Ta tema se morda sprva zdi težka, ker marsikdo ni tako preproste formule. Ne le, da imajo same kvadratne enačbe dolge zapise, temveč se koreni najdejo tudi prek diskriminante. Skupno dobimo tri nove formule. Ni si lahko zapomniti. To je mogoče le po pogostem reševanju takih enačb. Potem si bodo vse formule zapomnile same.

Splošni pogled na kvadratno enačbo

Tukaj predlagamo njihov eksplicitni zapis, ko je najprej zapisana največja stopnja, nato pa v padajočem vrstnem redu. Pogosto pride do situacij, ko so pogoji nedosledni. Potem je bolje enačbo prepisati v padajočem vrstnem redu glede na stopnjo spremenljivke.

Uvedimo nekaj zapisov. Predstavljeni so v spodnji tabeli.

Če sprejmemo te zapise, se vse kvadratne enačbe zmanjšajo na naslednji zapis.

Poleg tega je koeficient a ≠ 0. Naj bo ta formula označena s številko ena.

Ko je podana enačba, ni jasno, koliko korenin bo v odgovoru. Ker je vedno možna ena od treh možnosti:

• raztopina bo imela dve korenini;
• odgovor bo ena številka;
• enačba sploh ne bo imela korenin.

In dokler odločitev ni pravnomočna, je težko razumeti, katera možnost se bo pojavila v posameznem primeru.

Vrste zapisov kvadratnih enačb

Težave jih lahko vsebujejo različne vnose. Ne bodo vedno videti kot formula splošne kvadratne enačbe. Včasih bodo manjkali nekateri izrazi. Zgoraj napisano je popolna enačba. Če v njem odstranite drugi ali tretji izraz, dobite nekaj drugega. Te zapise imenujemo tudi kvadratne enačbe, le nepopolne.

Poleg tega lahko izginejo le izrazi s koeficientoma "b" in "c". Število "a" v nobenem primeru ne more biti enako nič. Ker se v tem primeru formula spremeni v linearno enačbo. Formule za nepopolno obliko enačb bodo naslednje:

Obstajata torej le dve vrsti; poleg popolnih obstajajo tudi nepopolne kvadratne enačbe. Naj bo prva formula številka dve, druga pa tri.

Diskriminanta in odvisnost števila korenin od njene vrednosti

To število morate poznati, če želite izračunati korenine enačbe. Vedno ga je mogoče izračunati, ne glede na to, kakšna je formula kvadratne enačbe. Da bi izračunali diskriminanto, morate uporabiti spodaj napisano enakost, ki bo imela številko štiri.

Po zamenjavi vrednosti koeficientov v to formulo lahko dobite številke z različna znamenja. Če je odgovor pritrdilen, bosta odgovor na enačbo dva različna korena. Če je število negativno, ne bo korenin kvadratne enačbe. Če je enak nič, bo odgovor samo en.

Kako rešiti popolno kvadratno enačbo?

Pravzaprav se je obravnava tega vprašanja že začela. Kajti najprej morate najti diskriminator. Ko ugotovite, da obstajajo korenine kvadratne enačbe in je njihovo število znano, morate uporabiti formule za spremenljivke. Če obstajata dve korenini, potem morate uporabiti naslednjo formulo.

Ker vsebuje znak "±", bosta na voljo dve vrednosti. Izraz pod znakom kvadratnega korena je diskriminanta. Zato lahko formulo prepišemo drugače.

Formula številka pet. Iz istega zapisa je jasno, da če je diskriminanta enaka nič, bosta oba korena imela enake vrednosti.

Če reševanje kvadratnih enačb še ni izdelano, je bolje, da zapišete vrednosti vseh koeficientov, preden uporabite diskriminantne in spremenljive formule. Kasneje ta trenutek ne bo povzročal težav. Toda na samem začetku je zmeda.

Kako rešiti nepopolno kvadratno enačbo?

Tukaj je vse veliko preprostejše. Sploh ni potrebe po dodatnih formulah. In tiste, ki so že zapisane za diskriminator in neznano, ne bodo potrebne.

Najprej si poglejmo nepopolno enačbo številka dve. V tej enačbi je treba neznano količino vzeti iz oklepaja in rešiti linearno enačbo, ki bo ostala v oklepaju. Odgovor bo imel dva korena. Prvi je nujno enak nič, ker obstaja množitelj, sestavljen iz same spremenljivke. Drugo bomo dobili z reševanjem linearne enačbe.

Nepopolno enačbo številka tri rešimo tako, da premaknemo število z leve strani enačbe na desno. Nato morate deliti s koeficientom, ki gleda na neznano. Vse, kar ostane, je, da izvlečemo kvadratni koren in ga ne pozabimo zapisati dvakrat z nasprotnimi predznaki.

Spodaj je nekaj korakov, ki vam bodo pomagali naučiti se reševati vse vrste enačb, ki se spremenijo v kvadratne enačbe. Učencu bodo pomagali preprečiti napake zaradi nepazljivosti. Te pomanjkljivosti so razlog slabe ocene pri preučevanju široke teme " Kvadratne enačbe(8. razred)«. Nato teh dejanj ne bo treba nenehno izvajati. Ker se bo pojavila stabilna veščina.

• Najprej morate napisati enačbo v standardni obliki. To je najprej izraz z največjo stopnjo spremenljivke, nato - brez stopnje in nazadnje - samo številka.

• Če se pred koeficientom "a" pojavi minus, lahko začetniku, ki preučuje kvadratne enačbe, oteži delo. Bolje se je znebiti. V ta namen je treba vse enakosti pomnožiti z "-1". To pomeni, da bodo vsi členi spremenili predznak v nasprotni.

• Priporočljivo je, da se ulomkov znebite na enak način. Enostavno pomnožite enačbo z ustreznim faktorjem, tako da se imenovalci izničijo.

Primeri

Rešiti je treba naslednje kvadratne enačbe:

x 2 − 7x = 0;

15 − 2x − x 2 = 0;

x 2 + 8 + 3x = 0;

12x + x 2 + 36 = 0;

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2).

Prva enačba: x 2 − 7x = 0. Je nepopolna, zato jo rešujemo, kot je opisano za formulo številka dve.

Ko ga vzamemo iz oklepajev, se izkaže: x (x - 7) = 0.

Prvi koren ima vrednost: x 1 = 0. Drugi bo najden iz linearne enačbe: x - 7 = 0. Lahko vidimo, da je x 2 = 7.

Druga enačba: 5x 2 + 30 = 0. Spet nepopolna. Le ta se reši, kot je opisano za tretjo formulo.

Ko premaknete 30 na desno stran enačbe: 5x 2 = 30. Zdaj morate deliti s 5. Izkazalo se je: x 2 = 6. Odgovori bodo številke: x 1 = √6, x 2 = - √6.

Tretja enačba: 15 − 2x − x 2 = 0. Tukaj in naprej se bo reševanje kvadratnih enačb začelo tako, da jih bomo prepisali v standardno obliko: − x 2 − 2x + 15 = 0. Zdaj je čas, da uporabimo drugo uporaben nasvet in vse pomnožite z minus ena. Izkazalo se je, da je x 2 + 2x - 15 = 0. S četrto formulo morate izračunati diskriminanco: D = 2 2 - 4 * (- 15) = 4 + 60 = 64. To je pozitivno število. Iz zgoraj povedanega se izkaže, da ima enačba dva korena. Izračunati jih je treba s peto formulo. Izkazalo se je, da je x = (-2 ± √64) / 2 = (-2 ± 8) / 2. Potem je x 1 = 3, x 2 = - 5.

Četrto enačbo x 2 + 8 + 3x = 0 pretvorimo v tole: x 2 + 3x + 8 = 0. Njena diskriminanta je enaka tej vrednosti: -23. Ker je to število negativno, bo odgovor na to nalogo naslednji vnos: "Ni korenin."

Peto enačbo 12x + x 2 + 36 = 0 prepišemo takole: x 2 + 12x + 36 = 0. Po uporabi formule za diskriminanto dobimo število nič. To pomeni, da bo imel en koren, in sicer: x = -12/ (2 * 1) = -6.

Šesta enačba (x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2) zahteva transformacije, ki so sestavljene iz dejstva, da morate prinesti podobne izraze, najprej odpreti oklepaje. Na mestu prvega bo naslednji izraz: x 2 + 2x + 1. Za enakostjo se pojavi ta vnos: x 2 + 3x + 2. Po preštetju podobnih členov bo enačba dobila obliko: x 2 - x = 0. Postalo je nepopolno. O nečem podobnem smo že razpravljali malo višje. Korenini tega bosta števili 0 in 1.

Reševanje enačb v matematiki zavzema posebno mesto. Pred tem postopkom sledi veliko ur učenja teorije, med katerimi se učenec nauči reševanja enačb, določi njihove vrste in pripelje veščino do popolne avtomatizacije. Vendar pa iskanje korenin ni vedno smiselno, saj lahko preprosto ne obstajajo. Obstajajo posebne tehnike za iskanje korenin. V tem članku bomo analizirali glavne funkcije, njihove definicijske domene, pa tudi primere, ko manjkajo njihove korenine.

Katera enačba nima korenin?

Enačba nima korenin, če ni pravih argumentov x, za katere je enačba identično resnična. Za nestrokovnjaka je ta formulacija, tako kot večina matematičnih izrekov in formul, videti zelo nejasna in abstraktna, vendar je to v teoriji. V praksi postane vse izjemno preprosto. Na primer: enačba 0 * x = -53 nima rešitve, saj ni števila x, katerega produkt z ničlo bi dal nekaj drugega kot nič.

Zdaj si bomo ogledali najosnovnejše vrste enačb.

1. Linearna enačba

Enačba se imenuje linearna, če sta njena desna in leva stran predstavljeni kot linearni funkciji: ax + b = cx + d ali v posplošeni obliki kx + b = 0. Kjer so a, b, c, d - znane številke, in x je neznana količina. Katera enačba nima korenin? Primeri linearne enačbe so predstavljeni na spodnji sliki.

V bistvu se linearne enačbe rešujejo s preprostim prenosom številskega dela v en del in vsebine x v drugega. Rezultat je enačba oblike mx = n, kjer sta m in n števili, x pa je neznanka. Če želite najti x, preprosto delite obe strani z m. Potem je x = n/m. Večina linearnih enačb ima samo eno korenino, obstajajo pa primeri, ko je korenin neskončno veliko ali pa jih sploh ni. Ko je m = 0 in n = 0, ima enačba obliko 0 * x = 0. Rešitev takšne enačbe bo absolutno poljubno število.

Vendar, katera enačba nima korenin?

Za m = 0 in n = 0 enačba nima korenov iz niza realna števila. 0 * x = -1; 0 * x = 200 - te enačbe nimajo korenin.

2. Kvadratna enačba

Kvadratna enačba je enačba oblike ax 2 + bx + c = 0 za a = 0. Najpogostejša rešitev je preko diskriminante. Formula za iskanje diskriminante kvadratne enačbe je: D = b 2 - 4 * a * c. Sledita dva korena x 1,2 = (-b ± √D) / 2 * a.

Pri D > 0 ima enačba dva korena, pri D = 0 pa en koren. Toda katera kvadratna enačba nima korenin? Število korenov kvadratne enačbe najlažje opazimo z grafom funkcije, ki je parabola. Pri a > 0 so veje usmerjene navzgor, pri a< 0 ветви опущены вниз. Если дискриминант отрицателен, такое квадратное уравнение не имеет корней на множестве действительных чисел.

Število korenin lahko tudi vizualno določite brez izračuna diskriminante. Če želite to narediti, morate najti vrh parabole in določiti, v katero smer so usmerjene veje. Koordinato x oglišča lahko določimo s formulo: x 0 = -b / 2a. V tem primeru se koordinata y oglišča najde tako, da se vrednost x 0 preprosto nadomesti z izvirno enačbo.

Kvadratna enačba x 2 - 8x + 72 = 0 nima korenin, saj ima negativno diskriminanto D = (-8) 2 - 4 * 1 * 72 = -224. To pomeni, da se parabola ne dotika osi x in funkcija nikoli ne zavzame vrednosti 0, zato enačba nima pravih korenin.

3. Trigonometrične enačbe

Trigonometrične funkcije obravnavamo na trigonometričnem krogu, lahko pa jih predstavimo tudi v kartezičnem koordinatnem sistemu. V tem članku si bomo ogledali dve glavni trigonometrične funkcije in njuni enačbi: sinx in cosx. Ker te funkcije tvorijo trigonometrični krog s polmerom 1, |sinx| in |cosx| ne more biti večje od 1. Torej, katera sinx enačba nima korenin? Razmislite o grafu funkcije sinx, prikazanem na spodnji sliki.

Vidimo, da je funkcija simetrična in ima ponavljalno dobo 2pi. Na podlagi tega lahko trdimo, da največja vrednost ta funkcija je lahko 1, najmanjša pa je -1. Na primer, izraz cosx = 5 ne bo imel korenin, ker je njegova absolutna vrednost večja od ena.

To je najenostavnejši primer trigonometričnih enačb. Pravzaprav lahko njihovo reševanje traja veliko strani, na koncu pa ugotovite, da ste uporabili napačno formulo in morate začeti znova. Včasih, tudi če pravilno najdete korene, lahko pozabite upoštevati omejitve glede OD, zato se v odgovoru pojavi dodaten koren ali interval, celoten odgovor pa se spremeni v napako. Zato strogo upoštevajte vse omejitve, saj vse korenine ne ustrezajo obsegu naloge.

4. Sistemi enačb

Sistem enačb je niz enačb, združenih z zavitimi ali oglatimi oklepaji. Zavit oklepaj pomeni, da se vse enačbe izvajajo skupaj. To pomeni, da če vsaj ena od enačb nima korenin ali je v nasprotju z drugo, celoten sistem nima rešitve. Oglati oklepaji označujejo besedo "ali". To pomeni, da če ima vsaj ena od enačb sistema rešitev, potem ima celoten sistem rešitev.

Odgovor sistema c je množica vseh korenin posamezne enačbe. In sistemi z zavitimi oklepaji imajo samo skupne korene. Sistemi enačb lahko vključujejo popolnoma različne funkcije, zato nam takšna zapletenost ne omogoča, da takoj rečemo, katera enačba nima korenin.

Najdeno v problemskih knjigah in učbenikih različni tipi enačbe: tiste, ki imajo korenine, in tiste, ki jih nimajo. Najprej, če ne najdete korenin, ne mislite, da jih sploh ni. Morda ste se nekje zmotili, potem morate le še enkrat skrbno preveriti svojo odločitev.

Ogledali smo si najosnovnejše enačbe in njihove vrste. Zdaj lahko ugotovite, katera enačba nima korenin. V večini primerov tega ni težko narediti. Doseganje uspeha pri reševanju enačb zahteva le pozornost in koncentracijo. Več vadite, pomagalo vam bo, da boste veliko bolje in hitreje krmarili po gradivu.

Torej enačba nima korenin, če:

• v linearni enačbi mx = n je vrednost m = 0 in n = 0;
• v kvadratni enačbi, če je diskriminanta manjša od nič;
• v trigonometrični enačbi oblike cosx = m / sinx = n, če je |m| > 0, |n| > 0;
• v sistemu enačb z zavitimi oklepaji, če je vsaj ena enačba brez korenin, z oglatimi oklepaji pa, če so vse enačbe brez korenin.

Kvadratne enačbe. Diskriminator. Rešitev, primeri.

Pozor!
Obstajajo dodatni
materiali v posebnem oddelku 555.
Za tiste, ki so zelo "ne zelo ..."
In za tiste, ki "zelo ...")

Vrste kvadratnih enačb

Kaj je kvadratna enačba? Kako izgleda? V terminu kvadratna enačba ključna beseda je "kvadrat". To pomeni, da v enačbi Nujno mora biti x na kvadrat. Poleg tega enačba lahko (ali pa tudi ne!) vsebuje samo X (na prvo potenco) in samo število (brezplačni član). In ne sme biti X-ov na potenco, večjo od dve.

V matematičnem smislu je kvadratna enačba enačba oblike:

Tukaj a, b in c- nekaj številk. b in c- absolutno vse, ampak A– karkoli drugega kot nič. Na primer:

Tukaj A =1; b = 3; c = -4

Tukaj A =2; b = -0,5; c = 2,2

Tukaj A =-3; b = 6; c = -18

No, razumeš ...

V teh kvadratnih enačbah na levi je polni setčlani. X na kvadrat s koeficientom A, x na prvo potenco s koeficientom b in brezplačni član s.

Take kvadratne enačbe imenujemo poln.

In če b= 0, kaj dobimo? Imamo X bo izgubljen na prvo potenco. To se zgodi, ko se pomnoži z nič.) Izkaže se, na primer:

5x 2 -25 = 0,

2x 2 -6x=0,

-x 2 +4x=0

In tako naprej. In če oba koeficienta b in c so enake nič, potem je še preprosteje:

2x 2 =0,

-0,3x 2 =0

Take enačbe, kjer nekaj manjka, imenujemo nepopolne kvadratne enačbe. Kar je povsem logično.) Upoštevajte, da je x na kvadrat prisoten v vseh enačbah.

Mimogrede, zakaj A ne more biti enako nič? In namesto tega zamenjate A nič.) Naš X na kvadrat bo izginil! Enačba bo postala linearna. In rešitev je popolnoma drugačna ...

To so vse glavne vrste kvadratnih enačb. Popolna in nepopolna.

Reševanje kvadratnih enačb.

Reševanje popolnih kvadratnih enačb.

Kvadratne enačbe je enostavno rešiti. Po formulah in jasnih, preprostih pravilih. Na prvi stopnji je potrebno podana enačba Voditi do standardni pogled, tj. na obrazec:

Če vam je enačba že dana v tej obliki, vam ni treba opraviti prve stopnje.) Glavna stvar je, da pravilno določite vse koeficiente, A, b in c.

Formula za iskanje korenin kvadratne enačbe izgleda takole:

Izraz pod znakom korena se imenuje diskriminator. A več o njem spodaj. Kot lahko vidite, za iskanje X uporabljamo samo a, b in c. Tisti. koeficientov iz kvadratne enačbe. Samo previdno zamenjajte vrednosti a, b in c Računamo po tej formuli. Zamenjajmo s svojimi znaki! Na primer v enačbi:

A =1; b = 3; c= -4. Tukaj zapišemo:

Primer je skoraj rešen:

To je odgovor.

Vse je zelo preprosto. In kaj, mislite, da je nemogoče narediti napako? No, ja, kako ...

Najpogostejše napake so zamenjave z vrednostmi znakov a, b in c. Oziroma ne z njihovimi znaki (kje se zmedejo?), Ampak z zamenjavo negativne vrednosti v formulo za izračun korenov. Pri tem pomaga podroben zapis formule z določenimi številkami. Če pride do težav z izračuni, naredi to!

Recimo, da moramo rešiti naslednji primer:

Tukaj a = -6; b = -5; c = -1

Recimo, da veste, da le redko dobite odgovore prvič.

No, ne bodi len. Za pisanje dodatne vrstice in števila napak bo potrebnih približno 30 sekund se bo močno zmanjšalo. Zato pišemo podrobno, z vsemi oklepaji in znaki:

Zdi se, da je neverjetno težko zapisati tako skrbno. Ampak tako se le zdi. Poskusi. No, ali izberite. Kaj je bolje, hitro ali pravilno? Poleg tega te bom osrečil. Čez nekaj časa ne bo več treba vsega tako natančno zapisovati. Samo od sebe se bo izšlo. Še posebej, če uporabljate praktične tehnike, ki so opisane spodaj. to zlobni primer s kupom minusov se da enostavno in brez napak rešiti!

Toda pogosto kvadratne enačbe izgledajo nekoliko drugače. Na primer takole:

Ste ga prepoznali?) Da! to nepopolne kvadratne enačbe.

Reševanje nepopolnih kvadratnih enačb.

Lahko jih rešimo tudi s splošno formulo. Samo pravilno morate razumeti, čemu so tukaj enaki. a, b in c.

Ste ugotovili? V prvem primeru a = 1; b = -4; A c? Sploh ga ni! No ja, tako je. V matematiki to pomeni c = 0 ! To je vse. Namesto tega v formulo nadomestite ničlo c, in uspelo nam bo. Enako z drugim primerom. Samo tukaj nimamo ničle z, A b !

Toda nepopolne kvadratne enačbe je mogoče rešiti veliko preprosteje. Brez kakršnih koli formul. Oglejmo si prvo nepopolno enačbo. Kaj lahko narediš na levi strani? X lahko vzamete iz oklepaja! Vzemimo ga ven.

In kaj iz tega? In dejstvo, da je produkt enak nič, če in samo če je kateri koli od faktorjev enak nič! ne verjameš? V redu, potem si izmislite dve neničelni števili, ki bosta pomnoženi dali nič!
Ne deluje? to je to...
Zato lahko z gotovostjo zapišemo: x 1 = 0, x 2 = 4.

Vse. To bodo korenine naše enačbe. Oba sta primerna. Ko nadomestimo katero koli od njih v prvotno enačbo, dobimo pravilno identiteto 0 = 0. Kot lahko vidite, je rešitev veliko preprostejša kot uporaba splošne formule. Naj mimogrede pripomnim, kateri X bo prvi in ​​kateri drugi - čisto vseeno. Primerno je pisati po vrstnem redu, x 1- kaj je manjše in x 2- tisto, kar je večje.

Tudi drugo enačbo lahko preprosto rešimo. Premakni 9 na desno stran. Dobimo:

Vse kar ostane je, da izvlečemo koren iz 9, in to je to. Izkazalo se bo:

Tudi dve korenini . x 1 = -3, x 2 = 3.

Tako se rešijo vse nepopolne kvadratne enačbe. Bodisi tako, da postavite X izven oklepaja ali preprosto premaknete številko v desno in nato izvlečete koren.
Te tehnike je zelo težko zamenjati. Preprosto zato, ker boš v prvem primeru moral izluščiti koren X, kar je nekako nerazumljivo, v drugem primeru pa ni kaj vzeti iz oklepaja ...

Diskriminator. Diskriminantna formula.

Čarobna beseda diskriminator ! Redko kateri srednješolec te besede še ni slišal! Besedna zveza "rešujemo z diskriminantom" vzbuja zaupanje in pomiritev. Ker od diskriminanta ni treba pričakovati trikov! Uporaba je enostavna in brez težav.) Največ vas spomnim splošna formula za rešitve kaj kvadratne enačbe:

Izraz pod korenom se imenuje diskriminant. Običajno je diskriminant označen s črko D. Diskriminantna formula:

D = b 2 - 4ac

In kaj je tako izjemnega pri tem izrazu? Zakaj si je zaslužil posebno ime? Kaj pomen diskriminatorja? Konec koncev -b, oz 2a v tej formuli nič posebej ne imenujejo ... Črke in črke.

Tukaj je stvar. Pri reševanju kvadratne enačbe s to formulo je to mogoče le trije primeri.

1. Diskriminanta je pozitivna. To pomeni, da je iz njega mogoče izvleči korenino. Ali je koren izvlečen dobro ali slabo, je drugo vprašanje. Pomembno je, kaj se načeloma izloči. Potem ima vaša kvadratna enačba dva korena. Dve različni rešitvi.

2. Diskriminanta je nič. Potem boste imeli eno rešitev. Ker dodajanje ali odštevanje ničle v števcu ne spremeni ničesar. Strogo gledano, to ni ena korenina, ampak dva enaka. Toda v poenostavljeni različici je običajno govoriti o tem ena rešitev.

3. Diskriminanta je negativna. Od negativno število kvadratni koren se ne vzame. No, v redu. To pomeni, da ni rešitev.

Iskreno povedano, kdaj preprosta rešitev kvadratnih enačb koncept diskriminante ni posebej potreben. Vrednosti koeficientov nadomestimo v formulo in preštejemo. Tam se vse zgodi samo od sebe, dve korenini, ena in nobena. Vendar pa pri reševanju več težke naloge, brez znanja pomen in formula diskriminanta ne dovolj. Še posebej v enačbah s parametri. Takšne enačbe so akrobatika za državni izpit in enotni državni izpit!)

Torej, kako rešiti kvadratne enačbe prek diskriminatorja, ki ste se ga spomnili. Ali pa ste se naučili, kar tudi ni slabo.) Znate pravilno določiti a, b in c. Veš kako? pozorno jih nadomestite v korensko formulo in pozorno preštejte rezultat. Razumete, da je tu ključna beseda pozorno?

Sedaj pa upoštevajte praktične tehnike, ki dramatično zmanjšajo število napak. Tisti isti, ki so zaradi nepazljivosti... Za katere postane kasneje boleče in žaljivo...

Prvi termin . Ne bodite leni, preden rešite kvadratno enačbo in jo pripeljete v standardno obliko. Kaj to pomeni?
Recimo, da po vseh transformacijah dobite naslednjo enačbo:

Ne hitite s pisanjem korenske formule! Skoraj zagotovo se vam bodo pomešale možnosti a, b in c. Pravilno sestavite primer. Najprej X na kvadrat, nato brez kvadrata, nato prosti člen. Všečkaj to:

In še enkrat, ne hitite! Minus pred X na kvadrat vas lahko pošteno razburi. Lahko se pozabi ... Znebite se minusa. kako Da, kot je bilo učeno v prejšnji temi! Celotno enačbo moramo pomnožiti z -1. Dobimo:

Zdaj pa lahko varno zapišete formulo za korenine, izračunate diskriminanco in dokončate reševanje primera. Odločite se sami. Zdaj bi morali imeti korenine 2 in -1.

Drugi sprejem. Preverite korenine! Po Vietovem izreku. Ne boj se, vse ti bom razložil! Preverjanje zadnja stvar enačba. Tisti. tisti, ki smo ga uporabili za zapis korenske formule. Če (kot v tem primeru) koeficient a = 1, je preverjanje korenin enostavno. Dovolj je, da jih pomnožimo. Rezultat bi moral biti brezplačen član, tj. v našem primeru -2. Upoštevajte, ne 2, ampak -2! Brezplačni član s svojim znakom . Če ne gre, pomeni, da so že nekje zafrknili. Poiščite napako.

Če deluje, morate dodati korenine. Zadnji in zadnji pregled. Koeficient naj bo b z nasprotje znano. V našem primeru -1+2 = +1. Koeficient b, ki je pred X, je enako -1. Torej, vse je pravilno!
Škoda, da je to tako preprosto samo za primere, kjer je x na kvadrat čist, s koeficientom a = 1. Ampak vsaj preverite takšne enačbe! Napak bo vse manj.

Sprejem tretji . Če ima vaša enačba delne koeficiente, se jih znebite! Enačbo pomnožite s skupnim imenovalcem, kot je opisano v lekciji "Kako rešiti enačbe? Identitetne transformacije." Pri delu z ulomki se iz nekega razloga vedno prikradejo napake ...

Mimogrede, obljubil sem, da bom zlobni primer poenostavil s kupom minusov. prosim! Tukaj je.

Da se ne bi zmešali z minusi, enačbo pomnožimo z -1. Dobimo:

To je vse! Reševanje je užitek!

Torej, povzamemo temo.

Praktični nasveti:

1. Kvadratno enačbo pred reševanjem spravimo v standardno obliko in jo sestavimo Prav.

2. Če je pred X na kvadrat negativen koeficient, ga izločimo tako, da celotno enačbo pomnožimo z -1.

3. Če so koeficienti ulomki, ulomke izločimo tako, da celotno enačbo pomnožimo z ustreznim faktorjem.

4. Če je x na kvadrat čist, je njegov koeficient enak ena, je rešitev enostavno preveriti z uporabo Vietovega izreka. Naredi!

Zdaj se lahko odločimo.)

Reši enačbe:

8x 2 - 6x + 1 = 0

x 2 + 3x + 8 = 0

x 2 - 4x + 4 = 0

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2)

Odgovori (v neredu):

x 1 = 0
x 2 = 5

x 1,2 =2

x 1 = 2
x 2 = -0,5

x - poljubno število

x 1 = -3
x 2 = 3

brez rešitev

x 1 = 0,25
x 2 = 0,5

Se vse ujema? Super! Kvadratne enačbe niso vaša stvar glavobol. Prvi trije so delovali, ostali pa ne? Potem problem ni v kvadratnih enačbah. Problem je v identičnih transformacijah enačb. Poglejte povezavo, je v pomoč.

Ne gre ravno? Ali pa sploh ne gre? Potem vam bo v pomoč razdelek 555. Vsi ti primeri so tam razčlenjeni. Prikazano glavni napake v rešitvi. Seveda govorimo tudi o uporabi identičnih transformacij pri reševanju različnih enačb. Zelo pomaga!

Če vam je všeč ta stran ...

Mimogrede, za vas imam še nekaj zanimivih spletnih mest.)

Lahko vadite reševanje primerov in ugotovite svojo raven. Testiranje s takojšnjim preverjanjem. Učimo se - z zanimanjem!)

Lahko se seznanite s funkcijami in izpeljankami.

", torej enačbe prve stopnje. V tej lekciji si bomo ogledali kar imenujemo kvadratna enačba in kako to rešiti.

Kaj je kvadratna enačba?

Pomembno!

Stopnja enačbe je določena z najvišjo stopnjo, do katere stoji neznanka.

Če je največja moč, v kateri je neznanka, "2", potem imate kvadratno enačbo.

Primeri kvadratnih enačb

• 5x 2 − 14x + 17 = 0
• −x 2 + x +

  1

  3

  = 0
• x 2 + 0,25 x = 0
• x 2 − 8 = 0

Pomembno!

Splošna oblika kvadratne enačbe izgleda takole:

A x 2 + b x + c = 0

• "a", "b" in "c" so podane številke.
• "a" je prvi ali najvišji koeficient;
• "b" je drugi koeficient;

“c” je brezplačen član.

Če želite najti "a", "b" in "c", morate svojo enačbo primerjati s splošno obliko kvadratne enačbe "ax 2 + bx + c = 0".

kvote c = 17 c = 8

Vadimo se v določanju koeficientov "a", "b" in "c" v kvadratnih enačbah.	Enačba
5x 2 − 14x + 17 = 0 a = 5 b = −14
−7x 2 − 13x + 8 = 0 a = −7 b = −13

1

3

= 0

• −x 2 + x +
• a = −1
• b = 1

  1

  3

c =

• x 2 + 0,25 x = 0
• a = 1
• b = 0,25

c = 0

• x 2 + 0,25 x = 0
• x 2 − 8 = 0
• b = 0

c = −8

Kako rešiti kvadratne enačbe Za razliko od linearnih enačb se za reševanje kvadratnih enačb uporablja posebna metoda..

formula za iskanje korenin

Ne pozabite!

• Za rešitev kvadratne enačbe potrebujete: zmanjšajte kvadratno enačbo na Splošni videz
• "ax 2 + bx + c = 0". To pomeni, da mora na desni strani ostati samo "0";

uporabite formulo za korenine:

Oglejmo si primer, kako uporabiti formulo za iskanje korenin kvadratne enačbe. Rešimo kvadratno enačbo.

X 2 − 3x − 4 = 0 formula za iskanje korenin kvadratne enačbe.

Določimo koeficiente "a", "b" in "c" za to enačbo.

x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =

Uporablja se lahko za reševanje katere koli kvadratne enačbe.

V formuli “x 1;2 =” je radikalni izraz pogosto zamenjan
“b 2 − 4ac” za črko “D” in se imenuje diskriminanta. Koncept diskriminatorja je podrobneje obravnavan v lekciji "Kaj je diskriminant".

Poglejmo še en primer kvadratne enačbe.

x 2 + 9 + x = 7x

V tej obliki je precej težko določiti koeficiente "a", "b" in "c". Najprej zreducirajmo enačbo na splošno obliko “ax 2 + bx + c = 0”.

X 2 + 9 + x = 7x
x 2 + 9 + x − 7x = 0
x 2 + 9 − 6x = 0
x 2 − 6x + 9 = 0

Zdaj lahko uporabite formulo za korenine.

X 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x =

6

2

x = 3
Odgovor: x = 3

Obstajajo časi, ko kvadratne enačbe nimajo korenin. Do te situacije pride, ko formula vsebuje negativno število pod korenom.

Kvadratne enačbe se preučujejo v 8. razredu, zato tukaj ni nič zapletenega. Sposobnost njihovega reševanja je nujno potrebna.

Kvadratna enačba je enačba oblike ax 2 + bx + c = 0, kjer so koeficienti a, b in c poljubna števila, a ≠ 0.

Pred študijem posebne metode rešitve, upoštevajte, da lahko vse kvadratne enačbe razdelimo v tri razrede:

1. Nimajo korenin;
2. Imeti natanko en koren;
3. Imajo dve različni korenini.

To je pomembna razlika med kvadratnimi in linearnimi enačbami, kjer koren vedno obstaja in je edinstven. Kako ugotoviti, koliko korenin ima enačba? Za to obstaja čudovita stvar - diskriminator.

Diskriminator

Naj bo podana kvadratna enačba ax 2 + bx + c = 0. Potem je diskriminanta preprosto število D = b 2 − 4ac.

To formulo morate znati na pamet. Od kod prihaja, zdaj ni pomembno. Še ena stvar je pomembna: s predznakom diskriminante lahko določite, koliko korenin ima kvadratna enačba. namreč:

1. Če D< 0, корней нет;
2. Če je D = 0, obstaja natanko en koren;
3. Če je D > 0, bosta dva korena.

Upoštevajte: diskriminator označuje število korenin in ne sploh njihovih znakov, kot iz neznanega razloga mnogi verjamejo. Oglejte si primere in vse vam bo jasno:

Naloga. Koliko korenin ima kvadratna enačba:

1. x 2 − 8x + 12 = 0;
2. 5x 2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 − 6x + 9 = 0.

Zapišimo koeficiente prve enačbe in poiščimo diskriminanco:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

Torej je diskriminanta pozitivna, zato ima enačba dva različna korena. Drugo enačbo analiziramo na podoben način:
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 − 4 5 7 = 9 − 140 = −131.

Diskriminanta je negativna, korenin ni. Zadnja enačba, ki ostane, je:
a = 1; b = −6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

Diskriminant je nič - koren bo ena.

Upoštevajte, da so koeficienti zapisani za vsako enačbo. Da, dolgo je, da, dolgočasno je, vendar ne boste mešali možnosti in delali neumnih napak. Izberite sami: hitrost ali kakovost.

Mimogrede, če se tega naučite, vam čez nekaj časa ne bo več treba zapisovati vseh koeficientov. Takšne operacije boste izvajali v svoji glavi. Večina ljudi začne to delati nekje po 50-70 rešenih enačbah - na splošno ne tako veliko.

Korenine kvadratne enačbe

Zdaj pa preidimo na samo rešitev. Če je diskriminant D > 0, je mogoče korene najti po formulah:

Osnovna formula za korenine kvadratne enačbe

Ko je D = 0, lahko uporabite katero koli od teh formul - dobili boste isto številko, ki bo odgovor. Končno, če D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 − 2x − 3 = 0;
2. 15 − 2x − x 2 = 0;
3. x 2 + 12x + 36 = 0.

Prva enačba:
x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = −3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ enačba ima dva korena. Poiščimo jih:

Druga enačba:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ enačba ima spet dva korena. Poiščimo jih

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \levo(-1 \desno))=3. \\ \end(align)\]

Na koncu še tretja enačba:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ enačba ima en koren. Uporabi se lahko katera koli formula. Na primer, prvi:

Kot lahko vidite iz primerov, je vse zelo preprosto. Če poznate formule in znate računati, ne bo težav. Najpogosteje pride do napak pri zamenjavi negativnih koeficientov v formulo. Tudi tukaj vam bo pomagala zgoraj opisana tehnika: poglejte formulo dobesedno, zapišite vsak korak - in zelo kmalu se boste znebili napak.

Nepopolne kvadratne enačbe

Zgodi se, da je kvadratna enačba nekoliko drugačna od tiste, ki je navedena v definiciji. Na primer:

1. x 2 + 9x = 0;
2. x 2 − 16 = 0.

Zlahka opazimo, da v teh enačbah manjka eden od členov. Takšne kvadratne enačbe je še lažje rešiti kot standardne: ne zahtevajo niti izračuna diskriminante. Torej, predstavimo nov koncept:

Enačbo ax 2 + bx + c = 0 imenujemo nepopolna kvadratna enačba, če je b = 0 ali c = 0, tj. koeficient spremenljivke x ali prostega elementa je enak nič.

Seveda je možen zelo težek primer, ko sta oba koeficienta enaka nič: b = c = 0. V tem primeru ima enačba obliko ax 2 = 0. Očitno ima takšna enačba en koren: x = 0.

Razmislimo o preostalih primerih. Naj bo b = 0, potem dobimo nepopolno kvadratno enačbo oblike ax 2 + c = 0. Malo jo preoblikujemo:

Od aritmetike Kvadratni koren obstaja samo iz nenegativnega števila, zadnja enakost je smiselna samo za (−c /a) ≥ 0. Sklep:

1. Če je v nepopolni kvadratni enačbi oblike ax 2 + c = 0 izpolnjena neenakost (−c /a) ≥ 0, bosta korena dva. Formula je navedena zgoraj;
2. Če (−c /a)< 0, корней нет.

Kot lahko vidite, diskriminanta ni bila potrebna - v nepopolnih kvadratnih enačbah sploh ni zapletenih izračunov. Pravzaprav si sploh ni treba zapomniti neenakosti (−c /a) ≥ 0. Dovolj je izraziti vrednost x 2 in videti, kaj je na drugi strani enačaja. Če obstaja pozitivno število, bosta korena dva. Če je negativen, korenin sploh ne bo.

Zdaj pa poglejmo enačbe oblike ax 2 + bx = 0, v katerih je prosti element enak nič. Tukaj je vse preprosto: vedno bosta dve korenini. Dovolj je faktorizirati polinom:

Če vzamemo skupni faktor iz oklepaja

Produkt je enak nič, ko je vsaj eden od faktorjev enak nič. Od tod izvirajo korenine. Za zaključek si poglejmo nekaj teh enačb:

Naloga. Rešite kvadratne enačbe:

1. x 2 − 7x = 0;
2. 5x 2 + 30 = 0;
3. 4x 2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(−7)/1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. Ni korenin, saj kvadrat ne more biti enak negativnemu številu.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 = −1,5.