Preuzmite sa Depositfiles

Trostruki integral.

Kontrolna pitanja.

Trostruki integral, njegova svojstva.

Promjena varijabli u trostrukom integralu. Proračun trostrukog integrala u cilindričnim koordinatama.

Proračun trostrukog integrala u sfernim koordinatama.

Neka funkcija u= f(x,y,z) definisano u ograničenom zatvorenom regionu V prostor R 3. Podijelimo područje V nasumično uključeno n elementarno zatvoreni prostori V 1 , … ,V n, koji ima zapremine  V 1 , …,  V n respektivno. Označimo d– najveći od prečnika područja V 1 , … ,V n. U svakoj oblasti V k izaberite proizvoljnu tačku P k (x k , y k ,z k) i šminku integralni zbir funkcije f(x, y,z)

S =

Definicija.Trostruki integral od funkcije f(x, y,z) po regionu V naziva se granica integralnog zbira
, ako postoji.

dakle,

(1)

Komentar. Kumulativna suma S zavisi kako je prostor podeljen V i odabir bodova P k (k=1, …, n). Međutim, ako postoji granica, onda to ne zavisi od načina na koji je region podeljen V i odabir bodova P k. Ako uporedite definicije dvostrukih i trostrukih integrala, lako je vidjeti potpunu analogiju u njima.

Dovoljan uslov za postojanje trostrukog integrala. Trostruki integral (13) postoji ako je funkcija f(x, y,z) ograničeno u V i kontinuirano je u V, s izuzetkom konačnog broja komadno glatkih površina smještenih u V.

Neka svojstva trostrukog integrala.

1) Ako WITH onda je numerička konstanta

3) Aditivnost po površini. Ako područje V podijeljena na oblasti V 1 I V 2, onda

4) Volumen tijela V jednaki

(2 )

Izračunavanje trostrukog integrala u kartezijanskim koordinatama.

Neka D projekcija tela V u avion xOy, površine z=φ 1 (x,y),z=φ 2 (x, y) ograničiti tijelo V ispod i iznad. To znači da

V = {(x, y, z): (x, y)D , φ 1 (x,y)≤ z ≤ φ 2 (x,y)}.

Nazovimo takvo tijelo z-cilindrični. Trostruki integral (1) preko z-cilindrično telo V izračunava se prelaskom na iterirani integral koji se sastoji od dvostrukog i određenog integrala:

(3 )

U ovom iteriranom integralu prvo se vrednuje unutrašnji definitivni integral nad promenljivom z, pri čemu x, y smatraju se trajnim. Zatim se izračunava dvostruki integral rezultujuće funkcije po površini D.

Ako V x- cilindrični ili y- cilindrično tijelo, tada su sljedeće formule tačne:

U prvoj formuli D  projekcija tela V na koordinatnu ravan yOz, a u drugom - do aviona xOz

Primjeri. 1) Izračunajte zapreminu tela V, ograničen površinama z = 0, x 2 + y 2 = 4, z = x 2 + y 2 .

Rješenje. Izračunajmo zapreminu koristeći trostruki integral prema formuli (2)

Prijeđimo na ponovljeni integral koristeći formulu (3).

Neka D- krug x 2 + y 2 ≤ 4, φ 1 (x , y ) = 0, φ 2 (x , y )= x 2 + y 2. Zatim, koristeći formulu (3), dobijamo

Da bismo izračunali ovaj integral, prijeđimo na polarne koordinate. U isto vrijeme, krug D pretvara u skup

D r = { (r , φ ) : 0 ≤ φ < 2 π , 0 ≤ r ≤ 2} .

2) Telo V ograničeno na površine z=y , z= –y , x= 0 , x= 2, y= 1. Izračunajte

Avioni z = y , z = –y ograničiti tijelo, odnosno odozdo i odozgo, ravnima x= 0 , x= 2 ograničavaju tijelo sa stražnje i prednje strane, odnosno u ravnini y= 1 granica desno. V –z- cilindrično tijelo, njegova projekcija D u avion xOy je pravougaonik OABC. Hajde da stavimo φ 1 (x , y ) = –y

Neka imamo dva pravougaona koordinatna sistema u prostoru i
, i sistem funkcija

(1)

koji uspostavljaju korespondenciju jedan-na-jedan između tačaka u nekim oblastima
I
u ovim koordinatnim sistemima. Pretpostavimo da funkcije sistema (1) imaju
kontinuirani parcijalni derivati. Odrednica sastavljena od ovih parcijalnih izvoda

,

naziva se Jakobijan (ili Jacobijeva determinanta) sistema funkcija (1). Pretpostavićemo to
V
.

Pod gore navedenim pretpostavkama, vrijedi sljedeća opća formula za promjenu varijabli u trostrukom integralu:

Kao iu slučaju dvostrukog integrala, međusobna jedinstvenost sistema (1) i uslova
može biti narušena na pojedinačnim tačkama, na pojedinačnim linijama i na pojedinačnim površinama.

Sistem funkcija (1) za svaku tačku
odgovara jednoj tački
. Ova tri broja
se nazivaju krivolinijske koordinate tačke . Tačke prostora
, za koje jedna od ovih koordinata ostaje konstantna, formiraju tzv. koordinatnu površinu.

II Trostruki integral u cilindričnim koordinatama

Cilindrični koordinatni sistem (CSS) je definisan ravninom
, u kojem je specificiran polarni koordinatni sistem i osa
, okomito na ovu ravan. Cilindrične koordinate tačke
, Gdje
– polarne koordinate tačke – projekcije t čaše u avion
, A – ovo su koordinate projekcije tačke po osi
ili
.

U avionu
Unesimo kartezijanske koordinate na uobičajen način, usmjerimo primijenjenu os duž ose
CSK. Sada nije teško dobiti formule koje povezuju cilindrične koordinate s kartezijanskim:

(3)

Ove formule mapiraju područje u cijeli prostor
.

Koordinatne površine u slučaju koji se razmatra bit će:

1)
– cilindrične površine sa generatricijama paralelnim sa osi
, čiji su vodiči krugovi u ravni
, centriran u tački ;

2)

;

3)
– ravni paralelne sa ravninom
.

Jakobijan sistema (3):

.

Opća formula u slučaju CSK ima oblik:

Napomena 1 . Prijelaz na cilindrične koordinate preporučuje se u slučaju kada je područje integracije kružni cilindar ili konus, ili paraboloid okretanja (ili njihovi dijelovi), a os ovog tijela poklapa se s osom aplikacije
.

Napomena 2. Cilindrične koordinate se mogu generalizirati na isti način kao i polarne koordinate u ravni.

Primjer 1. Izračunajte trostruki integral funkcije

po regionu
, koji predstavlja unutrašnji dio cilindra
, omeđen konusom
i paraboloid
.

Rješenje. Već smo razmotrili ovu oblast u §2, primjer 6, i dobili smo standardni unos u DPSC. Međutim, izračunavanje integrala u ovoj regiji je teško. Idemo na CSK:

.

Projekcija
tijelo
u avion
- to je krug
. Dakle, koordinata varira od 0 do
, A – od 0 do R. Kroz proizvoljnu tačku
nacrtati pravu liniju paralelnu sa osom
. Prava linija će ići u
na konusu, ali će izaći na paraboloidu. Ali konus
ima jednačinu u CSC
, i paraboloid
- jednačina
. Tako da imamo

III Trostruki integral u sfernim koordinatama

Sferni koordinatni sistem (SCS) određen je ravninom
, u kojem je specificiran UCS, i os
, okomito na ravan
.

Sferne koordinate tačke prostor se naziva trojka brojeva
, Gdje – polarni ugao projekcije tačke na ravan
,– ugao između osa
i vektor
I
.

U avionu
hajde da uvedemo kartezijanske koordinatne ose
I
na uobičajeni način, a primijenjena os je kompatibilna s osom
. Formule koje povezuju sferne koordinate s kartezijanskim su sljedeće:

(4)

Ove formule mapiraju područje u cijeli prostor
.

Jakobijan sistema funkcija (4):

.

Postoje tri porodice koordinatnih površina:

1)
– koncentrične sfere sa centrom u početku;

2)
– poluravnine koje prolaze kroz osu
;

3)
– kružni stošci sa vrhom u početku koordinata, čija je osa os
.

Formula za prelazak na SSC u trostrukom integralu:

Napomena 3. Prelazak na SCS se preporučuje kada je domen integracije lopta ili njen dio. U ovom slučaju, jednačina sfere
ulazi u. Kao i CSK o kojem smo ranije govorili, CSK je "vezan" za osu
. Ako se središte sfere pomakne za polumjer duž koordinatne osi, tada ćemo dobiti najjednostavniju sfernu jednadžbu kada se pomakne duž osi
:

Napomena 4. SSC je moguće generalizirati:

sa Jacobianom
. Ovaj sistem funkcija će prevesti elipsoid

na "paralelepiped"

Primjer 2. Pronađite prosječnu udaljenost tačaka kugle polumjera iz njegovog centra.

Rješenje. Podsjetimo da je prosječna vrijednost funkcije
u oblasti
je trostruki integral funkcije nad područjem podijeljen volumenom regije. U našem slučaju

Tako da imamo

Procedura za izračunavanje trostrukog integrala je slična odgovarajućoj operaciji za dvostruki integral. Da bismo to opisali, uvodimo koncept regularne trodimenzionalne regije:

Definicija 9.1. Trodimenzionalno područje V ograničeno zatvorenom površinom S naziva se regularno ako:

1. svaka prava linija paralelna sa osom Oz i povučena kroz unutrašnju tačku regiona seče S u dve tačke;
2. čitava oblast V je projektovana na Oxy ravan u pravilnu dvodimenzionalnu oblast D;
3. bilo koji dio područja V, odsječen od njega ravninom koja je paralelna bilo kojoj od koordinatnih ravni, ima svojstva 1) i 2).

Razmotrimo regularnu regiju V, ograničenu ispod i iznad površinama z=χ(x,y) i z=ψ(x,y) i projektovanu na ravan Oxy u regularnu regiju D, unutar koje x varira od a do b, ograničen krivuljama y=φ1(x) i y=φ2(x) (slika 1). Definirajmo kontinuiranu funkciju f(x, y, z) u domeni V.

Definicija 9.2. Nazovimo trostruki integral funkcije f(x, y, z) nad područjem V izrazom oblika:

Trostruki integral ima ista svojstva kao i dvostruki integral. Navodimo ih bez dokaza, jer se dokazuju slično kao u slučaju dvostrukog integrala.

Izračunavanje trostrukog integrala.

Teorema 9.1. Trostruki integral funkcije f(x,y,z) nad regularnom domenom V jednak je trostrukom integralu nad istom domenom:

. (9.3)

Dokaz.

Podijelimo oblast V ravninama paralelnim koordinatnim ravnima na n regularnih regiona. Tada iz svojstva 1 slijedi da

gdje je trostruki integral funkcije f(x,y,z) preko regije.

Koristeći formulu (9.2), prethodna jednakost se može prepisati kao:

Iz uvjeta kontinuiteta funkcije f(x,y,z) slijedi da granica integralnog zbira na desnoj strani ove jednakosti postoji i jednaka je trostrukom integralu. Zatim, prelazeći na granicu na , dobijamo:

Q.E.D.

Komentar.

Slično kao u slučaju dvostrukog integrala, može se dokazati da promjena reda integracije ne mijenja vrijednost trostrukog integrala.

Primjer. Izračunajmo integral gdje je V trouglasta piramida sa vrhovima u tačkama (0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0) i (0, 0, 1). Njegova projekcija na Oxy ravan je trokut sa vrhovima (0, 0), (1, 0) i (0, 1). Područje je odozdo ograničeno ravninom z = 0, a odozgo ravninom x + y + z = 1. Prijeđimo na trostruki integral:

Faktori koji ne zavise od integracione varijable mogu se izvući iz predznaka odgovarajućeg integrala:

Krivolinijski koordinatni sistemi u trodimenzionalnom prostoru.

1. Cilindrični koordinatni sistem.

Cilindrične koordinate tačke P(ρ,φ,z) su polarne koordinate ρ, φ projekcije ove tačke na ravan Oxy i aplikat ove tačke z (slika 2).

Formule za prijelaz iz cilindričnih u kartezijanske koordinate mogu se specificirati na sljedeći način:

x = ρ cosφ, y = ρ sinφ, z = z. (9.4)

1. Sferni koordinatni sistem.

U sfernim koordinatama, položaj tačke u prostoru je određen linearnom koordinatom ρ - rastojanjem od tačke do početka kartezijanskog koordinatnog sistema (ili pola sfernog sistema), φ - polarnim uglom između pozitivnih poluose Ox i projekciju tačke na ravan Oxy, a θ - ugao između pozitivne poluose ose Oz i segmenta OP (slika 3). Gde

Postavimo formule za prijelaz sa sfernih na kartezijanske koordinate:

x = ρ sinθ cosφ, y = ρ sinθ sinφ, z = ρ cosθ. (9.5)

Jakobijan i njegovo geometrijsko značenje.

Razmotrimo opći slučaj promjene varijabli u dvostrukom integralu. Neka je područje D zadano u ravni Oxy, ograničeno linijom L. Pretpostavimo da su x i y jednovrijedne i kontinuirano diferencibilne funkcije novih varijabli u i v:

x = φ(u, v), y = ψ(u, v). (9.6)

Razmotrimo pravougaoni koordinatni sistem Ouv, čija tačka P΄(u, v) odgovara tački P(x, y) iz oblasti D. Sve takve tačke čine oblast D΄ u ravni Ouv, ograničenu prava L΄. Možemo reći da formule (9.6) uspostavljaju korespondenciju jedan prema jedan između tačaka oblasti D i D΄. U ovom slučaju, linije u = const i

v = const u Ouv ravni će odgovarati nekim linijama u ravni Oxy.

Razmotrimo pravougaonu površinu ΔS΄ u ravni Ouv, ograničenu pravim linijama u = const, u+Δu = const, v = const i v+Δv = const. To će odgovarati zakrivljenoj oblasti ΔS u ravni Oxy (slika 4). Područja područja koja se razmatraju također će biti označena sa ΔS΄ i ΔS. U ovom slučaju, ΔS΄ = Δu Δv. Nađimo površinu ΔS. Označimo vrhove ovog krivolinijskog četverokuta P1, P2, P3, P4, gdje je

P1(x1, y1), x1 = φ(u, v), y1 = ψ(u, v);

P2(x2, y2), x2 = φ(u+Δu, v), y2 = ψ(u+Δu, v);

P3(x3, y3), x3 = φ(u+Δu, v+Δv), y3 = ψ(u+Δu, v+Δv);

P4(x4, y4), x4 = φ(u, v+Δv), y4 = ψ(u, v+Δv).

Zamijenimo male inkremente Δu i Δv odgovarajućim diferencijalima. Onda

U ovom slučaju, četverokut P1 P2 P3 P4 se može smatrati paralelogramom i njegova površina se može odrediti pomoću formule iz analitičke geometrije:

(9.7)

Definicija 9.3. Determinanta se naziva funkcionalna determinanta ili Jakobijan funkcija φ(x, y) i ψ(x, y).

Prelazeći do granice na u jednakosti (9.7), dobijamo geometrijsko značenje Jakobijana:

odnosno modul Jakobijana je granica omjera površina infinitezimalnih površina ΔS i ΔS΄.

Komentar. Na sličan način možemo definirati pojam jakobijana i njegovo geometrijsko značenje za n-dimenzionalni prostor: ako je x1 = φ1(u1, u2,…,un), x2 = φ2(u1, u2,…,un) ,…, xn = φ(u1 , u2,…, un), onda

(9.8)

U ovom slučaju, modul Jakobijana daje granicu omjeru “volumena” malih područja prostora x1, x2,..., xn i u1, u2,..., un.

Promjena varijabli u višestrukim integralima.

Proučimo opći slučaj promjene varijabli na primjeru dvostrukog integrala.

Neka je u domeni D data kontinuirana funkcija z = f(x,y), čija svaka vrijednost odgovara istoj vrijednosti funkcije z = F(u, v) u domeni D΄, gdje je

F(u, v) = f(φ(u, v), ψ(u, v)). (9.9)

Razmotrimo integralni zbir

pri čemu je integralni zbir sa desne strane uzet preko domena D΄. Prelaskom do granice na , dobijamo formulu za transformaciju koordinata u dvostruki integral.

Primjeri rješenja proizvoljnih trostrukih integrala.
Fizičke primjene trostrukog integrala

U 2. dijelu lekcije razradit ćemo tehniku ​​rješavanja proizvoljnih trostrukih integrala , čiji integrand funkcija tri varijable u opštem slučaju se razlikuje od konstantnog i kontinuiranog u regionu; te se također upoznati sa fizičkim primjenama trostrukog integrala

Preporučujem novim posjetiteljima da počnu s prvim dijelom, gdje smo pokrili osnovne pojmove i problem pronalaženja volumena tijela pomoću trostrukog integrala. Predlažem da i ostali to malo ponovite. derivati ​​funkcija tri varijable, budući da ćemo u primjerima ovog članka koristiti inverznu operaciju - djelomična integracija funkcije

Osim toga, postoji još jedna važna stvar: ako se ne osjećate dobro, onda je bolje odgoditi čitanje ove stranice ako je moguće. I poenta nije samo u tome da će se složenost proračuna sada povećati - većina trostrukih integrala nema pouzdane metode ručne provjere, pa je krajnje nepoželjno početi ih rješavati u umornom stanju. Za niske tonove je preporučljivo riješi nešto lakše ili se samo opusti (strpljiv sam, čekat ću =)), pa da drugi put svježe glave nastavim razbijati trostruke integrale:

Primjer 13

Izračunaj trostruki integral

U praksi se tijelo također označava slovom, ali to nije baš dobra opcija, jer je "ve" "rezervisano" za oznaku volumena.

Odmah ću vam reći šta NE treba raditi. Nema potrebe za korištenjem svojstva linearnosti i predstavljaju integral u obliku . Mada ako zaista želite, onda možete. Na kraju, postoji mali plus - iako će snimak biti dug, bit će manje zatrpan. Ali ovaj pristup još uvijek nije standardan.

U algoritmu rješenja biće malo novina. Prvo morate razumjeti domen integracije. Projekcija tijela na ravan je bolno poznat trokut:

Tijelo je ograničeno odozgo avion, koji prolazi kroz ishodište. Usput, morate prvo obavezno provjeri(mentalno ili na nacrtu), da li ova ravan "odsijeca" dio trougla. Da bismo to učinili, nalazimo njegovu liniju presjeka s koordinatnom ravninom, tj. Rešavamo najjednostavniji sistem: - Ne, ovaj ravno (nije na crtežu)“prolazi”, a projekcija tijela na ravan zaista predstavlja trougao.

Ni prostorni crtež ovdje nije komplikovan:

Zapravo, bilo je moguće ograničiti se samo na ovo, jer je projekcija vrlo jednostavna. ...Pa ili samo projekcijski crtež, pošto je i tijelo jednostavno =) Međutim, ne crtati baš ništa, podsjećam, loš je izbor.

Pa, naravno, ne mogu a da vas ne obradujem konačnim zadatkom:

Primjer 19

Pronađite težište homogenog tijela ograničenog površinama, . Nacrtajte crteže ovog tijela i njegovu projekciju na ravan.

Rješenje: željeno tijelo je ograničeno koordinatnim ravnima i ravninom, što je pogodno za naknadnu konstrukciju prisutni u segmentima: . Odaberimo "a" kao mjernu jedinicu i napravimo trodimenzionalni crtež:

Crtež već ima gotovu tačku težišta, međutim, mi to još ne znamo.

Projekcija tijela na ravan je očigledna, ali, ipak, da vas podsjetim kako je pronaći analitički - uostalom, takvi jednostavni slučajevi se ne događaju uvijek. Da biste pronašli liniju duž koje se sijeku ravnine, morate riješiti sistem:

Zamjenjujemo vrijednost u 1. jednačinu: i dobijamo jednačinu "ravno" ravno:

Koordinate težišta tijela izračunavamo pomoću formula
, gdje je zapremina tijela.

Trostruki integrali. Proračun zapremine tela.
Trostruki integral u cilindričnim koordinatama

Tri dana je mrtav ležao u dekanatu, obučen u Pitagorine pantalone,
U rukama Fihtenholca držao je knjigu koja ga je donela sa ovog sveta,
Za noge je vezan trostruki integral, a leš je umotan u matricu,
I umjesto molitve, neka drska osoba je pročitala Bernoullijevu teoremu.

Trostruki integrali su nešto čega se ne morate plašiti =) Jer ako čitate ovaj tekst, onda, najverovatnije, dobro razumete teorija i praksa “običnih” integrala, i dvostruki integrali. A gde je duplo, u blizini je trostruko:

I zaista, čega se tu treba bojati? Integral je manji, integral je više...

Pogledajmo snimak:

– trostruka integralna ikona;
– integrand funkcija tri varijable;
– proizvod diferencijala.
– oblast integracije.

Hajde da se posebno fokusiramo na oblasti integracije. Ako u dvostruki integral to predstavlja ravna figura, onda ovdje – prostorno tijelo, koji je, kao što je poznato, ograničen skupom površine. Dakle, pored gore navedenog, morate navigirati glavne površine prostora i biti u stanju napraviti jednostavne trodimenzionalne crteže.

Neki su depresivni, razumem... Nažalost, članak ne može biti naslovljen kao "trostruki integrali za lutke", a postoje neke stvari koje morate znati/biti u stanju učiniti. Ali u redu je - sav materijal je predstavljen u izuzetno pristupačnom obliku i može se savladati u najkraćem mogućem roku!

Šta znači izračunati trostruki integral i koliko je on paran?

Za izračunavanje trostrukog integrala znači pronađite BROJ:

U najjednostavnijem slučaju, kada trostruki integral je numerički jednak zapremini tela. I zaista, prema opšte značenje integracije, proizvod je jednak infinitezimal zapremine elementarne „cigle“ tela. A trostruki integral je pravedan ujedinjuje sve ovo beskonačno male čestice po površini, što rezultira integralnom (ukupnom) vrijednošću zapremine tijela: .

Osim toga, trostruki integral je važan fizičke aplikacije. Ali više o tome kasnije - u 2. dijelu lekcije, posvećenom proračuni proizvoljnih trostrukih integrala, za koju je funkcija u općem slučaju različita od konstante i kontinuirana je u području. U ovom članku ćemo detaljno razmotriti problem pronalaženja volumena, koji se, prema mojoj subjektivnoj procjeni, javlja 6-7 puta češće.

Kako riješiti trostruki integral?

Odgovor logično proizlazi iz prethodnog pasusa. Treba utvrditi redosled obilaženja tela i idi na iterirani integrali. Zatim pozabavite tri pojedinačna integrala uzastopno.

Kao što vidite, cijela kuhinja vrlo, vrlo podsjeća dvostruki integrali, s tom razlikom što smo sada dodali dodatnu dimenziju (grubo rečeno, visinu). I, vjerovatno, mnogi od vas su već pogodili kako se rješavaju trostruki integrali.

Otklonimo sve preostale sumnje:

Primjer 1

Molimo zapišite u kolonu na papiru:

I odgovorite na sljedeća pitanja. Znate li koje površine definiraju ove jednačine? Razumijete li neformalno značenje ovih jednačina? Možete li zamisliti kako se ove površine nalaze u svemiru?

Ako ste skloni opštem odgovoru „radije ne nego da“, onda svakako prođite kroz lekciju, inače nećete napredovati dalje!

Rješenje: koristimo formulu.

Da bi saznali redosled obilaženja tela i idi na iterirani integrali trebate (sve genijalno je jednostavno) da shvatite kakvo je ovo tijelo. I u mnogim slučajevima crteži uvelike doprinose takvom razumijevanju.

Po stanju, tijelo je ograničeno s nekoliko površina. Gdje početi graditi? Predlažem sledeću proceduru:

Prvo da oslikamo paralelno ortogonalno projekcija tijela na koordinatnu ravan. Prvi put sam rekao kako se zove ova projekcija, lol =)

Budući da se projekcija vrši duž osi, prije svega je preporučljivo pozabaviti se površine, koje su paralelne ovoj osi. Dozvolite mi da vas podsjetim da su jednačine takvih površina ne sadrže slovo "z". Tri su od njih u problemu koji se razmatra:

– jednačina određuje koordinatnu ravan koja prolazi kroz osu;
– jednačina određuje koordinatnu ravan koja prolazi kroz osu;
– postavlja jednačina avion "ravne" prave linije paralelno sa osom.

Najvjerovatnije, željena projekcija je sljedeći trokut:

Možda nisu svi u potpunosti razumjeli o čemu govorimo. Zamislite da osovina izlazi iz ekrana monitora i zabija se direktno u most vašeg nosa ( one. ispada da gledate 3-dimenzionalni crtež odozgo). Proučavano prostorno tijelo nalazi se u beskrajnom trougaonom “hodniku” i njegova projekcija na ravan najvjerovatnije predstavlja osenčeni trougao.

Posebno bih skrenuo pažnju na činjenicu da smo se izrazili samo pretpostavka projekcije a klauzule “najvjerovatnije” i “najvjerovatnije” nisu bile slučajne. Činjenica je da još nisu analizirane sve površine i da se može desiti da jedna od njih “odsječe” dio trougla. Kao jasan primjer, ovo sugerira sfera sa centrom u početku poluprečnika manjim od jedan, na primjer, sfera – njegova projekcija na ravan (krug ) neće u potpunosti "pokriti" zasjenjeno područje, a konačna projekcija tijela uopće neće biti trokut (krug će "odsjeći" svoje oštre uglove).

U drugoj fazi otkrivamo kako je tijelo ograničeno odozgo i odozdo i izvodimo prostorni crtež. Vratimo se na iskaz problema i vidimo koje površine ostaju. Jednačina specificira samu koordinatnu ravan, a jednačina – parabolični cilindar, nalazi se gore ravni i prolazi kroz osu. Dakle, projekcija tijela je zaista trokut.

Usput, našao sam ga ovdje redundantnost uslovi - nije bilo potrebno uključiti jednadžbu ravnine, jer površina, dodirujući osu apscise, već zatvara tijelo. Zanimljivo je primijetiti da u ovom slučaju ne bismo mogli odmah nacrtati projekciju – trokut bi se „crtao“ tek nakon analize jednačine.

Pažljivo oslikajmo fragment paraboličnog cilindra:

Nakon završetka crteža sa redosled hodanja po telu nema problema!

Prvo određujemo redoslijed obilaženja projekcije (istovremeno je PUNO POVOLJNIJE navigirati pomoću dvodimenzionalnog crteža). Gotovo je UPRAVO ISTO, Kao u dvostruki integrali! Zamislite laserski pokazivač i skeniranje ravnog područja. Odaberimo "tradicionalnu" 1. metodu zaobilaženja:

Zatim uzimamo čarobni fenjer, gledamo trodimenzionalni crtež i striktno odozdo prema gore Osvetljavamo pacijenta. Zraci ulaze u tijelo kroz ravan i izlaze kroz površinu. Dakle, redoslijed prelaska tijela je:

Pređimo na ponovljene integrale:

1) Trebali biste početi sa “zeta” integralom. Koristimo Newton-Leibnizova formula:

Zamijenimo rezultat u integral "igre":

Šta se desilo? U suštini, rješenje je svedeno na dvostruki integral, i to upravo na formulu zapremine cilindrične grede! Ono što slijedi poznato je:

2)

Obratite pažnju na racionalnu tehniku ​​rješavanja 3. integrala.

Odgovori:

Izračuni se uvijek mogu napisati u "jednom redu":


Ali budite oprezni s ovom metodom - dobitak u brzini prepun je gubitka kvalitete, a što je primjer složeniji, veća je šansa da napravite grešku.

Odgovorimo na jedno važno pitanje:

Da li je potrebno izraditi crteže ako uslovi zadatka ne zahtijevaju njihovu implementaciju?

Možete ići na četiri načina:

1) Nacrtajte projekciju i samo tijelo. Ovo je najpovoljnija opcija - ako imate priliku da dovršite dva pristojna crteža, nemojte biti lijeni, napravite oba crteža. Prvo ga preporučujem.

2) Nacrtajte samo tijelo. Pogodno kada tijelo ima jednostavnu i očiglednu projekciju. Tako bi, na primjer, u rastavljenom primjeru bio dovoljan trodimenzionalni crtež. Međutim, postoji i minus - nezgodno je odrediti redoslijed prelaska projekcije sa 3D slike, a ovu metodu bih preporučio samo osobama sa dobrim nivoom obuke.

3) Nacrtajte samo projekciju. To također nije loše, ali tada su potrebni dodatni pisani komentari, što ograničava prostor sa raznih strana. Nažalost, treća opcija je često prisiljena - kada je tijelo preveliko ili je njegova konstrukcija prepuna drugih poteškoća. I mi ćemo također razmotriti takve primjere.

4) Uopšte bez crteža. U ovom slučaju, morate mentalno zamisliti tijelo i pismeno komentirati njegov oblik/lokaciju. Pogodno za vrlo jednostavna tijela ili zadatke gdje je izvođenje oba crteža teško. Ali ipak je bolje napraviti barem šematski crtež, jer "golo" rješenje može biti odbačeno.

Sljedeće tijelo je za samostalan rad:

Primjer 2

Koristeći trostruki integral, izračunaj volumen tijela ograničenog površinama

U ovom slučaju, domen integracije je specificiran prvenstveno nejednakostima, a ovo je još bolje - skupom nejednakosti definira 1. oktant, uključujući koordinatne ravni, i nejednakost – poluprostor, koji sadrži porijeklo (ček)+ sam avion. „Okomita“ ravan seče paraboloid duž parabole, te je poželjno da se ovaj presek konstruiše na crtežu. Da biste to učinili, morate pronaći dodatnu referentnu tačku, najlakši način je vrh parabole (mi uzimamo u obzir vrijednosti i izračunaj odgovarajući "zet").

Nastavimo sa zagrijavanjem:

Primjer 3

Koristeći trostruki integral, izračunaj zapreminu tijela ograničenog naznačenim površinama. Izvršite crtež.

Rješenje: Formulacija “izvrši crtež” nam daje određenu slobodu, ali najvjerovatnije podrazumijeva izvođenje prostornog crteža. Međutim, ni projekcija neće škoditi, pogotovo što ovdje nije najjednostavnije.

Držimo se ranije dokazane taktike - prvo ćemo se pozabaviti površine, koji su paralelni sa osom aplikacije. Jednadžbe takvih površina ne sadrže eksplicitno varijablu “ze”:

– jednačina specificira koordinatnu ravan koja prolazi kroz osu ( koji je na ravni određen "eponimnom" jednadžbom);
– postavlja jednačina avion, prolazeći kroz “eponim” "ravne" prave linije paralelno sa osom.

Željeno tijelo ograničeno je ravninom ispod i parabolični cilindar gore:

Napravimo redoslijed obilaženja tijela, dok su granice integracije "X" i "Y", podsjećam, prikladnije saznati pomoću dvodimenzionalnog crteža:

ovako:

1)

Kada se integrira preko “y”, “x” se smatra konstantom, pa je preporučljivo da se konstanta odmah izvadi iz predznaka integrala.

3)

Odgovori:

Da, skoro sam zaboravio, u većini slučajeva je od male koristi (pa čak i štetno) provjeravati rezultat dobiven trodimenzionalnim crtežom, jer s velikom vjerovatnoćom iluzija volumena, o čemu sam pričao na času Volumen tijela revolucije. Dakle, procjenjujući tijelo razmatranog problema, meni se lično činilo da ima mnogo više od 4 “kocke”.

Sljedeći primjer za nezavisno rješenje:

Primjer 4

Koristeći trostruki integral, izračunaj zapreminu tijela ograničenog naznačenim površinama. Nacrtajte ovo tijelo i njegovu projekciju na ravan.

Približan primjer zadatka na kraju lekcije.

Nije neuobičajeno kada je izvođenje trodimenzionalnog crteža teško:

Primjer 5

Koristeći trostruki integral, pronađite volumen tijela dat njegovim graničnim površinama

Rješenje: projekcija ovdje nije komplikovana, ali morate razmisliti o redoslijedu prelaska. Ako odaberete prvu metodu, tada će se cifra morati podijeliti na 2 dijela, što ozbiljno prijeti izračunavanjem sume dva trostruki integrali. U tom smislu, drugi put izgleda mnogo obećavajući. Izrazimo i oslikajmo projekciju ovog tijela na crtežu:

Izvinjavam se zbog kvaliteta nekih slika, izrezao sam ih direktno iz vlastitih rukopisa.

Biramo povoljniji redoslijed prelaska figure:

Sada je na tijelu. Odozdo je ograničen ravninom, odozgo - ravninom koja prolazi kroz ordinatnu osu. I sve bi bilo u redu, ali zadnji avion je prestrm i nije tako lako izgraditi područje. Izbor je ovdje nezavidan: ili rad s nakitom u malom obimu (pošto je tijelo prilično tanko), ili crtež visok oko 20 centimetara (pa i tada, ako stane).

Ali postoji i treći, izvorni ruski način rješavanja problema - postići rezultat =) I umjesto trodimenzionalnog crteža, zadovoljite se verbalnim opisom: „Ovo tijelo je ograničeno cilindrima i avion sa strane, avion odozdo i avion odozgo.”

"Okomite" granice integracije su očigledno:

Izračunajmo volumen tijela, ne zaboravljajući da smo projekciju zaobišli na manje uobičajen način:

1)

Odgovori:

Kao što ste primijetili, tijela predložena u problemima koja nisu skuplja od sto dolara često su ograničena avionom ispod. Ali to nije pravilo, tako da uvijek morate biti na oprezu - možete naići na zadatak gdje se nalazi tijelo i ispod stan Tako, na primjer, ako u analiziranom problemu umjesto toga uzmemo u obzir ravan, tada će ispitivano tijelo biti simetrično preslikano u donji poluprostor i biće ograničeno ravninom odozdo, a ravninom odozgo!

Lako je vidjeti da dobijate isti rezultat:

(zapamtite da se tijelom treba šetati striktno odozdo prema gore!)

Osim toga, "omiljena" ravan se uopće ne može koristiti najjednostavniji primjer: lopta koja se nalazi iznad ravnine - pri izračunavanju njenog volumena, jednadžba uopće neće biti potrebna.

Mi ćemo razmotriti sve ove slučajeve, ali za sada postoji sličan zadatak koji možete sami riješiti:

Primjer 6

Koristeći trostruki integral, pronađite volumen tijela ograničenog površinama

Kratko rješenje i odgovor na kraju lekcije.

Pređimo na drugi pasus sa jednako popularnim materijalima:

Trostruki integral u cilindričnim koordinatama

Cilindrične koordinate su, u suštini, polarne koordinate u svemiru.
U cilindričnom koordinatnom sistemu, položaj tačke u prostoru je određen polarnim koordinatama tačke - projekcijom tačke na ravan i primenom same tačke.

Prelazak sa trodimenzionalnog kartezijanskog sistema na cilindrični koordinatni sistem se vrši prema sledećim formulama:

U odnosu na našu temu, transformacija izgleda ovako:

I, shodno tome, u pojednostavljenom slučaju koji razmatramo u ovom članku:

Glavna stvar je da ne zaboravite na dodatni "er" množitelj i pravilno ga postavite polarne granice integracije prilikom prelaska projekcije:

Primjer 7

Rješenje: pridržavamo se iste procedure: prije svega, razmatramo jednačine u kojima nema “z” varijable. Ovdje je samo jedan. Projekcija cilindrična površina na avionu predstavlja "eponim" krug .

Avioni ograničavaju željeno tijelo odozdo i odozgo ("isecite" ga iz cilindra) i projektuju ga u krug:

Sljedeći je trodimenzionalni crtež. Glavna poteškoća leži u konstruisanju ravni koja siječe cilindar pod "kosim" uglom, što rezultira elipsa. Pojasnimo ovaj odjeljak analitički: da bismo to učinili, prepisujemo jednadžbu ravnine u funkcionalnom obliku i izračunajte vrijednosti funkcije ("visine") u očiglednim točkama koje leže na granici projekcije:

Pronađene tačke označavamo na crtežu i pažljivo (ne kao ja =)) povežite ih linijom:

Projekcija tijela na ravan je krug, a ovo je jak argument u prilog prelaska na cilindrični koordinatni sistem:

Nađimo jednadžbe površina u cilindričnim koordinatama:

Sada morate shvatiti redoslijed prelaska tijela.

Prvo, pozabavimo se projekcijom. Kako odrediti njegov redoslijed prelaska? TAKO ISTO KAO I SA izračunavanje dvostrukih integrala u polarnim koordinatama. Evo elementarno:

„Okomite“ granice integracije su takođe očigledne – ulazimo u telo kroz ravan i izlazimo iz njega kroz ravan:

Pređimo na ponovljene integrale:

U ovom slučaju odmah stavljamo faktor “er” u “naš” integral.

Kao i obično, metlu je lakše razbiti duž grančica:

1)

Rezultat stavljamo u sljedeći integral:

I ovdje ne zaboravljamo da se "phi" smatra konstantom. Ali ovo je za sada:

Odgovori:

Sličan zadatak koji ćete sami riješiti:

Primjer 8

Izračunajte volumen tijela ograničenog površinama pomoću trostrukog integrala. Nacrtajte crteže ovog tijela i njegovu projekciju na ravan.

Približan uzorak konačnog dizajna na kraju lekcije.

Napominjemo da se u uslovima problema ne govori ni riječi o prelasku na cilindrični koordinatni sistem, a neupućena osoba će se boriti sa teškim integralima u Dekartovim koordinatama. ...Ili možda neće - ipak postoji treći, originalni ruski način rješavanja problema =)

Tek počinje! ...na dobar način :)

Primjer 9

Koristeći trostruki integral, pronađite volumen tijela ograničenog površinama

Skroman i ukusan.

Rješenje: ovo tijelo je ograničeno konusna površina I eliptični paraboloid. Čitatelji koji su pažljivo pročitali materijale članka Osnovne površine prostora, već smo zamislili kako tijelo izgleda, ali u praksi se često susreću složeniji slučajevi, pa ću provesti detaljna analitička rezonovanja.

Prvo, nalazimo linije duž kojih se sijeku površine. Sastavimo i riješimo sljedeći sistem:

Od prve jednačine oduzimamo drugi član po član:

Rezultat su dva korijena:

Zamenimo pronađenu vrednost u bilo koju jednačinu sistema:
, iz čega proizlazi da
Dakle, korijen odgovara jednoj tački - ishodištu. Naravno, jer se vrhovi razmatranih površina poklapaju.

Sada zamijenimo drugi korijen - također u bilo koju jednačinu sistema:

Koje je geometrijsko značenje dobijenog rezultata? „Na visini“ (u ravni) paraboloid i konus se sijeku duž krug– jedinični polumjer sa centrom u tački .

U ovom slučaju, "zdjela" paraboloida sadrži "lijevak" stošca, dakle formiranje Konusnu površinu treba nacrtati isprekidanom linijom (osim segmenta generatrikse koji je najudaljeniji od nas, koji je vidljiv iz ovog ugla):

Projekcija tijela na ravan je krug sa centrom na početku poluprečnika 1, što se nisam ni potrudio da prikažem zbog očiglednosti ove činjenice (međutim, dajemo pisani komentar!). Inače, u prethodna dva zadatka mogao bi se bodovati i crtež projekcije, da nije uslov.

Prilikom prelaska na cilindrične koordinate pomoću standardnih formula, nejednakost se ispisuje u najjednostavnijem obliku i nema problema s redoslijedom prelaska projekcije:

Nađimo jednadžbe površina u cilindričnom koordinatnom sistemu:

Budući da problem razmatra gornji dio konusa, izražavamo iz jednačine:

“Skeniramo tijelo” odozdo prema gore. Zraci svjetlosti ulaze u njega kroz eliptični paraboloid i izlaze kroz konusnu površinu. Dakle, "vertikalni" redoslijed prelaska tijela je:

Ostalo je stvar tehnike:

Odgovori:

Nije neuobičajeno da se tijelo definira ne svojim graničnim površinama, već nizom nejednakosti:

Primjer 10

Geometrijsko značenje prostornih nejednakosti dovoljno sam detaljno objasnio u istom referentnom članku - Osnovne površine prostora i njihova konstrukcija.

Iako ovaj zadatak sadrži parametar, on omogućava izvođenje tačnog crteža koji odražava osnovni izgled tijela. Razmislite o tome kako izgraditi. Kratko rješenje i odgovor nalaze se na kraju lekcije.

...pa, još par zadataka? Razmišljao sam da završim lekciju, ali osjećam da želiš još =)

Primjer 11

Koristeći trostruki integral, izračunaj zapreminu datog tijela:
, gdje je proizvoljan pozitivan broj.

Rješenje: nejednakost definira loptu sa centrom u početku radijusa , i nejednakosti – „unutrašnjost“ kružnog cilindra sa osom simetrije poluprečnika. Dakle, željeno tijelo je ograničeno kružnim cilindrom sa strane i sfernim segmentima simetričnim u odnosu na ravan na vrhu i dnu.

Uzimajući ovo kao osnovnu mjernu jedinicu, nacrtajmo:

Tačnije, trebalo bi ga nazvati crtežom, jer nisam dobro održao proporcije duž ose. Međutim, da budemo pošteni, uvjet nije zahtijevao crtanje bilo čega, a takva ilustracija se pokazala sasvim dovoljnom.

Imajte na umu da ovdje nije potrebno saznati visinu na kojoj cilindar izrezuje "kapice" iz lopte - ako uzmete kompas u ruke i koristite ga da označite krug sa centrom u početnom dijelu polumjera 2 cm, tada će se točke sjecišta s cilindrom pojaviti same.