domov Hi-Tech Kako rešiti primere za poenostavitev izraza. Objave z oznako "poenostavite algebrski izraz"

Kako rešiti primere za poenostavitev izraza. Objave z oznako "poenostavite algebrski izraz"

Opomba 1

Logično funkcijo je mogoče zapisati z logičnim izrazom in jo nato premakniti v logično vezje. Logične izraze je treba poenostaviti, da dobimo čim bolj preprosto (in zato cenejše) logično vezje. Pravzaprav so logična funkcija, logični izraz in logično vezje trije različni jeziki, ki govorijo o eni entiteti.

Za poenostavitev logičnih izrazov uporabite zakoni logike algebre.

Nekatere transformacije so podobne transformacijam formul v klasični algebri (jemanje skupnega faktorja iz oklepaja, uporaba komutativnih in kombinacijskih zakonov itd.), medtem ko druge transformacije temeljijo na lastnostih, ki jih operacije klasične algebre nimajo (uporaba distributivnega zakon za konjunkcijo, zakoni absorpcije, lepljenja, de Morganova pravila itd.).

Zakoni logične algebre so oblikovani za osnovne logične operacije - “NE” – inverzija (negacija), “IN” – konjunkcija (logično množenje) in “ALI” – disjunkcija (logično seštevanje).

Zakon dvojnega zanikanja pomeni, da je operacija "NE" reverzibilna: če jo uporabite dvakrat, se na koncu logična vrednost ne bo spremenila.

Zakon izključene sredine pravi, da je vsak logični izraz resničen ali napačen (»tretjega ni«). Če je torej $A=1$, potem je $\bar(A)=0$ (in obratno), kar pomeni, da je konjunkcija teh količin vedno enaka nič, disjunkcija pa vedno enaka ena.

$((A + B) → C) \cdot (B → C \cdot D) \cdot C.$

Poenostavimo to formulo:

Slika 3.

Iz tega sledi, da je $A = 0$, $B = 1$, $C = 1$, $D = 1$.

odgovor: Učenci $B$, $C$ in $D$ igrajo šah, učenec $A$ pa ne igra.

Pri poenostavitvi logičnih izrazov lahko izvedete naslednje zaporedje dejanj:

Zamenjajte vse »neosnovne« operacije (enakovrednost, implikacija, izključni ALI itd.) z njihovimi izrazi prek osnovnih operacij inverzije, konjunkcije in disjunkcije.
Razširite inverzije kompleksnih izrazov po De Morganovih pravilih na način, da negacijske operacije ostanejo samo za posamezne spremenljivke.
Nato poenostavite izraz z uporabo odprtih oklepajev, skupnih faktorjev izven oklepajev in drugih zakonov logične algebre.

Primer 2

Tu se zaporedoma uporabljajo De Morganovo pravilo, distribucijski zakon, zakon izključene sredine, komutativni zakon, zakon ponavljanja, spet komutativni zakon in zakon absorpcije.

Z uporabo katerega koli jezika lahko iste informacije izrazite z različnimi besedami in besednimi zvezami. Matematični jezik ni izjema. Toda isti izraz je mogoče enakovredno zapisati na različne načine. In v nekaterih situacijah je eden od vnosov preprostejši. V tej lekciji bomo govorili o poenostavitvi izrazov.

Ljudje se sporazumevamo v različnih jezikih. Za nas je pomembna primerjava par "ruski jezik - matematični jezik". Iste informacije se lahko posredujejo v različnih jezikih. Toda poleg tega se lahko v enem jeziku izgovori na različne načine.

Na primer: "Petya je prijatelj z Vasyo", "Vasya je prijatelj s Petyo", "Petya in Vasya sta prijatelja". Rečeno drugače, a isto. Iz katere koli od teh fraz bi razumeli, o čem govorimo.

Poglejmo ta stavek: "Fant Petya in deček Vasya sta prijatelja." Razumemo, o čem govorimo. Vendar nam ni všeč zvok te fraze. Ali ne moremo poenostaviti, povedati iste stvari, vendar bolj preprosto? "Fant in fant" - enkrat lahko rečete: "Fanta Petya in Vasya sta prijatelja."

"Fantje" ... Ali iz njihovih imen ni jasno, da niso dekleta? Odstranimo "fante": "Petya in Vasya sta prijatelja." In besedo "prijatelji" lahko zamenjamo s "prijatelji": "Petya in Vasya sta prijatelja." Posledično je bila prva, dolga, grda fraza nadomeščena z enakovredno izjavo, ki jo je lažje izgovoriti in razumeti. Ta stavek smo poenostavili. Poenostaviti pomeni povedati preprosteje, vendar ne izgubiti ali popačiti pomena.

V matematičnem jeziku se zgodi približno isto. Isto lahko rečemo, zapišemo drugače. Kaj pomeni poenostaviti izraz? To pomeni, da za izvirni izraz obstaja veliko enakovrednih izrazov, torej tistih, ki pomenijo isto stvar. In iz vse te raznolikosti moramo izbrati najpreprostejšega, po našem mnenju, ali najprimernejšega za naše nadaljnje namene.

Na primer, razmislite o številskem izrazu. To bo enakovredno .

Enakovredno bo tudi prvima dvema: .

Izkazalo se je, da smo naše izraze poenostavili in našli najkrajši enakovreden izraz.

Za številske izraze morate vedno narediti vse in dobiti enakovreden izraz kot eno samo število.

Poglejmo primer dobesednega izraza . Očitno bo bolj preprosto.

Pri poenostavljanju dobesednih izrazov je potrebno izvesti vsa možna dejanja.

Ali je vedno treba izraz poenostaviti? Ne, včasih nam bo bolj ustrezal enakovreden, a daljši vnos.

Primer: od števila morate odšteti število.

Izračunati je mogoče, toda če bi prvo število predstavili z enakovrednim zapisom: , bi bili izračuni trenutni: .

To pomeni, da nam poenostavljeni izraz ni vedno koristen za nadaljnje izračune.

Kljub temu se zelo pogosto soočimo z nalogo, ki zveni le kot »poenostaviti izraz«.

Poenostavite izraz: .

rešitev

1) Izvedite dejanja v prvem in drugem oklepaju: .

2) Izračunajmo produkte: .

Očitno ima zadnji izraz enostavnejšo obliko kot začetni. Poenostavili smo ga.

Da bi poenostavili izraz, ga je treba nadomestiti z enakovrednim (equal).

Za določitev enakovrednega izraza potrebujete:

1) izvedite vsa možna dejanja,

2) uporabite lastnosti seštevanja, odštevanja, množenja in deljenja za poenostavitev izračunov.

Lastnosti seštevanja in odštevanja:

1. Komutativna lastnost seštevanja: preurejanje členov ne spremeni vsote.

2. Kombinacijska lastnost seštevanja: če želite vsoti dveh števil dodati še tretje število, lahko prvemu številu prištejete vsoto drugega in tretjega števila.

3. Lastnost odštevanja vsote od števila: če želite od števila odšteti vsoto, lahko odštejete vsak člen posebej.

Lastnosti množenja in deljenja

1. Komutativna lastnost množenja: preurejanje faktorjev ne spremeni produkta.

2. Kombinacijska lastnost: če želite število pomnožiti z zmnožkom dveh števil, ga lahko najprej pomnožite s prvim faktorjem, nato pa dobljeni produkt pomnožite z drugim faktorjem.

3. Razdelitvena lastnost množenja: da bi število pomnožili z vsoto, ga morate pomnožiti z vsakim členom posebej.

Poglejmo, kako dejansko delamo miselne izračune.

Izračunajte:

rešitev

1) Predstavljajmo si, kako

2) Predstavljajmo si prvi faktor kot vsoto bitnih členov in izvedimo množenje:

3) lahko si predstavljate, kako in izvedete množenje:

4) Zamenjajte prvi faktor z enakovredno vsoto:

Distribucijski zakon lahko uporabimo tudi v nasprotni smeri: .

Sledite tem korakom:

1) 2)

rešitev

1) Za udobje lahko uporabite distribucijski zakon, uporabite ga le v nasprotni smeri - skupni faktor vzemite iz oklepaja.

2) Vzemimo skupni faktor iz oklepaja

Treba je kupiti linolej za kuhinjo in hodnik. Kuhinja - , hodnik - . Obstajajo tri vrste linolejev: za in rubljev za. Koliko bo stala vsaka od treh vrst linoleja? (slika 1)

riž. 1. Ilustracija za navedbo problema

rešitev

1. način. Ločeno lahko ugotovite, koliko denarja bo potrebno za nakup linoleja za kuhinjo, nato pa ga postavite na hodnik in seštejte dobljene izdelke.

Poenostavitev algebrskih izrazov je eden od ključev do učenja algebre in je izjemno uporabna veščina za vse matematike. Poenostavitev vam omogoča zmanjšanje zapletenega ali dolgega izraza na preprost izraz, s katerim je enostavno delati. Osnovne veščine poenostavljanja so dobre tudi za tiste, ki jih matematika ne navdušuje. Če upoštevate nekaj preprostih pravil, lahko poenostavite številne najpogostejše vrste algebrskih izrazov brez posebnega matematičnega znanja.

Koraki

Pomembne definicije

Vedno si zapomnite znake (plus ali minus) pred členi izraza, saj ima veliko ljudi težave pri izbiri pravilnega znaka.
Po potrebi prosite za pomoč!
Poenostavljanje algebrskih izrazov ni enostavno, a ko se tega naučite, je to veščina, ki jo lahko uporabljate do konca življenja.

Dobesedni izraz (ali spremenljiv izraz) je matematični izraz, ki je sestavljen iz številk, črk in matematičnih simbolov. Naslednji izraz je na primer dobeseden:

a+b+4

Z uporabo abecednih izrazov lahko pišete zakone, formule, enačbe in funkcije. Sposobnost manipuliranja s črkovnimi izrazi je ključ do dobrega poznavanja algebre in višje matematike.

Vsak resen problem v matematiki se zmanjša na reševanje enačb. In da bi lahko rešili enačbe, morate znati delati z dobesednimi izrazi.

Za delo z dobesednimi izrazi morate dobro poznati osnove aritmetike: seštevanje, odštevanje, množenje, deljenje, osnovne zakone matematike, ulomke, operacije z ulomki, razmerja. In ne samo študirati, ampak temeljito razumeti.

Vsebina lekcije

Spremenljivke

Črke, ki so vsebovane v dobesednih izrazih, se imenujejo spremenljivke. Na primer v izrazu a+b+4 spremenljivke so črke a in b. Če zamenjamo poljubna števila namesto teh spremenljivk, potem dobesedni izraz a+b+4 se bo spremenil v številski izraz, katerega vrednost je mogoče najti.

Števila, ki so nadomeščena s spremenljivkami, se imenujejo vrednosti spremenljivk. Na primer, spremenimo vrednosti spremenljivk a in b. Za spreminjanje vrednosti se uporablja znak enačaja

a = 2, b = 3

Spremenili smo vrednosti spremenljivk a in b. Spremenljivka a dodeljena vrednost 2 , spremenljivka b dodeljena vrednost 3 . Kot rezultat, dobesedni izraz a+b+4 spremeni v običajni številski izraz 2+3+4 katerega vrednost je mogoče najti:

2 + 3 + 4 = 9

Ko spremenljivke pomnožimo, jih zapišemo skupaj. Na primer, zapis ab pomeni enako kot vnos a×b. Če zamenjamo spremenljivke a in bštevilke 2 in 3 , potem dobimo 6

2 × 3 = 6

Množenje števila z izrazom lahko zapišeš tudi skupaj v oklepaju. Na primer, namesto a×(b + c) se da zapisati a(b + c). Z uporabo distribucijskega zakona množenja dobimo a(b + c)=ab+ac.

Kvote

V dobesednih izrazih lahko pogosto najdete zapis, v katerem sta na primer število in spremenljivka zapisani skupaj 3a. To je pravzaprav okrajšava za množenje števila 3 s spremenljivko. a in ta vnos izgleda takole 3×a .

Z drugimi besedami, izraz 3a je produkt števila 3 in spremenljivke a. številka 3 pri tem delu imenujejo koeficient. Ta koeficient kaže, kolikokrat se bo spremenljivka povečala a. Ta izraz se lahko bere kot " a trikrat" ali "trikrat A« ali »povečajte vrednost spremenljivke a trikrat", vendar se največkrat bere kot "tri a«

Na primer, če spremenljivka a enako 5 , nato vrednost izraza 3a bo enako 15.

3 × 5 = 15

Preprosto povedano, koeficient je število, ki se pojavi pred črko (pred spremenljivko).

Lahko je na primer več črk 5abc. Tu je koeficient število 5 . Ta koeficient kaže, da je produkt spremenljivk abc poveča za petkrat. Ta izraz se lahko bere kot " abc petkrat" ali "povečajte vrednost izraza abc petkrat" ali "pet abc«.

Če namesto spremenljivk abc zamenjajte številke 2, 3 in 4, nato vrednost izraza 5abc bo enakovreden 120

5 × 2 × 3 × 4 = 120

V mislih si lahko predstavljate, kako so bila števila 2, 3 in 4 najprej pomnožena in dobljena vrednost se je petkrat povečala:

Predznak koeficienta se nanaša samo na koeficient in ne velja za spremenljivke.

Razmislite o izrazu −6b. Minus pred koeficientom 6 , velja samo za koeficient 6 , in ne pripada spremenljivki b. Razumevanje tega dejstva vam bo omogočilo, da v prihodnosti ne delate napak z znaki.

Poiščimo vrednost izraza −6b pri b = 3.

−6b −6×b. Za jasnost zapišimo izraz −6b v razširjeni obliki in nadomestite vrednost spremenljivke b

−6b = −6 × b = −6 × 3 = −18

Primer 2. Poiščite vrednost izraza −6b pri b = −5

Zapišimo izraz −6b v razširjeni obliki

−6b = −6 × b = −6 × (−5) = 30

Primer 3. Poiščite vrednost izraza −5a+b pri a = 3 in b = 2

−5a+b to je kratka oblika za −5 × a + b, zato zaradi jasnosti zapišemo izraz −5×a+b v razširjeni obliki in nadomestite vrednosti spremenljivk a in b

−5a + b = −5 × a + b = −5 × 3 + 2 = −15 + 2 = −13

Včasih so črke napisane brez koeficienta, na primer a oz ab. V tem primeru je koeficient enota:

vendar tradicionalno enota ni zapisana, zato preprosto napišejo a oz ab

Če je pred črko minus, je koeficient številka −1 . Na primer, izraz −a dejansko izgleda −1a. To je produkt minus ena in spremenljivke a. Izkazalo se je takole:

−1 × a = −1a

Tukaj je majhen ulov. V izrazu −a znak minus pred spremenljivko a dejansko nanaša na "nevidno enoto" in ne na spremenljivko a. Zato morate biti pri reševanju težav previdni.

Na primer, če je podan izraz −a in prosimo, da ugotovimo njegovo vrednost pri a = 2, potem smo v šoli namesto spremenljivke zamenjali dvojko a in prejel odgovor −2 , ne da bi se preveč osredotočal na to, kako se je izkazalo. Pravzaprav je bil minus ena pomnožen s pozitivnim številom 2

−a = −1 × a

−1 × a = −1 × 2 = −2

Če damo izraz −a in morate najti njegovo vrednost pri a = −2, potem zamenjamo −2 namesto spremenljivke a

−a = −1 × a

−1 × a = −1 × (−2) = 2

Da bi se izognili napakam, lahko sprva nevidne enote eksplicitno zapišemo.

Primer 4. Poiščite vrednost izraza abc pri a=2 , b=3 in c=4

Izraz abc 1×a×b×c. Za jasnost zapišimo izraz abc a, b in c

1 × a × b × c = 1 × 2 × 3 × 4 = 24

Primer 5. Poiščite vrednost izraza abc pri a=−2 , b=−3 in c=−4

Zapišimo izraz abc v razširjeni obliki in nadomestite vrednosti spremenljivk a, b in c

1 × a × b × c = 1 × (−2) × (−3) × (−4) = −24

Primer 6. Poiščite vrednost izraza − abc pri a=3, b=5 in c=7

Izraz − abc to je kratka oblika za −1×a×b×c. Za jasnost zapišimo izraz − abc v razširjeni obliki in nadomestite vrednosti spremenljivk a, b in c

−abc = −1 × a × b × c = −1 × 3 × 5 × 7 = −105

Primer 7. Poiščite vrednost izraza − abc pri a=−2 , b=−4 in c=−3

Zapišimo izraz − abc v razširjeni obliki:

−abc = −1 × a × b × c

Zamenjajmo vrednosti spremenljivk a , b in c

−abc = −1 × a × b × c = −1 × (−2) × (−4) × (−3) = 24

Kako določiti koeficient

Včasih morate rešiti problem, v katerem morate določiti koeficient izraza. Načeloma je ta naloga zelo preprosta. Dovolj je, da znamo pravilno množiti števila.

Če želite določiti koeficient v izrazu, morate ločeno pomnožiti številke, vključene v ta izraz, in ločeno pomnožiti črke. Dobljeni numerični faktor bo koeficient.

Primer 1. 7m×5a×(−3)×n

Izraz je sestavljen iz več dejavnikov. To je jasno razvidno, če izraz napišete v razširjeni obliki. Oziroma dela 7m in 5a zapišite v obrazec 7×m in 5×a

7 × m × 5 × a × (−3) × n

Uporabimo asociativni zakon množenja, ki omogoča množenje faktorjev v poljubnem vrstnem redu. In sicer bomo posebej množili števila in posebej črke (spremenljivke):

−3 × 7 × 5 × m × a × n = −105 človek

Koeficient je −105 . Po zaključku je priporočljivo, da del črk uredite po abecednem vrstnem redu:

−105 zjutraj

Primer 2. Določite koeficient v izrazu: −a×(−3)×2

−a × (−3) × 2 = −3 × 2 × (−a) = −6 × (−a) = 6a

Koeficient je 6.

Primer 3. Določite koeficient v izrazu:

Ločeno pomnožimo številke in črke:

Koeficient je −1. Upoštevajte, da enota ni zapisana, saj je običajno, da koeficienta 1 ne zapišemo.

Ta na videz najpreprostejša opravila se lahko z nami zelo kruto šalijo. Pogosto se izkaže, da je predznak koeficienta nastavljen nepravilno: ali minus manjka ali pa je bil, nasprotno, nastavljen zaman. Da bi se izognili tem nadležnim napakam, ga je treba preučiti na dobri ravni.

Seštevki v dobesednih izrazih

Pri seštevanju več števil dobimo vsoto teh števil. Števila, ki seštevajo, imenujemo seštevalci. Izrazov je lahko več, npr.

1 + 2 + 3 + 4 + 5

Ko je izraz sestavljen iz členov, ga je veliko lažje ovrednotiti, ker je seštevanje lažje kot odštevanje. Toda izraz lahko vsebuje ne samo seštevanje, ampak tudi odštevanje, na primer:

1 + 2 − 3 + 4 − 5

V tem izrazu sta števili 3 in 5 odštevanca, ne seštevka. Toda nič nam ne preprečuje, da bi odštevanje nadomestili s seštevanjem. Potem spet dobimo izraz, sestavljen iz členov:

1 + 2 + (−3) + 4 + (−5)

Ni pomembno, da imata števili −3 in −5 zdaj znak minus. Glavna stvar je, da so vse številke v tem izrazu povezane z znakom dodatka, to je, da je izraz vsota.

Oba izraza 1 + 2 − 3 + 4 − 5 in 1 + 2 + (−3) + 4 + (−5) enako enaki vrednosti - minus ena

1 + 2 − 3 + 4 − 5 = −1

1 + 2 + (−3) + 4 + (−5) = −1

Tako pomen izraza ne bo trpel, če bomo nekje odštevanje nadomestili s seštevanjem.

Odštevanje lahko zamenjate tudi z seštevanjem v dobesednih izrazih. Na primer, upoštevajte naslednji izraz:

7a + 6b − 3c + 2d − 4s

7a + 6b + (−3c) + 2d + (−4s)

Za poljubne vrednosti spremenljivk a, b, c, d in s izrazi 7a + 6b − 3c + 2d − 4s in 7a + 6b + (−3c) + 2d + (−4s) bo enaka enaki vrednosti.

Pripravljeni morate biti na dejstvo, da lahko učitelj v šoli ali učitelj na inštitutu pokliče soda števila (ali spremenljivke), ki niso seštevalci.

Na primer, če je razlika zapisana na tabli a − b, potem učitelj tega ne bo rekel a je minuend in b- odštevanje. Obe spremenljivki bo poklical z eno skupno besedo - pogoji. In vse zaradi izražanja oblike a − b matematik vidi, kako vsota a+(−b). V tem primeru izraz postane vsota in spremenljivke a in (-b) postanejo pogoji.

Podobni izrazi

Podobni izrazi- to so izrazi, ki imajo enak črkovni del. Na primer, upoštevajte izraz 7a + 6b + 2a. Komponente 7a in 2a imajo enak črkovni del – spremenljivko a. Torej pogoji 7a in 2a so podobni.

Običajno so podobni izrazi dodani za poenostavitev izraza ali reševanje enačbe. Ta operacija se imenuje prinaša podobne pogoje.

Če želite prinesti podobne izraze, morate sešteti koeficiente teh izrazov in dobljeni rezultat pomnožiti s skupnim črkovnim delom.

Na primer, predstavimo podobne izraze v izrazu 3a + 4a + 5a. IN v tem primeru, vsi izrazi so podobni. Seštejmo njihove koeficiente in rezultat pomnožimo s skupnim črkovnim delom – s spremenljivko a

3a + 4a + 5a = (3 + 4 + 5)×a = 12a

Običajno se spomnimo podobnih izrazov in takoj zapišemo rezultat:

3a + 4a + 5a = 12a

Poleg tega lahko sklepamo na naslednji način:

Spremenljivke a so bile 3, dodane so bile še 4 spremenljivke a in še 5 spremenljivk a. Kot rezultat smo dobili 12 spremenljivk a

Oglejmo si nekaj primerov prinašanja podobnih izrazov. Glede na to, da je tema zelo pomembna, bomo najprej podrobno zapisali vsako malenkost. Čeprav je tukaj vse zelo preprosto, večina ljudi dela veliko napak. Predvsem zaradi nepazljivosti, ne neznanja.

Primer 1. 3a + 2a + 6a + 8 a

Seštejmo koeficiente v tem izrazu in dobljeni rezultat pomnožimo s skupnim črkovnim delom:

3a + 2a + 6a + 8a = (3 + 2 + 6 + 8) × a = 19a

oblikovanje (3 + 2 + 6 + 8)×a Ni vam treba zapisati, zato bomo odgovor zapisali takoj

3a + 2a + 6a + 8a = 19a

Primer 2. Podajte podobne izraze v izrazu 2a+a

Drugi mandat a napisano brez koeficienta, v resnici pa je pred njim koeficient 1 , ki ga ne vidimo, ker ni posnet. Torej je izraz videti takole:

2a + 1a

Zdaj pa predstavimo podobne izraze. To pomeni, da seštejemo koeficiente in rezultat pomnožimo s skupnim črkovnim delom:

2a + 1a = (2 + 1) × a = 3a

Na kratko zapišimo rešitev:

2a + a = 3a

2a+a, lahko razmišljate drugače:

Primer 3. Podajte podobne izraze v izrazu 2a−a

Zamenjajmo odštevanje s seštevanjem:

2a + (−a)

Drugi mandat (-a) napisano brez koeficienta, v resnici pa je videti (−1a). Koeficient −1 spet neviden zaradi dejstva, da ni posnet. Torej je izraz videti takole:

2a + (−1a)

Zdaj pa predstavimo podobne izraze. Seštejmo koeficiente in rezultat pomnožimo s skupnim črkovnim delom:

2a + (−1a) = (2 + (−1)) × a = 1a = a

Običajno napisano krajše:

2a − a = a

Podajanje podobnih izrazov v izrazu 2a−a Lahko razmišljate drugače:

Bili sta 2 spremenljivki a, odštejemo eno spremenljivko a in posledično je ostala samo ena spremenljivka a

Primer 4. Podajte podobne izraze v izrazu 6a − 3a + 4a − 8a

6a − 3a + 4a − 8a = 6a + (−3a) + 4a + (−8a)

Zdaj pa predstavimo podobne izraze. Seštejmo koeficiente in rezultat pomnožimo s skupnim črkovnim delom

(6 + (−3) + 4 + (−8)) × a = −1a = −a

Na kratko zapišimo rešitev:

6a − 3a + 4a − 8a = −a

Obstajajo izrazi, ki vsebujejo več različnih skupin podobnih izrazov. na primer 3a + 3b + 7a + 2b. Za take izraze veljajo enaka pravila kot za druge, in sicer seštevanje koeficientov in množenje dobljenega rezultata s skupnim črkovnim delom. Toda, da bi se izognili napakam, je priročno poudariti različne skupine izrazov z različnimi črtami.

Na primer v izrazu 3a + 3b + 7a + 2b tiste izraze, ki vsebujejo spremenljivko a, lahko podčrtamo z eno črto, ter tiste izraze, ki vsebujejo spremenljivko b, lahko poudarimo z dvema vrsticama:

Zdaj lahko predstavimo podobne izraze. Se pravi, dodajte koeficiente in dobljeni rezultat pomnožite s skupnim delom črke. To je treba narediti za obe skupini izrazov: za izraze, ki vsebujejo spremenljivko a in za izraze, ki vsebujejo spremenljivko b.

3a + 3b + 7a + 2b = (3+7)×a + (3 + 2)×b = 10a + 5b

Še enkrat ponavljamo, izraz je preprost in v mislih lahko navedemo podobne izraze:

3a + 3b + 7a + 2b = 10a + 5b

Primer 5. Podajte podobne izraze v izrazu 5a − 6a −7b + b

Zamenjajmo odštevanje s seštevanjem, kjer je to mogoče:

5a − 6a −7b + b = 5a + (−6a) + (−7b) + b

Podobne izraze podčrtajmo z različnimi črtami. Izrazi, ki vsebujejo spremenljivke a podčrtamo z eno črto, izrazi pa so vsebine spremenljivk b, podčrtaj z dvema črtama:

Zdaj lahko predstavimo podobne izraze. Se pravi, dodajte koeficiente in dobljeni rezultat pomnožite s skupnim delom črke:

5a + (−6a) + (−7b) + b = (5 + (−6))×a + ((−7) + 1)×b = −a + (−6b)

Če izraz vsebuje navadna števila brez črkovnih faktorjev, se te seštevajo ločeno.

Primer 6. Podajte podobne izraze v izrazu 4a + 3a − 5 + 2b + 7

Zamenjajmo odštevanje s seštevanjem, kjer je to mogoče:

4a + 3a − 5 + 2b + 7 = 4a + 3a + (−5) + 2b + 7

Predstavimo podobne izraze. Številke −5 in 7 nimajo črkovnih faktorjev, vendar so podobni izrazi - samo dodati jih je treba. In izraz 2b bo ostal nespremenjen, saj je edini v tem izrazu, ki ima faktor črke b, in ni kaj dodati:

4a + 3a + (−5) + 2b + 7 = (4 + 3)×a + 2b + (−5) + 7 = 7a + 2b + 2

Na kratko zapišimo rešitev:

4a + 3a − 5 + 2b + 7 = 7a + 2b + 2

Izrazi se lahko razvrstijo tako, da se tisti izrazi, ki imajo enak črkovni del, nahajajo v istem delu izraza.

Primer 7. Podajte podobne izraze v izrazu 5t+2x+3x+5t+x

Ker je izraz vsota več izrazov, nam to omogoča, da ga ovrednotimo v poljubnem vrstnem redu. Zato izrazi, ki vsebujejo spremenljivko t, lahko zapišemo na začetku izraza in izraze, ki vsebujejo spremenljivko x na koncu izraza:

5t + 5t + 2x + 3x + x

Zdaj lahko predstavimo podobne izraze:

5t + 5t + 2x + 3x + x = (5+5)×t + (2+3+1)×x = 10t + 6x

Na kratko zapišimo rešitev:

5t + 2x + 3x + 5t + x = 10t + 6x

Vsota nasprotnih števil je nič. To pravilo deluje tudi za dobesedne izraze. Če izraz vsebuje enake izraze, vendar z nasprotnimi znaki, se jih lahko znebite na stopnji zmanjševanja podobnih izrazov. Z drugimi besedami, preprosto jih izločite iz izraza, saj je njihova vsota enaka nič.

Primer 8. Podajte podobne izraze v izrazu 3t − 4t − 3t + 2t

Zamenjajmo odštevanje s seštevanjem, kjer je to mogoče:

3t − 4t − 3t + 2t = 3t + (−4t) + (−3t) + 2t

Komponente 3t in (−3t) so nasprotni. Vsota nasprotnih členov je nič. Če iz izraza odstranimo to ničlo, se vrednost izraza ne bo spremenila, zato jo bomo odstranili. In odstranili ga bomo tako, da preprosto prečrtamo izraze 3t in (−3t)

Posledično nam bo ostal izraz (−4t) + 2t. V ta izraz lahko dodate podobne izraze in dobite končni odgovor:

(−4t) + 2t = ((−4) + 2)×t = −2t

Na kratko zapišimo rešitev:

Poenostavljanje izrazov

"poenostaviti izraz" in spodaj je izraz, ki ga je treba poenostaviti. Poenostavite izraz pomeni poenostaviti in skrajšati.

Pravzaprav smo že poenostavljali izraze, ko smo zmanjševali ulomke. Po zmanjšanju je ulomek postal krajši in lažje razumljiv.

Razmislite o naslednjem primeru. Poenostavite izraz.

To nalogo lahko dobesedno razumemo na naslednji način: "Uporabi vsa veljavna dejanja za ta izraz, vendar naj bo preprostejši." .

V tem primeru lahko ulomek zmanjšate, in sicer števec in imenovalec ulomka delite z 2:

Kaj še lahko narediš? Lahko izračunate dobljeni ulomek. Nato dobimo decimalni ulomek 0,5

Posledično je bil ulomek poenostavljen na 0,5.

Prvo vprašanje, ki si ga morate zastaviti pri reševanju tovrstnih težav, bi moralo biti "Kaj je mogoče storiti?" . Ker obstajajo dejanja, ki jih lahko storite, in so dejanja, ki jih ne morete storiti.

Druga pomembna točka, ki si jo morate zapomniti, je, da se pomen izraza po poenostavitvi izraza ne sme spremeniti. Vrnimo se k izrazu. Ta izraz predstavlja delitev, ki jo je mogoče izvesti. Po izvedbi te delitve dobimo vrednost tega izraza, ki je enaka 0,5

Vendar smo izraz poenostavili in dobili nov poenostavljen izraz. Vrednost novega poenostavljenega izraza je še vedno 0,5

Poskušali pa smo izraz tudi poenostaviti tako, da smo ga izračunali. Kot rezultat smo prejeli končni odgovor 0,5.

Torej, ne glede na to, kako poenostavimo izraz, je vrednost dobljenih izrazov še vedno enaka 0,5. To pomeni, da je bila poenostavitev v vsaki fazi izvedena pravilno. Prav k temu moramo težiti pri poenostavljanju izrazov – pomen izraza ne sme trpeti zaradi naših dejanj.

Pogosto je treba dobesedne izraze poenostaviti. Zanje veljajo enaka pravila poenostavljanja kot za številske izraze. Izvajate lahko katera koli veljavna dejanja, če se vrednost izraza ne spremeni.

Poglejmo si nekaj primerov.

Primer 1. Poenostavite izraz 5,21 s × t × 2,5

Za poenostavitev tega izraza lahko ločeno pomnožite številke in ločeno pomnožite črke. Ta naloga je zelo podobna tisti, ki smo si jo ogledali, ko smo se učili določiti koeficient:

5,21 s × t × 2,5 = 5,21 × 2,5 × s × t = 13,025 × st = 13,025 st

Torej izraz 5,21 s × t × 2,5 poenostavljeno na 13.025st.

Primer 2. Poenostavite izraz −0,4 × (−6,3b) × 2

Drugi kos (–6,3b) lahko prevedemo v nam razumljivo obliko, in sicer zapišemo v obliki ( −6,3)×b , nato ločeno pomnožite številke in posebej pomnožite črke:

− 0,4 × (−6,3b) × 2 = − 0,4 × (–6,3) × b × 2 = 5,04b

Torej izraz −0,4 × (−6,3b) × 2 poenostavljeno na 5.04b

Primer 3. Poenostavite izraz

Napišimo ta izraz podrobneje, da jasno vidimo, kje so številke in kje so črke:

Sedaj pa pomnožimo številke ločeno in posebej pomnožimo črke:

Torej izraz poenostavljeno na −abc. To rešitev lahko na kratko zapišemo:

Pri poenostavljanju izrazov lahko ulomke skrčimo med postopkom reševanja in ne čisto na koncu, kot smo to storili pri navadnih ulomkih. Na primer, če med reševanjem naletimo na izraz v obliki , potem sploh ni potrebno izračunati števca in imenovalca in narediti nekaj takega:

Ulomek je mogoče skrajšati tako, da izberete faktor tako v števcu kot v imenovalcu in te faktorje zmanjšate za njihov največji skupni faktor. Z drugimi besedami, uporaba, pri kateri ne opišemo podrobneje, na kaj sta bila razdeljena števec in imenovalec.

Na primer, v števcu je faktor 12, v imenovalcu pa faktor 4 lahko zmanjšamo za 4. Štirico ohranimo v mislih in če 12 in 4 delimo s to štirico, zapišemo odgovore poleg teh števil, ko jih je najprej prečrtal

Zdaj lahko pomnožite nastale majhne faktorje. V tem primeru jih je malo in jih lahko pomnožite v mislih:

Sčasoma boste morda ugotovili, da se izrazi pri reševanju določenega problema začnejo "mastiti", zato je priporočljivo, da se navadite na hitre izračune. Kar je mogoče izračunati v mislih, je treba izračunati v mislih. Kar je mogoče hitro zmanjšati, je treba hitro zmanjšati.

Primer 4. Poenostavite izraz

Torej izraz poenostavljeno na

Primer 5. Poenostavite izraz

Pomnožimo številke posebej in črke posebej:

Torej izraz poenostavljeno na mn.

Primer 6. Poenostavite izraz

Napišimo ta izraz podrobneje, da jasno vidimo, kje so številke in kje so črke:

Sedaj pa pomnožimo številke posebej in črke posebej. Za lažji izračun lahko decimalni ulomek −6,4 in mešano število pretvorimo v navadne ulomke:

Torej izraz poenostavljeno na

Rešitev tega primera lahko zapišemo veliko krajše. Videti bo takole:

Primer 7. Poenostavite izraz

Ločeno pomnožimo števila in posebej črke. Za lažji izračun lahko mešana števila in decimalne ulomke 0,1 in 0,6 pretvorite v navadne ulomke:

Torej izraz poenostavljeno na abcd. Če preskočite podrobnosti, lahko to rešitev napišete veliko krajše:

Opazite, kako se je ulomek zmanjšal. Zmanjšati je dovoljeno tudi nove faktorje, ki nastanejo kot posledica zmanjšanja prejšnjih faktorjev.

Zdaj pa se pogovorimo o tem, česa ne smemo storiti. Pri poenostavljanju izrazov je strogo prepovedano množiti številke in črke, če je izraz vsota in ne zmnožek.

Na primer, če želite poenostaviti izraz 5a+4b, potem tega ne morete napisati takole:

To je enako, kot če bi nas prosili, da seštejemo dve števili in bi ju pomnožili, namesto da bi ju sešteli.

Pri zamenjavi katere koli vrednosti spremenljivke a in b izražanje 5a +4b spremeni v navaden številski izraz. Predpostavimo, da spremenljivke a in b imajo naslednje pomene:

a = 2, b = 3

Potem bo vrednost izraza enaka 22

5a + 4b = 5 × 2 + 4 × 3 = 10 + 12 = 22

Najprej se izvede množenje, nato pa se rezultati seštejejo. In če bi poskušali ta izraz poenostaviti z množenjem številk in črk, bi dobili naslednje:

5a + 4b = 5 × 4 × a × b = 20ab

20ab = 20 × 2 × 3 = 120

Izkazalo se je popolnoma drugačen pomen izraza. V prvem primeru je uspelo 22 , v drugem primeru 120 . To pomeni poenostavitev izraza 5a+4b je bila izvedena nepravilno.

Po poenostavitvi izraza se njegova vrednost ne sme spreminjati z enakimi vrednostmi spremenljivk. Če pri zamenjavi katere koli vrednosti spremenljivke v prvotni izraz dobimo eno vrednost, potem je treba po poenostavitvi izraza dobiti enako vrednost kot pred poenostavitvijo.

Z izrazom 5a+4b res ne moreš storiti ničesar. Ne poenostavlja.

Če izraz vsebuje podobne izraze, jih lahko dodamo, če je naš cilj poenostaviti izraz.

Primer 8. Poenostavite izraz 0,3a−0,4a+a

0,3a − 0,4a + a = 0,3a + (−0,4a) + a = (0,3 + (−0,4) + 1)×a = 0,9a

ali krajše: 0,3a − 0,4a + a = 0,9a

Torej izraz 0,3a−0,4a+a poenostavljeno na 0,9a

Primer 9. Poenostavite izraz −7,5a − 2,5b + 4a

Za poenostavitev tega izraza lahko dodamo podobne izraze:

−7,5a − 2,5b + 4a = −7,5a + (−2,5b) + 4a = ((−7,5) + 4)×a + (−2,5b) = −3,5a + (−2,5b)

ali krajše −7,5a − 2,5b + 4a = −3,5a + (−2,5b)

Izraz (–2,5b) ostal nespremenjen, ker ga ni bilo s čim priložiti.

Primer 10. Poenostavite izraz

Za poenostavitev tega izraza lahko dodamo podobne izraze:

Koeficient je bil za lažji izračun.

Torej izraz poenostavljeno na

Primer 11. Poenostavite izraz

Za poenostavitev tega izraza lahko dodamo podobne izraze:

Torej izraz poenostavljeno na.

V tem primeru bi bilo primerneje najprej sešteti prvi in zadnji koeficient. V tem primeru bi imeli kratko rešitev. Izgledalo bi takole:

Primer 12. Poenostavite izraz

Za poenostavitev tega izraza lahko dodamo podobne izraze:

Torej izraz poenostavljeno na .

Izraz je ostal nespremenjen, saj ga ni bilo kaj dodati.

To rešitev lahko zapišemo veliko krajše. Videti bo takole:

Kratka rešitev je preskočila korake zamenjave odštevanja s seštevanjem in podrobnosti o reduciranju ulomkov na skupni imenovalec.

Druga razlika je v tem, da je v podrobni rešitvi odgovor videti takole , ampak na kratko kot . Pravzaprav gre za isti izraz. Razlika je v tem, da je v prvem primeru odštevanje nadomeščeno s seštevanjem, saj smo na začetku, ko smo podrobno zapisali rešitev, povsod, kjer je bilo možno, zamenjali odštevanje s seštevanjem in to zamenjavo ohranili za odgovor.

Identitete. Identično enaki izrazi

Ko poljubni izraz poenostavimo, postane preprostejši in krajši. Če želite preveriti, ali je poenostavljeni izraz pravilen, je dovolj, da poljubne vrednosti spremenljivk najprej nadomestite s prejšnjim izrazom, ki ga je bilo treba poenostaviti, nato pa z novim, ki je bil poenostavljen. Če je vrednost v obeh izrazih enaka, potem je poenostavljeni izraz resničen.

Poglejmo preprost primer. Naj bo treba izraz poenostaviti 2a×7b. Za poenostavitev tega izraza lahko ločeno pomnožite številke in črke:

2a × 7b = 2 × 7 × a × b = 14ab

Preverimo, ali smo izraz pravilno poenostavili. Če želite to narediti, nadomestimo poljubne vrednosti spremenljivk a in b najprej v prvi izraz, ki ga je bilo treba poenostaviti, in nato v drugega, ki je bil poenostavljen.

Naj vrednosti spremenljivk a , b bo takole:

a = 4, b = 5

Nadomestimo jih v prvi izraz 2a×7b

Zdaj pa nadomestimo iste vrednosti spremenljivk v izraz, ki je rezultat poenostavitve 2a×7b, in sicer v izrazu 14ab

14ab = 14 × 4 × 5 = 280

To vidimo, ko a=4 in b=5 vrednost prvega izraza 2a×7b in pomen drugega izraza 14ab enaka

2a × 7b = 2 × 4 × 7 × 5 = 280

14ab = 14 × 4 × 5 = 280

Enako se bo zgodilo za vse druge vrednosti. Na primer, naj a=1 in b=2

2a × 7b = 2 × 1 × 7 × 2 =28

14ab = 14 × 1 × 2 = 28

Tako za vse vrednosti izraznih spremenljivk 2a×7b in 14ab sta enaki isti vrednosti. Takšni izrazi se imenujejo identično enaka.

Sklepamo, da med izrazi 2a×7b in 14ab lahko postavite znak enačaja, ker sta enaki isti vrednosti.

2a × 7b = 14ab

Enakost je vsak izraz, ki je povezan z enačajem (=).

In enakost oblike 2a×7b = 14ab klical identiteta.

Identiteta je enakost, ki velja za vse vrednosti spremenljivk.

Drugi primeri identitet:

a + b = b + a

a(b+c) = ab + ac

a(bc) = (ab)c

Da, zakoni matematike, ki smo jih preučevali, so identitete.

Prave številske enakosti so tudi identitete. Na primer:

2 + 2 = 4

3 + 3 = 5 + 1

10 = 7 + 2 + 1

Pri reševanju kompleksnega problema se zaradi lažjega računanja kompleksni izraz nadomesti z enostavnejšim izrazom, ki je identično enak prejšnjemu. Ta zamenjava se imenuje enako preoblikovanje izraza ali preprosto preoblikovanje izraza.

Na primer, izraz smo poenostavili 2a×7b, in dobil preprostejši izraz 14ab. To poenostavitev lahko imenujemo transformacija identitete.

Pogosto lahko najdete nalogo, ki pravi "dokaži, da je enakost identiteta" in nato je podana enakost, ki jo je treba dokazati. Običajno je ta enačba sestavljena iz dveh delov: levega in desnega dela enačbe. Naša naloga je, da izvedemo identitetne transformacije z enim od delov enakosti in pridobimo drugi del. Ali pa izvedite enake transformacije na obeh straneh enakosti in se prepričajte, da obe strani enakosti vsebujeta enake izraze.

Na primer, dokažimo, da je enakost 0,5a × 5b = 2,5ab je identiteta.

Poenostavimo levo stran te enakosti. Če želite to narediti, ločeno pomnožite številke in črke:

0,5 × 5 × a × b = 2,5ab

2,5ab = 2,5ab

Zaradi majhne identitetne transformacije je leva stran enakosti postala enaka desni strani enakosti. Torej smo dokazali, da je enakost 0,5a × 5b = 2,5ab je identiteta.

Iz enakih preoblikovanj smo se naučili seštevati, odštevati, množiti in deliti števila, zmanjševati ulomke, seštevati podobne člene in tudi poenostaviti nekatere izraze.

Vendar to niso vse enake transformacije, ki obstajajo v matematiki. Enakih transformacij je še veliko. To bomo videli še večkrat v prihodnosti.

Naloge za samostojno reševanje:

Vam je bila lekcija všeč?
Pridružite se naši novi skupini VKontakte in začnite prejemati obvestila o novih lekcijah

Prva stopnja

Pretvarjanje izrazov. Podrobna teorija (2019)

Pretvarjanje izrazov

Pogosto slišimo ta neprijeten stavek: "poenostavite izraz." Običajno vidimo takšno pošast:

"Veliko bolj preprosto je," rečemo, a tak odgovor običajno ne deluje.

Zdaj te bom naučil, da se ne boš takih nalog. Poleg tega boste na koncu lekcije sami poenostavili ta primer na (samo!) navadno številko (ja, k vragu s temi črkami).

Toda preden začnete s to lekcijo, morate znati obravnavati ulomke in faktorske polinome. Zato najprej, če tega še niste storili, obvezno obvladajte teme "" in "".

Ste ga prebrali? Če da, potem ste zdaj pripravljeni.

Osnovne operacije poenostavljanja

Zdaj pa si poglejmo osnovne tehnike, ki se uporabljajo za poenostavitev izrazov.

Najenostavnejši je

1. Prinašanje podobnih

Kaj so podobni? To ste vzeli v 7. razredu, ko so se v matematiki prvič pojavile črke namesto številk. Podobni so členi (monomi) z enakim črkovnim delom. Na primer, v vsoti so podobni izrazi in.

Ali se spomniš?

Prinesti podobno pomeni dodati več podobnih izrazov drug drugemu in dobiti en izraz.

Kako lahko sestavimo črke skupaj? - vprašate.

To je zelo enostavno razumeti, če si predstavljate, da so črke nekakšni predmeti. Na primer, pismo je stol. Čemu je potem enak izraz? Dva stola in trije stoli, koliko jih bo? Tako je, stoli: .

Zdaj poskusite ta izraz: .

Da bi se izognili zmedi, naj različne črke predstavljajo različne predmete. Na primer, - je (kot običajno) stol in - je miza. Nato:

stoli mize stol mize stoli stoli mize

Številke, s katerimi se pomnožijo črke v takih izrazih, se imenujejo koeficientov. Na primer, v monomu je koeficient enak. In v tem je enakovreden.

Torej, pravilo za prinašanje podobnih je:

Primeri:

Daj podobne:

odgovori:

2. (in podobno, saj imata torej ti izrazi isti črkovni del).

2. Faktorizacija

To je običajno najpomembnejši del pri poenostavljanju izrazov. Potem ko ste dali podobne, je treba najpogosteje nastali izraz faktorizirati, to je predstaviti kot produkt. To je še posebej pomembno pri ulomkih: da bi lahko ulomek skrčili, morata biti števec in imenovalec predstavljena kot produkt.

Metode faktoriziranja izrazov ste podrobno pregledali v temi “”, zato si morate tukaj samo zapomniti, kaj ste se naučili. Če želite to narediti, se odločite za nekaj primeri(treba je faktorizirati):

rešitve:

3. Zmanjšanje ulomka.

No, kaj je lahko bolj prijetnega kot prečrtati del števca in imenovalca in ju vreči iz svojega življenja?

To je lepota zmanjševanja.

Preprosto je:

Če sta v števcu in imenovalcu enaka faktorja, ju je mogoče zmanjšati, torej odstraniti iz ulomka.

To pravilo izhaja iz osnovne lastnosti ulomka:

To pomeni, da je bistvo redukcijske operacije to Števec in imenovalec ulomka delimo z istim številom (ali z enakim izrazom).

Če želite zmanjšati ulomek, potrebujete:

1) števec in imenovalec faktorizirati

2) če števec in imenovalec vsebujeta skupni dejavniki, jih je mogoče prečrtati.

Mislim, da je načelo jasno?

Rada bi vas opozorila na tipično napako pri krajšanju. Čeprav je ta tema preprosta, veliko ljudi počne vse narobe, ne da bi tega razumeli zmanjšati- to pomeni razdelitištevec in imenovalec sta enako število.

Brez okrajšav, če je števec ali imenovalec vsota.

Na primer: moramo poenostaviti.

Nekateri ljudje to počnejo: kar je popolnoma narobe.

Drug primer: zmanjšaj.

»Najpametnejši« bodo naredili tole: .

Povej mi, kaj je tukaj narobe? Zdi se: - to je multiplikator, kar pomeni, da ga je mogoče zmanjšati.

Ampak ne: - to je faktor samo enega člena v števcu, sam števec kot celota pa ni faktoriziran.

Tu je še en primer: .

Ta izraz je faktoriziran, kar pomeni, da ga lahko zmanjšate, to je, da števec in imenovalec delite z in nato z:

Takoj ga lahko razdelite na:

Da bi se izognili takim napakam, si zapomnite preprost način za ugotavljanje, ali je izraz faktoriziran:

Aritmetična operacija, ki se izvede zadnja pri izračunu vrednosti izraza, je »glavna« operacija. Se pravi, če zamenjate nekaj (poljubnih) številk namesto črk in poskušate izračunati vrednost izraza, potem, če je zadnje dejanje množenje, potem imamo produkt (izraz je faktoriziran). Če je zadnje dejanje seštevanje ali odštevanje, to pomeni, da izraz ni faktoriziran (in ga zato ni mogoče zmanjšati).

Za utrjevanje jih nekaj rešite sami primeri:

odgovori:

1. Upam, da niste takoj pohiteli rezati in? Še vedno ni bilo dovolj, da bi tako "zmanjšali" enote:

Prvi korak bi morala biti faktorizacija:

4. Seštevanje in odštevanje ulomkov. Zmanjšanje ulomkov na skupni imenovalec.

Seštevanje in odštevanje navadnih ulomkov je znana operacija: iščemo skupni imenovalec, vsak ulomek pomnožimo z manjkajočim faktorjem in seštevamo/odštevamo števce. Spomnimo se:

odgovori:

1. Imenovalca in sta relativno praštevilna, to pomeni, da nimata skupnih faktorjev. Zato je LCM teh števil enak njihovemu produktu. To bo skupni imenovalec:

2. Tukaj je skupni imenovalec:

3. Tukaj najprej pretvorimo mešane ulomke v nepravilne, nato pa po običajni shemi:

Povsem druga stvar je, če ulomki vsebujejo črke, na primer:

Začnimo z nečim preprostim:

a) Imenovalci ne vsebujejo črk

Tu je vse enako kot pri navadnih številskih ulomkih: poiščemo skupni imenovalec, vsak ulomek pomnožimo z manjkajočim faktorjem in števce seštejemo/odštejemo:

Zdaj lahko v števcu navedete podobne, če obstajajo, in jih faktorizirate:

Poskusite sami:

b) Imenovalci vsebujejo črke

Spomnimo se načela iskanja skupnega imenovalca brez črk:

· najprej določimo skupne faktorje;

· nato enega za drugim izpišemo vse skupne faktorje;

· in jih pomnožite z vsemi drugimi neobičajnimi faktorji.

Da določimo skupne faktorje imenovalcev, jih najprej faktoriziramo v prafaktorje:

Poudarimo skupne dejavnike:

Zdaj pa zapišimo skupne faktorje enega za drugim in jim dodamo vse neobičajne (nepodčrtane) dejavnike:

To je skupni imenovalec.

Vrnimo se k črkam. Imenovalci so podani na povsem enak način:

· razčlenimo imenovalce;

· ugotavljanje skupnih (enakih) faktorjev;

· enkrat izpiši vse skupne faktorje;

· pomnožite jih z vsemi drugimi neobičajnimi faktorji.

Torej po vrsti:

1) faktoriziraj imenovalce:

2) določite skupne (enake) dejavnike:

3) enkrat izpiši vse skupne faktorje in jih pomnoži z vsemi drugimi (nepodčrtanimi) faktorji:

Tukaj je torej skupni imenovalec. Prvi ulomek je treba pomnožiti z, drugi - z:

Mimogrede, obstaja en trik:

Na primer: .

V imenovalcih vidimo iste dejavnike, le da so vsi z različnimi kazalci. Skupni imenovalec bo:

do stopnje

do stopnje.

Zapletimo nalogo:

Kako doseči, da imajo ulomki enak imenovalec?

Spomnimo se osnovne lastnosti ulomka:

Nikjer ne piše, da je mogoče isto število odšteti (ali prišteti) od števca in imenovalca ulomka. Ker ni res!

Prepričajte se sami: vzemite na primer kateri koli ulomek in števcu in imenovalcu prištejte neko število, na primer . Kaj si se naučil?

Torej, še eno neomajno pravilo:

Ko ulomke reducirate na skupni imenovalec, uporabite samo operacijo množenja!

Toda s čim morate pomnožiti, da dobite?

Torej pomnožite s. In pomnožite z:

Izraze, ki jih ni mogoče faktorizirati, bomo imenovali "elementarni faktorji". Na primer, - to je osnovni dejavnik. - Enako. Ampak ne: lahko se faktorizira.

Kaj pa izraz? Je osnovno?

Ne, ker se lahko faktorizira:

(o faktorizaciji ste že prebrali v temi “”).

Torej so osnovni faktorji, na katere razčleniš izraz s črkami, analog preprostih faktorjev, na katere razčleniš števila. In z njimi bomo ravnali na enak način.

Vidimo, da imata oba imenovalca množitelja. Šlo bo na skupni imenovalec do stopnje (se spomnite, zakaj?).

Faktor je elementaren in nimata skupnega faktorja, kar pomeni, da bo treba prvi ulomek preprosto pomnožiti z njim:

Še en primer:

rešitev:

Preden panično pomnožite te imenovalce, morate razmisliti, kako jih faktorizirati? Oba predstavljata:

Super! Nato:

Še en primer:

rešitev:

Kot običajno razložimo imenovalce na faktorje. V prvi imenovalec preprosto damo iz oklepaja; v drugem - razlika kvadratov:

Zdi se, da skupnih dejavnikov ni. A če dobro pogledaš, sta si podobna ... In res je:

Torej zapišimo:

Se pravi, izkazalo se je tako: znotraj oklepaja smo zamenjali izraze, hkrati pa se je znak pred ulomkom spremenil v nasprotno. Upoštevajte, to boste morali pogosto početi.

Zdaj pa ga spravimo na skupni imenovalec:

Razumem? Preverimo zdaj.

Naloge za samostojno reševanje:

odgovori:

Tu se moramo spomniti še ene stvari - razlike med kockami:

Upoštevajte, da imenovalec drugega ulomka ne vsebuje formule "kvadrat vsote"! Kvadrat vsote bi izgledal takole: .

A je tako imenovani nepopolni kvadrat vsote: drugi člen v njem je produkt prvega in zadnjega in ne njun dvojni produkt. Delni kvadrat vsote je eden od dejavnikov pri razširitvi razlike kock:

Kaj storiti, če so že trije ulomki?

Ja, ista stvar! Najprej se prepričajmo, da je največje število faktorjev v imenovalcih enako:

Upoštevajte: če spremenite znake znotraj enega oklepaja, se znak pred ulomkom spremeni v nasprotnega. Ko zamenjamo predznake v drugem oklepaju, se predznak pred ulomkom spet spremeni v nasprotnega. Zaradi tega se (znak pred ulomkom) ni spremenil.

Celoten prvi imenovalec izpišemo na skupni imenovalec, nato pa mu prištejemo še nezapisane faktorje iz drugega, nato iz tretjega (in tako naprej, če je ulomkov več). Se pravi, izkaže se takole:

Hmm ... Jasno je, kaj storiti z ulomki. Kaj pa oba?

Preprosto je: veste, kako seštevati ulomke, kajne? Torej, dva moramo narediti kot ulomek! Spomnimo se: ulomek je operacija deljenja (števec delimo z imenovalcem, če ste pozabili). In ni nič lažjega kot število deliti s. V tem primeru se sama številka ne bo spremenila, ampak se bo spremenila v ulomek:

Točno to, kar je potrebno!

5. Množenje in deljenje ulomkov.

No, najtežjega dela je zdaj konec. In pred nami je najpreprostejše, a hkrati najpomembnejše:

Postopek

Kakšen je postopek za izračun številskega izraza? Z izračunom si zapomnite pomen tega izraza:

Ste šteli?

Moralo bi delovati.

Torej, naj vas spomnim.

Prvi korak je izračun stopnje.

Drugi je množenje in deljenje. Če je več množenj in deljenj hkrati, jih lahko izvajamo v poljubnem vrstnem redu.

In na koncu izvedemo seštevanje in odštevanje. Spet v poljubnem vrstnem redu.

Toda: izraz v oklepaju je ovrednoten izven reda!

Če med seboj pomnožimo ali delimo več oklepajev, najprej izračunamo izraz v vsakem od oklepajev, nato pa jih pomnožimo ali delimo.

Kaj pa, če je znotraj oklepajev več oklepajev? No, pomislimo: v oklepaju je zapisan neki izraz. Kaj morate najprej narediti pri izračunu izraza? Tako je, izračunajte oklepaje. Pa smo ugotovili: najprej izračunamo notranje oklepaje, nato pa vse ostalo.

Torej, postopek za zgornji izraz je naslednji (trenutno dejanje je označeno z rdečo, to je dejanje, ki ga trenutno izvajam):

V redu, vse je preprosto.

Ampak to ni isto kot izraz s črkami?

Ne, isto je! Samo namesto aritmetičnih operacij morate opraviti algebraične, to je dejanja, opisana v prejšnjem razdelku: prinašanje podobnih, seštevanje ulomkov, zmanjševanje ulomkov itd. Edina razlika bo v delovanju faktoriziranja polinomov (to pogosto uporabljamo pri delu z ulomki). Najpogosteje morate za faktoriziranje uporabiti I ali preprosto dati skupni faktor iz oklepaja.

Običajno je naš cilj predstaviti izraz kot produkt ali količnik.

Na primer:

Poenostavimo izraz.

1) Najprej poenostavimo izraz v oklepajih. Tam imamo razliko ulomkov, naš cilj pa je, da jo predstavimo kot produkt ali količnik. Torej, ulomke spravimo na skupni imenovalec in dodamo:

Tega izraza je nemogoče še bolj poenostaviti; vsi dejavniki so elementarni (se še spomnite, kaj to pomeni?).

2) Dobimo:

Množenje ulomkov: kaj je lahko preprostejšega.

3) Zdaj lahko skrajšate:

OK, zdaj je vsega konec. Nič zapletenega, kajne?

Še en primer:

Poenostavite izraz.

Najprej poskusite rešiti sami in šele nato poglejte rešitev.

Najprej določimo vrstni red dejanj. Najprej seštejmo ulomke v oklepajih, da namesto dveh ulomkov dobimo enega. Nato bomo delili ulomke. No, seštejmo rezultat z zadnjim ulomkom. Korake bom shematično oštevilčil:

Zdaj vam bom pokazal postopek in trenutno dejanje obarval rdeče:

Na koncu vam bom dal dva koristna nasveta:

1. Če obstajajo podobni, jih je treba takoj prinesti. Kjerkoli že se pri nas pojavijo podobni, jih je priporočljivo nemudoma izpostaviti.

2. Enako velja za zmanjševanje ulomkov: takoj ko se pojavi priložnost za zmanjševanje, jo je treba izkoristiti. Izjema so ulomki, ki jih seštevate ali odštevate: če imajo zdaj enake imenovalce, potem zmanjševanje pustite za pozneje.

Tukaj je nekaj nalog, ki jih lahko rešite sami:

In kar je bilo obljubljeno na samem začetku:

Rešitve (na kratko):

Če ste se spopadli z vsaj prvimi tremi primeri, potem ste temo obvladali.

Zdaj pa na učenje!

PRETVORBA IZRAZOV. POVZETEK IN OSNOVNE FORMULE

Osnovne operacije poenostavljanja:

Prinašanje podobnih: če želite dodati (zmanjšati) podobne izraze, morate sešteti njihove koeficiente in dodeliti črkovni del.
Faktorizacija: dajanje skupnega faktorja iz oklepaja, njegova uporaba itd.
Zmanjšanje ulomka: Števec in imenovalec ulomka lahko pomnožimo ali delimo z istim številom, ki ni nič, kar ne spremeni vrednosti ulomka.
1) števec in imenovalec faktorizirati
2) če imata števec in imenovalec skupne faktorje, ju lahko prečrtamo.
POMEMBNO: zmanjšati je mogoče le množitelje!
Seštevanje in odštevanje ulomkov:
;
Množenje in deljenje ulomkov:
;

Kako rešiti primere za poenostavitev izraza. Objave z oznako "poenostavite algebrski izraz"

Koraki

Pomembne definicije

Prinašanje podobnih članov

Izvzem množitelja iz oklepaja

Dodatne metode poenostavljanja

Spremenljivke

Kvote

Kako določiti koeficient

Seštevki v dobesednih izrazih

Podobni izrazi

Poenostavljanje izrazov

Identitete. Identično enaki izrazi

Naloge za samostojno reševanje:

Pretvarjanje izrazov. Podrobna teorija (2019)

Pretvarjanje izrazov

Osnovne operacije poenostavljanja

1. Prinašanje podobnih

2. Faktorizacija

3. Zmanjšanje ulomka.

4. Seštevanje in odštevanje ulomkov. Zmanjšanje ulomkov na skupni imenovalec.

a) Imenovalci ne vsebujejo črk

b) Imenovalci vsebujejo črke

5. Množenje in deljenje ulomkov.

PRETVORBA IZRAZOV. POVZETEK IN OSNOVNE FORMULE