Slika realnih števil na številski premici. Intervali

Geometrično realna števila so tako kot racionalna števila predstavljena s točkami na premici.

Pustiti l je poljubna premica, O pa je nekaj njenih točk (slika 58). Vsako pozitivno realno število α povežimo točko A, ki leži desno od O na razdalji α dolžinske enote.

Če npr. α = 2,1356 ..., torej

2 < α < 3
2,1 < α < 2,2
2,13 < α < 2,14

itd. Očitno mora biti točka A v tem primeru na premici l desno od točk, ki ustrezajo številkam

2; 2,1; 2,13; ... ,

ampak levo od točk, ki ustrezajo številkam

3; 2,2; 2,14; ... .

Lahko se pokaže, da ti pogoji določajo na ravni črti l edina točka A, ki jo obravnavamo kot geometrijsko sliko realnega števila α = 2,1356... .

Podobno velja za vsako negativno realno število β priredimo točki B, ki leži levo od O na razdalji | β | dolžinske enote. Nazadnje s točko O povežemo številko »ničlo«.

Torej bo številka 1 upodobljena na ravni črti l točka A, ki se nahaja desno od O na razdalji ene dolžinske enote (slika 59), številka - √2 - s točko B, ki se nahaja levo od O na razdalji √2 enot dolžine itd. .

Pokažimo, kako na ravni črti l s šestilom in ravnilom lahko poiščete točke, ki ustrezajo realnim številom √2, √3, √4, √5 itd. Da bi to naredili, bomo najprej pokazali, kako lahko sestavite segmente, katerih dolžine so izražene po teh številkah. Naj bo AB odsek, vzet kot dolžinska enota (slika 60).

V točki A sestavimo navpično na ta odsek in nanj narišemo odsek AC, ki je enak odseku AB. Nato z uporabo Pitagorovega izreka za pravokotni trikotnik ABC dobimo; BC = √AB 2 + AC 2 = √1+1 = √2

Zato ima odsek BC dolžino √2. Zdaj zgradimo navpičnico na odsek BC v točki C in na njej izberimo točko D tako, da bo odsek CD enak eni dolžinski enoti AB. Nato iz pravokotnega trikotnika BCD najdemo:

ВD = √ВC 2 + СD 2 = √2+1 = √3

Zato ima odsek BD dolžino √3. Z nadaljevanjem opisanega postopka bi lahko dobili odseke BE, BF, ..., katerih dolžine so izražene s števili √4, √5 itd.

Zdaj na ravni črti l zlahka najdemo tiste točke, ki služijo kot geometrijski prikaz števil √2, √3, √4, √5 itd.

Če na primer narišemo odsek BC desno od točke O (slika 61), dobimo točko C, ki služi kot geometrijska podoba števila √2. Na enak način, če odsek BD postavimo desno od točke O, dobimo točko D", ki je geometrijska podoba števila √3 itd.

Vendar ne bi smeli misliti, da je uporaba kompasa in ravnila na številski premici l lahko najdemo točko, ki ustreza kateremu koli realnemu številu. Dokazano je na primer, da je nemogoče sestaviti odsek, katerega dolžina je izražena s številko, če imate na voljo samo šestilo in ravnilo. π = 3,14 ... . Zato na številski premici l s pomočjo takšnih konstrukcij je nemogoče navesti točko, ki ustreza tej številki, vendar taka točka obstaja.

Torej, za vsako realno število α je možno povezati neko dobro definirano točko z ravno črto l . Ta točka bo na razdalji | α | dolžinske enote in bodi desno od O, če α > 0 in levo od O, če α < 0. Очевидно, что при этом двум неравным действительным числам будут соответствовать две различные точки прямой l . Pravzaprav naj številko α točka A ustreza in št β - točka B. Potem, če α > β , potem bo A desno od B (slika 62, a); če α < β , potem bo A ležal levo od B (slika 62, b).

Ko smo v § 37 govorili o geometrijski podobi racionalnih števil, smo postavili vprašanje: ali lahko katero koli točko na premici obravnavamo kot geometrijsko podobo nekaterih racionalnoštevilke? Na to vprašanje takrat nismo znali odgovoriti; Sedaj lahko nanj odgovorimo z gotovostjo. Na črti so točke, ki služijo kot geometrijski prikaz iracionalnih števil (na primer √2). Zato vsaka točka na premici ne predstavlja racionalnega števila. Toda v tem primeru se pojavi drugo vprašanje: ali je mogoče katero koli točko na številski premici obravnavati kot geometrijsko podobo nekaterih veljavenštevilke? To vprašanje je že pozitivno rešeno.

Naj bo A poljubna točka na premici l , ki leži desno od O (slika 63).

Dolžina odseka OA je izražena z nekim pozitivnim realnim številom α (glej § 41). Zato je točka A geometrijska podoba števila α . Podobno je ugotovljeno, da lahko vsako točko B, ki leži levo od O, obravnavamo kot geometrijsko podobo negativnega realnega števila - β , Kje β - dolžina segmenta VO. Končno točka O služi kot geometrijski prikaz števila nič. Jasno je, da dve različni točki na premici l ne more biti geometrijska slika istega realnega števila.

Iz zgoraj navedenih razlogov se imenuje ravna črta, na kateri je določena točka O označena kot "začetna" točka (za dano enoto dolžine). številska premica.

Zaključek. Množica vseh realnih števil in množica vseh točk na številski premici sta v korespondenci ena proti ena.

To pomeni, da vsakemu realnemu številu ustreza ena, točno določena točka na številski premici, in obratno, vsaki točki na številski premici s tako korespondenco ustreza eno, točno določeno realno število.

Iz ogromno različnih vrst kompleti Posebej zanimivi so t.i številski nizi, torej množice, katerih elementi so števila. Jasno je, da jih morate za udobno delo z njimi znati zapisati. Članek bomo začeli z zapisom in principi zapisovanja številskih množic. Nato si poglejmo, kako so številske množice upodobljene na koordinatni premici.

Navigacija po strani.

Pisanje številskih množic

Začnimo s sprejetim zapisom. Kot veste, se za označevanje množic uporabljajo velike črke latinske abecede. Številske množice kot poseben primer množic so tudi označene. Na primer, lahko govorimo o številskih nizih A, H, W itd. Posebej pomembni so zanje nizi naravnih, celih, racionalnih, realnih, kompleksnih števil itd.:

• N – množica vseh naravnih števil;
• Z – množica celih števil;
• Q – množica racionalnih števil;
• J – množica iracionalnih števil;
• R – množica realnih števil;
• C je množica kompleksnih števil.

Od tu je jasno, da niza, sestavljenega na primer iz dveh števil 5 in −7, ne smete označiti kot Q, ta oznaka bo zavajajoča, saj črka Q običajno označuje množico vseh racionalnih števil. Za označevanje navedenega številskega niza je bolje uporabiti kakšno drugo "nevtralno" črko, na primer A.

Ker govorimo o zapisu, se tukaj spomnimo še na zapis prazne množice, torej množice, ki ne vsebuje elementov. Označujemo ga z znakom ∅.

Spomnimo se še na oznako, ali element pripada ali ne pripada množici. Za to uporabite znaka ∈ - pripada in ∉ - ne pripada. Na primer, zapis 5∈N pomeni, da število 5 pripada množici naravnih števil, 5,7∉Z pa - decimalni ulomek 5,7 ne spada v množico celih števil.

In spomnimo se tudi zapisa, sprejetega za vključitev enega niza v drugega. Jasno je, da so vsi elementi množice N vključeni v množico Z, torej je množica števil N vključena v Z, to je označeno kot N⊂Z. Uporabite lahko tudi zapis Z⊃N, kar pomeni, da množica vseh celih števil Z vključuje množico N. Relacije, ki niso vključene in niso vključene, so označene z ⊄ in . Uporabljajo se tudi nestrogi vključitveni znaki v obliki ⊆ in ⊇, kar pomeni vključeno ali sovpada oziroma vključuje oziroma sovpada.

Govorili smo o notaciji, preidimo na opis številskih množic. V tem primeru se bomo dotaknili le glavnih primerov, ki se najpogosteje uporabljajo v praksi.

Začnimo z numeričnimi množicami, ki vsebujejo končno in majhno število elementov. Numerične množice, sestavljene iz končnega števila elementov, je priročno opisati tako, da naštejemo vse njihove elemente. Vsi številski elementi so zapisani ločeno z vejicami in obdani z , kar je skladno s splošnim pravila za opisovanje množic. Na primer, niz, sestavljen iz treh števil 0, −0,25 in 4/7, lahko opišemo kot (0, −0,25, 4/7).

Včasih, ko je število elementov številčnega niza precej veliko, vendar elementi sledijo določenemu vzorcu, se za opis uporabi elipsa. Na primer, niz vseh lihih števil od 3 do vključno 99 lahko zapišemo kot (3, 5, 7, ..., 99).

Tako smo se gladko približali opisu številskih množic, katerih število elementov je neskončno. Včasih jih je mogoče opisati z enakimi elipsami. Na primer, opišimo množico vseh naravnih števil: N=(1, 2. 3, …) .

Uporabljajo tudi opis številske množice z navedbo lastnosti njenih elementov. V tem primeru se uporablja zapis (x| lastnosti). Na primer, zapis (n| 8·n+3, n∈N) določa množico naravnih števil, ki pri deljenju z 8 pustijo ostanek 3. Ta isti niz lahko opišemo kot (11,19, 27, ...).

V posebnih primerih so številske množice z neskončnim številom elementov znane množice N, Z, R itd. ali številski intervali. V bistvu so numerični nizi predstavljeni kot zveza njihovi sestavni posamezni številski intervali in številski nizi s končnim številom elementov (o katerih smo govorili tik zgoraj).

Pokažimo primer. Naj številsko množico sestavljajo števila −10, −9, −8,56, 0, vsa števila odseka [−5, −1,3] in števila odprte številske premice (7, +∞). Zaradi definicije unije množic lahko navedeno numerično množico zapišemo kot {−10, −9, −8,56}∪[−5, −1,3]∪{0}∪(7, +∞) . Ta zapis pravzaprav pomeni množico, ki vsebuje vse elemente množic (−10, −9, −8,56, 0), [−5, −1,3] in (7, +∞).

Podobno lahko s kombiniranjem različnih številskih intervalov in nizov posameznih števil opišemo katerikoli številski niz (sestavljen iz realnih števil). Tukaj postane jasno, zakaj so bile uvedene takšne vrste numeričnih intervalov, kot so interval, polinterval, segment, odprti numerični žarek in numerični žarek: vsi skupaj z zapisi za množice posameznih števil omogočajo opisovanje katere koli numerične množice z njuna zveza.

Upoštevajte, da so pri pisanju številskega niza njegove sestavne številke in številski intervali razvrščeni v naraščajočem vrstnem redu. To ni nujen, ampak zaželen pogoj, saj si je urejeno številčno množico lažje predstavljati in upodobiti na koordinatni premici. Upoštevajte tudi, da taki zapisi ne uporabljajo številskih intervalov s skupnimi elementi, saj je takšne zapise mogoče nadomestiti s kombinacijo številskih intervalov brez skupnih elementov. Na primer, unija številskih nizov s skupnimi elementi [−10, 0] in (−5, 3) je polovični interval [−10, 3) . Enako velja za unijo numeričnih intervalov z enakimi mejnimi števili, na primer unija (3, 5]∪(5, 7] je množica (3, 7] , o tem se bomo posebej posvetili, ko se bomo naučili poiščite presečišče in unijo številskih množic

Predstavitev številskih množic na koordinatni premici

V praksi je priročno uporabljati geometrijske slike numeričnih nizov - njihove slike na. Na primer, kdaj reševanje neenačb, pri katerih je treba upoštevati ODZ, je potrebno upodabljati številske množice, da bi našli njihovo presečišče in/ali unijo. Zato bo koristno dobro razumeti vse nianse upodabljanja številskih nizov na koordinatni črti.

Znano je, da med točkami koordinatne premice in realnimi števili obstaja ena proti ena korespondenca, kar pomeni, da je sama koordinatna premica geometrijski model množice vseh realnih števil R. Če želite prikazati nabor vseh realnih števil, morate narisati koordinatno črto s senčenjem vzdolž celotne dolžine:

In pogosto sploh ne navedejo izvora in segmenta enote:

Zdaj pa se pogovorimo o podobi številskih množic, ki predstavljajo določeno končno število posameznih števil. Na primer, upodabljajmo številski niz (−2, −0,5, 1,2). Geometrijska podoba te množice, sestavljena iz treh števil −2, −0,5 in 1,2, bodo tri točke koordinatne premice z ustreznimi koordinatami:

Upoštevajte, da običajno za praktične namene ni treba natančno izvesti risbe. Pogosto zadošča shematska risba, kar pomeni, da v tem primeru ni treba ohraniti merila, pomembno je le ohraniti relativni položaj točk med seboj: vsaka točka z manjšo koordinato mora biti glede na točko; levo od točke z večjo koordinato. Prejšnja risba bo shematično izgledala takole:

Ločeno od vseh vrst numeričnih nizov ločimo numerične intervale (intervali, polintervali, žarki itd.), Ki predstavljajo njihove geometrijske slike, ki smo jih podrobno preučili v razdelku. Tukaj se ne bomo ponavljali.

In ostane le, da se ustavimo na podobi numeričnih nizov, ki so zveza več numeričnih intervalov in nizov, sestavljenih iz posameznih števil. Tukaj ni nič zapletenega: glede na pomen unije v teh primerih je treba na koordinatni črti prikazati vse komponente niza danega numeričnega niza. Za primer pokažimo sliko niza številk (−∞, −15)∪{−10}∪[−3,1)∪ (log 2 5, 5)∪(17, +∞) :

In oglejmo si precej pogoste primere, ko prikazani numerični niz predstavlja celotno množico realnih števil, z izjemo ene ali več točk. Takšni nizi so pogosto določeni s pogoji, kot so x≠5 ali x≠−1, x≠2, x≠3,7 itd. V teh primerih geometrično predstavljajo celotno koordinatno črto, z izjemo ustreznih točk. Z drugimi besedami, te točke je treba "iztrgati" iz koordinatne črte. Upodobljeni so kot krogi s praznim središčem. Zaradi jasnosti upodabljajmo numerični niz, ki ustreza pogojem (ta niz v bistvu obstaja):

Povzemite. Idealno bi bilo, če bi podatki iz prejšnjih odstavkov tvorili enak pogled na zapis in prikaz številskih nizov kot pogled na posamezne številske intervale: posnetek številskega niza naj bi takoj dal svojo podobo na koordinatni premici, iz slike na koordinatno premico moramo biti pripravljeni, da z unijo posameznih intervalov in množic, sestavljenih iz posameznih števil, enostavno opišemo ustrezno numerično množico.

Bibliografija.

• Algebra: učbenik za 8. razred. Splošna izobrazba institucije / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; uredil S. A. Teljakovski. - 16. izd. - M .: Izobraževanje, 2008. - 271 str. : ill. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovič A. G. Algebra. 9. razred. V 2 urah 1. del Učbenik za študente splošnoizobraževalnih ustanov / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 13. izd., izbrisano. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 str.: ilustr. ISBN 978-5-346-01752-3.

Ekspresivno geometrijsko predstavitev sistema racionalnih števil lahko dobimo na naslednji način.

Na določeni ravni črti, »številski osi«, označimo odsek od O do 1 (slika 8). S tem nastavimo dolžino segmenta enote, ki jo na splošno lahko poljubno izberemo. Pozitivna in negativna cela števila so nato predstavljena z nizom enako razmaknjenih točk na številski osi, in sicer so pozitivna števila označena desno, negativna števila pa levo od točke 0. Za upodobitev števil z imenovalcem n razdelimo vsako od nastale segmente enote dolžine na n enakih delov; Delilne točke bodo predstavljale ulomke z imenovalcem n. Če to naredimo za vrednosti n, ki ustrezajo vsem naravnim številom, bo vsako racionalno število prikazano z neko točko na številski osi. Strinjali se bomo, da bomo te točke imenovali "racionalne"; Na splošno bomo pojma »racionalno število« in »racionalna točka« uporabljali kot sopomenki.

V poglavju I, § 1 je bila relacija neenakosti A definirana za poljuben par racionalnih točk, potem je naravno, da poskušamo posplošiti relacijo aritmetične neenakosti na tak način, da ohranimo ta geometrijski red za obravnavane točke. To je mogoče, če sprejmemo naslednjo definicijo: pravijo, da je racionalno število A manj, kot racionalno število B (A je večje od števila A (B>A), če je razlika B-A pozitivna. Sledi (za A med A in B so tisti, ki so hkrati >A in segment (oz segment) in je označena z [A, B] (in sama množica vmesnih točk je interval(oz vmes), označeno (A, B)).

Razdalja poljubne točke A od izhodišča 0, ki jo obravnavamo kot pozitivno število, se imenuje absolutna vrednost A in je označen s simbolom

Koncept "absolutne vrednosti" je definiran takole: če je A≥0, potem |A| = A; če

|A + B|≤|A| + |B|,

kar velja ne glede na znaka A in B.

Temeljno pomembno dejstvo je izraženo z naslednjim stavkom: racionalne točke so na številski premici povsod na gosto razporejene. Pomen te izjave je, da vsak interval, ne glede na to, kako majhen je, vsebuje racionalne točke. Za preverjanje veljavnosti navedene trditve je dovolj, da vzamemo število n tako veliko, da bo interval manjši od danega intervala (A, B); potem bo vsaj ena od zornih točk znotraj tega intervala. Na številski premici torej ni intervala (tudi najmanjšega, kar si ga lahko predstavljamo), znotraj katerega ne bi bilo racionalnih točk. To vodi do nadaljnje posledice: vsak interval vsebuje neskončno množico racionalnih točk. Dejansko, če bi določen interval vseboval samo končno število racionalnih točk, potem znotraj intervala, ki ga tvorita dve sosednji takšni točki, ne bi bilo več racionalnih točk, kar je v nasprotju s pravkar dokazanim.

Pojmi "množica", "element", "pripadnost elementa množici" so primarni pojmi matematike. Kup- katera koli zbirka (niz) kakršnih koli predmetov .

A je podmnožica množice B,če je vsak element množice A element množice B, tj. AÌB Û (ХОА Þ ХОВ).

Dva niza sta enakovredna, če so sestavljeni iz istih elementov. Govorimo o teoretični enakosti množic (ne zamenjujte je z enakostjo med števili): A=B Û AÌB Ù VA.

Zveza dveh nizov je sestavljen iz elementov, ki pripadajo vsaj enemu od nizov, tj. KHOAÈV Û KHOAÚ KHOV.

Križišče je sestavljen iz vseh elementov, ki hkrati pripadajo množici A in množici B: хОАХВ Û хОА Ù хОВ.

Razlika je sestavljen iz vseh elementov A, ki ne pripadajo B, tj. xО A\B Û xОА ÙхПВ.

kartezični produkt C=A´B množic A in B je množica vseh možnih parov ( x,y), kjer je prvi element X vsak par vsebuje A in njegov drugi element pri pripada V.

Imenuje se podmnožica F kartezičnega produkta A´B preslikava množice A v množico B , če je pogoj izpolnjen: (" X OA)($! par ( x.y)ÎF). Hkrati pišejo: A V.

Izraza "zaslon" in "funkcija" sta sinonima. Če ("хОА)($! уУВ): ( x,y)ОF, nato element priÎ IN klical način X pri prikazu F in zapišite takole: pri=F( X). Element X hkrati je prototip (eden od možnih) element y.

Razmislimo množica racionalnih števil Q - množica vseh celih števil in množica vseh ulomkov (pozitivnih in negativnih). Vsako racionalno število je mogoče predstaviti kot količnik, na primer 1 =4/3=8/6=12/9=…. Takšnih predstavitev je veliko, a le ena je ireduktibilna .

IN Vsako racionalno število je mogoče enolično predstaviti kot ulomek p/q, kjer sta pÎZ, qÎN, števili p, q soprosti.

Lastnosti množice Q:

1. Zaprtost glede na aritmetične operacije. Rezultat seštevanja, odštevanja, množenja, dvigovanja na naravno potenco, deljenja (razen deljenja z 0) racionalnih števil je racionalno število: ; ; .

2. Urejenost: (" x, yÎQ, x¹y)®( x Ú x>y).

Še več: 1) a>b, b>c Þ a>c; 2)a -b.

3. Gostota. Med katerima koli dvema racionalnima številoma x, y obstaja še tretje racionalno število (npr. c= ):

("x, yÎQ, x<l)($cÎQ) : ( Xl).

Na množici Q lahko izvedete 4 aritmetične operacije, rešite sisteme linearnih enačb, vendar kvadratne enačbe oblike x 2 =a, aÎ N niso vedno rešljive v množici Q.

Izrek. Ni številke xÎQ, katerega kvadrat je 2.

g Naj bo tak ulomek X=p/q, kjer sta števili p in q soprosti in X 2 =2. Potem je (p/q) 2 =2. torej

Desna stran (1) je deljiva z 2, kar pomeni, da je p 2 sodo število. Tako je p=2n (n-celo število). Potem mora biti q liho število.

Če se vrnemo k (1), imamo 4n 2 =2q 2. Zato je q 2 =2n 2. Podobno se prepričamo, da je q deljiv z 2, tj. q je sodo število. Izrek je dokazan s protislovjem.n

geometrijski prikaz racionalnih števil.Če enotski odsek iz koordinatnega izhodišča 1, 2, 3...krat prestavimo v desno, dobimo točke na koordinatni premici, ki ustrezajo naravnim številom. S podobnim premikom v levo dobimo točke, ki ustrezajo negativnim celim številom. Vzemimo 1/q(q= 2,3,4 … ) del enotskega segmenta in ga bomo postavili na obe strani izhodišča R enkrat. Dobimo točke premice, ki ustrezajo številkam oblike ±p/q (pОZ, qОN).Če p, q potekata skozi vse pare relativno praštevil, potem imamo na premici vse točke, ki ustrezajo ulomkom. torej Po sprejeti metodi vsako racionalno število ustreza eni točki na koordinatni črti.

Ali je mogoče za vsako točko določiti eno samo racionalno število? Ali je vrstica v celoti zapolnjena z racionalnimi števili?

Izkazalo se je, da obstajajo točke na koordinatni premici, ki ne ustrezajo nobenemu racionalnemu številu. Na enotskem segmentu sestavimo enakokraki pravokotni trikotnik. Točka N ne ustreza racionalnemu številu, ker če VKLOP=x- racionalno torej x 2 = 2, kar pa ne more biti.

Na premici je neskončno veliko točk, podobnih točki N. Vzemimo racionalne dele segmenta x=ON, tiste. X. Če jih premaknemo v desno, nobeno racionalno število ne bo ustrezalo vsakemu koncu katerega koli od teh segmentov. Ob predpostavki, da je dolžina odseka izražena z racionalnim številom x=, to razumemo x=- racionalno. To je v nasprotju z zgoraj dokazanim.

Racionalna števila niso dovolj, da bi določeno racionalno število povezali z vsako točko na koordinatni premici.

Gradimo množica realnih števil R skozi neskončne decimalke.

V skladu z algoritmom deljenja "kota" lahko vsako racionalno število predstavimo kot končni ali neskončni periodični decimalni ulomek. Kadar imenovalec ulomka p/q nima prafaktorjev razen 2 in 5, tj. q=2 m ×5 k, potem bo rezultat končni decimalni ulomek p/q=a 0,a 1 a 2 …a n. Drugi ulomki imajo lahko samo neskončne decimalne razširitve.

Če poznate neskončni periodični decimalni ulomek, lahko najdete racionalno število, katerega reprezentacija je. Toda vsak končni decimalni ulomek je mogoče predstaviti kot neskončni decimalni ulomek na enega od naslednjih načinov:

a 0 ,a 1 a 2 …a n = a 0 ,a 1 a 2 …a n 000…=a 0 ,a 1 a 2 …(a n -1)999… (2)

Na primer za neskončni decimalni ulomek X=0,(9) imamo 10 X=9,(9). Če prvotno število odštejemo od 10x, dobimo 9 X=9 ali 1=1,(0)=0,(9).

Korespondenca ena proti ena se vzpostavi med množico vseh racionalnih števil in množico vseh neskončnih periodičnih decimalnih ulomkov, če identificiramo neskončni decimalni ulomek s številom 9 v periodi z ustreznim neskončnim decimalnim ulomkom s številom 0 v periodi. obdobje po pravilu (2).

Dogovorimo se, da uporabimo takšne neskončne periodične ulomke, ki v periodi nimajo števila 9. Če v procesu sklepanja nastane neskončni periodični decimalni ulomek s številko 9 v periodi, ga bomo nadomestili z neskončnim decimalnim ulomkom z ničlo v periodi, tj. namesto 1.999... bomo vzeli 2.000...

Definicija iracionalnega števila. Poleg neskončnih decimalnih periodičnih ulomkov obstajajo tudi neperiodični decimalni ulomki. Na primer 0,1010010001 ... ali 27,1234567891011 ... (naravna števila se pojavljajo zaporedoma za decimalno vejico).

Razmislite o neskončnem decimalnem ulomku oblike ±a 0, a 1 a 2 …a n … (3)

Ta ulomek je določen z navedbo znaka »+« ali »–«, nenegativnega celega števila a 0 in zaporedja decimalnih mest a 1 , a 2 ,…, a n ,… (niz decimalnih mest je sestavljen iz desetih števil). : 0, 1, 2, …, 9).

Imenujmo poljuben ulomek oblike (3) pravo (realno) število.Če je pred ulomkom (3) znak “+”, ga običajno izpustimo in zapišemo z 0 , a 1 a 2 …a n … (4)

Poklicali bomo številko obrazca (4) nenegativno realno število, in v primeru, ko je vsaj eno od števil a 0 , a 1 , a 2 , …, a n različno od nič, – pozitivno realno število. Če je v izrazu (3) znak "-", potem je to negativno število.

Zveza množic racionalnih in iracionalnih števil tvori množico realnih števil (QÈJ=R). Če je neskončni decimalni ulomek (3) periodičen, potem je racionalno število, kadar je ulomek neperiodičen, je iracionalen.

Dve nenegativni realni števili a=a 0 ,a 1 a 2 …a n …, b=b 0 ,b 1 b 2 …b n …. klical enaka(oni pišejo a=b), če a n = b n pri n=0,1,2… Število a je manjše od števila b(oni pišejo a<b), če bodisi a 0 oz a 0 =b 0 in obstaja taka številka m, Kaj a k =b k (k=0,1,2,…m-1), A a m , tj. a Û (a 0 Ú ($mÎN: a k =b k (k= ), a m ). Koncept " A>b».

Za primerjavo poljubnih realnih števil uvedemo koncept " modul števila a» . Modul realnega števila a=±a 0 , a 1 a 2 …a n … To je nenegativno realno število, ki ga je mogoče predstaviti z istim neskončnim decimalnim ulomkom, vendar z znakom "+", tj. ½ A½= a 0 , a 1 a 2 … a n … in ½ A½³0. če A - nenegativno, b je negativno število, potem razmislite a>b. Če sta obe števili negativni ( a<0, b<0 ), potem bomo predpostavili, da: 1) a=b, če ½ A½ = ½ b½; 2) A , če ½ A½ > ½ b½.

Lastnosti množice R:

JAZ. Lastnosti reda:

1. Za vsak par realnih števil A in b obstaja ena in samo ena relacija: a=b,a b.

2. Če a , To A (prehodnost).

3. Če a , potem obstaja število c tako, da a< с .

II. Lastnosti operacij seštevanja in odštevanja:

4. a+b=b+a(komutativnost).

5. (a+b)+c=a+(b+c) (asociativnost).

Številska premica, številska os, je premica, na kateri so upodobljena realna števila. Na ravni črti izberite izhodišče - točko O (točka O predstavlja 0) in točko L, ki predstavlja enoto. Točka L se običajno nahaja desno od točke O. Odsek OL imenujemo enotski odsek.

Pike desno od točke O predstavljajo pozitivna števila. Točke levo od točke. Oh, predstavljajo negativna števila. Če točka X predstavlja pozitivno število x, potem je razdalja OX = x. Če točka X predstavlja negativno število x, potem je razdalja OX = - x.

Število, ki kaže položaj točke na premici, se imenuje koordinata te točke.

Točka V, prikazana na sliki, ima koordinato 2, točka H pa koordinato -2,6.

Modul realnega števila je razdalja od izhodišča do točke, ki ustreza temu številu. Modul števila x označimo takole: | x |. Očitno je, da | 0 | = 0.

Če je število x večje od 0, potem je | x | = x, in če je x manjši od 0, potem | x | = - x. Na teh lastnostih modula temelji rešitev številnih enačb in neenačb z modulom.

Primer: Reši enačbo | x – 3 | = 1.

Rešitev: Razmislite o dveh primerih - prvem primeru, ko je x -3 > 0, in drugem primeru, ko je x - 3 0.

1. x - 3 > 0, x > 3.

V tem primeru | x – 3 | = x – 3.

Enačba ima obliko x – 3 = 1, x = 4. 4 > 3 – izpolnjuje prvi pogoj.

2. x -3 0, x 3.

V tem primeru | x – 3 | = - x + 3

Enačba ima obliko x + 3 = 1, x = - 2. -2 3 – izpolnjen drugi pogoj.

Odgovor: x = 4, x = -2.

Številski izrazi.

Numerični izraz je zbirka enega ali več števil in funkcij, povezanih z aritmetičnimi simboli in oklepaji.
Primeri številskih izrazov:

Vrednost številskega izraza je število.
Operacije v številskem izražanju se izvajajo v naslednjem zaporedju:

1. Dejanja v oklepaju.

2. Izračun funkcij.

3. Potenciranje

4. Množenje in deljenje.

5. Seštevanje in odštevanje.

6. Podobne operacije se izvajajo od leve proti desni.

Torej bo vrednost prvega izraza samo število 12,3
Za izračun vrednosti drugega izraza bomo izvedli dejanja v naslednjem zaporedju:

1. Dejanja v oklepajih izvedemo v naslednjem zaporedju - najprej dvignemo 2 na tretjo potenco, nato od dobljenega števila odštejemo 11:

3 4 + (23 - 11) = 3 4 + (8 - 11) = 3 4 + (-3)

2. Pomnožite 3 s 4:

3 4 + (-3) = 12 + (-3)

3. Izvedite zaporedne operacije od leve proti desni:

12 + (-3) = 9.
Izraz s spremenljivkami je zbirka enega ali več števil, spremenljivk in funkcij, povezanih z aritmetičnimi simboli in oklepaji. Vrednosti izrazov s spremenljivkami so odvisne od vrednosti spremenljivk, ki so vanj vključene. Zaporedje operacij je tukaj enako kot pri številskih izrazih. Včasih je uporabno poenostaviti izraze s spremenljivkami z izvajanjem različnih dejanj - dajanjem iz oklepajev, odpiranjem oklepajev, združevanjem, zmanjševanjem ulomkov, prinašanjem podobnih itd. Tudi za poenostavitev izrazov se pogosto uporabljajo različne formule, na primer skrajšane formule za množenje, lastnosti različnih funkcij itd.

Algebraični izrazi.

Algebrski izraz je ena ali več algebrskih količin (številk in črk), med seboj povezanih z znaki algebrskih operacij: seštevanja, odštevanja, množenja in deljenja, pa tudi korenjenja in dvigovanja na celo potenco (ter eksponentov korena in potenca mora biti nujno cela števila) in znaki zaporedja teh dejanj (običajno oklepaji različnih vrst). Število količin, vključenih v algebraični izraz, mora biti končno.

Primer algebraičnega izraza:

»Algebraični izraz« je sintaktični koncept, kar pomeni, da je nekaj algebrski izraz, če in samo če upošteva določena slovnična pravila (glejte Formalna slovnica). Če se črke v algebrskem izrazu štejejo za spremenljivke, potem algebrski izraz prevzame pomen algebrske funkcije.