem članku bomo oblikovali pravilo za množenje negativnih števil in podali njegovo razlago. Podrobneje bomo obravnavali postopek množenja negativnih števil. Primeri prikazujejo vse možne primere.

Množenje negativnih števil

Pravilo za množenje negativnih števil je, da je treba za množenje dveh negativnih števil pomnožiti njuna modula. To pravilo je zapisano takole: za katera koli negativna števila – a, – b, velja ta enakost za resnično.

Zgoraj je pravilo za množenje dveh negativnih števil. Na podlagi nje dokažemo izraz: (— a) · (— b) = a · b. Članek o množenju števil z različnimi predznaki pravi, da veljajo enakosti a · (- b) = - a · b in (- a) · b = - a · b. To izhaja iz lastnosti nasprotnih števil, zaradi katere bodo enačbe zapisane takole:

(— a) · (— b) = — (— a · (— b)) = — (— (a · b)) = a · b .

Tukaj lahko jasno vidite dokaz pravila za množenje negativnih števil. Na podlagi primerov je jasno, da je produkt dveh negativnih števil pozitivno število. Pri množenju modulov števil je rezultat vedno pozitivno število.

To pravilo velja za množenje realnih števil, racionalnih števil in celih števil.

Primeri množenja negativnih števil

Zdaj pa si podrobneje oglejmo primere množenja dveh negativnih števil. Pri izračunu morate uporabiti zgoraj napisano pravilo.

Pomnožite številki - 3 in - 5.

rešitev.

Absolutna vrednost obeh števil, ki ju množimo, je enaka pozitivnima številoma 3 in 5. Rezultat njihovega izdelka je 15. Iz tega sledi, da je produkt danih števil 15

Naj na kratko zapišemo samo množenje negativnih števil:

(– 3) · (– 5) = 3 · 5 = 15

Odgovor: (- 3) · (- 5) = 15.

Pri množenju negativnih racionalnih števil z uporabo obravnavanega pravila se lahko mobilizirate za množenje ulomkov, množenje mešanih števil, množenje decimalnih mest.

Izračunaj zmnožek (— 0 , 125) · (— 6) .

Z uporabo pravila za množenje negativnih števil dobimo, da je (− 0, 125) · (− 6) = 0, 125 · 6. Če želite dobiti rezultat, morate decimalni ulomek pomnožiti z naravnim številom stolpcev. Videti je takole:

Ugotovili smo, da bo izraz v obliki (− 0, 125) · (− 6) = 0, 125 · 6 = 0, 75.

Odgovor: (− 0, 125) · (− 6) = 0, 75.

V primeru, ko so faktorji iracionalna števila, lahko njihov produkt zapišemo kot numerični izraz. Vrednost se izračuna samo, kadar je to potrebno.

Potrebno je pomnožiti negativno - 2 z nenegativnim logom 5 1 3 .

Iskanje modulov danih števil:

- 2 = 2 in log 5 1 3 = - log 5 3 = log 5 3 .

Izhajajoč iz pravil za množenje negativnih števil, dobimo rezultat - 2 · log 5 1 3 = - 2 · log 5 3 = 2 · log 5 3 . Ta izraz je odgovor.

odgovor: — 2 · log 5 1 3 = — 2 · log 5 3 = 2 · log 5 3 .

Če želite nadaljevati s preučevanjem teme, morate ponoviti razdelek o množenju realnih števil.

Tema odprte lekcije: "Množenje negativnih in pozitivnih števil"

Datum: 17.3.2017

Učiteljica: Kuts V.V.

Razred: 6 g

Namen in cilji lekcije:

predstavijo pravila množenja dveh negativnih števil in števil z različnimi predznaki;

spodbujati razvoj matematičnega govora, pomnilnik z naključnim dostopom, prostovoljna pozornost, vizualno učinkovito razmišljanje;

nastanek notranji procesi intelektualni, osebni, čustveni razvoj.

gojiti kulturo obnašanja pri frontalnem delu, individualnem in skupinskem delu.

Vrsta lekcije: ura začetne predstavitve novega znanja

Oblike usposabljanja: frontalno, delo v parih, delo v skupinah, individualno delo.

Učne metode: verbalno (pogovor, dialog); vizualno (delo z didaktično gradivo); deduktivni (analiza, uporaba znanja, posploševanje, projektne dejavnosti).

Koncepti in izrazi : modul števil, pozitivna in negativna števila, množenje.

Načrtovani rezultati usposabljanje

- znati množiti števila z različnimi predznaki, množiti negativna števila;

Uporabite pravilo množenja pozitivnih in negativnih števil pri reševanju nalog, utrdite pravila množenja decimalk in navadnih ulomkov.

Regulativni – znati določiti in oblikovati cilj pri učni uri s pomočjo učitelja; izgovorite zaporedje dejanj v lekciji; delo po skupno izdelanem načrtu; oceniti pravilnost dejanja. Načrtujte svoje delovanje v skladu z nalogo; izvede potrebne prilagoditve ukrepa po njegovem zaključku na podlagi svoje ocene in ob upoštevanju storjenih napak; izrazite svoje ugibanje.Komunikacija - biti sposoben ustno izraziti svoje misli; poslušati in razumeti govor drugih; skupaj se dogovorijo o pravilih vedenja in komunikacije v šoli ter jih upoštevajo.

kognitivno - znati krmariti po sistemu znanja, razlikovati novo znanje od že znanega s pomočjo učitelja; pridobivanje novih znanj; poiščite odgovore na vprašanja s pomočjo učbenika, svojih življenjskih izkušenj in informacij, ki ste jih prejeli pri pouku.

Oblikovanje odgovornega odnosa do učenja, ki temelji na motivaciji za učenje novih stvari;

Oblikovanje komunikacijske kompetence v procesu komunikacije in sodelovanja z vrstniki v izobraževalne dejavnosti;

Znati izvajati samoocenjevanje na podlagi kriterija uspešnosti izobraževalnih dejavnosti; osredotočenost na uspeh v izobraževalnih dejavnostih.

Med poukom

Strukturni elementi lekcije

Didaktične naloge

Oblikovana dejavnost učitelja

Oblikovane študentske dejavnosti

Rezultat

1.Organizacijski trenutek

Motivacija za uspešno delovanje

Preverjanje pripravljenosti na lekcijo.

- Dober dan fantje! Usedite se! Preverite, ali imate vse pripravljeno za pouk: zvezek in učbenik, dnevnik in pisalni material.

Vesel sem, da te danes vidim v razredu dobre volje.

Poglejta se v oči, nasmehnita se in z očmi zaželita prijatelju dobro delovno razpoloženje.

Tudi jaz vam želim danes dobro delo.

Fantje, moto današnje lekcije bo citat francoski pisatelj Anatole France:

»Edini način učenja je zabava. Če želite prebaviti znanje, ga morate absorbirati z apetitom.

Fantje, kdo mi lahko pove, kaj pomeni absorbirati znanje z apetitom?

Tako bomo danes pri pouku črpali znanje iz veliko zadovoljstvo, saj nam bodo koristili v prihodnosti.

Zato hitro odprimo zvezke in zapišimo številko, super!

Čustveno razpoloženje

-Z zanimanjem, z veseljem.

Pripravljen za začetek lekcije

Pozitivna motivacija za študij nova tema

2. Aktivacija kognitivne dejavnosti

Pripravite jih na učenje novih znanj in načinov delovanja.

Organizirajte frontalno anketo o obravnavani snovi.

Fantje, kdo mi lahko pove, katera je najpomembnejša veščina pri matematiki? ( Preverite). Prav.

Zdaj te bom preizkusil, kako dobro znaš računati.

Zdaj bomo naredili matematično ogrevanje.

Delamo kot običajno, štejemo ustno in zapišemo odgovor pisno. Dal ti bom 1 minuto.

5,2-6,7=-1,5

2,9+0,3=-2,6

9+0,3=9,3

6+7,21=13,21

15,22-3,34=-18,56

Preverimo odgovore.

Odgovore bomo preverili, če se strinjate z odgovorom, ploskajte z rokami, če se ne strinjate, pa topotajte z nogami.

Bravo fantje.

Povejte mi, katera dejanja smo izvedli s številkami?

Katero pravilo smo uporabili pri štetju?

Oblikujte ta pravila.

Odgovorite na vprašanja z reševanjem majhnih primerov.

Seštevanje in odštevanje.

Seštevanje števil z različnimi predznaki, seštevanje števil z negativni znaki, ter odštevanje pozitivnih in negativnih števil.

Pripravljenost študentov, da zastavijo problemsko vprašanje in poiščejo načine za rešitev problema.

3. Motivacija za določitev teme in cilja lekcije

Spodbujajte učence, da določijo temo in namen lekcije.

Organizirajte delo v parih.

No, čas je, da nadaljujemo z učenjem nove snovi, a najprej ponovimo snov iz prejšnjih lekcij. Pri tem nam bo v pomoč matematična križanka.

Toda ta križanka ni navadna, vsebuje šifrirano ključno besedo, ki nam bo povedala temo današnje lekcije.

Fantje, križanka je na vaših mizah, z njo bomo delali v parih. In ker je v parih, me potem spomni, kako je v parih?

Spomnili smo se pravila dela v parih, zdaj pa se lotimo reševanja križanke, dam vam 1,5 minute. Kdor dela vse, spusti roke, da vidim.

(Priloga 1)

1.Katera števila se uporabljajo za štetje?

2. Razdalja od izvora do katere koli točke se imenuje?

3.Števila, ki so predstavljena z ulomkom, se imenujejo?

4. Kateri sta dve števili, ki se med seboj razlikujeta le v predznakih?

5.Katera števila ležijo desno od nič na koordinatni premici?

6.Kako se imenujejo naravna števila, njihova nasprotja in ničla?

7. Katero število imenujemo nevtralno?

8. Število, ki kaže položaj točke na premici?

9. Katera števila ležijo levo od nič na koordinatni premici?

Torej, čas je potekel. Preverimo.

Rešili smo celotno križanko in s tem ponovili snov prejšnjih ur. Dvignite roko, kdo je naredil samo eno napako in kdo dve? (Torej fantje ste super).

No, zdaj pa se vrnimo k naši križanki. Na samem začetku sem rekel, da vsebuje šifrirano besedo, ki nam bo povedala temo lekcije.

Kaj bo torej tema naše lekcije?

Kaj bomo danes množili?

Pomislimo, da se za to spomnimo vrst števil, ki jih že poznamo.

Pomislimo, katera števila že znamo množiti?

Katera števila se bomo danes naučili množiti?

Zapišite temo lekcije v svoj zvezek: "Množenje pozitivnih in negativnih števil."

Torej, fantje, izvedeli smo, o čem bomo danes govorili v razredu.

Povejte mi, prosim, namen naše lekcije, kaj bi se moral vsak od vas naučiti in kaj bi se morali naučiti do konca lekcije?

Fantje, kakšne težave bomo morali rešiti z vami, da bi dosegli ta cilj?

Popolnoma prav. To sta nalogi, ki ju bomo morali rešiti danes z vami.

Delajte v parih, določite temo in namen lekcije.

1.Naravno

2.Modul

3. Racionalno

4.Nasprotje

5.Pozitivno

6. Celo

7.Nič

8.Koordinata

9.Negativno

- "Množenje"

Pozitivna in negativna števila

"Množenje pozitivnih in negativnih števil"

Namen lekcije:

Naučite se množiti pozitivna in negativna števila

Najprej, če želite izvedeti, kako množiti pozitivna in negativna števila, morate dobiti pravilo.

Drugič, kaj naj storimo potem, ko imamo pravilo? (naučite se ga uporabljati pri reševanju primerov).

4. Učenje novih znanj in načinov delovanja

Pridobite novo znanje o temi.

-Organizirajte delo v skupinah (učenje nove snovi)

- Zdaj, da bi dosegli naš cilj, bomo nadaljevali s prvo nalogo, izpeljali bomo pravilo za množenje pozitivnih in negativnih števil.

In raziskovalno delo nam bo pri tem pomagalo. In kdo mi lahko pove, zakaj se imenuje raziskava - V tem delu bomo raziskovali, da bi odkrili pravila "Množenje pozitivnih in negativnih števil".

Vaše raziskovalno delo bo potekalo v skupinah, skupaj bomo imeli 5 raziskovalnih skupin.

V glavi smo si ponavljali, kako moramo delovati kot skupina. Če je nekdo pozabil, so pravila pred vami na ekranu.

Vaš cilj raziskovalno delo: Med raziskovanjem nalog postopoma izpeljite pravilo »Množenje negativnih in pozitivnih števil« pri nalogi št. 1, pri nalogi št. In pri reševanju teh težav vam bo pomagal naš termometer, vsaka skupina ima svojega.

Naredite vse svoje zapiske na kos papirja.

Ko ima skupina rešitev za prvo težavo, jo pokažete na tablo.

Za delo imate na voljo 5-7 minut.

(Dodatek 2 )

Delo v skupinah (izpolni tabelo, izvedi raziskavo)

Pravila za delo v skupinah.

Delo v skupinah je zelo enostavno

Vedite, kako upoštevati pet pravil:

najprej: ne prekinjaj,

ko govori

prijatelj, naokoli mora biti tišina;

drugič: ne kriči glasno,

in podati argumente;

in tretje pravilo je preprosto:

odločite se, kaj je za vas pomembno;

četrtič: ni dovolj verbalno vedeti,

je treba zabeležiti;

in petič: povzemite, razmislite,

kaj bi lahko naredil.

Mojstrstvo

znanja in načinov delovanja, ki jih določajo cilji pouka

5. Fizično usposabljanje

Vzpostavite pravilno asimilacijo novega materiala na tej stopnji, prepoznati napačne predstave in jih popraviti

V redu, vse vaše odgovore sem dal v tabelo, zdaj pa poglejmo vsako vrstico v naši tabeli (glejte predstavitev)

Kakšne zaključke lahko potegnemo ob pregledu tabele?

1 vrstica. Katera števila množimo? Katero število je odgovor?

2. vrstica. Katera števila množimo? Katero število je odgovor?

3. vrstica. Katera števila množimo? Katero število je odgovor?

4. vrstica. Katera števila množimo? Katero število je odgovor?

In tako ste analizirali primere in ste pripravljeni oblikovati pravila, za to ste morali izpolniti prazna mesta v drugi nalogi.

Kako pomnožiti negativno število s pozitivnim?

- Kako pomnožiti dve negativni števili?

Vzemimo si malo počitka.

Pozitiven odgovor pomeni, da se usedemo, negativen pa vstanemo.

5*6

2*2

7*(-4)

2*(-3)

8*(-8)

7*(-2)

5*3

4*(-9)

5*(-5)

9*(-8)

15*(-3)

7*(-6)

Množenje pozitivna števila, se vedno izkaže, da je odgovor pozitivno število.

Ko pomnožite negativno število s pozitivnim številom, je odgovor vedno negativno število.

Pri množenju negativnih števil je rezultat vedno pozitivno število.

Če pomnožimo pozitivno število z negativnim številom, dobimo negativno število.

Če želite pomnožiti dve števili z različnimi predznaki, potrebujetepomnožiti modulov teh števil in pred nastalo številko postavite znak "-".

- Če želite pomnožiti dve negativni števili, potrebujetepomnožiti njihove module in dajte znak pred nastalo številko «+».

Učenci nastopajo psihične vaje, krepitev pravil.

Preprečuje utrujenost

7.Primarno utrjevanje nove snovi

Obvladati sposobnost uporabe pridobljenega znanja v praksi.

Organizirajte frontalni in samostojno delo glede na zajeti material.

Določimo pravila in si povejmo ta ista pravila kot par. Dam ti minuto za to.

Povejte mi, ali lahko zdaj nadaljujemo z reševanjem primerov? Ja lahko.

Odpri stran 192 št. 1121

Vsi skupaj bomo sestavili 1. in 2. vrstico a)5*(-6)=30

b)9*(-3)=-27

g)0,7*(-8)=-5,6

h)-0,5*6=-3

n)1,2*(-14)=-16,8

o)-20,5*(-46)=943

trije ljudje za tablo

Za rešitev primerov imate na voljo 5 minut.

In vse skupaj preverimo.

Ustvarjalna naloga v parih (priloga 3).

Števila vstavi tako, da bo v vsakem nadstropju njihov zmnožek enak številu na strehi hiše.

Reši primere z uporabo pridobljenega znanja

Dvigni roke, če nisi naredil nobene napake, bravo...

Aktivna dejanja učence za uporabo znanja v življenju.

9. Refleksija (povzetek lekcije, ocena rezultatov uspešnosti učencev)

Zagotoviti dijakovo refleksijo, t.j. njihovo oceno svojih dejavnosti

Organizirajte povzetek lekcije

Naša lekcija se je končala, povzamemo.

Se spet spomnimo teme naše lekcije? Kakšen cilj smo si zastavili - Ali smo ta cilj dosegli?

Kakšne težave vam je povzročal? Ta naslov?

- Fantje, da bi ocenili svoje delo v razredu, morate narisati smeška v kroge, ki so na vaših mizah.

Nasmejani emotikon pomeni, da vse razumete. Zelena pomeni, da razumete, vendar morate vaditi, in žalosten smešek, če niste ničesar razumeli. (ti dam pol minute)

No, fantje, ste pripravljeni pokazati, kako ste danes delali v razredu? Torej, dvignimo ga in dvignil bom tudi nasmeška zate.

Zelo sem zadovoljen z vami danes v razredu! Vidim, da so vsi razumeli snov. Fantje, super ste!

Lekcije je konec, hvala za pozornost!

Odgovorite na vprašanja in ocenite njihovo delo

Da, dosegli smo ga.

Odprtost učencev za prenos in razumevanje svojih dejanj, za prepoznavanje pozitivnih in negativne točke lekcija

10 .Informacije o domači nalogi

Zagotavlja razumevanje namena, vsebine in načina izvedbe Domača naloga

Zagotavlja razumevanje namena domače naloge.

Domača naloga:

1. Naučite se pravil množenja
2. št. 1121 (3 stolpec).
3.Ustvarjalna naloga: naredite test 5 vprašanj z možnostmi odgovorov.

Zapišite svojo domačo nalogo, poskušajte razumeti in razumeti.

Uresničevanje potrebe po doseganju pogojev za uspešno opravljanje domačih nalog vseh učencev, v skladu z dodeljeno nalogo in stopnjo razvitosti učencev.

Naloga 1. Točka se giblje premočrtno od leve proti desni s hitrostjo 4 dm. na sekundo in trenutno poteka skozi točko A. Kje bo gibljiva točka po 5 sekundah?

Ni težko ugotoviti, da bo točka na 20 dm. desno od A. Zapišimo rešitev te naloge v relativnih številih. Da bi to naredili, se strinjamo z naslednjimi simboli:

1) hitrost v desno bo označena z znakom +, v levo pa z znakom –, 2) oddaljenost gibljive točke od A v desno bo označena z znakom + in v levo z znakom znak –, 3) časovno obdobje po sedanjem trenutku z znakom + in pred sedanjim trenutkom z znakom –. V naši nalogi so podane naslednje številke: hitrost = + 4 dm. na sekundo, čas = + 5 sekund in izkazalo se je, kot smo izračunali aritmetično, število + 20 dm., ki izraža oddaljenost gibljive točke od A po 5 sekundah. Glede na pomen naloge vidimo, da se nanaša na množenje. Zato je priročno napisati rešitev problema:

(+ 4) ∙ (+ 5) = + 20.

Naloga 2. Točka se giblje premočrtno od leve proti desni s hitrostjo 4 dm. na sekundo in trenutno poteka skozi točko A. Kje je bila ta točka pred 5 sekundami?

Odgovor je jasen: točka je bila levo od A na razdalji 20 dm.

Rešitev je primerna glede na pogoje glede znakov in ob upoštevanju, da se pomen težave ni spremenil, jo zapišite takole:

(+ 4) ∙ (– 5) = – 20.

Naloga 3. Točka se giblje premočrtno od desne proti levi s hitrostjo 4 dm. na sekundo in trenutno poteka skozi točko A. Kje bo gibljiva točka po 5 sekundah?

Odgovor je jasen: 20 dm. levo od A. Zato lahko glede na enake pogoje glede znakov zapišemo rešitev tega problema takole:

(– 4) ∙ (+ 5) = – 20.

Naloga 4. Točka se giblje premočrtno od desne proti levi s hitrostjo 4 dm. na sekundo in trenutno poteka skozi točko A. Kje je bila gibljiva točka pred 5 sekundami?

Odgovor je jasen: na razdalji 20 dm. desno od A. Zato je treba rešitev tega problema zapisati takole:

(– 4) ∙ (– 5) = + 20.

Obravnavani problemi kažejo, kako je treba dejanje množenja razširiti na relativna števila. V nalogah imamo 4 primere množenja števil z vsemi možnimi kombinacijami predznakov:

1) (+ 4) ∙ (+ 5) = + 20;
2) (+ 4) ∙ (– 5) = – 20;
3) (– 4) ∙ (+ 5) = – 20;
4) (– 4) ∙ (– 5) = + 20.

V vseh štirih primerih je treba absolutne vrednosti teh števil pomnožiti; produkt mora imeti znak +, ko so faktorji enaki znaki(1. in 4. primer) in predznak –, ko imajo faktorji različne predznake(primera 2 in 3).

Od tu vidimo, da se zmnožek ne spremeni s preurejanjem množitelja in množitelja.

vaje.

Naredimo en primer izračuna, ki vključuje seštevanje, odštevanje in množenje.

Da ne bi zamenjali vrstnega reda dejanj, bodimo pozorni na formulo

Tukaj je zapisana vsota zmnožkov dveh parov števil: torej morate najprej pomnožiti število a s številom b, nato število c pomnožiti s številom d in nato dobljene produkte sešteti. Tudi v enačbi

Najprej morate število b pomnožiti s c in nato dobljeni produkt odšteti od a.

Če bi bilo treba zmnožek števil a in b sešteti s c in dobljeno vsoto pomnožiti z d, bi morali zapisati: (ab + c)d (primerjaj s formulo ab + cd).

Če bi morali razliko med številoma a in b pomnožiti s c, bi zapisali (a – b)c (primerjaj s formulo a – bc).

Zato na splošno ugotovimo, da če vrstni red dejanj ni označen z oklepaji, moramo najprej izvesti množenje, nato pa sešteti ali odšteti.

Začnimo računati naš izraz: najprej izvedemo seštevanja, zapisana v vseh oklepajih, dobimo:

Zdaj moramo izvesti množenje znotraj oglatih oklepajev in nato odšteti dobljeni produkt od:

Zdaj pa izvedimo dejanja znotraj zavitih oklepajev: najprej množenje in nato odštevanje:

Zdaj ostane le še množenje in odštevanje:

16. Produkt več dejavnikov. Naj bo potrebno najti

(–5) ∙ (+4) ∙ (–2) ∙ (–3) ∙ (+7) ∙ (–1) ∙ (+5).

Tukaj morate prvo številko pomnožiti z drugo, dobljeni produkt s 3. itd. Na podlagi prejšnjega ni težko ugotoviti, da je treba absolutne vrednosti vseh števil pomnožiti med seboj.

Če so bili vsi dejavniki pozitivni, potem bomo na podlagi prejšnjega ugotovili, da mora imeti produkt tudi predznak +. Če bi bil kateri koli dejavnik negativen

npr. (+2) ∙ (+3) ∙ (+4) ∙ (–1) ∙ (+5) ∙ (+6),

potem bi zmnožek vseh faktorjev pred njim dal znak + (v našem primeru (+2) ∙ (+3) ∙ (+4) = +24, če rezultat pomnožimo z negativnim številom (v našem primeru + 24 pomnoženo z –1) bi dobilo predznak za nov produkt; če ga pomnožimo z naslednjim pozitivnim faktorjem (v našem primeru –24 z +5), dobimo ponovno negativno število; predpostavimo, da so vsi drugi faktorji pozitivni, znaka izdelka ni mogoče več spremeniti.

Če bi obstajala dva negativna faktorja, potem bi z razmišljanjem kot zgoraj ugotovili, da bi bil produkt sprva, dokler ne bi dosegli prvega negativnega faktorja, pozitiven; če bi ga pomnožili s prvim negativnim faktorjem, bi se nov produkt izkazal kot biti negativen in tako bo ostalo, dokler ne dosežemo drugega negativnega faktorja; Potem bi bil z množenjem negativnega števila z negativnim nov produkt pozitiven, kar bo ostalo tudi v prihodnje, če bodo preostali faktorji pozitivni.

Če bi obstajal tretji negativni faktor, bi dobljeni pozitivni produkt, če bi ga pomnožili s tem tretjim negativnim faktorjem, postal negativen; tako bi ostalo, če bi bili vsi drugi dejavniki pozitivni. Če pa obstaja še četrti negativni dejavnik, bo zmnožek z njim pozitiven. Če sklepamo na enak način, ugotovimo, da na splošno:

Če želite izvedeti znak produkta več faktorjev, morate pogledati, koliko teh dejavnikov je negativnih: če jih sploh ni ali če obstajajo sodo število, potem je produkt pozitiven: če je liho število negativnih dejavnikov, potem je produkt negativen.

Zdaj lahko to zlahka ugotovimo

(–5) ∙ (+4) ∙ (–2) ∙ (–3) ∙ (+7) ∙ (–1) ∙ (+5) = +4200.

(+3) ∙ (–2) ∙ (+7) ∙ (+3) ∙ (–5) ∙ (–1) = –630.

Zdaj je enostavno videti, da predznak produkta in njegova absolutna vrednost nista odvisna od vrstnega reda faktorjev.

Ko imate opravka z ulomki, je priročno takoj najti izdelek:

To je priročno, ker vam ni treba izvajati neuporabnega množenja, saj se prej dobljeni frakcijski izraz čim bolj zmanjša.