domov Drugi nasveti Kako rešiti enačbe s spremenljivko na potenco. Metode reševanja eksponentnih enačb

Kako rešiti enačbe s spremenljivko na potenco. Metode reševanja eksponentnih enačb

Eksponentne enačbe so tiste, pri katerih je eksponent vsebovan neznano. Najenostavnejša eksponentna enačba ima obliko: a x = a b, kjer je a> 0, a 1, x ni znan.

Glavne lastnosti potence, s katerimi se transformirajo eksponentne enačbe: a>0, b>0.

Pri reševanju eksponentnih enačb se uporabljajo tudi naslednje lastnosti eksponentne funkcije: y = a x, a > 0, a1:

Za predstavitev števila kot potence uporabite osnovno logaritemsko istovetnost: b = , a > 0, a1, b > 0.

Težave in testi na temo "Eksponentne enačbe"

Eksponentne enačbe
Lekcije: 4 Naloge: 21 Testi: 1
Eksponentne enačbe - Pomembne teme za pregled enotnega državnega izpita iz matematike
Naloge: 14
Sistemi eksponentnih in logaritemskih enačb - Eksponentne in logaritemske funkcije 11. razred
Lekcije: 1 Naloge: 15 Testi: 1
§2.1. Reševanje eksponentnih enačb
Lekcije: 1 Naloge: 27
§7 Eksponentne in logaritemske enačbe in neenačbe - Razdelek 5. Eksponentne in logaritemske funkcije, 10. razred
Lekcije: 1 Naloge: 17

Za uspešno reševanje eksponentnih enačb morate poznati osnovne lastnosti potenc, lastnosti eksponentne funkcije in osnovno logaritemsko identiteto.

Pri reševanju eksponentnih enačb se uporabljata dve glavni metodi:

prehod iz enačbe a f(x) = a g(x) v enačbo f(x) = g(x);
uvajanje novih linij.

Primeri.

1. Enačbe reducirane na najenostavnejše. Rešimo jih tako, da obe strani enačbe reduciramo na potenco z isto osnovo.

3 x = 9 x – 2 .

rešitev:

3 x = (3 2) x – 2 ;
3 x = 3 2x – 4;
x = 2x –4;
x = 4.

odgovor: 4.

2. Enačbe, rešene tako, da skupni faktor vzamemo iz oklepaja.

rešitev:

3 x – 3 x – 2 = 24
3 x – 2 (3 2 – 1) = 24
3 x – 2 × 8 = 24
3 x – 2 = 3
x – 2 = 1
x = 3.

odgovor: 3.

3. Enačbe, rešene s spremembo spremenljivke.

rešitev:

2 2x + 2 x – 12 = 0
Označimo 2 x = y.
y 2 + y – 12 = 0
y 1 = - 4; y2 = 3.
a) 2 x = - 4. Enačba nima rešitev, ker 2 x > 0.
b) 2 x = 3; 2 x = 2 log 2 3 ; x = log 2 3.

odgovor: dnevnik 2 3.

4. Enačbe, ki vsebujejo potence z dvema različnima (druga na drugo nezvodljivima) bazama.

3 × 2 x + 1 - 2 × 5 x – 2 = 5 x + 2 x – 2.

3 × 2 x + 1 – 2 x – 2 = 5 x – 2 × 5 x – 2
2 x – 2 × 23 = 5 x – 2
×23
2 x – 2 = 5 x – 2
(5/2) x– 2 = 1
x – 2 = 0
x = 2.

odgovor: 2.

5. Enačbe, ki so homogene glede na a x in b x.

Splošna oblika: .

9 x + 4 x = 2,5 × 6 x.

rešitev:

3 2x – 2,5 × 2 x × 3 x +2 2x = 0 |: 2 2x > 0
(3/2) 2x – 2,5 × (3/2) x + 1 = 0.
Označimo (3/2) x = y.
y 2 – 2,5y + 1 = 0,
y 1 = 2; y 2 = ½.

odgovor: hlod 3/2 2; - dnevnik 3/2 2.

Predavanje: “Metode reševanja eksponentnih enačb.”

1 . Eksponentne enačbe.

Enačbe, ki vsebujejo neznanke v eksponentih, imenujemo eksponentne enačbe. Najenostavnejša med njimi je enačba ax = b, kjer je a > 0, a ≠ 1.

1) Pri b< 0 и b = 0 это уравнение, согласно свойству 1 показательной функции, не имеет решения.

2) Za b > 0 ima enačba z uporabo monotonosti funkcije in korenskega izreka edinstven koren. Da bi ga našli, je treba b predstaviti v obliki b = aс, аx = bс ó x = c ali x = logab.

Eksponentne enačbe z algebrskimi transformacijami vodijo do standardnih enačb, ki jih rešujemo z naslednjimi metodami:

1) način zmanjšanja na eno osnovo;

2) način ocenjevanja;

3) grafična metoda;

4) način uvajanja novih spremenljivk;

5) metoda faktorizacije;

6) eksponentno – potenčne enačbe;

7) demonstrativno s parametrom.

2 . Metoda redukcije na eno osnovo.

Metoda temelji na naslednji lastnosti potenc: če sta dve potenci enaki in sta njuni bazi enaki, sta njuna eksponenta enaka, to pomeni, da je treba enačbo poskusiti reducirati na obliko

Primeri. Reši enačbo:

1 . 3x = 81;

Predstavimo desno stran enačbe v obliki 81 = 34 in zapišimo enačbo, enakovredno prvotni 3 x = 34; x = 4. Odgovor: 4.

2. https://pandia.ru/text/80/142/images/image004_8.png" width="52" height="49">in pojdimo k enačbi za eksponente 3x+1 = 3 – 5x; 8x = 4; x = 0,5.

3. https://pandia.ru/text/80/142/images/image006_8.png" width="105" height="47">

Upoštevajte, da števila 0,2, 0,04, √5 in 25 predstavljajo potence števila 5. Izkoristimo to in pretvorimo prvotno enačbo na naslednji način:

, od koder je 5-x-1 = 5-2x-2 ó - x – 1 = - 2x – 2, iz česar najdemo rešitev x = -1. Odgovor: -1.

5. 3x = 5. Po definiciji logaritma x = log35. Odgovor: log35.

6. 62x+4 = 33x. 2x+8.

Prepišimo enačbo v obliki 32x+4,22x+4 = 32x.2x+8, tj..png" width="181" height="49 src="> Zato je x – 4 =0, x = 4. Odgovor: 4.

7 . 2∙3x+1 - 6∙3x-2 - 3x = 9. Z uporabo lastnosti potenc enačbo zapišemo v obliki 6∙3x - 2∙3x – 3x = 9, nato pa 3∙3x = 9, 3x+1 = 32, tj. x+1 = 2, x =1. Odgovor: 1.

Problemska banka št. 1.

Reši enačbo:

Test št. 1.

	1) 0 2) 4 3) -2 4) -4
A2 32x-8 = √3.	1)17/4 2) 17 3) 13/2 4) -17/4
A3	1) 3;1 2) -3;-1 3) 0;2 4) brez korenin
	1) 7;1 2) brez korenin 3) -7;1 4) -1;-7
A5	1) 0;2; 2) 0;2;3 3) 0 4) -2;-3;0
A6	1) -1 2) 0 3) 2 4) 1

Test št. 2

A1	1) 3 2) -1;3 3) -1;-3 4) 3;-1
A2	1) 14/3 2) -14/3 3) -17 4) 11
A3	1) 2;-1 2) brez korenin 3) 0 4) -2;1
A4	1) -4 2) 2 3) -2 4) -4;2
A5	1) 3 2) -3;1 3) -1 4) -1;3

3 Metoda vrednotenja.

Korenski izrek: če funkcija f(x) narašča (zmanjšuje) na intervalu I, je število a katera koli vrednost, ki jo vzame f na tem intervalu, potem ima enačba f(x) = a en sam koren na intervalu I.

Pri reševanju enačb z estimacijsko metodo se uporabljata ta izrek in lastnosti monotonosti funkcije.

Primeri. Reši enačbe: 1. 4x = 5 – x.

rešitev. Prepišimo enačbo kot 4x +x = 5.

1. če je x = 1, potem velja 41+1 = 5, 5 = 5, kar pomeni, da je 1 koren enačbe.

Funkcija f(x) = 4x – narašča na R, in g(x) = x – narašča na R => h(x)= f(x)+g(x) narašča na R, kot vsota naraščajočih funkcij, potem je x = 1 edini koren enačbe 4x = 5 – x. Odgovor: 1.

rešitev. Prepišimo enačbo v obliki .

1. če je x = -1, potem , 3 = 3 je res, kar pomeni, da je x = -1 koren enačbe.

2. dokazati, da je edini.

3. Funkcija f(x) = - pada na R, g(x) = - x – pada na R=> h(x) = f(x)+g(x) – pada na R, kot vsota padajoče funkcije. To pomeni, da je v skladu s korenskim izrekom x = -1 edini koren enačbe. Odgovor: -1.

Problemska banka št. 2. Reši enačbo

a) 4x + 1 =6 – x;

c) 2x – 2 =1 – x;

4. Metoda uvajanja novih spremenljivk.

Metoda je opisana v odstavku 2.1. Uvedba nove spremenljivke (substitucija) se običajno izvede po transformacijah (poenostavitvi) členov enačbe. Poglejmo si primere.

Primeri. R Reši enačbo: 1. .

Zapišimo enačbo drugače: https://pandia.ru/text/80/142/images/image030_0.png" width="128" height="48 src="> tj..png" width="210" height = "45">

rešitev. Zapišimo enačbo drugače:

Označimo https://pandia.ru/text/80/142/images/image035_0.png" width="245" height="57"> - ni primerno.

t = 4 => https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_0.png" width="268" height="51"> - iracionalna enačba. Opažamo, da

Rešitev enačbe je x = 2,5 ≤ 4, kar pomeni, da je 2,5 koren enačbe. Odgovor: 2,5.

rešitev. Enačbo prepišemo v obliki in obe strani delimo s 56x+6 ≠ 0. Dobimo enačbo

2x2-6x-7 = 2x2-6x-8 +1 = 2(x2-3x-4)+1, t..png" width="118" height="56">

Korenini kvadratne enačbe sta t1 = 1 in t2<0, т. е..png" width="200" height="24">.

rešitev . Prepišimo enačbo v obliki

in upoštevajte, da je to homogena enačba druge stopnje.

Enačbo delimo z 42x, dobimo

Zamenjajmo https://pandia.ru/text/80/142/images/image049_0.png" width="16" height="41 src="> .

Odgovor: 0; 0,5.

Problemska banka št. 3. Reši enačbo

Test št. 3 z izbiro odgovorov. Najnižja raven.

A1	1) -0,2;2 2) log52 3) –log52 4) 2
A2 0,52x – 3 0,5x +2 = 0.	1) 2;1 2) -1;0 3) brez korenin 4) 0
	1) 0 2) 1; -1/3 3) 1 4) 5
A4 52x-5x - 600 = 0.	1) -24;25 2) -24,5; 25,5 3) 25 4) 2
	1) brez korenin 2) 2;4 3) 3 4) -1;2

Test št. 4 z izbiro odgovorov. Splošna raven.

A1	1) 2;1 2) ½;0 3)2;0 4) 0
A2 2x – (0,5)2x – (0,5)x + 1 = 0	1) -1;1 2) 0 3) -1;0;1 4) 1
	1) 64 2) -14 3) 3 4) 8
	1)-1 2) 1 3) -1;1 4) 0
A5	1) 0 2) 1 3) 0;1 4) brez korenin

5. Metoda faktorizacije.

1. Rešite enačbo: 5x+1 - 5x-1 = 24.

Rešitev..png" width="169" height="69"> , od koder

2. 6x + 6x+1 = 2x + 2x+1 + 2x+2.

rešitev. Dajmo 6x izven oklepajev na levo stran enačbe in 2x na desno stran. Dobimo enačbo 6x(1+6) = 2x(1+2+4) ó 6x = 2x.

Ker je 2x >0 za vse x, lahko obe strani te enačbe delimo z 2x brez strahu pred izgubo rešitev. Dobimo 3x = 1ó x = 0.

rešitev. Rešimo enačbo z metodo faktorizacije.

Izberimo kvadrat binoma

4. https://pandia.ru/text/80/142/images/image067_0.png" width="500" height="181">

x = -2 je koren enačbe.

Enačba x + 1 = 0 " style="border-collapse:collapse;border:none">

A1 5x-1 +5x -5x+1 =-19.

1) 1 2) 95/4 3) 0 4) -1

A2 3x+1 +3x-1 =270.

1) 2 2) -4 3) 0 4) 4

A3 32x + 32x+1 -108 = 0. x=1,5

1) 0,2 2) 1,5 3) -1,5 4) 3

1) 1 2) -3 3) -1 4) 0

A5 2x -2x-4 = 15. x=4

1) -4 2) 4 3) -4;4 4) 2

Test št. 6 Splošna raven.

A1 (22x-1)(24x+22x+1)=7.	1) ½ 2) 2 3) -1;3 4) 0,2
A2	1) 2,5 2) 3;4 3) log43/2 4) 0
A3 2x-1-3x=3x-1-2x+2.	1) 2 2) -1 3) 3 4) -3
A4	1) 1,5 2) 3 3) 1 4) -4
A5	1) 2 2) -2 3) 5 4) 0

6. Eksponentno – potenčne enačbe.

Sosednje eksponentnim enačbam so tako imenovane eksponentno-potenčne enačbe, to je enačbe oblike (f(x))g(x) = (f(x))h(x).

Če je znano, da je f(x)>0 in je f(x) ≠ 1, se enačba, tako kot eksponentna, rešuje z enačenjem eksponentov g(x) = f(x).

Če pogoj ne izključuje možnosti f(x)=0 in f(x)=1, potem moramo te primere upoštevati pri reševanju eksponentne enačbe.

1..png" width="182" height="116 src=">

rešitev. x2 +2x-8 – smiselno je za vsak x, saj je polinom, kar pomeni, da je enačba enakovredna celoti

https://pandia.ru/text/80/142/images/image078_0.png" width="137" height="35">

7. Eksponentne enačbe s parametri.

1. Za katere vrednosti parametra p ima enačba 4 (5 – 3)2 +4p2–3p = 0 (1) edinstveno rešitev?

rešitev. Vstavimo zamenjavo 2x = t, t > 0, potem bo enačba (1) dobila obliko t2 – (5p – 3)t + 4p2 – 3p = 0. (2)

Diskriminanta enačbe (2) D = (5p – 3)2 – 4(4p2 – 3p) = 9(p – 1)2.

Enačba (1) ima edinstveno rešitev, če ima enačba (2) en pozitivni koren. To je možno v naslednjih primerih.

1. Če je D = 0, to je p = 1, bo enačba (2) prevzela obliko t2 – 2t + 1 = 0, torej t = 1, zato ima enačba (1) enolično rešitev x = 0.

2. Če je p1, potem je 9(p – 1)2 > 0, potem ima enačba (2) dva različna korena t1 = p, t2 = 4p – 3. Pogoje problema izpolnjuje množica sistemov

Če nadomestimo t1 in t2 v sistema, imamo

https://pandia.ru/text/80/142/images/image084_0.png" alt="no35_11" width="375" height="54"> в зависимости от параметра a?!}

rešitev. Pustiti potem bo enačba (3) imela obliko t2 – 6t – a = 0. (4)

Poiščimo vrednosti parametra a, za katere vsaj en koren enačbe (4) izpolnjuje pogoj t > 0.

Vstavimo funkcijo f(t) = t2 – 6t – a. Možni so naslednji primeri.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image087.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_14.gif" align="left" width="215" height="73 src=">где t0 - абсцисса вершины параболы и D - дискриминант квадратного трехчлена f(t);!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image089.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_16.gif" align="left" width="60" height="51 src=">!}

Primer 2. Enačba (4) ima enolično pozitivno rešitev, če

D = 0, če je a = – 9, bo enačba (4) imela obliko (t – 3)2 = 0, t = 3, x = – 1.

Primer 3. Enačba (4) ima dva korena, vendar eden od njiju ne zadošča neenakosti t > 0. To je mogoče, če

https://pandia.ru/text/80/142/images/image092.png" alt="no35_17" width="267" height="63">!}

Tako ima enačba (4) za a 0 en sam pozitivni koren . Potem ima enačba (3) edinstveno rešitev

Ko a< – 9 уравнение (3) корней не имеет.

če< – 9, то корней нет; если – 9 < a < 0, то
če je a = – 9, potem je x = – 1;

če je  0, potem

Primerjajmo metode za reševanje enačb (1) in (3). Upoštevajte, da smo pri reševanju enačbe (1) zmanjšali na kvadratno enačbo, katere diskriminanta je popoln kvadrat; Tako so bili koreni enačbe (2) takoj izračunani s formulo za korene kvadratne enačbe in nato izvedeni sklepi glede teh korenov. Enačba (3) je bila reducirana na kvadratno enačbo (4), katere diskriminanta ni popoln kvadrat, zato je pri reševanju enačbe (3) priporočljivo uporabiti izreke o lokaciji korenin kvadratnega trinoma in grafični model. Upoštevajte, da je enačbo (4) mogoče rešiti z uporabo Vietovega izreka.

Rešimo bolj zapletene enačbe.

3. naloga: Reši enačbo

rešitev. ODZ: x1, x2.

Predstavimo zamenjavo. Naj bo 2x = t, t > 0, potem bo zaradi transformacij enačba dobila obliko t2 + 2t – 13 – a = 0. (*) Poiščimo vrednosti a, za katere je vsaj ena korenina enačba (*) izpolnjuje pogoj t > 0.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image098.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_23.gif" align="left" width="71" height="68 src=">где t0 - абсцисса вершины f(t) = t2 + 2t – 13 – a, D - дискриминант квадратного трехчлена f(t).!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image100.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_25.gif" align="left" width="360" height="32 src=">!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image102.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_27.gif" align="left" width="218" height="42 src=">!}

Odgovor: če je a > – 13, a  11, a  5, potem če je a – 13,

a = 11, a = 5, potem ni nobenih korenin.

Bibliografija.

1. Guzejev temelji izobraževalne tehnologije.

2. Tehnologija Guzeev: od recepcije do filozofije.

M. "Direktor šole" št. 4, 1996

3. Guzeev in organizacijske oblike usposabljanje.

4. Guzeev in praksa integralne izobraževalne tehnologije.

M. "Javno izobraževanje", 2001

5. Guzeev iz oblik lekcije - seminar.

Matematika v šoli št. 2, 1987 str. 9 – 11.

6. Izobraževalne tehnologije Seleuko.

M. "Javno izobraževanje", 1998

7. Episheva šolarji za študij matematike.

M. "Razsvetljenje", 1990

8. Ivanova pripravi lekcije - delavnice.

Matematika v šoli št. 6, 1990 str. 37 – 40.

9. Smirnov model poučevanja matematike.

Matematika v šoli št. 1, 1997 str. 32 – 36.

10. Tarasenko načini organizacije praktičnega dela.

Matematika v šoli št. 1, 1993 str. 27 – 28.

11. O eni od vrst individualnega dela.

Matematika v šoli št. 2, 1994, str. 63 – 64.

12. Khazankin Ustvarjalne sposobnostišolski otroci.

Matematika v šoli št. 2, 1989 str. 10.

13. Scanavi. Založba, 1997

14. in drugi. Algebra in začetki analize. Didaktična gradiva Za

15. Naloge Krivonogova pri matematiki.

M. "Prvi september", 2002

16. Čerkasov. Priročnik za srednješolce in

vstop na univerze. “A S T - novinarska šola”, 2002

17. Zhevnyak za tiste, ki vstopajo na univerze.

Minsk in Ruska federacija "Review", 1996

18. Pisno D. Priprava na izpit iz matematike. M. Rolf, 1999

19. itd. Učenje reševanja enačb in neenačb.

M. "Intelekt - Center", 2003

20. itd. Izobraževalna in učna gradiva za pripravo na EGE.

M. "Obveščevalni center", 2003 in 2004.

21 in druge možnosti. Testni center Ministrstva za obrambo Ruske federacije, 2002, 2003.

22. Goldbergove enačbe. "Quantum" št. 3, 1971

23. Volovich M. Kako uspešno poučevati matematiko.

Matematika, 1997 št. 3.

24 Okunev za lekcijo, otroci! M. Vzgoja, 1988

25. Yakimanskaya - usmerjeno učenje v šoli.

26. Liimets dela v razredu. M. Znanje, 1975

Prva stopnja

Eksponentne enačbe. Ultimate Guide (2019)

Zdravo! Danes se bomo z vami pogovarjali o tem, kako rešiti enačbe, ki so lahko bodisi osnovne (in upam, da bodo po branju tega članka skoraj vse tako za vas), in tiste, ki so običajno dane "za polnjenje". Očitno zato, da končno zaspi. Vendar bom poskušal narediti vse, kar je v moji moči, da zdaj ne boste zašli v težave, ko se soočite s to vrsto enačb. Ne bom več premleval, bom pa takoj odprl mala skrivnost: danes se bomo učili eksponentne enačbe.

Preden preidem na analizo načinov za njihovo rešitev, vam bom takoj orisal vrsto vprašanj (precej majhnih), ki bi jih morali ponoviti, preden hitite napadati to temo. Torej, dobiti najboljši rezultat, prosim, ponovi:

Lastnosti in
Rešitev in enačbe

Ponavljajo? Neverjetno! Potem vam ne bo težko opaziti, da je koren enačbe število. Ali natančno razumete, kako sem to naredil? Ali je res? Potem nadaljujemo. Zdaj odgovorite na moje vprašanje, kaj je enako tretji potenci? Popolnoma prav imaš: . Kakšna potenca dvojke je osem? Tako je – tretji! Ker. No, zdaj pa poskusimo rešiti naslednji problem: Naj enkrat pomnožim število samo s seboj in dobim rezultat. Vprašanje je, kolikokrat sem sam pomnožil? To seveda lahko preverite neposredno:

\begin(align) & 2=2 \\ & 2\cdot 2=4 \\ & 2\cdot 2\cdot 2=8 \\ & 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=16 \\ \end( poravnati)

Potem lahko sklepate, da sem pomnožil s samim seboj. Kako drugače lahko to preverite? Takole: neposredno z definicijo stopnje: . Ampak, priznajte, če bi vprašal, kolikokrat je treba dva pomnožiti s samim seboj, da dobimo, recimo, bi mi rekli: ne bom se zavajal in množil s samim seboj, dokler ne bom moder v obraz. In imel bi popolnoma prav. Ker kako lahko na kratko zapišite vse korake(in kratkost je sestra talenta)

kje - to so isti "krat", ko pomnožiš sama s seboj.

Mislim, da veste (in če ne veste, nujno, zelo nujno ponovite stopnje!), da bo potem moja težava zapisana v obliki:

Kako lahko razumno sklepate, da:

Tako sem neopazno zapisal najpreprostejše eksponentna enačba:

In celo našel sem ga korenina. Se vam ne zdi, da je vse skupaj povsem trivialno? Mislim popolnoma enako. Tukaj je še en primer za vas:

Toda kaj narediti? Navsezadnje ga ni mogoče zapisati kot potenco (razumnega) števila. Ne obupajmo in upoštevajmo, da sta obe števili popolnoma izraženi s potenco istega števila. Kateri? Prav: . Nato se prvotna enačba pretvori v obliko:

Kje, kot ste že razumeli,. Ne odlašajmo več in zapišimo definicija:

V našem primeru:.

Te enačbe rešimo tako, da jih reduciramo na obliko:

sledi reševanje enačbe

Pravzaprav smo to storili v prejšnjem primeru: dobili smo naslednje: In rešili smo najenostavnejšo enačbo.

Zdi se, da ni nič zapletenega, kajne? Vadimo najprej na najpreprostejših primeri:

Ponovno vidimo, da je treba desno in levo stran enačbe predstaviti kot potenco enega števila. Res je, na levi je to že narejeno, a na desni je številka. Ampak nič hudega, ker se bo moja enačba čudežno spremenila v tole:

Kaj sem moral uporabiti tukaj? Kakšno pravilo? Pravilo "stopinj v stopinjah" ki se glasi:

Kaj če:

Preden odgovorimo na to vprašanje, izpolnimo naslednjo tabelo:

Zlahka opazimo, da čim manj, tem manjša vrednost, vendar so kljub temu vse te vrednosti večje od nič. IN VEDNO BO TAKO!!! Ista lastnost velja ZA VSAKO BAZO Z KAKRŠNIM KOLI INDIKATORJEM!! (za katero koli in). Kaj lahko potem sklepamo o enačbi? Evo, kaj je: to nima korenin! Tako kot vsaka enačba nima korenin. Zdaj pa vadimo in Rešimo preproste primere:

Preverimo:

1. Tukaj se od vas ne bo zahtevalo nič, razen znanja o lastnostih stopinj (kar sem vas mimogrede prosil, da ponovite!) Praviloma vse vodi do najmanjše baze: , . Potem bo prvotna enačba enakovredna naslednjemu: Vse kar potrebujem je, da uporabim lastnosti potenc: Pri množenju števil z enakimi osnovami se potence seštevajo, pri deljenju pa odštevajo. Potem bom dobil: No, zdaj pa bom mirne vesti prešel iz eksponentne enačbe v linearno: \begin(align)
& 2x+1+2(x+2)-3x=5 \\
& 2x+1+2x+4-3x=5 \\
&x=0. \\
\konec(poravnaj)

2. Pri drugem primeru moramo biti previdnejši: težava je v tem, da na levi strani nikakor ne moremo prikazati istega števila kot potenco. V tem primeru je včasih koristno predstavljajo števila kot produkt potenc z različnimi osnovami, vendar enakimi eksponenti:

Leva stran enačbe bo videti takole: Kaj nam je to dalo? Evo kaj: Števila z različnimi osnovami, vendar enakimi eksponenti, je mogoče pomnožiti.V tem primeru se baze pomnožijo, vendar se indikator ne spremeni:

V moji situaciji bo to dalo:

\začetek(poravnaj)
& 4\cdot ((64)^(x))((25)^(x))=6400,\\
& 4\cdot (((64\cdot 25))^(x))=6400,\\
& ((1600)^(x))=\frac(6400)(4), \\
& ((1600)^(x))=1600, \\
&x=1. \\
\konec(poravnaj)

Ni slabo, kajne?

3. Ni mi všeč, če imam po nepotrebnem na eni strani enačbe dva izraza, na drugi pa nobenega (včasih je to seveda upravičeno, zdaj pa ni tako). Izraz minus bom premaknil na desno:

Zdaj bom, kot prej, vse zapisal v smislu moči treh:

Dodam stopinje na levi in dobim enakovredno enačbo

Z lahkoto najdete njegov koren:

4. Tako kot v primeru tri je minus člen na desni strani!

Na moji levi je skoraj vse v redu, razen česa? Ja, moti me "napačna diploma" obeh. Ampak to lahko enostavno popravim tako, da napišem: . Eureka - na levi so vse baze različne, vendar so vse stopnje enake! Takoj pomnožimo!

Tukaj je spet vse jasno: (če ne razumete, kako sem čarobno dobil zadnjo enakost, si vzemite minuto odmora, vdihnite in še enkrat natančno preberite lastnosti stopnje. Kdo je rekel, da lahko preskočite stopnja z negativnim eksponentom? No, tukaj sem približno enak kot nihče). Zdaj bom dobil:

\začetek(poravnaj)
& ((2)^(4\levo((x) -9 \desno)))=((2)^(-1)) \\
& 4((x) -9)=-1 \\
& x=\frac(35)(4). \\
\konec(poravnaj)

Tukaj je nekaj nalog za vajo, na katere bom podal le odgovore (vendar v »mešani« obliki). Rešite jih, preverite in midva bova nadaljevala z raziskovanjem!

pripravljena odgovori kot so te:

poljubno število

V redu, v redu, hecal sem se! Tukaj je nekaj skic rešitev (nekatere zelo kratke!)

Se vam ne zdi naključje, da je en ulomek na levi drugi "obrnjen"? Greh bi bil ne izkoristiti tega:

To pravilo se zelo pogosto uporablja pri reševanju eksponentnih enačb, dobro si ga zapomnite!

Potem bo izvirna enačba postala taka:

Ko se je to odločil kvadratna enačba, boste dobili te korenine:

2. Druga rešitev: obe strani enačbe delimo z izrazom na levi (ali desni). Če delim s tem, kar je na desni, potem dobim:

Kje (zakaj?!)

3. Sploh se ne želim ponavljati, vse je bilo že toliko "prežvečeno".

4. enakovredna kvadratni enačbi, korenine

5. Morate uporabiti formulo, podano v prvi težavi, potem boste dobili to:

Enačba se je spremenila v trivialno identiteto, ki velja za vse. Potem je odgovor poljubno realno število.

No, zdaj ste vadili reševanje enostavne eksponentne enačbe. Zdaj vam želim dati nekaj življenjskih primerov, ki vam bodo pomagali razumeti, zakaj so načeloma potrebni. Tukaj bom navedel dva primera. Eden od njih je povsem vsakdanji, drugi pa je bolj znanstvenega kot praktičnega pomena.

Primer 1 (merkantilno) Naj imate rublje, vendar jih želite spremeniti v rublje. Banka vam ponuja, da vam ta denar vzame po letni obrestni meri z mesečno kapitalizacijo obresti (mesečno obračunavanje). Vprašanje je, koliko mesecev morate odpreti depozit, da dosežete zahtevani končni znesek? Precej vsakdanje opravilo, kajne? Kljub temu je njegova rešitev povezana s konstrukcijo ustrezne eksponentne enačbe: Naj - začetni znesek, - končni znesek, - obrestna mera na obdobje, - število obdobij. Nato:

V našem primeru (če je stopnja letna, potem se izračuna na mesec). Zakaj je razdeljen na? Če ne poznate odgovora na to vprašanje, se spomnite teme ""! Potem dobimo to enačbo:

To eksponentno enačbo je mogoče rešiti samo s kalkulatorjem (njegov videz namiguje na to, to pa zahteva znanje logaritmov, s katerimi se bomo seznanili malo kasneje), kar bom naredil: ... Torej, da bi prejeli milijon, bomo morali položiti depozit za en mesec ( ne zelo hitro, kajne?).

Primer 2 (precej znanstven). Kljub njegovi določeni "izolaciji" priporočam, da ste pozorni nanj: redno "zdrsne na enotni državni izpit!! (problem je vzet iz “prave” različice) Pri razpadu radioaktivnega izotopa se njegova masa zmanjšuje po zakonu, kjer je (mg) začetna masa izotopa, (min.) čas, ki preteče od začetni trenutek (min.) je razpolovna doba. V začetnem trenutku je masa izotopa mg. Njegova razpolovna doba je min. Po koliko minutah bo masa izotopa enaka mg? V redu je: samo vzamemo in nadomestimo vse podatke v formulo, ki nam je predlagana:

Oba dela razdelimo na, "v upanju", da bomo na levi dobili nekaj prebavljivega:

Pa imamo veliko srečo! Na levi je, potem pa pojdimo na enakovredno enačbo:

Kje je min.

Kot lahko vidite, imajo eksponentne enačbe zelo realne aplikacije v praksi. Zdaj vam želim pokazati drug (preprost) način za reševanje eksponentnih enačb, ki temelji na vzetju skupnega faktorja iz oklepajev in nato združevanju členov. Naj vas ne prestrašijo moje besede, s to metodo ste se srečali že v 7. razredu, ko ste se učili polinome. Na primer, če bi morali izraz faktorizirati:

Združimo: prvi in tretji člen ter drugi in četrti. Jasno je, da sta prvi in tretji razlika kvadratov:

drugi in četrti pa imata skupni faktor tri:

Potem je prvotni izraz enakovreden temu:

Kje izpeljati skupni faktor ni več težko:

torej

Približno tako bomo naredili pri reševanju eksponentnih enačb: poiskali »skupnost« med izrazi in jo vzeli iz oklepajev, potem pa - naj bo karkoli, verjamem, da bomo imeli srečo =)) Na primer:

Na desni še zdaleč ni potenca sedmih (sem preveril!) In na levi - je malo bolje, faktor a lahko seveda "odsekate" od drugega od prvega člena in nato obravnavate s tem, kar imaš, ampak bodimo bolj preudarni s teboj. Nočem se ukvarjati z ulomki, ki neizogibno nastanejo pri "izbiranju", ali ne bi tega raje odstranil? Potem ne bom imel nobenih frakcij: kot pravijo, volkovi so siti in ovce varne:

Izračunaj izraz v oklepaju. Čarobno, čarobno se izkaže, da (presenetljivo, čeprav kaj drugega naj pričakujemo?).

Nato obe strani enačbe zmanjšamo za ta faktor. Dobimo: , od.

Tukaj je bolj zapleten primer (precej malo, res):

Kakšen problem! Tukaj ga nimamo skupna točka! Ni povsem jasno, kaj storiti zdaj. Naredimo, kar je v naši moči: najprej premaknite "štirice" na eno stran in "petice" na drugo:

Zdaj pa izločimo "generala" na levi in desni:

In kaj sedaj? Kakšna je korist od tako neumne skupine? Na prvi pogled se sploh ne vidi, a poglejmo globlje:

No, zdaj se bomo prepričali, da imamo na levi samo izraz c, na desni pa vse ostalo. Kako naj to naredimo? Takole: obe strani enačbe najprej delite s (tako se znebimo eksponenta na desni), nato pa obe strani delimo s (tako se znebimo številskega faktorja na levi). Končno dobimo:

Neverjetno! Na levi strani imamo izraz, na desni pa preprost izraz. Potem takoj sklepamo, da

Tu je še en primer za potrditev:

Podal bom njegovo kratko rešitev (ne da bi se veliko obremenjeval z razlagami), poskusite sami razumeti vse "tankosti" rešitve.

Sedaj pa še končna utrditev prejetega gradiva. Poskusite sami rešiti naslednje težave. Samo dal bom kratka priporočila in nasveti za njihovo reševanje:

Vzemimo skupni faktor iz oklepaja: Kje:
Predstavimo prvi izraz v obliki: , delimo obe strani z in dobimo to
, potem se prvotna enačba preoblikuje v obliko: No, zdaj pa namig - poiščite, kje sva s tabo že rešila to enačbo!
Predstavljajte si, kako, kako, ah, no, nato delite obe strani s, tako da dobite najpreprostejšo eksponentno enačbo.
Izvlecite iz oklepaja.
Izvlecite iz oklepaja.

EKSPONENTNE ENAČBE. POVPREČNA STOPNJA

Predvidevam, da po branju prvega članka, ki je govoril o kaj so eksponentne enačbe in kako jih rešiti, ste obvladali potrebno minimalno znanje, potrebno za reševanje najpreprostejših primerov.

Zdaj si bom ogledal drugo metodo za reševanje eksponentnih enačb, to je

»metoda uvajanja nove spremenljivke« (ali zamenjave). Rešuje večino »težjih« nalog na temo eksponentnih enačb (pa ne samo enačb). Ta metoda je ena najpogosteje uporabljenih v praksi. Najprej priporočam, da se seznanite s temo.

Kot ste razumeli že iz imena, je bistvo te metode vpeljati takšno spremembo spremenljivke, da se bo vaša eksponentna enačba čudežno spremenila v takšno, ki jo boste zlahka rešili. Vse, kar vam po rešitvi te zelo »poenostavljene enačbe« preostane, je, da naredite »obratno zamenjavo«: torej vrnitev od zamenjanega k zamenjanemu. Ponazorimo, kar smo pravkar povedali, z zelo preprostim primerom:

Primer 1:

Ta enačba je rešena s pomočjo »preproste zamenjave«, kot jo matematiki omalovažujoče imenujejo. Pravzaprav je zamenjava tukaj najbolj očitna. To je treba samo videti

Potem se bo prvotna enačba spremenila v tole:

Če si dodatno predstavljamo, kako, potem je popolnoma jasno, kaj je treba zamenjati: seveda, . Kaj potem postane prvotna enačba? Evo kaj:

Njegove korenine zlahka najdete sami: . Kaj naj storimo zdaj? Čas je, da se vrnemo k prvotni spremenljivki. Kaj sem pozabil omeniti? Namreč: pri zamenjavi določene stopnje z novo spremenljivko (torej pri zamenjavi vrste) me bo zanimalo samo pozitivne korenine! Zakaj, si zlahka odgovorite sami. Tako vas in mene ne zanima, vendar je drugi koren povsem primeren za nas:

Od kod potem.

odgovor:

Kot lahko vidite, je v prejšnjem primeru zamenjava samo prosila za naše roke. Na žalost ni vedno tako. Vendar ne preidimo naravnost na žalostno, ampak vadimo še en primer z dokaj preprosto zamenjavo

Primer 2.

Jasno je, da bomo najverjetneje morali opraviti zamenjavo (to je najmanjša izmed potenc, ki jih vsebuje naša enačba), vendar je treba pred uvedbo zamenjave našo enačbo nanjo »pripraviti«, in sicer: , . Potem lahko zamenjate, kot rezultat dobim naslednji izraz:

Oh groza: kubična enačba z naravnost grozljivimi formulami za njeno reševanje (no, če govorimo splošni pogled). A ne obupajmo takoj, ampak premislimo, kaj bi morali narediti. Predlagal bom goljufanje: vemo, da moramo dobiti »lep« odgovor, da ga dobimo v obliki neke moči tri (zakaj bi bilo to, kajne?). Poskusimo uganiti vsaj en koren naše enačbe (ugibati bom začel s potencami tri).

Prva ugibanja. Ni koren. Žal in ah ...

.
Leva stran je enaka.
Desni del: !
Jejte! Uganil prvi koren. Zdaj bodo stvari lažje!

Ali poznate shemo delitve "kota"? Seveda ga imaš, uporabiš ga, ko eno število deliš z drugim. Toda malo ljudi ve, da je enako mogoče storiti s polinomi. Obstaja en čudovit izrek:

Če uporabim mojo situacijo, mi to pove, da je deljivo brez ostanka z. Kako poteka delitev? Tako:

Pogledam, s katerim monomom bi moral pomnožiti, da dobim Clearly, nato pa:

Od dobljenega izraza odštejem, dobim:

Zdaj, s čim moram pomnožiti, da dobim? Jasno je, da bom dobil:

in ponovno odštejte dobljeni izraz od preostalega:

No, zadnji korak je množenje in odštevanje od preostalega izraza:

Hura, delitve je konec! Kaj smo si nabrali zasebno? Samo po sebi: .

Nato smo dobili naslednjo razširitev prvotnega polinoma:

Rešimo drugo enačbo:

Ima korenine:

Nato izvirna enačba:

ima tri korenine:

Zadnji koren bomo seveda zavrgli, saj je manjši od nič. In prva dva po obratni zamenjavi nam bosta dala dva korena:

Odgovor: ..

S tem primerom vas sploh nisem želel prestrašiti, ampak je bil moj cilj pokazati, da je kljub temu, da smo imeli dokaj preprosto zamenjavo, vendarle pripeljala do precej zapletene enačbe, katere rešitev je od nas zahtevala nekaj posebnega znanja. No, nihče ni imun pred tem. Toda zamenjava v v tem primeru je bilo precej očitno.

Tukaj je primer z nekoliko manj očitno zamenjavo:

Sploh ni jasno, kaj naj storimo: težava je v tem, da sta v naši enačbi dva različne podlage in ene podlage ni mogoče pridobiti od druge tako, da jo dvignemo na kakršno koli (razumno, naravno) stopnjo. Vendar, kaj vidimo? Obe bazi se razlikujeta le v predznaku, njun produkt pa je razlika kvadratov enaka ena:

definicija:

Tako so števila, ki so osnove v našem primeru, konjugirana.

V tem primeru bi bil pameten korak Pomnožite obe strani enačbe s konjugiranim številom.

Na primer, on, potem bo leva stran enačbe enaka in desna. Če naredimo zamenjavo, bo naša prvotna enačba postala taka:

njegove korenine torej in če se tega spomnimo, to razumemo.

Odgovor: , .

Nadomestna metoda praviloma zadostuje za rešitev večine »šolskih« eksponentnih enačb. Naslednje naloge so vzete iz enotnega državnega izpita C1 (višja stopnja zahtevnosti). Ti si že dovolj pismen, da te primere rešiš sam. Dam samo zahtevano zamenjavo.

Reši enačbo:
Poiščite korenine enačbe:
Reši enačbo: . Poiščite vse korenine te enačbe, ki pripadajo segmentu:

Zdaj pa še nekaj kratkih pojasnil in odgovorov:

Tukaj je dovolj, da ugotovimo, da ... Potem bo izvirna enačba enakovredna tej: Ta enačba rešiti z zamenjavo Nadaljnje izračune opravite sami. Na koncu se bo vaša naloga zmanjšala na reševanje preprostih trigonometričnih problemov (odvisno od sinusa ali kosinusa). rešitev podobni primeri pogledali ga bomo v drugih razdelkih.
Tukaj lahko storite celo brez zamenjave: samo premaknite subtrahend v desno in predstavite obe osnovi s potencami dvojke: , nato pa pojdite naravnost na kvadratno enačbo.
Tudi tretja enačba je rešena precej standardno: predstavljajmo si, kako. Nato z zamenjavo dobimo kvadratno enačbo: potem,
Saj že veste, kaj je logaritem, kajne? ne? Potem pa nujno preberi temo!

Prvi koren očitno ne pripada segmentu, drugi pa je nejasen! A izvedeli bomo zelo kmalu! Ker torej (to je lastnost logaritma!) Primerjajmo:

Odštejemo z obeh strani, potem dobimo:

Levo stran lahko predstavimo kot:

pomnoži obe strani z:

potem lahko pomnožimo s

Nato primerjajte:

od takrat:

Potem drugi koren pripada zahtevanemu intervalu

odgovor:

Kot vidiš, izbor korenin eksponentnih enačb zahteva zadostno globoko znanje lastnosti logaritmov, zato vam svetujem, da ste pri reševanju eksponentnih enačb čim bolj previdni. Kot razumete, je v matematiki vse med seboj povezano! Kot je rekel moj učitelj matematike: "matematike, tako kot zgodovine, ni mogoče brati čez noč."

Praviloma vse Težava pri reševanju nalog C1 je ravno izbira korenin enačbe. Vadimo še z enim primerom:

Jasno je, da se sama enačba reši povsem preprosto. Z zamenjavo zmanjšamo prvotno enačbo na naslednje:

Najprej si oglejmo prvi koren. Primerjajmo in: od takrat. (lastnina logaritemska funkcija, pri). Potem je jasno, da prvi koren ne pripada našemu intervalu. Zdaj drugi koren: . Jasno je, da (ker funkcija pri narašča). Ostaja še primerjava in...

saj torej hkrati. Tako lahko »zabijem klin« med in. Ta klin je številka. Prvi izraz je manjši, drugi pa večji. Potem je drugi izraz večji od prvega in koren pripada intervalu.

Odgovor: .

Nazadnje si poglejmo še en primer enačbe, kjer je zamenjava precej nestandardna:

Začnimo takoj s tem, kaj je mogoče storiti in kaj - načeloma je mogoče storiti, vendar je bolje, da tega ne storite. Vse si lahko predstavljate s pomočjo moči tri, dve in šest. Kam vodi? To ne bo vodilo do ničesar: zmešnjava stopinj, od katerih se bo nekaterih precej težko znebiti. Kaj je potem potrebno? Upoštevajmo, da a In kaj nam bo to dalo? In dejstvo, da lahko rešitev tega primera reduciramo na rešitev dokaj preproste eksponentne enačbe! Najprej zapišimo našo enačbo kot:

Zdaj delimo obe strani dobljene enačbe z:

Eureka! Zdaj lahko zamenjamo, dobimo:

No, zdaj ste vi na vrsti za reševanje demonstracijskih nalog, jaz pa jih bom le na kratko komentiral, da ne boste zmedeni prava pot! Vso srečo!

1. Najtežji! Tukaj je tako težko videti zamenjavo! Toda kljub temu je ta primer mogoče popolnoma rešiti z uporabo poudarjanje celotnega kvadrata. Za rešitev je dovolj upoštevati, da:

Potem je tukaj vaša zamenjava:

(Upoštevajte, da tukaj med našo zamenjavo ne moremo zavreči negativnega korena!!! Zakaj mislite?)

Če želite zdaj rešiti primer, morate rešiti le dve enačbi:

Oboje je mogoče rešiti s "standardno zamenjavo" (toda drugo v enem primeru!)

2. Upoštevajte to in zamenjajte.

3. Število razgradi na soproste faktorje in dobljeni izraz poenostavi.

4. Števec in imenovalec ulomka delite z (ali, če želite) in opravite zamenjavo oz.

5. Upoštevajte, da sta števili in konjugirani.

EKSPONENTNE ENAČBE. NAPREDNI NIVO

Poleg tega poglejmo še en način - reševanje eksponentnih enačb z logaritemsko metodo. Ne morem reči, da je reševanje eksponentnih enačb s to metodo zelo priljubljeno, vendar nas le v nekaterih primerih lahko pripelje do prava odločitev naša enačba. Še posebej pogosto se uporablja za reševanje t.i. mešane enačbe": torej tiste, kjer se pojavljajo funkcije različnih vrst.

Na primer, enačba oblike:

v splošnem primeru jo je mogoče rešiti le z logaritmiranjem obeh strani (na primer na osnovo), pri čemer se bo prvotna enačba spremenila v naslednje:

Poglejmo si naslednji primer:

Jasno je, da nas glede na ODZ logaritemske funkcije zanima samo. Vendar to ne izhaja le iz ODZ logaritma, ampak še iz enega razloga. Mislim, da vam ne bo težko uganiti, kateri je.

Vzemimo logaritem obeh strani naše enačbe k osnovi:

Kot vidite, nas je logaritem naše prvotne enačbe hitro pripeljal do pravilnega (in čudovitega!) odgovora. Vadimo še z enim primerom:

Tudi tukaj ni nič narobe: vzemimo logaritem obeh strani enačbe k osnovi, potem dobimo:

Naredimo zamenjavo:

Vendar smo nekaj zamudili! Ste opazili, kje sem naredil napako? Konec koncev, potem:

ki ne izpolnjuje zahteve (pomislite, od kod prihaja!)

odgovor:

Poskusite zapisati rešitev spodnjih eksponentnih enačb:

Zdaj primerjajte svojo odločitev s tem:

1. Logaritmirajmo obe strani na osnovo, pri čemer upoštevamo, da:

(drugi koren za nas ni primeren zaradi zamenjave)

2. Logaritem na osnovo:

Pretvorimo dobljeni izraz v naslednjo obliko:

EKSPONENTNE ENAČBE. KRATEK OPIS IN OSNOVNE FORMULE

Eksponentna enačba

Enačba oblike:

klical najenostavnejša eksponentna enačba.

Lastnosti stopinj

Pristopi k rešitvi

Redukcija na isto osnovo
Redukcija na isti eksponent
Spremenljiva zamenjava
Poenostavitev izraza in uporaba enega od zgornjih.

Prva stopnja

Eksponentne enačbe. Ultimate Guide (2019)

Zdravo! Danes se bomo z vami pogovarjali o tem, kako rešiti enačbe, ki so lahko bodisi osnovne (in upam, da bodo po branju tega članka skoraj vse tako za vas), in tiste, ki so običajno dane "za polnjenje". Očitno zato, da končno zaspi. Vendar bom poskušal narediti vse, kar je v moji moči, da zdaj ne boste zašli v težave, ko se soočite s to vrsto enačb. Ne bom več premleval, ampak vam bom takoj izdal majhno skrivnost: danes se bomo učili eksponentne enačbe.

Preden preidem na analizo načinov za njihovo rešitev, vam bom takoj orisal vrsto vprašanj (precej majhnih), ki bi jih morali ponoviti, preden hitite napadati to temo. Torej, za najboljše rezultate, prosim ponovi:

Lastnosti in
Rešitev in enačbe

\begin(align) & 2=2 \\ & 2\cdot 2=4 \\ & 2\cdot 2\cdot 2=8 \\ & 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=16 \\ \end( poravnati)

kje - to so isti "krat", ko pomnožiš sama s seboj.

Mislim, da veste (in če ne veste, nujno, zelo nujno ponovite stopnje!), da bo potem moja težava zapisana v obliki:

Kako lahko razumno sklepate, da:

Tako sem neopazno zapisal najpreprostejše eksponentna enačba:

In celo našel sem ga korenina. Se vam ne zdi, da je vse skupaj povsem trivialno? Mislim popolnoma enako. Tukaj je še en primer za vas:

Kje, kot ste že razumeli,. Ne odlašajmo več in zapišimo definicija:

V našem primeru:.

Te enačbe rešimo tako, da jih reduciramo na obliko:

sledi reševanje enačbe

Pravzaprav smo to storili v prejšnjem primeru: dobili smo naslednje: In rešili smo najenostavnejšo enačbo.

Zdi se, da ni nič zapletenega, kajne? Vadimo najprej na najpreprostejših primeri:

Kaj sem moral uporabiti tukaj? Kakšno pravilo? Pravilo "stopinj v stopinjah" ki se glasi:

Kaj če:

Preden odgovorimo na to vprašanje, izpolnimo naslednjo tabelo:

Zlahka opazimo, da je manjša, manjša je vrednost, vendar so kljub temu vse te vrednosti večje od nič. IN VEDNO BO TAKO!!! Ista lastnost velja ZA VSAKO BAZO Z KAKRŠNIM KOLI INDIKATORJEM!! (za katero koli in). Kaj lahko potem sklepamo o enačbi? Evo, kaj je: to nima korenin! Tako kot vsaka enačba nima korenin. Zdaj pa vadimo in Rešimo preproste primere:

Preverimo:

V moji situaciji bo to dalo:

\začetek(poravnaj)
& 4\cdot ((64)^(x))((25)^(x))=6400,\\
& 4\cdot (((64\cdot 25))^(x))=6400,\\
& ((1600)^(x))=\frac(6400)(4), \\
& ((1600)^(x))=1600, \\
&x=1. \\
\konec(poravnaj)

Ni slabo, kajne?

3. Ni mi všeč, če imam po nepotrebnem na eni strani enačbe dva izraza, na drugi pa nobenega (včasih je to seveda upravičeno, zdaj pa ni tako). Izraz minus bom premaknil na desno:

Zdaj bom, kot prej, vse zapisal v smislu moči treh:

Dodam stopinje na levi in dobim enakovredno enačbo

Z lahkoto najdete njegov koren:

4. Tako kot v primeru tri je minus člen na desni strani!

\začetek(poravnaj)
& ((2)^(4\levo((x) -9 \desno)))=((2)^(-1)) \\
& 4((x) -9)=-1 \\
& x=\frac(35)(4). \\
\konec(poravnaj)

Tukaj je nekaj nalog za vajo, na katere bom podal le odgovore (vendar v »mešani« obliki). Rešite jih, preverite in midva bova nadaljevala z raziskovanjem!

pripravljena odgovori kot so te:

poljubno število

V redu, v redu, hecal sem se! Tukaj je nekaj skic rešitev (nekatere zelo kratke!)

Se vam ne zdi naključje, da je en ulomek na levi drugi "obrnjen"? Greh bi bil ne izkoristiti tega:

To pravilo se zelo pogosto uporablja pri reševanju eksponentnih enačb, dobro si ga zapomnite!

Potem bo izvirna enačba postala taka:

Z rešitvijo te kvadratne enačbe boste dobili naslednje korene:

2. Druga rešitev: obe strani enačbe delimo z izrazom na levi (ali desni). Če delim s tem, kar je na desni, potem dobim:

Kje (zakaj?!)

3. Sploh se ne želim ponavljati, vse je bilo že toliko "prežvečeno".

4. enakovredna kvadratni enačbi, korenine

5. Morate uporabiti formulo, podano v prvi težavi, potem boste dobili to:

Enačba se je spremenila v trivialno identiteto, ki velja za vse. Potem je odgovor poljubno realno število.

V našem primeru (če je stopnja letna, potem se izračuna na mesec). Zakaj je razdeljen na? Če ne poznate odgovora na to vprašanje, se spomnite teme ""! Potem dobimo to enačbo:

To eksponentno enačbo je že mogoče rešiti le s pomočjo kalkulatorja (na to namiguje njegov videz, za to pa je potrebno znanje logaritmov, s katerimi se bomo seznanili malo kasneje), kar bom tudi storil: ... Takole , da bi dobili milijon, bomo morali prispevati en mesec (ne zelo hitro, kajne?).

Oba dela razdelimo na, "v upanju", da bomo na levi dobili nekaj prebavljivega:

Pa imamo veliko srečo! Na levi je, potem pa pojdimo na enakovredno enačbo:

Kje je min.

Združimo: prvi in tretji člen ter drugi in četrti. Jasno je, da sta prvi in tretji razlika kvadratov:

drugi in četrti pa imata skupni faktor tri:

Potem je prvotni izraz enakovreden temu:

Kje izpeljati skupni faktor ni več težko:

torej

Približno tako bomo naredili pri reševanju eksponentnih enačb: poiskali »skupnost« med izrazi in jo vzeli iz oklepajev, potem pa - naj bo karkoli, verjamem, da bomo imeli srečo =)) Na primer:

Izračunaj izraz v oklepaju. Čarobno, čarobno se izkaže, da (presenetljivo, čeprav kaj drugega naj pričakujemo?).

Nato obe strani enačbe zmanjšamo za ta faktor. Dobimo: , od.

Tukaj je bolj zapleten primer (precej malo, res):

Kakšen problem! Tukaj nimamo ene skupne točke! Ni povsem jasno, kaj storiti zdaj. Naredimo, kar je v naši moči: najprej premaknite "štirice" na eno stran in "petice" na drugo:

Zdaj pa izločimo "generala" na levi in desni:

In kaj sedaj? Kakšna je korist od tako neumne skupine? Na prvi pogled se sploh ne vidi, a poglejmo globlje:

Neverjetno! Na levi strani imamo izraz, na desni pa preprost izraz. Potem takoj sklepamo, da

Tu je še en primer za potrditev:

Podal bom njegovo kratko rešitev (ne da bi se veliko obremenjeval z razlagami), poskusite sami razumeti vse "tankosti" rešitve.

Sedaj pa še končna utrditev prejetega gradiva. Poskusite sami rešiti naslednje težave. Podal bom le kratka priporočila in nasvete za njihovo reševanje:

Vzemimo skupni faktor iz oklepaja: Kje:
Predstavimo prvi izraz v obliki: , delimo obe strani z in dobimo to
, potem se prvotna enačba preoblikuje v obliko: No, zdaj pa namig - poiščite, kje sva s tabo že rešila to enačbo!
Predstavljajte si, kako, kako, ah, no, nato delite obe strani s, tako da dobite najpreprostejšo eksponentno enačbo.
Izvlecite iz oklepaja.
Izvlecite iz oklepaja.

EKSPONENTNE ENAČBE. POVPREČNA STOPNJA

Predvidevam, da po branju prvega članka, ki je govoril o kaj so eksponentne enačbe in kako jih rešiti, ste obvladali potrebno minimalno znanje, potrebno za reševanje najpreprostejših primerov.

Zdaj si bom ogledal drugo metodo za reševanje eksponentnih enačb, to je

Primer 1:

Ta enačba je rešena s pomočjo »preproste zamenjave«, kot jo matematiki omalovažujoče imenujejo. Pravzaprav je zamenjava tukaj najbolj očitna. To je treba samo videti

Potem se bo prvotna enačba spremenila v tole:

Če si dodatno predstavljamo, kako, potem je popolnoma jasno, kaj je treba zamenjati: seveda, . Kaj potem postane prvotna enačba? Evo kaj:

Od kod potem.

odgovor:

Primer 2.

Oh, groza: kubična enačba s popolnoma grozljivimi formulami za njeno rešitev (no, na splošno). A ne obupajmo takoj, ampak premislimo, kaj bi morali narediti. Predlagal bom goljufanje: vemo, da moramo dobiti »lep« odgovor, da ga dobimo v obliki neke moči tri (zakaj bi bilo to, kajne?). Poskusimo uganiti vsaj en koren naše enačbe (ugibati bom začel s potencami tri).

Prva ugibanja. Ni koren. Žal in ah ...

.
Leva stran je enaka.
Desni del: !
Jejte! Uganil prvi koren. Zdaj bodo stvari lažje!

Ali poznate shemo delitve "kota"? Seveda ga imaš, uporabiš ga, ko eno število deliš z drugim. Toda malo ljudi ve, da je enako mogoče storiti s polinomi. Obstaja en čudovit izrek:

Če uporabim mojo situacijo, mi to pove, da je deljivo brez ostanka z. Kako poteka delitev? Tako:

Pogledam, s katerim monomom bi moral pomnožiti, da dobim Clearly, nato pa:

Od dobljenega izraza odštejem, dobim:

Zdaj, s čim moram pomnožiti, da dobim? Jasno je, da bom dobil:

in ponovno odštejte dobljeni izraz od preostalega:

No, zadnji korak je množenje in odštevanje od preostalega izraza:

Hura, delitve je konec! Kaj smo si nabrali zasebno? Samo po sebi: .

Nato smo dobili naslednjo razširitev prvotnega polinoma:

Rešimo drugo enačbo:

Ima korenine:

Nato izvirna enačba:

ima tri korenine:

Zadnji koren bomo seveda zavrgli, saj je manjši od nič. In prva dva po obratni zamenjavi nam bosta dala dva korena:

Odgovor: ..

Tukaj je primer z nekoliko manj očitno zamenjavo:

Sploh ni jasno, kaj naj storimo: težava je v tem, da sta v naši enačbi dve različni bazi in ene baze ni mogoče dobiti iz druge tako, da jo dvignemo na katero koli (razumno, naravno) potenco. Vendar, kaj vidimo? Obe bazi se razlikujeta le v predznaku, njun produkt pa je razlika kvadratov enaka ena:

definicija:

Tako so števila, ki so osnove v našem primeru, konjugirana.

V tem primeru bi bil pameten korak Pomnožite obe strani enačbe s konjugiranim številom.

Na primer, on, potem bo leva stran enačbe enaka in desna. Če naredimo zamenjavo, bo naša prvotna enačba postala taka:

njegove korenine torej in če se tega spomnimo, to razumemo.

Odgovor: , .

Reši enačbo:
Poiščite korenine enačbe:
Reši enačbo: . Poiščite vse korenine te enačbe, ki pripadajo segmentu:

Zdaj pa še nekaj kratkih pojasnil in odgovorov:

Tukaj je dovolj, da ugotovimo, da ... Potem bo prvotna enačba enakovredna tej: To enačbo je mogoče rešiti z zamenjavo Nadaljnje izračune naredite sami. Na koncu se bo vaša naloga zmanjšala na reševanje preprostih trigonometričnih problemov (odvisno od sinusa ali kosinusa). Rešitve podobnih primerov si bomo ogledali v drugih razdelkih.
Tukaj lahko storite celo brez zamenjave: samo premaknite subtrahend v desno in predstavite obe osnovi s potencami dvojke: , nato pa pojdite naravnost na kvadratno enačbo.
Tudi tretja enačba je rešena precej standardno: predstavljajmo si, kako. Nato z zamenjavo dobimo kvadratno enačbo: potem,
Saj že veste, kaj je logaritem, kajne? ne? Potem pa nujno preberi temo!

Prvi koren očitno ne pripada segmentu, drugi pa je nejasen! A izvedeli bomo zelo kmalu! Ker torej (to je lastnost logaritma!) Primerjajmo:

Odštejemo z obeh strani, potem dobimo:

Levo stran lahko predstavimo kot:

pomnoži obe strani z:

potem lahko pomnožimo s

Nato primerjajte:

od takrat:

Potem drugi koren pripada zahtevanemu intervalu

odgovor:

Kot vidiš, izbira korenin eksponentnih enačb zahteva dokaj globoko poznavanje lastnosti logaritmov, zato vam svetujem, da ste pri reševanju eksponentnih enačb čim bolj previdni. Kot razumete, je v matematiki vse med seboj povezano! Kot je rekel moj učitelj matematike: "matematike, tako kot zgodovine, ni mogoče brati čez noč."

Praviloma vse Težava pri reševanju nalog C1 je ravno izbira korenin enačbe. Vadimo še z enim primerom:

Jasno je, da se sama enačba reši povsem preprosto. Z zamenjavo zmanjšamo prvotno enačbo na naslednje:

Najprej si oglejmo prvi koren. Primerjajmo in: od takrat. (lastnost logaritemske funkcije, at). Potem je jasno, da prvi koren ne pripada našemu intervalu. Zdaj drugi koren: . Jasno je, da (ker funkcija pri narašča). Ostaja še primerjava in...

saj torej hkrati. Tako lahko »zabijem klin« med in. Ta klin je številka. Prvi izraz je manjši, drugi pa večji. Potem je drugi izraz večji od prvega in koren pripada intervalu.

Odgovor: .

Nazadnje si poglejmo še en primer enačbe, kjer je zamenjava precej nestandardna:

Zdaj delimo obe strani dobljene enačbe z:

Eureka! Zdaj lahko zamenjamo, dobimo:

No, zdaj ste na vrsti vi, da rešite predstavitvene naloge, jaz pa jih bom le na kratko komentiral, da ne boste zašli! Vso srečo!

1. Najtežji! Tukaj je tako težko videti zamenjavo! Toda kljub temu je ta primer mogoče popolnoma rešiti z uporabo poudarjanje celotnega kvadrata. Za rešitev je dovolj upoštevati, da:

Potem je tukaj vaša zamenjava:

(Upoštevajte, da tukaj med našo zamenjavo ne moremo zavreči negativnega korena!!! Zakaj mislite?)

Če želite zdaj rešiti primer, morate rešiti le dve enačbi:

Oboje je mogoče rešiti s "standardno zamenjavo" (toda drugo v enem primeru!)

2. Upoštevajte to in zamenjajte.

3. Število razgradi na soproste faktorje in dobljeni izraz poenostavi.

4. Števec in imenovalec ulomka delite z (ali, če želite) in opravite zamenjavo oz.

5. Upoštevajte, da sta števili in konjugirani.

EKSPONENTNE ENAČBE. NAPREDNI NIVO

Poleg tega poglejmo še en način - reševanje eksponentnih enačb z logaritemsko metodo. Ne morem reči, da je reševanje eksponentnih enačb s to metodo zelo priljubljeno, vendar nas le v nekaterih primerih lahko pripelje do pravilne rešitve naše enačbe. Še posebej pogosto se uporablja za reševanje t.i. mešane enačbe": torej tiste, kjer se pojavljajo funkcije različnih vrst.

Na primer, enačba oblike:

v splošnem primeru jo je mogoče rešiti le z logaritmiranjem obeh strani (na primer na osnovo), pri čemer se bo prvotna enačba spremenila v naslednje:

Poglejmo si naslednji primer:

Jasno je, da nas glede na ODZ logaritemske funkcije zanima samo. Vendar to ne izhaja le iz ODZ logaritma, ampak še iz enega razloga. Mislim, da vam ne bo težko uganiti, kateri je.

Vzemimo logaritem obeh strani naše enačbe k osnovi:

Kot vidite, nas je logaritem naše prvotne enačbe hitro pripeljal do pravilnega (in čudovitega!) odgovora. Vadimo še z enim primerom:

Tudi tukaj ni nič narobe: vzemimo logaritem obeh strani enačbe k osnovi, potem dobimo:

Naredimo zamenjavo:

Vendar smo nekaj zamudili! Ste opazili, kje sem naredil napako? Konec koncev, potem:

ki ne izpolnjuje zahteve (pomislite, od kod prihaja!)

odgovor:

Poskusite zapisati rešitev spodnjih eksponentnih enačb:

Zdaj primerjajte svojo odločitev s tem:

1. Logaritmirajmo obe strani na osnovo, pri čemer upoštevamo, da:

(drugi koren za nas ni primeren zaradi zamenjave)

2. Logaritem na osnovo:

Pretvorimo dobljeni izraz v naslednjo obliko:

EKSPONENTNE ENAČBE. KRATEK OPIS IN OSNOVNE FORMULE

Eksponentna enačba

Enačba oblike:

klical najenostavnejša eksponentna enačba.

Lastnosti stopinj

Pristopi k rešitvi

Redukcija na isto osnovo
Redukcija na isti eksponent
Spremenljiva zamenjava
Poenostavitev izraza in uporaba enega od zgornjih.

Obiščite youtube kanal našega spletnega mesta, da boste na tekočem z vsemi novimi video lekcijami.

Najprej se spomnimo osnovnih formul potenc in njihovih lastnosti.

Produkt števila a pojavi sam na sebi n-krat, lahko ta izraz zapišemo kot a a … a=a n

1. a 0 = 1 (a ≠ 0)

3. a n a m = a n + m

4. (a n) m = a nm

5. a n b n = (ab) n

7. a n / a m = a n - m

Potenčne ali eksponentne enačbe– to so enačbe, v katerih so spremenljivke na potencah (ali eksponentih), osnova pa je število.

Primeri eksponentnih enačb:

IN v tem primeruštevilo 6 je osnova, vedno je na dnu, in spremenljivka x stopnja ali indikator.

Navedimo več primerov eksponentnih enačb.
2 x *5=10
16 x - 4 x - 6=0

Zdaj pa poglejmo, kako se rešujejo eksponentne enačbe?

Vzemimo preprosto enačbo:

2 x = 2 3

Ta primer je mogoče rešiti celo v glavi. Vidimo lahko, da je x=3. Konec koncev, da bi bili leva in desna stran enaki, morate namesto x postaviti številko 3.
Zdaj pa poglejmo, kako formalizirati to odločitev:

2 x = 2 3
x = 3

Da bi rešili takšno enačbo, smo odstranili enake podlage(torej dvojke) in zapisal, kar je ostalo, to so stopinje. Dobili smo odgovor, ki smo ga iskali.

Zdaj pa povzamemo našo odločitev.

Algoritem za reševanje eksponentne enačbe:
1. Treba je preveriti enako ali ima enačba bazi na desni in levi. Če razlogi niso enaki, iščemo možnosti za rešitev tega primera.
2. Ko osnove postanejo enake, enačiti stopinj in rešite nastalo novo enačbo.

Zdaj pa si poglejmo nekaj primerov:

Začnimo z nečim preprostim.

Osnovi na levi in desni strani sta enaki številu 2, kar pomeni, da osnovo lahko zavržemo in njuni stopnji izenačimo.

x+2=4 Dobimo najenostavnejšo enačbo.
x=4 – 2
x=2
Odgovor: x=2

V naslednjem primeru lahko vidite, da sta bazi različni: 3 in 9.

3 3x - 9 x+8 = 0

Najprej premaknite devet na desno stran, dobimo:

Zdaj morate narediti enake podlage. Vemo, da je 9=32. Uporabimo formulo za moč (a n) m = a nm.

3 3x = (3 2) x+8

Dobimo 9 x+8 =(3 2) x+8 =3 2x+16

3 3x = 3 2x+16 zdaj lahko vidite to na levi in desna stran osnovi sta enaki in enaki trem, kar pomeni, da ju lahko zavržemo in stopnji izenačimo.

3x=2x+16 dobimo najenostavnejšo enačbo
3x - 2x=16
x=16
Odgovor: x=16.

Poglejmo si naslednji primer:

2 2x+4 - 10 4 x = 2 4

Najprej pogledamo baze, baze dve in štiri. In potrebujemo, da so enaki. Štiri transformiramo z uporabo formule (a n) m = a nm.

4 x = (2 2) x = 2 2x

In uporabimo tudi eno formulo a n a m = a n + m:

2 2x+4 = 2 2x 2 4

Dodaj v enačbo:

2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24

Dali smo primer iz istih razlogov. Toda druge številke 10 in 24 nas motijo. Kaj storiti z njimi? Če natančno pogledate, lahko vidite, da se na levi strani ponavlja 2 2x, tukaj je odgovor - 2 2x lahko postavimo iz oklepaja:

2 2x (2 4 - 10) = 24

Izračunajmo izraz v oklepajih:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

Celotno enačbo delimo s 6:

Predstavljajmo si 4=2 2:

2 2x = 2 2 osnovi enaki, ju zavržemo in stopnji izenačimo.
2x = 2 je najenostavnejša enačba. Delimo z 2 in dobimo
x = 1
Odgovor: x = 1.

Rešimo enačbo:

9 x – 12*3 x +27= 0

Pretvorimo:
9 x = (3 2) x = 3 2x

Dobimo enačbo:
3 2x - 12 3 x +27 = 0

Naše osnove so enake, enake tri. V tem primeru lahko vidite, da imajo prve tri stopnjo dvakrat (2x) kot druge (samo x). V tem primeru lahko rešite nadomestni način. Številka s najmanjšo stopnjo zamenjati:

Potem je 3 2x = (3 x) 2 = t 2

Vse potence x v enačbi zamenjamo s t:

t 2 - 12t+27 = 0
Dobimo kvadratno enačbo. Če rešimo diskriminanto, dobimo:
D=144-108=36
t 1 = 9
t2 = 3

Vrnitev k spremenljivki x.

Vzemite t 1:
t 1 = 9 = 3 x

to je

3 x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2

Najdena je bila ena korenina. Iščemo drugega iz t 2:
t 2 = 3 = 3 x
3 x = 3 1
x 2 = 1
Odgovor: x 1 = 2; x 2 = 1.

Na spletni strani lahko postavite morebitna vprašanja v rubriki POMAGAJTE SE ODLOČITI, zagotovo vam bomo odgovorili.

Pridružite se skupini