Dom finansije Pogledajte tabelu i dokažite to uz pomoć. Elementi algebre logike. Pitanja i zadaci

Pogledajte tabelu i dokažite to uz pomoć. Elementi algebre logike. Pitanja i zadaci

1. Popunite tabelu tako što ćete u sistemu decimalnog zapisa upisati brojeve koji odgovaraju brojevima napisanim u rimskom numeričkom sistemu:

2. Pretvorite brojeve iz rimskog sistema brojeva u decimalni broj:

3. Zapišite u rimskom brojevnom sistemu:

4. Zapišite abecede sljedećih pozicionih brojevnih sistema:

5. Abecede kojih pozicionih brojevnih sistema su date u nastavku? Zapišite njihova imena:

6. Zapišite najmanju bazu brojevnog sistema u kojoj se mogu napisati sljedeći brojevi:

7. Zapišite brojeve u proširenom obliku:

8. Izračunajte decimalne ekvivalente sljedećih brojeva:

9. Izračunajte decimalne ekvivalente sljedećih binarnih brojeva:

10. Zapišite maksimalni i minimalni četverocifreni broj:

11. Kalkulator koji radi u ternarnom brojevnom sistemu ima pet poznanika za prikaz brojeva na ekranu. Koji je najveći decimalni broj s kojim ovaj kalkulator može raditi?

12. Navedite brojeve u rastućem redoslijedu:

13. Uporedite brojeve:

14. Izračunajte x za koje su tačne jednakosti:

15. Jedan mudar čovjek je napisao: „Imam 33 godine. Moja majka ima 124 godine, a moj otac 131 godinu. Zajedno imamo 343 godine.” Koji je sistem brojeva koristio mudrac i koliko je imao godina?

16. Jedan čovjek je imao 102 novčića. Podijelio ga je na jednake dijelove između svoje dvoje djece. Svi su dobili po 12 novčića i jedan je ostao. Koji sistem brojeva je korišten i koliko je novčića bilo?

17. Konstruisati crtež na koordinatnoj ravni obeležavanjem i povezivanjem tačaka u navedenom nizu.

18. Konstruirajte crtež na koordinatnoj ravni označavanjem i uzastopnim povezivanjem tačaka:

19. Konstruirajte crtež na koordinatnoj ravni označavanjem i uzastopnim povezivanjem tačaka:

20. Pretvorite cijele brojeve iz decimalnog u binarni:

21. Pretvorite cijele brojeve iz decimalnog u binarni koristeći metodu razlike:

22. Dešifrirajte grafičku sliku predstavljanjem sljedećih decimalnih brojeva u binarnom kodu (upišite svaku binarnu cifru u posebnu ćeliju; zasjeniti ćelije nulama):

23. Koliko 1 ima u binarnom zapisu za decimalni broj?

24. Koliko 0 ima u binarnom zapisu decimalnog broja?

25. Zapišite prirodne cijele brojeve koji pripadaju sljedećim numeričkim intervalima:

26. Pretvorite cijele brojeve iz decimalnog u oktalni:

27. Pretvorite cijele brojeve iz decimalnog u heksadecimalni:

28. Popuni tabelu u kojoj u svaki red treba upisati isti broj u brojevnim sistemima sa osnovom 2, 8, 10 i 16.

29. Izvršite operaciju sabiranja nad binarnim brojevima. Provjerite pretvaranjem termina i zbroja u decimalni brojevni sistem.

30. Izvršite operaciju množenja na binarnim brojevima. Provjerite pretvaranjem faktora i proizvoda u decimalni zapis.

31. Razviti tablice sabiranja i množenja za oktalni brojevni sistem.

32. Riješite jednačinu

33. Na informatičkoj olimpijadi učestvovalo je 30 djevojčica i 50 dječaka i ukupno 100 ljudi. U kom sistemu brojeva se ova informacija bilježi?

34. Pronađite vrijednost izraza K+L+M+N u oktalnom brojevnom sistemu ako:

35. Konstruirajte graf koji odražava odnose osnovnih pojmova na temu “Brajevi sistemi”.

36. Pretvorite broj 1010 iz decimalnog brojnog sistema u binarni sistem brojeva. Koliko jedinica sadrži rezultirajući broj? U svom odgovoru navedite jedan broj - broj jedinica.
Odgovor: 7.

37. Predstavite decimalne brojeve u 8-bitnom formatu bez predznaka.

38. Napišite direktni kod decimalnih brojeva u potpisanom 8-bitnom formatu.

39. Pronađite decimalne ekvivalente brojeva koristeći njihove direktne kodove, napisane u potpisanom 8-bitnom formatu:

40. Napiši sljedeće brojeve u prirodnom obliku:

41. Napišite broj 2014.4102(10) na pet različitih načina u normalnom obliku:

42. Napišite sljedeće brojeve u normalnom obliku sa normaliziranom mantisom - pravim razlomkom koji ima cifru različitu od nule nakon decimalnog zareza:

43. Razmotrite fragment ASCII tablice kodiranja:

Dekodirajte sljedeće tekstove koristeći tablicu kodiranja:

(reklama)
44. Promijenite iz decimalnog u heksadecimalni i dekodirajte sljedeće tekstove:

45. Apstrakt otkucan na računaru sadrži 16 stranica, svaka stranica ima 32 reda, svaki red ima 64 znaka. Odredite količinu informacija članka u Unicode kodiranju, gdje je svaki znak kodiran sa 16 bita.

46. Svaka heksadecimalna znamenka je povezana sa lancem od četiri 0 i 1 (binarna tetrada):
Dešifrirajte grafičke slike zamjenom svake heksadecimalne cifre binarnom tetradom. Obojite ćelije sa nulama.

47. Izračunajte potrebnu količinu video memorije za grafički režim ako je rezolucija ekrana monitora 1024x768, dubina boje 32 bita.

48. Izračunajte potrebnu količinu video memorije za grafički režim ako je rezolucija ekrana monitora 1024x768 i broj boja u paleti je 256.

49. Za pohranjivanje rasterske slike dimenzija 128x64 piksela, dodijeljeno je 8 KB memorije. Koliki je najveći mogući broj boja u paleti slika?

50. Članak otkucan na računaru sadrži 4 stranice, svaka stranica ima 40 redova, svaki red ima 64 znaka. U jednom prikazu Unicode-a, svaki znak je kodiran sa 16 bitova. Odredite količinu informacija članka u ovoj verziji Unicode reprezentacije.
Odgovor: 1) 20 KB.

51. Zapišite jednu tačnu i jednu lažnu tvrdnju iz biologije, geografije, informatike, istorije, matematike, književnosti:

52. U sljedećim tvrdnjama istakni jednostavne, označavajući svaku od njih slovom; zapišite svaki složeni iskaz koristeći slova i znakove logičkih operacija.

53. U tabeli su prikazani upiti i broj stranica pronađenih koristeći ih za određeni segment Interneta.

Koliko stranica (u hiljadama) će se naći za upit ČOKOLADA?

54. U tabeli su prikazani upiti i broj stranica pronađenih koristeći ih za određeni segment Interneta.

Koliko će stranica (u hiljadama) biti pronađeno za upit ZUBR | TOUR?
Riješite problem koristeći Ojlerove krugove:

55. U tabeli su prikazani upiti i broj stranica pronađenih koristeći ih za određeni segment Interneta.

Koliko će stranica (u hiljadama) biti pronađeno za upit FOOTBALL&HOCKEY?
Riješite problem koristeći Ojlerove krugove:

56. Određeni segment Interneta čini 1000 lokacija. Tabela prikazuje upite i broj stranica pronađenih za njih u ovom segmentu mreže:

Koliko će bajtova biti pronađeno za upit BLUEBERRY | MALINA|BRUSNICA?
Riješite problem koristeći Ojlerove krugove:

60. Pronađite vrijednost logičkog izraza za navedene vrijednosti X:

61. Popunite tabelu booleovim vrijednostima:

62. Tri drugara su igrala fudbal u dvorištu i loptom razbila prozor. Vanya je rekao: "Ja sam razbio prozor, Kolya nije razbio prozor." Kolja je rekao: "Nismo ja ili Saša to uradili." Saša je rekao: "Nismo ja ili Vanja to uradili." A baba je sedela na klupi i sve videla. Ona je rekla da je samo jedan dječak oba puta rekao istinu, ali nije rekla ko je razbio prozor. Ko je ovo?

63. Istražuje se slučaj krađe. Za ovaj zločin osumnjičeni su Bragin, Kurgin i Lihodejev. Svaki od njih je dao sljedeće svjedočenje.
Bragin: „Nisam to uradio. Lihodejev je to uradio.”
Lihodejev: "Nisam ja kriv, ali ni Kurgin nema ništa s tim."
Kurgin: „Lihodejev nije kriv. Bragin je počinio zločin.”
Istragom je jasno utvrđeno da su dvije osobe izvršile krađu, osim toga, osumnjičeni su bili zbunjeni u svjedočenju i svaki od njih nije dao potpuno istinit iskaz. Ko je počinio zločin?
Riješite problem popunjavanjem i analizom tabele istinitosti:

64. Na putovanju, pet prijatelja - Anton, Boris, Vadim, Dima i Grisha - susreli su saputnika. Zamolili su je da pogodi njihova prezimena, a svako je dao jednu tačnu i jednu lažnu izjavu:
Dima je rekao: "Moje prezime je Mišin, a Borisovo prezime je Khokhlov."
Anton je rekao: "Mišin je moje prezime, a Vadimovo prezime je Belkin." Boris je rekao: "Vadimovo prezime je Tihonov, a moje prezime je Mišin."
Vadim je rekao: "Moje prezime je Belkin, a Grišino prezime je Čehov."
Griša je rekao: "Da, moje prezime je Čehov, a Antonovo prezime je Tihonov."
Koje prezime nosi svaki od tvojih prijatelja?

(Dm(¬Bx)+(¬Dm)Bx)*(Am(¬Wb)+(¬Am)Wb)*(Bm(¬W)+(¬Bm)W)*(Wb(¬Gh)+( ¬Wb)Gch)*(Gch(¬At)+(¬Gch)At)=1
Izraz je tačan kada su svi zbroji tačni. Pretpostavimo da je Dm=1, zatim Am=0, Bm=0; Ali onda Wb=1 i W=1, što je nemoguće. Dakle, bh je istina. Tada je Bm lažno, W je tačno, At je netačno, Gch je tačno, Wb je lažno, Am je tačno.
Odgovor: Boris Hohlov, Vadim Tihonov, Griša Čehov, Anton Mišin, Dima Belkin.

65. Trojica prijatelja, ljubitelja fudbala, svađali su se oko rezultata predstojećeg turnira.
Jurijevo mišljenje: „Videćete, Barselona neće biti prva. "Zenith će biti prvi."
Viktorovo mišljenje: "Barcelona će biti pobjednik." A o Zenitu nema šta da se kaže, neće biti prvi.”
Leonidovo mišljenje: "Real neće vidjeti prvo mjesto, ali Barcelona ima sve šanse za pobjedu."
Na kraju takmičenja se pokazalo da je svaka od dvije pretpostavke dvojice prijatelja potvrđena, a obje pretpostavke trećeg prijatelja su se pokazale netačnim. Ko je osvojio turnir?
Riješite problem sastavljanjem i transformacijom logičkog izraza:

66. Saznajte koji signal treba biti na izlazu kola za svaki mogući skup signala na ulazima. Popunite tabelu rada kola. Koji logički izraz opisuje kolo?

67. Za koje od navedenih imena je tačna tvrdnja:

Čas informatike namijenjen je učenicima 10. razreda opšteobrazovne škole, čiji nastavni plan i program uključuje dio „Algebra logike“. Ova tema je veoma teška za učenike, pa sam kao nastavnik želeo da ih zainteresujem da proučavaju zakone logike, pojednostavljuju logičke izraze i sa interesovanjem pristupaju rešavanju logičkih zadataka. U uobičajenom obliku, držanje lekcija na ovu temu je zamorno i problematično, a neke od definicija djeci nisu uvijek jasne. U vezi sa obezbjeđivanjem informativnog prostora, imao sam priliku da svoje lekcije postavim u ljusku za učenje. Studenti, nakon registracije u njemu, mogu pohađati ovaj kurs u slobodno vrijeme i ponovo pročitati ono što im nije bilo jasno na času. Neki učenici, koji su zbog bolesti propustili nastavu, nadoknađuju propuštenu temu kod kuće ili u školi i uvijek su spremni za sljedeći čas. Ovakav oblik nastave itekako je odgovarao brojnoj djeci, a oni zakoni koji su im bili nerazumljivi sada se mnogo lakše i brže uče u kompjuterskom obliku. Nudim jednu od ovih lekcija informatike, koja se izvodi integrativno sa IKT.

Plan lekcije

Objašnjavanje novog gradiva uz pomoć računara – 25 minuta.
Osnovni koncepti i definicije objavljeni u "učenje" - 10 minuta.
Materijal za radoznale – 5 minuta.
Domaća zadaća – 5 minuta.

1. Objašnjenje novog materijala

Zakoni formalne logike

Najjednostavnije i najneophodnije prave veze između misli izražene su u osnovnim zakonima formalne logike. To su zakoni identiteta, nekontradikcije, isključene sredine, dovoljnog razloga.

Ovi zakoni su fundamentalni jer u logici igraju posebno važnu ulogu i najopštiji su. Oni vam omogućavaju da pojednostavite logičke izraze i izgradite zaključke i dokaze. Prva tri od navedenih zakona identifikovao je i formulisao Aristotel, a zakon dovoljnog razloga - G. Leibniz.

Zakon identiteta: u procesu određenog rasuđivanja, svaki koncept i sud mora biti identičan sebi.

Zakon nekontradikcije: nemoguće je da jedno te isto oko bude i da ne bude svojstveno istoj stvari u istom pogledu u isto vrijeme. Odnosno, nemoguće je u isto vrijeme nešto potvrditi i poreći.

Zakon isključene sredine: od dvije kontradiktorne tvrdnje, jedna je istinita, druga je lažna, a treća nije data.

Zakon dovoljnog razloga: Svaka istinita misao mora biti dovoljno opravdana.

Posljednji zakon kaže da dokaz nečega pretpostavlja potvrđivanje tačnih i samo istinitih misli. Lažne misli se ne mogu dokazati. Postoji dobra latinska poslovica: “Griješiti je zajedničko svakom čovjeku, ali insistirati na grešci je uobičajeno samo za budalu.” Ne postoji formula za ovaj zakon, jer je on samo materijalne prirode. Pravi sudovi, činjenični materijal, statistički podaci, zakoni nauke, aksiomi, dokazane teoreme mogu se koristiti kao argumenti za potvrdu istinite misli.

Zakoni propozicione algebre

Propoziciona algebra (algebra logike) je dio matematičke logike koji proučava logičke operacije na iskazima i pravila za transformaciju složenih iskaza.

Prilikom rješavanja mnogih logičkih problema često je potrebno pojednostaviti formule dobijene formalizacijom njihovih uslova. Pojednostavljivanje formula u propozicionoj algebri vrši se na osnovu ekvivalentnih transformacija zasnovanih na osnovnim logičkim zakonima.

Zakoni propozicione algebre (algebra logike) su tautologije.

Ponekad se ovi zakoni nazivaju teoremama.

U propozicionoj algebri, logički zakoni se izražavaju u obliku jednakosti ekvivalentnih formula. Među zakonima se ističu oni koji sadrže jednu varijablu.

Prva četiri zakona u nastavku su osnovni zakoni propozicione algebre.

Zakon identiteta:

Svaki pojam i sud je identičan sebi.

Zakon identiteta znači da se u procesu zaključivanja ne može zamijeniti jedna misao drugom, jedan koncept drugim. Ako se prekrši ovaj zakon, moguće su logičke greške.

Na primjer, rasuđivanje Tačno kažu da će te jezik odvesti u Kijev, ali ja sam juče kupio dimljeni jezik, što znači da sada mogu bezbedno da idem u Kijev je netačno, jer prva i druga riječ „jezik“ znače različite koncepte.

U obrazloženju: Kretanje je vječno. Hodanje do škole je pokret. Dakle, polazak u školu je zauvek riječ "kretanje" koristi se u dva različita značenja (prvi - u filozofskom smislu - kao atribut materije, drugi - u svakodnevnom smislu - kao djelovanje kretanja u prostoru), što dovodi do pogrešnog zaključka.

Zakon neprotivrečnosti:

Propozicija i njena negacija ne mogu biti istiniti u isto vrijeme. Odnosno, ako je izjava A- je istina, zatim njegova negacija ne A mora biti netačan (i obrnuto). Tada će njihov rad uvijek biti lažan.

Upravo se ta jednakost često koristi kada se pojednostavljuju složeni logički izrazi.

Ponekad se ovaj zakon formuliše na sledeći način: dve kontradiktorne izjave ne mogu biti istovremeno tačne. Primjeri nepoštivanja zakona protivrečnosti:

1. Ima života na Marsu i nema života na Marsu.

2. Olya je završila srednju školu i ide u X. razred.

Zakon isključene sredine:

U isto vrijeme, izjava može biti istinita ili lažna, ne postoji treća opcija. Tačno bilo A, ili ne A. Primjeri primjene zakona isključene sredine:

1. Broj 12345 je paran ili neparan, treća opcija ne postoji.

2. Preduzeće posluje sa gubitkom ili rentabilnošću.

3. Ova tečnost može ili ne mora biti kiselina.

Zakon isključene sredine nije zakon koji svi logičari priznaju kao univerzalni zakon logike. Ovaj zakon se primjenjuje tamo gdje se spoznaja bavi krutom situacijom: "ili - ili", "istinito-netačno". Tamo gdje se javlja neizvjesnost (na primjer, u razmišljanju o budućnosti), zakon isključene sredine često se ne može primijeniti.

Razmotrite sljedeću izjavu: Ova rečenica je lažna. To ne može biti istinito jer navodi da je lažno. Ali ni to ne može biti lažno, jer bi onda bilo istinito. Ova izjava nije ni istinita ni lažna, te stoga krši zakon isključene sredine.

Paradoks(grč. paradoxos - neočekivan, čudan) u ovom primjeru nastaje zbog činjenice da se rečenica odnosi na samu sebe. Još jedan dobro poznati paradoks je problem frizera: U jednom gradu brijač šiša sve stanovnike, osim onih koji sami šišaju kosu. Ko šiša frizera? U logici, zbog svoje formalnosti, nije moguće dobiti oblik takve izjave koja se poziva na sebe. Ovo još jednom potvrđuje ideju da je uz pomoć algebre logike nemoguće izraziti sve moguće misli i argumente. Hajde da pokažemo kako se, na osnovu definicije iskazne ekvivalencije, mogu dobiti preostali zakoni propozicione algebre.

Na primjer, hajde da odredimo šta je ekvivalentno (ekvivalentno) A(dva puta br A, tj. negacija negacije A). Da bismo to uradili, napravimo tabelu istine:

Po definiciji ekvivalencije, moramo pronaći kolonu čije se vrijednosti poklapaju sa vrijednostima kolone A. Ovo će biti kolona A.

Tako možemo formulisati zakon dvostrukognegativi:

Ako dvaput negirate izjavu, rezultat je originalni iskaz. Na primjer, izjava A= Matroskin- mačka je ekvivalentno izjavi O = Nije tačno da Matroskin nije mačka.

Na sličan način mogu se izvesti i verificirati sljedeći zakoni:

Svojstva konstanti:

Zakoni idempotencije:

Bez obzira koliko puta ponavljamo: TV je uključen ili TV uključen ili TV uključen... značenje izjave se neće promijeniti. Slično od ponavljanja Napolju je toplo, napolju je toplo... Neće biti ni stepen toplije.

Zakoni komutativnosti:

A v B = B v A

A & B = B & A

Operandi A I IN U operacijama, disjunkcija i konjunkcija se mogu zamijeniti.

Zakoni asocijativnosti:

A v(B v C) = (A v B) v C;

A & (B & C) = (A & B) & C.

Ako izraz koristi samo operaciju disjunkcije ili samo operaciju konjunkcije, tada možete zanemariti zagrade ili ih proizvoljno rasporediti.

Distributivni zakoni:

A v (B & C) = (A v B) &(A v C)

(distributivnost disjunkcije
u odnosu na veznik)

A & (B v C) = (A & B) v (A & C)

(distributivnost veznika
u vezi disjunkcije)

Distributivni zakon konjunkcije u odnosu na disjunkciju je sličan distributivnom zakonu u algebri, ali distributivni zakon disjunkcije u odnosu na konjunkciju nema analogiju, on vrijedi samo u logici. Stoga je potrebno to dokazati. Dokaz se najprikladnije izvodi pomoću tablice istinitosti:

Zakoni apsorpcije:

A v (A & B) = A

A & (A v B) = A

Dokažite zakone apsorpcije sami.

De Morganovi zakoni:

Verbalne formulacije De Morganovih zakona:

Mnemoničko pravilo: na lijevoj strani identiteta, operacija negacije stoji preko cijelog iskaza. Na desnoj strani se čini da se lomi i negacija stoji nad svakom od jednostavnih iskaza, ali se u isto vrijeme operacija mijenja: disjunkcija u konjunkciju i obrnuto.

Primjeri implementacije De Morganovog zakona:

1) Izjava Nije tačno da znam arapski ili kineski identična izjavi Ne znam arapski i ne znam kineski.

2) Izjava Nije istina da sam naučio lekciju i dobio D. identična izjavi Ili nisam naučio lekciju, ili nisam dobio D.

Zamjena operacija implikacije i ekvivalencije

Operacije implikacije i ekvivalencije ponekad nisu među logičkim operacijama određenog računara ili prevodioca iz programskog jezika. Međutim, za rješavanje mnogih problema ove operacije su neophodne. Postoje pravila za zamjenu ovih operacija nizovima operacija negacije, disjunkcije i konjunkcije.

Dakle, zamijenite operaciju implikacije moguće prema sljedećem pravilu:

Za zamjenu operacije ekvivalencija postoje dva pravila:

Lako je provjeriti valjanost ovih formula konstruiranjem tablica istinitosti za desnu i lijevu stranu oba identiteta.

Poznavanje pravila za zamjenu operacija implikacije i ekvivalencije pomaže, na primjer, da se ispravno konstruiše negacija implikacije.

Razmotrite sljedeći primjer.

Neka se da izjava:

E = Nije tačno da ću, ako pobijedim na takmičenju, dobiti nagradu.

Neka A= Ja ću pobijediti na takmičenju

B = Dobiću nagradu.

Dakle, E = ja ću pobijediti na takmičenju, ali neću dobiti nagradu.

Zanimljiva su i sljedeća pravila:

Njihova valjanost se također može dokazati korištenjem tablica istinitosti.

Zanimljivo je njihovo izražavanje na prirodnom jeziku.

Na primjer, fraza

Ako je Winnie the Pooh jeo med, onda je sit

identična frazi

Ako Winnie the Pooh nije sit, onda nije jeo med.

vježba: osmislite primjere fraza na osnovu ovih pravila.

2. Osnovni pojmovi i definicije u Dodatku 1

3. Materijal za radoznale u Dodatku 2

4. Domaći

1) Naučite zakone logike koristeći kurs “Algebre logike”, koji se nalazi u informacionom prostoru (www.learning.9151394.ru).

2) Provjerite dokaz De Morganovih zakona na PC-u tako što ćete konstruirati tabelu istinitosti.

Prijave

Osnovni pojmovi i definicije (Prilog 1).
Materijal za radoznale (Prilog 2).

Ključne riječi:

1.3.1. Izjava

Algebra u širem smislu te riječi je nauka o općim operacijama, sličnim sabiranju i množenju, koje se mogu izvoditi na različitim matematičkim objektima. Proučavate mnoge matematičke objekte (cjelobrojne i racionalne brojeve, polinome, vektore, skupove) u školskom kursu algebre, gdje se upoznajete sa granama matematike kao što su algebra brojeva, algebra polinoma, algebra skupova itd.

Za informatiku je važna grana matematike koja se zove logička algebra; Objekti algebre logike su iskazi.

Na primjer, za rečenice „Veliki ruski naučnik M.V. Lomonosov rođen je 1711. godine“ i „Dva plus šest je osam“ možemo definitivno reći da su istinite. Rečenica “Vrapci hiberniraju zimi” je netačna. Dakle, ove rečenice su izjave.

Na primjer, rečenica “Ova rečenica je netačna” nije izjava jer se ne može reći da je istinita ili netačna bez dobivanja kontradikcije. Zaista, ako prihvatimo da je rečenica istinita, onda je to u suprotnosti sa onim što je rečeno. Ako prihvatimo da je rečenica netačna, onda slijedi da je istinita.

Što se tiče rečenice „Kompjuterska grafika je najzanimljivija tema u školskom kursu informatike“, takođe je nemoguće nedvosmisleno reći da li je tačna ili netačna. Razmislite sami zašto.

Na primjer, rečenice kao što su: “Zapiši svoj domaći”, “Kako doći do biblioteke?”, “Ko je došao kod nas” nisu izjave. "

Primjeri izjava mogu uključivati:

“Na je metal” (tačna izjava);
“Drugi Newtonov zakon je izražen formulom F=m a” (tačan iskaz);
„Obim pravougaonika sa dužinama stranica a u b jednak je a b“ (netačna izjava).

Numerički izrazi nisu iskazi, ali iz dva numerička izraza možete napraviti iskaz povezujući ih znakovima jednakosti ili nejednakosti. Na primjer:

“34-5 = 2 4” (tačna izjava);
“II4-VI > VIII” (lažna izjava).

Jednakosti i nejednakosti koje sadrže varijable također nisu iskazi. Na primjer, rečenica "X< 12» становится высказыванием только при замене переменной каким-либо конкретным значением: «5 < 12» - истинное высказывание; «12 < 12» - ложное высказывание.

O opravdanosti za istinitost ili netačnost iskaza odlučuju nauke kojima one pripadaju. Algebra logike je apstrahirana od semantičkog sadržaja iskaza. Nju samo zanima da li je data izjava tačna ili netačna. U logičkoj algebri iskazi se označavaju slovima i nazivaju logičke varijable. Štaviše, ako je izjava tačna, tada je vrijednost odgovarajuće logičke varijable označena sa jedan (A = 1), a ako je netačna - sa nulom (B = 0). 0 i 1 koji označavaju vrijednosti Boolean varijabli nazivaju se Boolean vrijednosti.

Radeći sa logičkim varijablama, koje mogu biti jednake samo 0 ili 1, algebra logike vam omogućava da smanjite obradu informacija na operacije s binarnim podacima. To je aparat logičke algebre koji čini osnovu kompjuterskih uređaja za skladištenje i obradu informacija. Naići ćete na elemente logičke algebre u mnogim drugim oblastima računarske nauke.

1.3.2. Logičke operacije

Izjave mogu biti jednostavne ili složene. Izjava se naziva jednostavnom ako nijedan njen dio sam po sebi nije izjava. Složeni (složeni) iskazi se konstruišu od jednostavnih pomoću logičkih operacija.

Razmotrimo osnovne logičke operacije definisane na izrazima. Svi oni odgovaraju veznicima koji se koriste u prirodnom jeziku.

Konjunkcija

Razmotrite dvije tvrdnje: A = “Osnivač algebre logike je George Boole”, B = “Istraživanje Claudea Shanona omogućilo je primjenu algebre logike u kompjuterskoj tehnologiji.” Očigledno, nova tvrdnja „Osnivač algebre logike je George Boole, a istraživanje Claudea Shanona omogućilo je primjenu algebre logike u kompjuterskoj tehnologiji“ istinito je samo ako su obje originalne tvrdnje istinite u isto vrijeme.

Za pisanje veznika koriste se sljedeći znakovi: , , I, &. Na primjer: A B, A B, A I B, A&B.

Konjunkcija se može opisati u obliku tabele, koja se zove tabela istinitosti:

Tabela istinitosti navodi sve moguće vrijednosti originalnih iskaza (kolone A i B), a odgovarajući binarni brojevi su obično raspoređeni u rastućem redoslijedu: 00, 01, 10, 11. Posljednja kolona bilježi rezultat logičke operacije za odgovarajuće operande.

Inače, konjunkcija se naziva logičko množenje. Razmislite zašto.

Disjunkcija

Razmotrite dvije tvrdnje: A = “Ideja upotrebe matematičkog simbolizma u logici pripada Gottfriedu Wilhelmu Leibnizu,” B = “Leibniz je osnivač binarne aritmetike.” Očigledno, nova izjava „Ideja upotrebe matematičkog simbolizma u logici pripada Gottfriedu Wilhelmu Leibnizu ili je Leibniz osnivač binarne aritmetike“ lažna je samo ako su obje izvorne izjave lažne u isto vrijeme.

Nezavisno utvrdite istinitost ili netačnost tri razmatrane izjave.

Za pisanje disjunkcije koriste se sljedeći znakovi: v, |, ILI, +. Na primjer: AvB, A|B, A ILI B, A+B.

Disjunkcija je definirana sljedećom tablicom istinitosti:

Inače, disjunkcija se naziva logičko sabiranje. Razmislite zašto.

Inverzija

Za pisanje inverzije koriste se sljedeći znakovi: NE, ¬, ‾. Na primjer: NE, ¬, ‾.

Inverzija je određena sljedećom tablicom istinitosti:

Inverzija se inače naziva logičkom negacijom.

Negacija izjave „Imam kompjuter kod kuće“ biće izjava „Nije tačno da imam kompjuter kod kuće“ ili, što je isto na ruskom, „Nemam računar kod kuće“. Negacija izjave “Ne znam kineski” biće izjava “Nije tačno da ne znam kineski” ili, što je ista stvar na ruskom, “Ja znam kineski”. Negacija tvrdnje „Svi dečaci 9. razreda su odlični učenici“ je tvrdnja „Nije tačno da su svi dečaci 9. razreda odlični učenici“, drugim rečima „Nisu svi dečaci 9. razreda odlični studenti."

Dakle, kada se konstruiše negacija jednostavnog iskaza, ili se koristi izraz „nije tačno da...“, ili se negacija konstruiše na predikat, onda se čestica „ne“ dodaje odgovarajućem glagolu.

Bilo koja složena izjava može se napisati kao logički izraz – izraz koji sadrži logičke varijable, znakove logičkog operatora i zagrade. Logičke operacije u logičkom izrazu izvode se sljedećim redoslijedom: inverzija, konjunkcija, disjunkcija. Možete promijeniti redoslijed operacija koristeći zagrade.

Primjer 1. Neka A = “Riječ “krstarica” se pojavljuje na web stranici,” B = “Riječ “battleship” se pojavljuje na web stranici.” Razmatramo određeni segment interneta koji sadrži 5.000.000 web stranica. U njemu je izjava A tačna za 4800 stranica, izjava B je tačna za 4500 stranica, a izjava A v B je tačna za 7000 stranica. Za koliko će web stranica sljedeći izrazi i iskazi biti istiniti u ovom slučaju?

a) NE (A ILI B);

c) Riječ “kruzer” se pojavljuje na web stranici, ali riječ “battleship” se ne pojavljuje.

Rješenje. Opišimo skup svih web stranica razmatranog Internet sektora kao krug, unutar kojeg ćemo postaviti dva kruga: jedan od njih odgovara skupu web stranica gdje je tvrdnja A tačna, drugi - gdje je izjava B istina (slika 1.3).

Rice. 1.3.
Grafički prikaz više web stranica

Prikažimo grafički skupove web stranica za koje su izrazi i iskazi a) - c) tačni (slika 1.4)

Rice. 1.4.
Grafički prikaz skupova Web stranica za koje su izrazi i iskazi a) - c) tačni

Konstruirani dijagrami pomoći će nam da odgovorimo na pitanja sadržana u zadatku.

Izraz A ILI B je tačan za 7.000 web stranica, a ukupno ima 5.000.000 stranica, dakle, izraz A ILI B je netačan za 4.993.000 web stranica. Drugim riječima, za 4.993.000 web stranica, izraz NE (A ILI B) je tačan.

Izraz A v B je tačan za one web stranice na kojima je A (4800) istinito, kao i za one web stranice gdje je B (4500) istina. Kada bi sve web stranice bile različite, tada bi izraz A v B bio tačan za 9300 (4800 + 4500) web stranica. Ali, prema uslovu, postoji samo 7000 takvih web stranica, što znači da se na 2300 (9300 - 7000) web stranica obje riječi pojavljuju istovremeno. Stoga je izraz A & B istinit za 2300 web stranica.

Da biste saznali za koliko web stranica je izjava A istinita, a istovremeno izjava B netačna, oduzmite 2300 od 4800. Dakle, izjava “Riječ “krstarica” se pojavljuje na web stranici, a riječ “battleship” ne pojaviti” je istinito na 2500 web stranica.

Zapišite logički izraz koji odgovara razmatranoj izjavi.

Web stranica Federalnog centra za informacione i obrazovne resurse (http://fcoir.edu.ru/) sadrži informativni modul „Izjava. Jednostavne i složene izjave. Osnovne logičke operacije". Upoznavanje sa ovim resursom će vam omogućiti da proširite svoje razumijevanje teme koju proučavate.

1.3.3. Konstrukcija tablica istinitosti za logičke izraze

Za logički izraz, možete napraviti tablicu istinitosti koja pokazuje koje vrijednosti izraz uzima za sve skupove vrijednosti varijabli uključenih u njega. Da biste napravili tabelu istine, trebalo bi da:

count n - broj varijabli u izrazu;
izbrojati ukupan broj logičkih operacija u izrazu;
uspostaviti redoslijed logičkih operacija, uzimajući u obzir zagrade i prioritete;
odrediti broj kolona u tabeli: broj varijabli + broj operacija;
popuniti zaglavlje tabele, uključujući varijable i operacije u skladu sa redosledom utvrđenim u stavu 3;
odrediti broj redova u tabeli (ne računajući zaglavlje tabele) m = 2n;
zapišite skupove ulaznih varijabli, uzimajući u obzir činjenicu da predstavljaju čitav niz n-bitnih binarnih brojeva od 0 do 2 n - 1;
popunjavati tabelu kolonu po kolonu, izvodeći logičke operacije u skladu sa utvrđenim redosledom.

Napravimo tabelu istinitosti za logički izraz A v A & B. Ona sadrži dvije varijable, dvije operacije i prvo se izvodi konjunkcija, a zatim disjunkcija. Tabela će imati ukupno četiri kolone:

Skupovi ulaznih varijabli su cijeli brojevi od O do 3, predstavljeni u dvocifrenom binarnom kodu: 00, 01, 10, 11. Popunjena tabela istinitosti izgleda ovako:

Imajte na umu da je posljednja kolona (rezultat) ista kao kolona A. U ovom slučaju, logički izraz A v A & B se kaže da je ekvivalentan logičkom izrazu A.

1.3.4. Svojstva logičkih operacija

Razmotrimo osnovna svojstva (zakone) algebre logike.

Zakoni logičke algebre se mogu dokazati korištenjem tablica istinitosti.

Dokažimo zakon distribucije za logičko sabiranje:

A v (B & C) = (A V B) & (A v C).

Podudarnost stupaca koji odgovaraju logičkim izrazima na lijevoj i desnoj strani jednakosti dokazuje valjanost zakona raspodjele za logičko sabiranje.

Primjer 2. Nađimo vrijednost logičkog izraza za broj X = 0.

Rješenje. Kada je X = 0 dobijamo sljedeći logički izraz: . Pošto su logički izrazi 0< 3, 0 < 2 истинны, то, подставив их значения в логическое выражение, получаем: 1&Т = 1&0 = 0.

1.3.5. Rješavanje logičkih problema

Pogledajmo nekoliko načina rješavanja logičkih problema.

Problem 1. Kolja, Vasja i Serjoža su tokom leta bili u poseti svojoj baki. Jednog dana jedan od dječaka je slučajno razbio bakinu omiljenu vazu. Na pitanje ko je razbio vazu, dali su sljedeće odgovore:

Serjoža: 1) Nisam ga slomio. 2) Vasja ga nije slomio.

Vasja: 3) Serjoža ga nije slomio. 4) Kolja je razbio vazu.

Kolja: 5) Nisam ga slomio. 6) Serjoža je razbio vazu.

Baka je znala da je jedan od njenih unuka, nazovimo ga istinoljubivim, oba puta rekao istinu; drugi, nazovimo ga šaljivcem, oba puta je slagao; treći, nazovimo ga lukavim, jednom je rekao istinu, a drugi put - laž. Navedite istinoljubive, šaljivdžije i lukave. Koji unuk je razbio vazu?

Rješenje. Neka je K = „Kolja je razbio vazu“, B = „Vasja je razbio vazu“, C = „Serjoža je razbio vazu“. Hajde da napravimo tabelu istinitosti sa kojom predstavljamo izjave svakog dečaka 1.

1 Uzimajući u obzir činjenicu da je vazu razbio jedan unuk, bilo je moguće kreirati ne cijelu tablicu, već samo njen fragment koji sadrži sljedeće skupove ulaznih varijabli: 001, 010, 100.

Na osnovu onoga što baka zna o svojim unucima, trebalo bi da potražite redove u tabeli koji sadrže, nekim redom, tri kombinacije vrednosti: 00, 11, 01 (ili 10). U tabeli su bile dvije takve linije (označene su kvačicama). Prema drugom od njih, vazu su razbili Kolya i Vasya, što je u suprotnosti sa stanjem. Prema prvom od pronađenih redova, Seryozha je razbio vazu i ispostavilo se da je lukav. Ispostavilo se da je Vasya šaljivdžija. Ime istinitog unuka je Kolja.

Problem 2. Alla, Valya, Sima i Dasha učestvuju na takmičenjima u gimnastici. Fanovi su dali prijedloge o mogućim pobjednicima:

Sima će biti prvi, Valya će biti drugi;
Sima će biti drugi, Dasha će biti treća;
Alla će biti druga, Dasha će biti četvrta.

Na kraju takmičenja se pokazalo da je u svakoj od pretpostavki samo jedna tvrdnja tačna, a druga netačna. Koje je mjesto svaka od djevojaka zauzela na takmičenju ako su sve završile na različitim mjestima?

Rješenje. Pogledajmo neke jednostavne izjave:

C 1 = “Sima je zauzeo prvo mjesto”;

B 2 = “Valja je zauzela drugo mjesto”;

C 2 = “Sima je zauzeo drugo mjesto”;

D 3 = “Daša je zauzela treće mesto”;

A 2 = “Ala je zauzela drugo mjesto”;

D 4 = „Daša je zauzela četvrto mesto.”

Kako je u svakoj od tri pretpostavke jedna tvrdnja tačna, a druga lažna, možemo zaključiti sljedeće:

C 1 + B 2 = 1, C 1 B 2 = 0;
C 2 + D 3 = 1, C 2 D 3 = 0;
A 2 + D 4 = 1, A 2 D 4 = 0.

Logički proizvod istinitih izjava bit će istinit:

(C 1 + B 2) (C 2 + D 3) (A 2 + D 4) = 1.

Na osnovu zakona distribucije transformiramo lijevu stranu ovog izraza:

(C 1 C 2 + C 1 D 3 + B 2 C 2 + B 2 D 3) (A 2 + D 4) = 1.

Tvrdnja C 1 C 2 znači da je Sima zauzeo i prvo i drugo mjesto. Prema uslovima problema, ova tvrdnja je netačna. Tvrdnja B 2 C 2 je takođe netačna. Uzimajući u obzir zakon operacija sa konstantom 0, pišemo:

(C 1 D 3 + B 2 D 3) (A 2 + D 4) = 1.

Daljnja transformacija lijeve strane ove jednakosti i isključivanje očigledno lažnih tvrdnji daje:

C 1 D 3 A 2 + C 1 D 3 D 4 + B 2 D 3 A 2 + B 2 D 3 D 4 = 1.

C 1 D 3 A 2 = 1.

Iz posljednje jednakosti slijedi da je C 1 = 1, D 3 = 1, A 2 = 1. To znači da je Sima zauzeo prvo mjesto, Alla drugo, Dasha treće. Shodno tome, Valya je zauzela četvrto mjesto.

Sa drugim načinima rješavanja logičkih zadataka, kao i učešće na Internet olimpijadama i takmičenjima za njihovo rješavanje možete se upoznati na web stranici „Matematika za školsku djecu“ (http://www.kenqyry.com/).

Na web stranici http://www.kaser.com/ možete preuzeti demo verziju vrlo korisne Sherlock logičke slagalice koja razvija logiku i vještine zaključivanja.

1.3.6. Logički elementi

Algebra logike je grana matematike koja igra važnu ulogu u projektovanju automatskih uređaja i razvoju hardvera i softvera za informacione i komunikacione tehnologije.

Već znate da se svaka informacija može predstaviti u diskretnom obliku – kao fiksni skup pojedinačnih vrijednosti. Uređaji koji obrađuju takve vrijednosti (signale) nazivaju se diskretni. Diskretni pretvarač koji nakon obrade binarnih signala proizvodi vrijednost jedne od logičkih operacija naziva se logički element.

Na sl. 1.5 prikazuje simbole (dijagrame) logičkih elemenata koji implementiraju logičko množenje, logičko sabiranje i inverziju.

Slika 1.5.
Logički elementi

Logički element I (konjuktor) implementira operaciju logičkog množenja (slika 1.5, a). Jedinica na izlazu ovog elementa će se pojaviti samo kada postoje jedinice na svim ulazima.

Logički element OR (dizjunktor) implementira operaciju logičkog sabiranja (slika 1.5, b). Ako je barem jedan ulaz jedan, onda će i izlaz elementa biti jedan.

NOT logički element (inverter) implementira operaciju negacije (slika 1.5, c). Ako je ulaz elementa O, onda je izlaz 1 i obrnuto.

Računalni uređaji koji obavljaju operacije nad binarnim brojevima i ćelije koje pohranjuju podatke su elektronska kola koja se sastoje od pojedinačnih logičkih elemenata. Ova pitanja će biti detaljnije obrađena u kursu informatike za 10-11 razred.

Primjer 3. Analizirajmo elektroničko kolo, odnosno saznajmo koji bi signal trebao biti na izlazu za svaki mogući skup signala na ulazima.

Rješenje. U tablicu istinitosti unijet ćemo sve moguće kombinacije signala na ulazima A do B. Hajde da pratimo transformaciju svakog para signala dok prolaze kroz logičke elemente i zapišemo rezultat u tabelu. Popunjena tabela istinitosti u potpunosti opisuje elektronski krug koji se razmatra.

Tabela istinitosti se također može konstruirati korištenjem logičkog izraza koji odgovara elektronskom kolu. Posljednji logički element u krugu koji se razmatra je konjuktor. Prima signale sa ulaza L i iz pretvarača. Zauzvrat, pretvarač prima signal sa ulaza B. Dakle,

Rad sa simulatorom Logic (http://kpolyakov. narod. ru/prog/logic. htm) pomoći će vam da steknete potpunije razumijevanje logičkih elemenata i elektronskih kola.

Najvažniji

Izreka je rečenica na bilo kom jeziku čiji se sadržaj može nedvosmisleno odrediti kao istinit ili netačan.

Osnovne logičke operacije definirane na iskazima: inverzija, konjunkcija, disjunkcija.

Tablice istinitosti za osnovne logičke operacije:

Kada se procjenjuju Booleovi izrazi, prvi se izvode koraci u zagradama. Prioritet izvršenja logičkih operacija:

Pitanja i zadaci

1.3.1. IZJAVA
1.3.2. LOGIČKE OPERACIJE
1.3.3. KONSTRUKCIJA TABLICA ISTINE ZA LOGIČKE IZRAZE
1.3.4. SVOJSTVA LOGIČKIH OPERACIJA
1.3.5. RJEŠAVANJE LOGIČKIH PROBLEMA
1.3.6. LOGIČKI ELEMENTI

1. Pročitajte materijale za prezentaciju paragrafa koji se nalazi u elektronskom dodatku udžbenika. Da li prezentacija dopunjuje informacije sadržane u tekstu pasusa?

2. Objasnite zašto sljedeće rečenice nisu izjave.
1) Koje je boje ova kuća?
2) Broj X ne prelazi jedan.
3) 4X+3.
4) Pogledaj kroz prozor.
5) Pijte sok od paradajza!
6) Ova tema je dosadna.
7) Ricky Martin je najpopularniji pjevač.
8) Da li ste bili u pozorištu?

3. Navedite po jedan primjer istinitih i netačnih tvrdnji iz biologije, geografije, informatike, istorije, matematike, književnosti.

4. U sljedećim izjavama istaknite jednostavne iskaze, označavajući svaku od njih slovom; zapišite svaki složeni iskaz koristeći slova i znakove logičkih operacija.
1) Broj 376 je paran i trocifreni.
2) Zimi djeca idu na klizanje ili skijanje.
3) Novu godinu ćemo proslaviti na dachi ili na Crvenom trgu.
4) Nije tačno da se Sunce kreće oko Zemlje.
5) Zemlja je u obliku lopte, koja se čini plavom iz svemira.
6) Na času matematike srednjoškolci su odgovarali na pitanja nastavnika i pisali samostalne radove.

5. Konstruirajte negacije sljedećih iskaza.

6. Neka A = “Anja voli časove matematike,” i B = “Anja voli časove hemije.” Izrazite sljedeće formule običnim jezikom:

7. Određeni segment interneta čini 1000 sajtova. Server za pretragu je automatski sastavio tabelu ključnih reči za sajtove u ovom segmentu. Evo njegovog fragmenta:

920; 80.

8. Konstruirajte tablice istinitosti za sljedeće logičke izraze:

9. Navedite dokaz o logičkim zakonima o kojima se govori u paragrafu koristeći tablice istinitosti.

10. U dekadnom brojevnom sistemu data su tri broja: A=23, B=19, C=26. Pretvorite A, B i C u binarni brojevni sistem i izvedite bitne logičke operacije (A v B) i C. Odgovor dajte u decimalnom brojevnom sistemu.

11. Pronađite značenja izraza:

12. Pronađite vrijednost logičkog izraza (x
1) 1
2) 2
3) 3
4) 4
1) 0. 2) 0. 3) 1. 4) 1.

13. Neka A = “Prvo slovo imena je samoglasnik,” B = “Četvrto slovo imena je suglasnik.” Pronađite vrijednost logičkog izraza A v B za sljedeća imena:
1) ELENA 2) VADIM 3) ANTON 4) FEDOR
1) 1. 2) 1. 3) 0. 4) 1.

14. Slučaj Johna, Browna i Smitha se ispituje. Poznato je da je jedan od njih pronašao i sakrio blago. Tokom istrage, svaki od osumnjičenih je dao dvije izjave:
Smit: „Nisam to uradio. Brown je to uradio."
John: Brown nije kriv. Smith je to uradio."
Braun: „Nisam to uradio. Džon to nije uradio."
Sud je utvrdio da je jedan od njih dva puta lagao, drugi dva puta istinu, treći je jednom lagao i jednom rekao istinu. Kojeg osumnjičenog treba osloboditi?
Odgovori: Smith i John.

15. Aljoša, Borja i Griša pronašli su staru posudu u zemlji. Ispitujući neverovatno otkriće, svaki je napravio dve pretpostavke:
1) Aljoša: „Ovo je grčka posuda i napravljena je u 5. veku.”
2) Borja: „Ovo je fenička posuda i napravljena je u 3. veku.”
3) Griša: “Ova posuda nije grčka i napravljena je u 4. vijeku.”
Nastavnik istorije je deci rekao da je svako od njih bio u pravu samo u jednoj od dve pretpostavke. Gde i u kom veku je napravljena posuda?
Odgovori: fenička posuda, izrađena u 5. vijeku.

16. Saznajte koji signal treba biti na izlazu elektronskog kola za svaki mogući skup signala na ulazima. Napravite tabelu kako krug radi. Koji logički izraz opisuje kolo?