Odredite da li su vektori linearno zavisni. Linearna zavisnost i linearna nezavisnost sistema vektora. Vektori, njihova svojstva i radnje s njima

Zadatak 1. Utvrdite da li je sistem vektora linearno nezavisan. Sistem vektora će biti specificiran matricom sistema, čiji se stupci sastoje od koordinata vektora.

.

Rješenje. Neka linearna kombinacija jednaka nuli. Nakon što smo napisali ovu jednakost u koordinatama, dobili smo sljedeći sistem jednačina:

.

Takav sistem jednačina naziva se trouglasti. Ona ima samo jedno rešenje . Dakle, vektori linearno nezavisna.

Zadatak 2. Utvrdite da li je sistem vektora linearno nezavisan.

.

Rješenje. Vektori linearno nezavisno (vidi problem 1). Dokažimo da je vektor linearna kombinacija vektora . Vektorski koeficijenti ekspanzije određuju se iz sistema jednačina

.

Ovaj sistem, kao i trouglasti, ima jedinstveno rješenje.

Dakle, sistem vektora linearno zavisna.

Komentar. Pozivaju se matrice istog tipa kao u zadatku 1 trouglasti , a u zadatku 2 – stepenasto trouglasto . Pitanje linearne zavisnosti sistema vektora lako se rešava ako je matrica sastavljena od koordinata ovih vektora stepenasto trouglasta. Ako matrica nema poseban oblik, tada se koristi elementarne konverzije stringova , čuvajući linearne odnose između stupova, može se svesti na stepenasti trokutasti oblik.

Elementarne konverzije nizova matrice (EPS) nazivaju se sljedeće operacije na matrici:

1) preuređivanje žica;

2) množenje niza brojem koji nije nula;

3) dodavanje drugog niza nizu, pomnoženog proizvoljnim brojem.

Zadatak 3. Pronađite maksimalni linearno nezavisan podsistem i izračunajte rang sistema vektora

.

Rješenje. Svedujmo matricu sistema koji koristi EPS na stepenasti trouglasti oblik. Da bismo objasnili postupak, liniju sa brojem matrice koju treba transformisati označavamo simbolom . Kolona iza strelice označava radnje na redove matrice koja se konvertuje, a koje se moraju izvršiti da bi se dobili redovi nove matrice.

.

Očigledno, prva dva stupca rezultirajuće matrice su linearno nezavisna, treći stupac je njihova linearna kombinacija, a četvrti ne ovisi o prva dva. Vektori nazivaju se osnovnim. Oni čine maksimalan linearno nezavisan podsistem sistema , a rang sistema je tri.

Osnova, koordinate

Zadatak 4. Nađite osnovu i koordinate vektora u ovoj bazi na skupu geometrijskih vektora čije koordinate zadovoljavaju uvjet .

Rješenje. Skup je ravan koja prolazi kroz ishodište. Proizvoljna osnova na ravni se sastoji od dva nekolinearna vektora. Koordinate vektora u odabranoj bazi određuju se rješavanjem odgovarajućeg sistema linearnih jednačina.

Postoji još jedan način rješavanja ovog problema, kada možete pronaći osnovu koristeći koordinate.

Koordinate prostori nisu koordinate na ravni, jer su povezani relacijom , odnosno nisu nezavisni. Nezavisne varijable i (oni se nazivaju slobodnim) jedinstveno definiraju vektor na ravni i stoga se mogu odabrati kao koordinate u . Zatim osnova sastoji se od vektora koji leže i odgovaraju skupovima slobodnih varijabli I , to je .

Zadatak 5. Nađite osnovu i koordinate vektora u ovoj bazi na skupu svih vektora u prostoru čije su neparne koordinate jednake jedna drugoj.

Rješenje. Odaberemo, kao iu prethodnom zadatku, koordinate u prostoru.

Jer , zatim slobodne varijable jednoznačno određuju vektor iz i stoga su koordinate. Odgovarajuća baza se sastoji od vektora.

Zadatak 6. Pronađite osnovu i koordinate vektora u ovoj bazi na skupu svih matrica oblika , Gdje – proizvoljni brojevi.

Rješenje. Svaka matrica iz je jedinstveno predstavljena u obliku:

Ova relacija je proširenje vektora iz u odnosu na bazu
sa koordinatama .

Zadatak 7. Odrediti dimenziju i osnovu linearne oplate sistema vektora

.

Rješenje. Koristeći EPS, transformišemo matricu iz koordinata vektora sistema u stepenasti trouglasti oblik.

.

Kolone posljednje matrice su linearno nezavisne, a stupci linearno izražena kroz njih. Dakle, vektori čine osnovu , And .

Komentar. Osnova u je izabran dvosmisleno. Na primjer, vektori takođe čine osnovu .

Neka L – linearni prostor iznad terena R . Neka A1, a2, …, an (*) konačni sistem vektora iz L . Vector IN = a1× A1 + a2× A2 + … + an× An (16) se zove Linearna kombinacija vektora ( *), ili kažu da je to vektor IN linearno izraženo kroz sistem vektora (*).

Definicija 14. Sistem vektora (*) se zove Linearno zavisna , ako i samo ako postoji nenulti skup koeficijenata a1, a2, … , takav da je a1× A1 + a2× A2 + … + an× An = 0. Ako je a1× A1 + a2× A2 + … + an× An = 0 Û a1 = a2 = … = an = 0, tada se poziva sistem (*). Linearno nezavisna.

Svojstva linearne zavisnosti i nezavisnosti.

10. Ako sistem vektora sadrži nulti vektor, onda je on linearno zavisan.

Zaista, ako je u sistemu (*) vektor A1 = 0, To je 1× 0 + 0× A2 + … + 0 × An = 0 .

20. Ako sistem vektora sadrži dva proporcionalna vektora, onda je on linearno zavisan.

Neka A1 = L×a2. Zatim 1× A1 –l× A2 + 0× A3 + … + 0× A N= 0.

30. Konačan sistem vektora (*) za n ³ 2 je linearno zavisan ako i samo ako je barem jedan od njegovih vektora linearna kombinacija preostalih vektora ovog sistema.

Þ Neka je (*) linearno zavisna. Tada postoji skup koeficijenata a1, a2, …, an koji nije nula, za koji je a1× A1 + a2× A2 + … + an× An = 0 . Bez gubitka opštosti, možemo pretpostaviti da je a1 ¹ 0. Tada postoji A1 = ×a2× A2 + … + ×an× A N. Dakle, vektor A1 je linearna kombinacija preostalih vektora.

Ü Neka je jedan od vektora (*) linearna kombinacija ostalih. Možemo pretpostaviti da je ovo prvi vektor, tj. A1 = B2 A2+ … + bn A N, dakle (–1)× A1 + b2 A2+ … + bn A N= 0 , tj. (*) je linearno zavisna.

Komentar. Koristeći posljednju osobinu, možemo definirati linearnu ovisnost i neovisnost beskonačnog sistema vektora.

Definicija 15. Vektorski sistem A1, a2, …, an , … (**) se poziva Linearno zavisna, Ako je barem jedan od njegovih vektora linearna kombinacija nekog konačnog broja drugih vektora. U suprotnom, sistem (**) se poziva Linearno nezavisna.

40. Konačan sistem vektora je linearno nezavisan ako i samo ako nijedan od njegovih vektora ne može biti linearno izražen u terminima njegovih preostalih vektora.

50. Ako je sistem vektora linearno nezavisan, tada je i bilo koji njegov podsistem linearno nezavisan.

60. Ako je neki podsistem datog sistema vektora linearno zavisan, onda je i cijeli sistem linearno zavisan.

Neka su data dva sistema vektora A1, a2, …, an , … (16) i V1, V2, …, Vs, … (17). Ako se svaki vektor sistema (16) može predstaviti kao linearna kombinacija konačnog broja vektora sistema (17), onda se kaže da je sistem (17) linearno izražen kroz sistem (16).

Definicija 16. Dva vektorska sistema se nazivaju Ekvivalentno , ako je svaki od njih linearno izražen kroz drugi.

Teorema 9 (osnovni teorem linearne zavisnosti).

Neka bude – dva konačna sistema vektora iz L . Ako je prvi sistem linearno nezavisan i linearno izražen kroz drugi, onda N£s.

Dokaz. Pretvarajmo se to N> S. Prema uslovima teoreme

(21)

Kako je sistem linearno nezavisan, jednakost (18) Û X1=x2=…=xN= 0. Zamijenimo ovdje izraze vektora: …+=0 (19). Stoga (20). Uslovi (18), (19) i (20) su očigledno ekvivalentni. Ali (18) je zadovoljan samo kada X1=x2=…=xN= 0. Pronađimo kada je jednakost (20) tačna. Ako su svi njegovi koeficijenti jednaki nuli, onda je to očigledno tačno. Izjednačavajući ih sa nulom, dobijamo sistem (21). Pošto ovaj sistem ima nulu, onda je

joint Pošto je broj jednačina veći od broja nepoznatih, sistem ima beskonačno mnogo rješenja. Prema tome, ima različitu od nule X10, x20, …, xN0. Za ove vrijednosti vrijedit će jednakost (18), što je u suprotnosti sa činjenicom da je sistem vektora linearno nezavisan. Dakle, naša pretpostavka je pogrešna. dakle, N£s.

Posljedica. Ako su dva ekvivalentna sistema vektora konačna i linearno nezavisna, onda sadrže isti broj vektora.

Definicija 17. Vektorski sistem se zove Maksimalni linearno nezavisni sistem vektora Linearni prostor L , ako je linearno nezavisan, ali kada mu se dodaje bilo koji vektor iz L , nije uključen u ovaj sistem, postaje linearno zavisan.

Teorema 10. Bilo koja dva konačna maksimalna linearno nezavisna sistema vektora iz L Sadrži isti broj vektora.

Dokaz proizilazi iz činjenice da su bilo koja dva maksimalna linearno nezavisna sistema vektora ekvivalentna .

Lako je dokazati da je bilo koji linearno nezavisan sistem vektora prostora L može se proširiti na maksimalni linearno nezavisan sistem vektora u ovom prostoru.

primjeri:

1. U skupu svih kolinearnih geometrijskih vektora, svaki sistem koji se sastoji od jednog vektora različitog od nule je maksimalno linearno nezavisan.

2. U skupu svih komplanarnih geometrijskih vektora, bilo koja dva nekolinearna vektora čine maksimalni linearno nezavisan sistem.

3. U skupu svih mogućih geometrijskih vektora trodimenzionalnog euklidskog prostora, svaki sistem od tri nekoplanarna vektora je maksimalno linearno nezavisan.

4. U skupu svih polinoma stepeni nisu veći od N Sa realnim (kompleksnim) koeficijentima, sistem polinoma 1, x, x2, … , xn Maksimalno je linearno nezavisan.

5. U skupu svih polinoma sa realnim (kompleksnim) koeficijentima, primjeri maksimalnog linearno nezavisnog sistema su

A) 1, x, x2, ... , xn, ... ;

b) 1, (1 – x), (1 – x)2, … , (1 – x)N, ...

6. Skup matrica dimenzija M´ N je linearni prostor (provjerite ovo). Primer maksimalnog linearno nezavisnog sistema u ovom prostoru je matrični sistem E11= , E12 =, …, EMn = .

Neka je zadan sistem vektora C1, c2, …, up (*). Poziva se podsistem vektora iz (*). Maksimalno linearno nezavisno Podsistem sistemi ( *) , ako je linearno nezavisan, ali kada mu se doda bilo koji drugi vektor ovog sistema, postaje linearno zavisan. Ako je sistem (*) konačan, onda bilo koji od njegovih maksimalnih linearno nezavisnih podsistema sadrži isti broj vektora. (Dokažite sami). Poziva se broj vektora u maksimalnom linearno nezavisnom podsistemu sistema (*). Rang Ovaj sistem. Očigledno, ekvivalentni sistemi vektora imaju iste rangove.

Predstavili smo mi linearne operacije na vektorima omogućavaju stvaranje različitih izraza za vektorske veličine i transformirajte ih koristeći svojstva postavljena za ove operacije.

Na osnovu datog skupa vektora a 1, ..., a n, možete kreirati izraz forme

gdje su a 1, ... i n proizvoljni realni brojevi. Ovaj izraz se zove linearna kombinacija vektora a 1, ..., a n. Brojevi α i, i = 1, n predstavljaju koeficijenti linearne kombinacije. Skup vektora se također naziva sistem vektora.

U vezi sa uvedenim konceptom linearne kombinacije vektora, javlja se problem opisivanja skupa vektora koji se može napisati kao linearna kombinacija datog sistema vektora a 1, ..., a n. Osim toga, postavljaju se prirodna pitanja o uvjetima pod kojima postoji predstava vektora u obliku linearne kombinacije, te o jedinstvenosti takve reprezentacije.

Definicija 2.1. Vektori a 1, ... i n se nazivaju linearno zavisna, ako postoji skup koeficijenata α 1 , ... , α n takvih da

α 1 a 1 + ... + α n a n = 0 (2.2)

i barem jedan od ovih koeficijenata nije nula. Ako navedeni skup koeficijenata ne postoji, vektori se pozivaju linearno nezavisna.

Ako je α 1 = ... = α n = 0, onda je, očigledno, α 1 a 1 + ... + α n a n = 0. Imajući to na umu, možemo reći ovo: vektori a 1, ..., i n su linearno nezavisne ako iz jednakosti (2.2) slijedi da su svi koeficijenti α 1 , ... , α n jednaki nuli.

Sljedeća teorema objašnjava zašto se novi koncept naziva terminom "zavisnost" (ili "nezavisnost") i pruža jednostavan kriterij za linearnu ovisnost.

Teorema 2.1. Da bi vektori a 1, ..., i n, n > 1, bili linearno zavisni, potrebno je i dovoljno da jedan od njih bude linearna kombinacija ostalih.

◄ Nužnost. Pretpostavimo da su vektori a 1, ... i n linearno zavisni. Prema definiciji 2.1 linearne zavisnosti, u jednakosti (2.2) na lijevoj strani postoji najmanje jedan koeficijent različit od nule, na primjer α 1. Ostavljajući prvi član na lijevoj strani jednakosti, ostale pomjeramo na desnu stranu, mijenjajući njihove predznake, kao i obično. Podijelimo rezultujuću jednakost sa α 1, dobijamo

a 1 =-α 2 /α 1 ⋅ a 2 - ... - α n /α 1 ⋅ a n

one. reprezentacija vektora a 1 kao linearne kombinacije preostalih vektora a 2, ..., a n.

Adekvatnost. Neka se, na primjer, prvi vektor a 1 može predstaviti kao linearna kombinacija preostalih vektora: a 1 = β 2 a 2 + ... + β n a n. Prenoseći sve članove s desne strane na lijevu, dobijamo a 1 - β 2 a 2 - ... - β n a n = 0, tj. linearna kombinacija vektora a 1, ..., a n sa koeficijentima α 1 = 1, α 2 = - β 2, ..., α n = - β n, jednakim nulti vektor. U ovoj linearnoj kombinaciji, nisu svi koeficijenti jednaki nuli. Prema definiciji 2.1, vektori a 1, ..., i n su linearno zavisni.

Definicija i kriterijum za linearnu zavisnost su formulisani tako da impliciraju prisustvo dva ili više vektora. Međutim, možemo govoriti i o linearnoj zavisnosti jednog vektora. Da biste ostvarili ovu mogućnost, umjesto „vektori su linearno zavisni“, trebate reći „sistem vektora je linearno zavisan“. Lako je vidjeti da izraz „sistem jednog vektora je linearno zavisan“ znači da je ovaj pojedinačni vektor nula (u linearnoj kombinaciji postoji samo jedan koeficijent, i ne bi trebao biti jednak nuli).

Koncept linearne zavisnosti ima jednostavnu geometrijsku interpretaciju. Sljedeće tri izjave pojašnjavaju ovo tumačenje.

Teorema 2.2. Dva vektora su linearno zavisna ako i samo ako su kolinearno.

◄ Ako su vektori a i b linearno zavisni, onda se jedan od njih, na primjer a, izražava kroz drugi, tj. a = λb za neki realni broj λ. Prema definiciji 1.7 radi vektori po broju, vektori a i b su kolinearni.

Neka su sada vektori a i b kolinearni. Ako su oba nula, onda je očito da su linearno zavisni, budući da je svaka njihova linearna kombinacija jednaka nultom vektoru. Neka jedan od ovih vektora nije jednak 0, na primjer vektor b. Označimo sa λ omjer dužina vektora: λ = |a|/|b|. Kolinearni vektori mogu biti jednosmjerno ili suprotno usmerena. U potonjem slučaju mijenjamo predznak λ. Zatim, provjeravajući definiciju 1.7, uvjeravamo se da je a = λb. Prema teoremi 2.1, vektori a i b su linearno zavisni.

Napomena 2.1. U slučaju dva vektora, uzimajući u obzir kriterijum linearne zavisnosti, dokazana teorema se može preformulisati na sledeći način: dva vektora su kolinearna ako i samo ako je jedan od njih predstavljen kao proizvod drugog brojem. Ovo je zgodan kriterijum za kolinearnost dva vektora.

Teorema 2.3. Tri vektora su linearno zavisna ako i samo ako su komplanarno.

◄ Ako su tri vektora a, b, c linearno zavisna, onda je, prema teoremi 2.1, jedan od njih, na primjer a, linearna kombinacija ostalih: a = βb + γc. Kombinirajmo početak vektora b i c u tački A. Tada će vektori βb, γs imati zajedničko ishodište u tački A i duž prema pravilu paralelograma njihov zbir je one. vektor a će biti vektor sa poreklom A i kraj, koji je vrh paralelograma izgrađenog na komponentnim vektorima. Dakle, svi vektori leže u istoj ravni, odnosno komplanarni.

Neka su vektori a, b, c komplanarni. Ako je jedan od ovih vektora nula, onda je očito da će to biti linearna kombinacija ostalih. Dovoljno je uzeti sve koeficijente linearne kombinacije jednakima nuli. Stoga možemo pretpostaviti da sva tri vektora nisu nula. Kompatibilan počeo ovih vektora u zajedničkoj tački O. Neka su njihovi krajevi tačke A, B, C, redom (slika 2.1). Kroz tačku C povlačimo prave paralelne sa linijama koje prolaze kroz parove tačaka O, A i O, B. Označavajući tačke preseka kao A" i B", dobijamo paralelogram OA"CB", dakle, OC" = OA" + OB". Vektor OA" i vektor različit od nule a = OA su kolinearni, pa se prvi od njih može dobiti množenjem drugog sa realnim brojem α:OA" = αOA. Slično, OB" = βOB, β ∈ R. Kao rezultat dobijamo da je OC" = α OA. + βOB, tj. vektor c je linearna kombinacija vektora a i b. Prema teoremi 2.1, vektori a, b, c su linearno zavisni.

Teorema 2.4. Svaka četiri vektora su linearno zavisna.

◄ Dokaz izvodimo prema istoj shemi kao u teoremi 2.3. Razmotrimo proizvoljna četiri vektora a, b, c i d. Ako je jedan od četiri vektora nula, ili među njima postoje dva kolinearna vektora, ili su tri od četiri vektora koplanarna, onda su ova četiri vektora linearno zavisna. Na primjer, ako su vektori a i b kolinearni, onda možemo napraviti njihovu linearnu kombinaciju αa + βb = 0 sa koeficijentima koji nisu nula, a zatim dodati preostala dva vektora ovoj kombinaciji, uzimajući nule kao koeficijente. Dobijamo linearnu kombinaciju četiri vektora jednaka 0, u kojoj postoje koeficijenti različiti od nule.

Dakle, možemo pretpostaviti da među odabrana četiri vektora nijedan vektor nije nula, nijedna dva nisu kolinearna i nijedna tri nisu komplanarna. Odaberimo tačku O kao njihov zajednički početak. Tada će krajevi vektora a, b, c, d biti neke tačke A, B, C, D (slika 2.2). Kroz tačku D povučemo tri ravni paralelne sa ravnima OBC, OCA, OAB, i neka su A", B", C" tačke preseka ovih ravni sa pravim OA, OB, OS, redom. Dobijamo paralelepiped OA" C "B" C" B"DA", a vektori a, b, c leže na njegovim ivicama koje izlaze iz vrha O. Pošto je četvorougao OC"DC" paralelogram, onda je OD = OC" + OC "Zauzvrat, segment OC" je dijagonala OA"C"B", dakle OC" = OA" + OB" i OD = OA" + OB" + OC" .

Ostaje napomenuti da su parovi vektora OA ≠ 0 i OA" , OB ≠ 0 i OB" , OC ≠ 0 i OC" kolinearni, te je stoga moguće odabrati koeficijente α, β, γ tako da OA" = αOA , OB" = βOB i OC" = γOC. Konačno dobijamo OD = αOA + βOB + γOC. Posljedično, OD vektor je izražen kroz ostala tri vektora, a sva četiri vektora, prema teoremi 2.1, su linearno zavisna.

a 1 = { 3, 5, 1 , 4 }, a 2 = { –2, 1, -5 , -7 }, a 3 = { -1, –2, 0, –1 }.

Rješenje. Tražimo opšte rešenje za sistem jednačina

a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 = Θ

Gaussova metoda. Da bismo to učinili, pišemo ovaj homogeni sistem u koordinatama:

System Matrix

Dozvoljeni sistem ima oblik: (r A = 2, n= 3). Sistem je kooperativan i neizvjestan. Njegovo generalno rješenje ( x 2 – slobodna varijabla): x 3 = 13x 2 ; 3x 1 – 2x 2 – 13x 2 = 0 => x 1 = 5x 2 => X o = . Prisustvo određenog rješenja različitog od nule, na primjer, ukazuje da su vektori a 1 , a 2 , a 3 linearno zavisna.

Primjer 2.

Saznajte da li je dati sistem vektora linearno zavisan ili linearno nezavisan:

1. a 1 = { -20, -15, - 4 }, a 2 = { –7, -2, -4 }, a 3 = { 3, –1, –2 }.

Rješenje. Razmotrimo homogeni sistem jednačina a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 = Θ

ili u proširenom obliku (po koordinatama)

Sistem je homogen. Ako je nedegenerisan, onda ima jedinstveno rješenje. U slučaju homogenog sistema, postoji nulto (trivijalno) rešenje. To znači da je u ovom slučaju sistem vektora nezavisan. Ako je sistem degenerisan, onda ima rješenja različita od nule i stoga je zavisan.

Provjeravamo sistem na degeneraciju:

= –80 – 28 + 180 – 48 + 80 – 210 = – 106 ≠ 0.

Sistem je nedegenerisan, a samim tim i vektori a 1 , a 2 , a 3 linearno nezavisna.

Zadaci. Saznajte da li je dati sistem vektora linearno zavisan ili linearno nezavisan:

1. a 1 = { -4, 2, 8 }, a 2 = { 14, -7, -28 }.

2. a 1 = { 2, -1, 3, 5 }, a 2 = { 6, -3, 3, 15 }.

3. a 1 = { -7, 5, 19 }, a 2 = { -5, 7 , -7 }, a 3 = { -8, 7, 14 }.

4. a 1 = { 1, 2, -2 }, a 2 = { 0, -1, 4 }, a 3 = { 2, -3, 3 }.

5. a 1 = { 1, 8 , -1 }, a 2 = { -2, 3, 3 }, a 3 = { 4, -11, 9 }.

6. a 1 = { 1, 2 , 3 }, a 2 = { 2, -1 , 1 }, a 3 = { 1, 3, 4 }.

7. a 1 = {0, 1, 1 , 0}, a 2 = {1, 1 , 3, 1}, a 3 = {1, 3, 5, 1}, a 4 = {0, 1, 1, -2}.

8. a 1 = {-1, 7, 1 , -2}, a 2 = {2, 3 , 2, 1}, a 3 = {4, 4, 4, -3}, a 4 = {1, 6, -11, 1}.

9. Dokazati da će sistem vektora biti linearno zavisan ako sadrži:

a) dva jednaka vektora;

b) dva proporcionalna vektora.

Linearna zavisnost vektora

Prilikom rješavanja različitih problema, po pravilu se ne mora raditi s jednim vektorom, već sa određenim skupom vektora iste dimenzije. Takvi agregati se nazivaju sistem vektora i označiti

Definicija.Linearna kombinacija vektora naziva se vektor oblika

gdje su realni brojevi. Za vektor se također kaže da je linearno izražen u terminima vektora ili da je dekomponovan u tim vektorima.

Na primjer, neka su data tri vektora: , , . Njihova linearna kombinacija sa koeficijentima 2, 3 i 4 je vektor

Definicija. Skup svih mogućih linearnih kombinacija sistema vektora naziva se linearni raspon ovog sistema.

Definicija. Sistem vektora koji nisu nula se naziva linearno zavisna, ako postoje brojevi koji nisu istovremeno jednaki nuli, tako da je linearna kombinacija datog sistema sa naznačenim brojevima jednaka nultom vektoru:

Ako je posljednja jednakost za dati sistem vektora moguća samo za , tada se ovaj sistem vektora naziva linearno nezavisna.

Na primjer, sistem dva vektora je linearno nezavisan; sistem dva vektora i linearno je zavisna, budući da .

Neka je sistem vektora (19) linearno zavisan. Odaberimo član u zbiru (20) u kojem je koeficijent , i izrazimo ga kroz preostale članove:

Kao što se vidi iz ove jednakosti, pokazalo se da je jedan od vektora linearno zavisnog sistema (19) izražen preko drugih vektora ovog sistema (ili je proširen u smislu njegovih preostalih vektora).

Svojstva linearno zavisnog vektorskog sistema

1. Sistem koji se sastoji od jednog vektora različitog od nule je linearno nezavisan.

2. Sistem koji sadrži nulti vektor uvijek je linearno zavisan.

3. Sistem koji sadrži više od jednog vektora je linearno zavisan ako i samo ako među njegovim vektorima postoji barem jedan vektor koji je linearno izražen u terminima ostalih.

Geometrijsko značenje linearnog odnosa u slučaju dvodimenzionalnih vektora na ravni: kada je jedan vektor izražen kroz drugi, imamo, tj. ovi vektori su kolinearni, ili što je isto, locirani na paralelnim linijama.

U prostornom slučaju linearne zavisnosti tri vektora, oni su paralelni jednoj ravni, tj. komplanarno. Dovoljno je "ispraviti" dužine ovih vektora odgovarajućim faktorima tako da jedan od njih postane zbir druga dva ili se izrazi kroz njih.

Teorema. U prostoru, svaki sistem koji sadrži vektore je linearno zavisan na .

Primjer. Saznajte da li su vektori linearno zavisni.

Rješenje. Napravimo vektorsku jednakost. Pisanjem u obliku vektora stupca, dobijamo

Tako se problem sveo na rješavanje sistema

Rešimo sistem Gausovom metodom:

Kao rezultat, dobijamo sistem jednačina:

koji ima beskonačan broj rješenja, među kojima sigurno postoji jedno nenulto jedno, dakle, vektori su linearno zavisni.