Znaci konvergencije redova sa pozitivnim brojevima. Odabir kriterija za konvergenciju brojevnih nizova. Kriterijumi uslovne konvergencije

Test za dopisno odeljenje

Danko, P.E. Viša matematika u vježbama i zadacima: u 2 sata / P.E. Danko, A. G. Popov, T. Ya. - 5. izdanje, rev. - M.: Viša škola 1. dio.-1998.-304 str.

Bermant A.F., Aramanovič I.G. Kratki kurs matematičke analize. -12. izdanje. – Sankt Peterburg: Lan, 2005.- 736 str.

B.M. Vladimirsky, A.B. Gorstko, Ya.M. Yerusalimsky. Matematika: opšti kurs. – Sankt Peterburg: Izdavačka kuća Lan, 2002. – 954 str.

Kudryavtsev V.A., Demidovich B.P. Kratki kurs više matematike. - 5. izd., stereotip. - M.: Nauka, 1978. - 632 str.

Demidovich B.P. Kratki kurs iz više matematike: Udžbenik za univerzitete - M.: OOO "Izdavačka kuća Astrel": OOO "Izdavačka kuća AST", 2001. - 656 str.

Piskunov N.S. Diferencijalni i integralni račun: Udžbenik. za fakultete i univerzitete. U dvosatnom svesku T.II: - M.: Integral-Press, 2004. -544 str.

Uvod.

Ispitni rad treba da se završi striktno prema rasporedu. Svaki student radi test po opciji, čiji se broj poklapa sa njegovim rednim brojem u grupnom dnevniku. Rješenja problema moraju biti data u pisanoj formi na posebnim listovima (format A4, heftani). Radove možete dostaviti u štampanom ili pisanom obliku. Izvođenje k.r. , učenik mora prepisati uslov odgovarajućeg zadatka, napisati detaljno rješenje, ističući odgovor. Gdje je potrebno, dajte kratka objašnjenja kako rješenje napreduje.

"NUMERIČKA I FUNKCIONALNA SERIJA"

Brojne serije. Dovoljni znaci njihove konvergencije

Neka u 1 , u 2 , u 3 , … , u n, …, Gdje u n = f(n), je beskonačan niz brojeva. Izraz u 1 + u 2 + u 3 + … + u n+ ... zove beskonačno numeričke serije, i brojevi u 1 , u 2 , u 3 , … , u n, … – članovi serije; u n = f(n) se zove zajednički član. Serija se često piše u obliku .

Zbroj prvog nčlanovi niza brojeva su označeni sa S n i nazovi n th djelomični zbir serije:

Serija se zove konvergentan, ako n-i djelomični iznos S n uz neograničeno povećanje n teži krajnjoj granici, tj. Ako . Broj S pozvao zbir serije. Ako n-ti parcijalni zbir reda kada ne teži konačnoj granici, tada se red naziva divergentan.

Niz sastavljen od članova bilo koje opadajuće geometrijske progresije je konvergentan i ima zbir.

Zvala se serija harmonic, razilazi se.

Neophodan znak konvergencije. Ako se niz konvergira, onda, tj. na granici zajedničkog člana konvergentnog niza je nula.

Dakle, ako je , tada serija divergira.

Navedimo najvažnije znakove konvergencije i divergencije redova sa pozitivnim članovima.

Prvi znak poređenja. Neka su data dva reda

Štaviše, svaki član serije (1) ne prelazi odgovarajući član serije (2), tj. . Tada ako se niz (2) konvergira, onda i niz (1) također konvergira; ako se serija (1) divergira, onda i serija (2) divergira.

Ovaj kriterij ostaje važeći ako nejednakosti nisu zadovoljene za sve n, ali samo počevši od određenog broja n = N.

Drugi znak poređenja. Ako postoji konačna granica različita od nule, tada se nizovi i konvergiraju i divergiraju.

Radikalni Cauchy znak. Ako za seriju

postoji, onda ovaj niz konvergira na i divergira na .

D'Alambertov znak. Ako za niz postoji , Tada ovaj niz konvergira na i divergira na .

Integralni Cauchy test. Ako f(x) jer je kontinuirana pozitivna i monotono opadajuća funkcija, tada red gdje konvergira ili divergira ovisno o tome da li integral konvergira ili divergira.

Razmotrimo sada nizove čiji članovi imaju naizmjenične predznake, tj. serija oblika , gdje je .

Test za konvergenciju naizmjeničnog niza (Leibnizov test). Izmjenični niz konvergira ako se apsolutne vrijednosti njegovih članova monotono smanjuju i zajednički član teži nuli. Odnosno, ako su ispunjena sljedeća dva uslova: 1) i 2).

Uzmimo n th parcijalni zbir konvergentnog naizmjeničnog niza za koji vrijedi Leibnizov kriterij:

Neka -- n- ostatak reda. Može se napisati kao razlika između zbira nizova S I n th parcijalni iznos S n, tj. . Nije teško to vidjeti

Vrijednost se procjenjuje korištenjem nejednakosti.

Zadržimo se sada na nekim svojstvima naizmjeničnih nizova (tj. naizmjeničnih nizova i nizova sa proizvoljnom izmjenom predznaka njihovih članova).

Naizmjenični niz konvergira ako se niz konvergira.

U ovom slučaju se zove originalna serija apsolutno konvergentno.

Konvergentni niz se zove uslovno konvergentan, ako se serija razilazi.

Primjer 1. Istražiti konvergenciju niza

Rješenje. Ovaj niz se sastoji od članova beskonačno opadajuće geometrijske progresije i stoga konvergira. Nađimo njen zbir. Ovdje , (imenilac progresije). dakle,

Primjer 2. Istražiti konvergenciju niza.

Rješenje. Ovaj niz se dobija iz harmonijskog niza odbacivanjem prvih deset članova. Stoga se on razilazi.

Primjer 3. Istražiti konvergenciju niza., –– red konvergira.

U praksi, često nije toliko važno pronaći zbir niza koliko da se odgovori na pitanje konvergencije niza. U tu svrhu koriste se kriterijumi konvergencije zasnovani na svojstvima zajedničkog člana serije.

Neophodan znak konvergencije niza

TEOREMA 1

Ako je redkonvergira, tada je njegov zajednički pojam teži nuli kao
, one.
.

Ukratko: Ako se niz konvergira, tada njegov zajednički član teži nuli.

Dokaz. Neka se niz konvergira i neka je njegov zbir jednak . Za bilo koga djelomični iznos

.

Onda .

 Iz dokazano neophodnog kriterija za konvergenciju slijedi dovoljan znak divergencije niza:
ako na

Ako zajednički član serije ne teži nuli, tada se niz divergira.

Primjer 4.
Za ovu seriju uobičajen pojam je
.

I

Stoga se ova serija razlikuje. Primjer 5.

Ispitajte konvergenciju serije
Očigledno je da opšti član ove serije, čiji oblik nije naznačen zbog glomaznosti izraza, teži nuli kao , tj. neophodan kriterijum za konvergenciju niza je zadovoljen, ali ovaj niz divergira, jer njegov zbir

teži beskonačnosti.

Serija pozitivnih brojeva Zove se niz brojeva u kojem su svi članovi pozitivni

pozitivan znak.

TEOREMA 2 (Kriterijum za konvergenciju pozitivnog niza)

Dokaz. Da bi niz sa pozitivnim predznakom konvergirao, potrebno je i dovoljno da svi njegovi parcijalni zbroji budu odozgo ograničeni istim brojem.
Jer za bilo koga
, zatim, tj. podsekvenca

– monotono raste, pa je za postojanje granice potrebno i dovoljno niz odozgo ograničiti nekim brojem.

Ova teorema ima više teorijski nego praktični značaj. Ispod su drugi testovi konvergencije koji se više koriste.

Dovoljni znaci konvergencije pozitivnih serija

TEOREMA 3 (Prvi znak poređenja)

(1)

(2)

Neka su data dva niza pozitivnih predznaka:
i, počevši od određenog broja
, za bilo koga
važi nejednakost

onda:

Šematski zapis prve karakteristike poređenja:

spuštanje.sakupljanje.

Dokaz. exp.exp.
1) Pošto odbacivanje konačnog broja članova niza ne utiče na njegovu konvergenciju, dokazujemo teoremu za slučaj
. Neka bude za bilo koga

, (3)

imamo
Gdje
I

- parcijalne sume redova (1) i (2).
. Ako se niz (2) konvergira, postoji broj
Pošto je u ovom slučaju sekvenca
- raste, njegova granica je veća od bilo kojeg njenog člana, tj. . za bilo koga
. Dakle, iz nejednakosti (3) slijedi . Dakle, sve parcijalne sume serije (1) su ograničene odozgo brojem

Prema teoremi 2, ovaj niz konvergira.

Za primjenu ove značajke često se koriste takve standardne serije čija je konvergencija ili divergencija unaprijed poznata, na primjer:

3) - Dirichletov red (konvergira na
i razilazi se na
).

Osim toga, često se koriste serije koje se mogu dobiti korištenjem sljedećih očiglednih nejednakosti:

,

,
,
.

Razmotrimo, koristeći konkretne primjere, shemu za proučavanje pozitivne serije za konvergenciju koristeći prvi kriterij poređenja.

Primjer 6. Istražite red
za konvergenciju.

Korak 1. Provjerimo pozitivan predznak serije:
Za

Korak 2. Provjerimo ispunjenost potrebnog kriterija za konvergenciju niza:
. Jer
, To

(ako je izračunavanje ograničenja teško, možete preskočiti ovaj korak).

Korak 3. Koristite prvi znak poređenja. Da bismo to učinili, odabrat ćemo standardnu ​​seriju za ovu seriju. Jer
, onda možemo uzeti seriju kao standard
, tj. Dirichletova serija. Ovaj niz konvergira jer je eksponent
. Posljedično, prema prvom kriteriju poređenja, niz koji se proučava također konvergira.

Primjer 7. Istražite red
za konvergenciju.

1) Ova serija je pozitivna, pošto
Za

2) Neophodan kriterijum za konvergenciju niza je zadovoljen, jer

3) Odaberimo standardni red. Jer
, tada možemo uzeti geometrijski niz kao standard

. Ovaj niz konvergira, pa stoga i niz koji se proučava konvergira.

TEOREMA 4 (Drugi kriterijum poređenja)

Ako je za pozitivne serije I postoji konačna granica različita od nule
, To redovi se konvergiraju ili razilaze istovremeno.

Dokaz. Neka serija (2) konvergira; Dokažimo da tada i niz (1) konvergira. Hajde da izaberemo neki broj , više nego . Od uslova
proizilazi da takav broj postoji to je za sve
nejednakost je tačna
, ili, šta je isto,

(4)

Odbacivši prve u redovima (1) i (2) (što ne utiče na konvergenciju), možemo pretpostaviti da nejednakost (4) važi za sve
Ali serija sa zajedničkim članom
konvergira zbog konvergencije niza (2). Prema prvom kriterijumu poređenja, nejednakost (4) implicira konvergenciju niza (1).

Neka sada niz (1) konvergira; Dokažimo konvergenciju niza (2). Da biste to učinili, jednostavno zamijenite uloge datih redova. Jer

onda, prema onome što je gore dokazano, konvergencija reda (1) treba da implicira konvergenciju niza (2). 

Ako
at
(neophodan znak konvergencije), zatim iz uslova
, slijedi to Za ovu seriju uobičajen pojam je – infinitezime istog reda malenosti (ekvivalentno
). Stoga, ako je data serija , Gdje
at
, onda za ovu seriju možete uzeti standardnu ​​seriju , gdje je uobičajeni pojam ima isti red malenosti kao i opšti član date serije.

Prilikom odabira standardne serije, možete koristiti sljedeću tablicu ekvivalentnih infinitezimala na
:

1)
; 4)
;

2)
; 5)
;

3)
; 6)
.

Primjer 8. Ispitati konvergenciju serije

.

za bilo koga
.

Jer
, tada uzimamo harmonijski divergentni niz kao standardni niz
. Pošto je granica omjera uobičajenih pojmova Za ovu seriju uobičajen pojam je je konačan i različit od nule (jednak je 1), onda na osnovu drugog kriterijuma poređenja ovaj niz divergira.

Primjer 9.
prema dva kriterijuma poređenja.

Ova serija je pozitivna, pošto
, And
. Zbog
, tada možemo uzeti harmonijski niz kao standardni niz . Ovaj niz se divergira, pa se prema prvom znaku poređenja razilazi i serija koja se proučava.

Pošto je za ovu seriju i standardnu ​​seriju uslov ispunjen
(ovdje se koristi 1. izuzetna granica), a zatim na osnovu drugog kriterija poređenja serija
– razilazi se.

TEOREMA 5 (D'Alambertov test)

postoji konačna granica
, tada se niz konvergira na
i razilazi se na
.

Dokaz. Neka
. Uzmimo neki broj , zaključeno između i 1:
. Od uslova
slijedi da počevši od nekog broja važi nejednakost

;
;
(5)

Razmotrite seriju

Prema (5), svi članovi serije (6) ne prelaze odgovarajuće članove beskonačne geometrijske progresije
Zbog
, ova progresija je konvergentna. Odavde, zbog prvog kriterija poređenja, slijedi konvergencija niza

Dešava se
razmislite sami.

Bilješke :

slijedi da je ostatak serije

.

D'Alembertov test je pogodan u praksi kada zajednički pojam serije sadrži eksponencijalnu funkciju ili faktorijel.

Primjer 10. Ispitati konvergenciju serije prema D'Alembertovom znaku.

Ova serija je pozitivna i

.

(Ovdje se u proračunu L'Hopitalovo pravilo primjenjuje dva puta).

onda, po d'Alembertovom kriteriju, ovaj niz konvergira.

Primjer 11..

Ova serija je pozitivna i
. Zbog

onda se ovaj niz konvergira.

TEOREMA 6 (Cauchyjev test)

Ako je za pozitivnu seriju postoji konačna granica
, onda kada
serija konvergira i kada
red se razilazi.

Dokaz je sličan teoremi 5.

Bilješke :

Primjer 12. Ispitati konvergenciju serije
.

Ova serija je pozitivna, pošto
za bilo koga
. Od obračuna limita
uzrokuje određene poteškoće, onda izostavljamo provjeru izvodljivosti potrebnog kriterija za konvergenciju niza.

tada, prema Cauchyjevom kriteriju, ovaj niz divergira.

TEOREMA 7 (Integralni test za Maclaurin - Cauchy konvergenciju)

Neka bude data serija

čiji su uslovi pozitivni i ne rastu:

Neka, dalje
- funkcija koja je definirana za sve realne
, je kontinuiran, ne raste i

Prije nego počnete raditi s ovom temom, savjetujem vam da pogledate odjeljak s terminologijom za numeričke serije. Posebno je vrijedno obratiti pažnju na koncept zajedničkog člana serije. Ako sumnjate u ispravan izbor kriterija konvergencije, savjetujem vam da pogledate temu “Odabir kriterija konvergencije za brojevne nizove”.

Neophodan znak konvergencije brojevni red ima jednostavnu formulaciju: zajednički član konvergentnog niza teži nuli. Ova karakteristika se može formalnije napisati:

Ako niz $\sum\limits_(n=1)^(\infty)u_n$ konvergira, tada je $\lim_(n\to\infty)u_n=0$.

Često u literaturi, umjesto izraza „neophodan kriterijum za konvergenciju“, pišu „neophodan uslov za konvergenciju“. Međutim, pređimo na stvar: šta ovaj znak znači? A to znači sljedeće: ako je $\lim_(n\to\infty)u_n=0$, tada je serija Možda konvergirati. Ako je $\lim_(n\to\infty)u_n\neq 0$ (ili granica jednostavno ne postoji), tada se niz $\sum\limits_(n=1)^(\infty)u_n$ divergira.

Vrijedi napomenuti da jednakost $\lim_(n\to\infty)u_n=0$ ne znači konvergenciju niza. Niz se može ili konvergirati ili divergirati. Ali ako je $\lim_(n\to\infty)u_n\neq 0$, tada je zagarantovano da će serija divergirati. Ako ove nijanse zahtijevaju detaljna objašnjenja, otvorite bilješku.

Šta znači izraz „neophodan uslov“? prikaži\sakrij

Objasnimo pojam nužnog stanja na primjeru. Da kupim olovku za studenta neophodno imaju 10 rubalja. Može se napisati ovako: ako učenik kupi olovku, onda ima 10 rubalja. Imati deset rubalja je neophodan uslov za kupovinu olovke.

Neka je ovaj uslov zadovoljen, tj. učenik ima desetku. Da li to znači da će kupiti olovku? Ne sve. Može kupiti olovku, ili može sačuvati novac za kasnije. Ili kupite nešto drugo. Ili ih poklonite nekome - ima puno opcija :) Drugim riječima, ispunjenje neophodnog uslova za kupovinu olovke (tj. posjedovanje novca) uopće ne garantuje kupovinu ove olovke.

Na isti način, neophodan uslov za konvergenciju niza brojeva $\lim_(n\to\infty)u_n=0$ uopšte ne garantuje konvergenciju samog ovog niza. Jednostavna analogija: ako ima novca, učenik može, ali i ne mora kupiti olovku. Ako je $\lim_(n\to\infty)u_n=0$, niz može ili konvergirati ili divergirati.

Međutim, šta se dešava ako se ne ispuni neophodan uslov za kupovinu olovke, tj. nema novca? Tada učenik sigurno neće kupiti olovku. Isto je i sa redovima: ako nije zadovoljen nužni uslov za konvergenciju, tj. $\lim_(n\to\infty)u_n\neq 0$, tada će se serija definitivno razilaziti.

Ukratko: ako je nužni uslov ispunjen, onda se posljedica može, ali i ne mora dogoditi. Međutim, ako se ne ispuni nužni uvjet, onda definitivno neće nastupiti posljedica.

Radi jasnoće, dat ću primjer dvije serije: $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(n)$ i $\sum\limits_(n=1)^(\ infty)\frac( 1)(n^2)$. Zajednički član prve serije $u_n=\frac(1)(n)$ i zajednički član druge serije $v_n=\frac(1)(n^2)$ teže nuli, tj.

$$ \lim_(n\to\infty)u_n=\lim_(n\to\infty)\frac(1)(n)=0;\; \lim_(n\to\infty)v_n=\lim_(n\to\infty)\frac(1)(n^2)=0. $$

Međutim, harmonijski niz $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(n)$ divergira, a niz $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\ frac(1 )(n^2)$ konvergira. Ispunjenje potrebnog uslova konvergencije uopšte ne garantuje konvergenciju niza.

Na osnovu neophodnog uslova za konvergenciju niza možemo formulisati dovoljno dokaza o divergenciji serija brojeva:

Ako je $\lim_(n\to\infty)u_n\neq 0$, tada se niz $\sum\limits_(n=1)^(\infty)u_n$ divergira.

Najčešće se u standardnim primjerima provjerava potreban predznak konvergencije ako je zajednički član niza predstavljen razlomkom, čiji su brojnik i nazivnik određeni polinomi. Na primjer, $u_n=\frac(3n^2+2n-1)(5n^2+7)$ (vidi primjer br. 1). Ili mogu postojati korijeni iz polinoma (vidi primjer br. 2). Postoje primjeri koji donekle odstupaju od ove šeme, ali to je rijetko za standardne testove (vidi primjere u drugom dijelu ove teme). Dozvolite mi da naglasim glavnu stvar: korištenjem potrebnog kriterija nemoguće je dokazati konvergenciju niza. Ovaj znak se koristi kada treba da dokažete da se niz razilazi.

Primjer br. 1

Istražite konvergenciju niza $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(3n^2+2n-1)(5n^2+7)$.

Pošto je donja granica sabiranja 1, opšti član niza se piše pod znakom zbira: $u_n=\frac(3n^2+2n-1)(5n^2+7)$. Nađimo granicu općeg pojma serije:

$$ \lim_(n\to\infty)u_n=\lim_(n\to\infty)\frac(3n^2+2n-1)(5n^2+7)=\left|\frac(\infty) (\infty)\right|= \lim_(n\to\infty)\frac(\frac(3n^2)(n^2)+\frac(2n)(n^2)-\frac(1)( n^2))(\frac(5n^2)(n^2)+\frac(7)(n^2))= \lim_(n\to\infty)\frac(3+\frac(2) (n)-\frac(1)(n^2))(5+\frac(7)(n^2))=\frac(3+0-0)(5+0)=\frac(3) (5). $$

"Granica omjera dva polinoma". Pošto granica opšteg člana niza nije jednaka nuli, tj. $\lim_(n\to\infty)u_n=\frac(3)(5)\neq 0$, onda neophodni kriterijum za konvergenciju nije zadovoljen. Dakle, serija se razilazi.

Rješenje je potpuno, ali vjerujem da će se čitatelju postaviti sasvim razumno pitanje: kako smo uopće vidjeli da je potrebno provjeriti ispunjenost potrebnog uslova za konvergenciju? Postoji mnogo znakova konvergencije brojevnih nizova, pa zašto ste odabrali ovaj? Ovo pitanje uopšte nije prazno. Ali pošto odgovor na njega možda neće zanimati sve čitaoce, sakrio sam ga pod napomenom.

Zašto smo počeli koristiti upravo potreban kriterij za konvergenciju? prikaži\sakrij

Najblaže rečeno, pitanje konvergencije ove serije rješava se i prije formalne studije. Neću se doticati takve teme kao što je redosled rasta, samo ću dati neka opšta obrazloženja. Pogledajmo pobliže zajednički termin serije $u_n=\frac(3n^2+2n-1)(5n^2+7)$. Pogledajmo prvo brojilac. Broj (-1) koji se nalazi u brojiocu može se odmah odbaciti: ako je $n\to\infty$, onda će ovaj broj biti zanemarljivo mali u poređenju sa ostalim članovima.

Pogledajmo stepene $n^2$ i $n$ prisutne u brojiocu. Pitanje: Koji element ($n^2$ ili $n$) će rasti brže od ostalih?

Odgovor je jednostavan: $n^2$ će najbrže povećati svoje vrijednosti. Na primjer, kada je $n=100$, tada je $n^2=10\;000$. I ovaj jaz između $n$ i $n^2$ će postajati sve veći i veći. Stoga mentalno odbacujemo sve pojmove osim onih koji sadrže $n^2$. Nakon ovog „odbacivanja“, $3n^2$ će ostati u brojiocu. I nakon izvođenja slične procedure za nazivnik, ostat će $5n^2$. I razlomak $\frac(3n^2+2n-1)(5n^2+7)$ će sada postati: $\frac(3n^2)(5n^2)=\frac(3)(5)$ . One. u beskonačnosti opšti pojam očigledno neće težiti nuli. Ostaje samo da se to formalno pokaže, što je gore urađeno.

Često se u pisanju opšteg pojma niza koriste elementi kao što su, na primjer, $\sin\alpha$ ili $\arctg\alpha$ i slično. Samo trebate zapamtiti da vrijednosti takvih veličina ne mogu ići izvan određenih brojčanih granica. Na primjer, bez obzira na vrijednost $\alpha$, vrijednost $\sin\alpha$ će ostati unutar $-1≤\sin\alpha≤ 1$. To jest, na primjer, možemo napisati da je $-1≤\sin(n!e^n)≤ 1$. Zamislite sada da u notaciji opšteg člana niza postoji izraz kao što je $5n+\sin(n!e^n)$. Hoće li sinus, koji može samo da "fluktuira" od -1 do 1, imati neku značajnu ulogu? Na kraju krajeva, vrijednosti $n$ teže beskonačnosti, a sinus ne može čak ni prijeći jedan! Stoga, nakon preliminarnog razmatranja izraza $5n+\sin(n!e^n)$, sinus se može jednostavno odbaciti.

Ili, na primjer, uzmimo arktangens. Bez obzira na vrijednost argumenta $\alpha$, vrijednosti $\arctg\alpha$ će zadovoljiti nejednakost $-\frac(\pi)(2)<\arctg\alpha<\frac{\pi}{2}$. Т.е., например, в выражении вроде $7n^3+\sqrt{9n+100}-6\arctg(5^n+587n^{258})$ можно сразу отбросить арктангенс. Да и $\sqrt{9n+100}$ тоже, оставив при этом лишь $7n^3$.

Potrebno je malo vještine da se odredi koji elementi se mogu "odbaciti", a koji ne. Najčešće se pitanje konvergencije niza može riješiti i prije formalne studije. A formalno istraživanje u standardnim primjerima služi samo kao potvrda intuitivno dobivenog rezultata.

Odgovori: serija se razilazi.

Primjer br. 2

Ispitajte niz $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(\sqrt(4n^7+5n^3-4))(9n^2-n+12)$ za konvergenciju.

Pošto je donja granica zbrajanja 1, opšti član niza se piše pod znakom zbira: $u_n=\frac(\sqrt(4n^7+5n^3-4))(9n^2-n+12 )$. Nađimo granicu općeg pojma serije:

$$ \lim_(n\to\infty)u_n=\lim_(n\to\infty)\frac(\sqrt(4n^7+5n^3-4))(9n^2-n+12)=\ lijevo|\frac(\infty)(\infty)\right|= \lim_(n\to\infty)\frac(\sqrt(\frac(4n^7)(n^7)+\frac(5n^3) )(n^7)-\frac(4)(n^7)))(\frac(9n^2)(n^(\frac(7)(3)))-\frac(n)(n^ (\frac(7)(3)))+\frac(12)(n^(\frac(7)(3))))= \lim_(n\to\infty)\frac(\sqrt(4+ \frac(5)(n^4)-\frac(4)(n^7)))(\frac(9)(n^\frac(1)(3))-\frac(1)(n^ \frac(4)(3))+\frac(12)(n^\frac(7)(3)))=+\infty. $$

Ako način rješavanja ove granice postavlja pitanja, onda vam savjetujem da se okrenete temi “Granice s iracionalnošću treći dio” (primjer br. 7). Pošto granica opšteg člana niza nije jednaka nuli, tj. $\lim_(n\to\infty)u_n\neq 0$, tada neophodni kriterijum za konvergenciju nije zadovoljen. Dakle, serija se razilazi.

Hajde da pričamo malo sa pozicije intuitivnog rasuđivanja. U principu, ovdje je tačno sve što je rečeno u napomeni uz rješenje primjera br. Ako mentalno "odbacite" sve "beznačajne" članove u brojniku i nazivniku zajedničkog člana niza, tada će razlomak $\frac(\sqrt(4n^7+5n^3-4))(9n^2 -n+12)$ će poprimiti oblik: $\frac(\sqrt(4n^7))(9n^2)=\frac(n^2\sqrt(4n))(9n^2)=\frac( \sqrt(4n))(9)$ . One. Čak i prije formalne studije, postaje jasno da za $n\to\infty$ opći član serije neće težiti nuli. Prema beskonačnosti hoće, ali do nule neće. Stoga, ostaje samo da se to striktno pokaže, što je i učinjeno gore.

Odgovori: serija se razilazi.

Primjer br. 3

Istražite konvergenciju niza $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\left(5^n\sin\frac(8)(3^n)\right)$.

Pošto je donja granica sabiranja 1, opšti član niza se piše pod znakom zbira: $u_n=5^n\sin\frac(8)(3^n)$. Nađimo granicu općeg pojma serije:

$$ \lim_(n\to\infty)u_n=\lim_(n\to\infty)\left(5^n\sin\frac(8)(3^n)\right)=\lim_(n\to \infty)\frac(\sin\frac(8)(3^n))(\frac(1)(5^n))=\left|\frac(0)(0)\right|=\left| \begin(poravnano)&\frac(8)(3^n)\do 0;\\&\sin\frac(8)(3^n)\sim\frac(8)(3^n). \end(aligned)\right|=\lim_(n\to\infty)\frac(\frac(8)(3^n))(\frac(1)(5^n))=8\cdot\lim_ (n\do\infty)\lijevo(\frac(5)(3)\desno)^n=+\infty. $$

Pošto granica opšteg člana niza nije jednaka nuli, tj. $\lim_(n\to\infty)u_n\neq 0$, tada neophodni kriterijum za konvergenciju nije zadovoljen. Dakle, serija se razilazi.

Nekoliko riječi o transformacijama koje su izvršene prilikom izračunavanja granice. Izraz $5^n$ stavljen je u brojilac kako bi i brojnik i izraz imenioca bili beskonačno mali. One. za $n\to\infty$ imamo: $\sin\frac(8)(3^n)\to 0$ i $\frac(1)(5^n)\to 0$. A ako imamo omjer infinitezimalnih, onda možemo sigurno primijeniti formule navedene u dokumentu „Ekvivalentne beskonačno male funkcije“ (pogledajte tabelu na kraju dokumenta). Prema jednoj od ovih formula, ako je $x\to 0$, onda je $\sin x\sim x$. I imamo upravo takav slučaj: pošto je $\frac(8)(3^n)\do 0$, onda je $\sin\frac(8)(3^n)\sim\frac(8)( 3^n )$. Drugim riječima, izraz $\sin\frac(8)(3^n)$ jednostavno zamjenjujemo izrazom $\frac(8)(3^n)$.

Pretpostavljam da se može postaviti pitanje zašto smo pretvorili izraz $5^n\sin\frac(8)(3^n)$ u oblik razlomka, budući da je zamjena mogla biti izvršena i bez takve konverzije. Odgovor je sljedeći: zamjena se može izvršiti, ali da li će to biti legalno? Teorema o ekvivalentnim infinitezimalnim funkcijama daje nedvosmislenu naznaku da su takve zamjene moguće samo u izrazima oblika $\frac(\alpha(x))(\beta(x))$ (u ovom slučaju $\alpha(x)$ i $\beta (x)$ - beskonačno mali), koji se nalazi ispod predznaka granice. Dakle, pretvorili smo naš izraz u oblik razlomka, prilagođavajući ga zahtjevima teoreme.

Odgovori: serija se razilazi.

Primjer br. 4

Istražite konvergenciju niza $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(3^n)(n^2)$.

Pošto je donja granica sabiranja 1, zajednički član niza se piše pod znakom zbira: $u_n=\frac(3^n)(n^2)$. Zapravo, problem konvergencije ovog niza se lako rješava korištenjem D'Alembertovog testa. Međutim, neophodan test konvergencije se također može primijeniti.

Pogledajmo bliže uobičajeni termin serije. Brojač sadrži izraz $3^n$, koji, kako raste $n$, raste mnogo brže od $n^2$ koji se nalazi u nazivniku. Uporedite sami: na primjer, ako je $n=10$, onda $3^n=59049$, i $n^2=100$. I ovaj jaz se brzo povećava kako $n$ raste.

Sasvim je logično pretpostaviti da ako $n\to\infty$, onda $u_n$ neće težiti nuli, tj. neophodni uslov za konvergenciju neće biti zadovoljen. Ostaje samo da testiramo ovu vrlo uvjerljivu hipotezu i izračunamo $\lim_(n\to\infty)u_n=\lim_(n\to\infty)\frac(3^n)(n^2)$. Međutim, prije izračunavanja ove granice, naći ćemo pomoćno ograničenje funkcije $y=\frac(3^x)(x^2)$ za $x\to +\infty$, tj. Izračunajmo $\lim_(x\to +\infty)\frac(3^x)(x^2)$. Zašto ovo radimo: činjenica je da u izrazu $u_n=\frac(3^n)(n^2)$ parametar $n$ uzima samo prirodne vrijednosti ($n=1,2,3, \ldots$) , a argument $x$ funkcije $y=\frac(3^x)(x^2)$ uzima realne vrijednosti. Kada pronađemo $\lim_(x\to+\infty)\frac(3^x)(x^2)$ možemo primijeniti L'Hopitalovo pravilo:

$$ \lim_(x\to +\infty)\frac(3^x)(x^2)=\left|\frac(\infty)(\infty)\right|=|\text (primijenite L'Hopital's pravilo) |=\lim_(x\to +\infty)\frac(\left(3^x\right)")(\left(x^2\right)")=\lim_(x\to +\infty )\ frac(3^x\ln 3)(2x)=\\ =\frac(\ln 3)(2)\cdot\lim_(x\to +\infty)\frac(3^x)(x) =\ lijevo|\frac(\infty)(\infty)\right|=|\text(primijeni L'Hopitalovo pravilo)|=\frac(\ln 3)(2)\cdot\lim_(x\to +\ infty)\frac (\left(3^x\right)")(\left(x\right)")=\\ =\frac(\ln 3)(2)\cdot\lim_(x\to +\ infty)\frac (3^x\ln 3)(1)=\frac(\ln^2 3)(2)\cdot\lim_(x\to +\infty)3^x=+\infty. $$

Pošto je $\lim_(x\to +\infty)\frac(3^x)(x^2)=+\infty$, onda je $\lim_(n\to\infty)u_n=\lim_(n\to \ infty)\frac(3^n)(n^2)=+\infty$. Pošto je $\lim_(n\to\infty)u_n\neq 0$, tada nije zadovoljen neophodan uslov za konvergenciju niza, tj. dati niz se razilazi.

Odgovori: serija se razilazi.

Drugi primjeri nizova čija se konvergencija provjerava pomoću potrebnog testa konvergencije nalaze se u drugom dijelu ove teme.

VIŠA MATEMATIKA

Brojne serije

Predavanje.Brojne serije

1. Definicija brojevnog niza. Konvergencija

2. Osnovna svojstva brojevnih nizova

3. Serija sa pozitivnim pojmovima. Znakovi konvergencije

4. Naizmjenični redovi. Leibnizov test konvergencije

5. Naizmjenične serije

Pitanja za samotestiranje

Književnost

Predavanje. NUMERIČKA SERIJA

1. Definicija niza brojeva. Konvergencija.

2. Osnovna svojstva brojevnih nizova.

3. Serija sa pozitivnim pojmovima. Znakovi konvergencije.

4. Naizmjenični redovi. Leibnizov test konvergencije.

5. Naizmjenične serije.

1. Definicija brojevnog niza. Konvergencija

U matematičkim aplikacijama, kao iu rješavanju nekih problema u ekonomiji, statistici i drugim oblastima, uzimaju se u obzir zbirovi sa beskonačnim brojem pojmova. Ovdje ćemo dati definiciju šta se podrazumijeva pod takvim iznosima.

Neka je dat beskonačan niz brojeva

, , …, , …

Definicija 1.1. Brojne serije ili jednostavno blizu naziva se izraz (zbir) oblika

. (1.1) se nazivaju članovi jednog broja, – general ili n – mčlan serije.

Za definiranje serije (1.1) dovoljno je specificirati funkciju prirodnog argumenta

izračunavanje th člana niza po broju

Primjer 1.1. Neka

. Red (1.2)

pozvao harmonične serije .

Primjer 1.2. Neka

, Red (1.3)

pozvao generalizovani harmonijski niz. U posebnom slučaju kada

dobija se harmonijski niz.

Primjer 1.3. Neka

= . Red (1.4)

pozvao blizu geometrijske progresije.

Od članova serije (1.1) formiramo numeričku slijed parcijalaiznosi Gdje

– zbir prvih članova niza koji se zove n-th parcijalni iznos, tj. , , ,

…………………………….

, (1.5)

…………………………….

Redoslijed brojeva

uz neograničeno povećanje broja može:

1) imaju konačnu granicu;

2) nemaju konačnu granicu (granica ne postoji ili je jednaka beskonačnosti).

Definicija 1.2. Poziva se niz (1.1). konvergentno, ako niz njegovih parcijalnih suma (1.5) ima konačan limit, tj.

U ovom slučaju broj

pozvao iznos serija (1.1) i napisano je .

Definicija 1.3.Poziva se niz (1.1). divergentan, ako niz njegovih parcijalnih suma nema konačan limit.

Divergentnom nizu nije dodijeljen zbir.

Dakle, problem nalaženja zbira konvergentnog niza (1.1) je ekvivalentan izračunavanju granice niza njegovih parcijalnih suma.

Pogledajmo nekoliko primjera.

Primjer 1.4. Dokaži da je serija

konvergira i pronađi njen zbir.

Naći ćemo n- djelomični zbir ove serije

.

Generalni član

Predstavimo seriju u obliku .

Odavde imamo:

. Dakle, ovaj niz konvergira i njegov zbir je jednak 1:

Primjer 1.5. Ispitati konvergenciju serije

(1.6)

Za ovaj red

. Stoga se ova serija razlikuje.

Komentar. At

niz (1.6) je zbir beskonačnog broja nula i očigledno je konvergentan.

Primjer 1.6. Ispitati konvergenciju serije

(1.7)

Za ovaj red

U ovom slučaju, granica niza parcijalnih suma je

ne postoji, a serija se razilazi.

Primjer 1.7. Ispitajte niz geometrijske progresije (1.4) za konvergenciju:

Lako je to pokazati n-th parcijalni zbir niza geometrijske progresije na

je data formulom.

Razmotrimo slučajeve:

Zatim i.

Dakle, red konvergira i njegov zbir je jednak

Definicija niza brojeva i njegova konvergencija.

Neophodan znak konvergencije

Neka je beskonačan niz brojeva.

Definicija. Izraz

, (1)

ili, što je ista stvar, zove se numeričke serije, i brojevi https://pandia.ru/text/79/302/images/image005_146.gif" width="53" height="31"> – članovi serije. Poziva se član sa proizvoljnim brojemn-m, ili običan član serije.

Sam po sebi, izraz (1) nema neko specifično numeričko značenje, jer pri izračunavanju sume svaki put imamo posla samo sa konačnim brojem pojmova. Najprirodnije je definisati značenje ovog izraza na sljedeći način.

Neka je data serija (1).

Definicija. Sumanprvi članovi serije

pozvao n th parcijalni iznos red. Formiramo niz parcijalnih suma:

font-size:14.0pt">Sa neograničenim povećanjem brojanzbir uzima u obzir sve veći broj članova serije. Stoga je razumno dati takvu definiciju.

Definicija. Ako na postoji konačna granica niza parcijalnih suma https://pandia.ru/text/79/302/images/image011_76.gif" width="103" height="41"> naziva se iznos.

Ako je niz https://pandia.ru/text/79/302/images/image013_77.gif" width="80" height="31">, 2) ako je fluktuirajući. U oba slučaja kažu da serija nema zbir.

Primjer 1. Razmotrimo niz sastavljen od pojmova geometrijske progresije:

, (2)

gdje – se naziva prvi član progresije, a font-size:14.0pt"> Djelomični zbir ove serije na font-size:14.0pt">font-size:14.0pt">Odavde:

1) ako , onda

font-size:14.0pt">tj., niz geometrijske progresije konvergira i njegov zbir .

Konkretno, ako , red njegov zbir takođe konvergira.

Kada se https://pandia.ru/text/79/302/images/image026_42.gif" width="307" height="59 src="> njegov zbir također konvergira.

2) ako , onda , tj. serija (2) divergira.

3) ako je , tada red (2) ima oblik font-size:14.0pt"> i, tj. serija se razilazi(na font-size:18.0pt">) .

4) ako https://pandia.ru/text/79/302/images/image036_32.gif" width="265" height="37">. Za ovaj red

https://pandia.ru/text/79/302/images/image038_28.gif" width="253" height="31 src=">,

tj.gif" width="67" height="41"> ne postoji, stoga se i serija divergira(u ) .

Direktno izračunavanje sume niza, po definiciji, vrlo je nezgodno zbog teškoće eksplicitnog izračunavanja parcijalnih suma font-size:14.0pt"> i pronalaženja granice njihovog niza. Ali, ako se ustanovi da niz konvergira, njegov zbir se može izračunati približno, jer iz određivanja granice niza slijedi da za dovoljno velike. Stoga je dovoljno kada se proučavaju serije

1) poznaju tehnike koje vam omogućavaju da navedete konvergenciju niza bez pronalaženja njegove sume;

2) biti u stanju odreditifont-size:14.0pt">.gif" width="16 height=24" height="24"> sa određenom tačnošću.

Konvergencija brojevnih nizova se uspostavlja pomoću teorema koje se nazivaju testovi konvergencije.

Obavezni znak konvergencija

Ako se niz konvergira, tada njegov zajednički izraz teži nuli, tj. font-size:14.0pt">.gif" width="61 height=63" height="63"> divergira.

Primjer 2. Dokažite da je red 0 " style="border-collapse:collapse">

;

;

;

.

Rješenje.

A) https://pandia.ru/text/79/302/images/image051_28.gif" width="176" height="81 src="> se razilazi.

i stoga se serija razilazi. Rješenje koristi drugo izvanredno

limit: (vidi detalje).

B) font-size:14.0pt">, tj. sekvenca

- beskonačno

mala Pošto sa font-size:14.0pt">~ (vidi), onda ~ .

Uzimajući ovo u obzir, dobijamo:

To znači da se serija razilazi.

D) veličina fonta:14.0pt">,

dakle, serija se razilazi.

Stanje je neophodno, Ali nije dovoljno uslov za konvergenciju niza: postoji mnogo nizova za koje, ali koji se ipak razilaze.

Primjer 3. Istražite konvergenciju serije font-size:14.0pt"> Rješenje. primeti, to https://pandia.ru/text/79/302/images/image066_20.gif" width="119" height="59 src="> , tj. ispunjen je neophodan uslov za konvergenciju. Djelomičan iznos

lijevo">

- jednom

dakle font-size:14.0pt">, što znači da se serija razlikuje po definiciji.

Dovoljni znaci konvergencije pozitivnih serija

Neka . Zatim serijafont-size:14.0pt"> Znak za poređenje

Neka i serije su pozitivnih predznaka. Ako je nejednakost zadovoljena za sve, onda iz konvergencije niza slijedi konvergencija niza, a iz divergencije niza https://pandia.ru/text/79/302/images/image074_19.gif" širina ="55" visina="60">.

Ovaj znak ostaje na snazi ​​ako je nejednakost https://pandia.ru/text/79/302/images/image072_18.gif" width="60" height="24">, ali samo počevši od određenog broja. Može protumačiti na sljedeći način: ako se veći niz konvergira, onda manji konvergira još više ako se manji niz divergira, onda se i veći razilazi.

Primjer 4. Istražite konvergenciju serije 0 " style="margin-left:50.4pt;border-collapse:collapse">

;

Rješenje.

A) Imajte na umu da font-size:14.0pt"> za sve . Serija sa zajedničkim članom

konvergira jer je to niz geometrijske progresije sa nazivnikom (vidi primjer 1), stoga ovaj nizkonvergira poređenjem.

B) Uporedite red sa redom ..gif" width="91" height="29 src=">.gif" width="87" height="59"> divergira, što znači da se i ovaj niz divergira.

Uprkos jednostavnosti formulacije kriterijuma poređenja, u praksi je prikladnija sledeća teorema, koja je njegova posledica.

Granica poređenja

Neka https://pandia.ru/text/79/302/images/image071_17.gif" width="53" height="60 src="> – serija pozitivnih znakova. Ako postoji konačan I nije jednako nuli limit, zatim obje serije i

konvergiraju u isto vrijeme ili razilaze u isto vrijeme.

Serija koja se koristi za poređenje sa podacima često se bira kao serija obrasca . Takva serija se zove blizu Dirichleta. U primjerima 3 i 4 pokazano je da Dirichletov niz sa i divergira. Za sada je to moguće

Imajte na umu da je red veličine fonta:14.0pt"> .

Ako , onda serija pozvao harmonic. Harmonski niz se razilazi.

Primjer 5. Ispitati konvergenciju serijekoristeći ograničavajući kriterij poređenja, ako

;

;

;

Rješenje. a) Budući da za dovoljno veliki https://pandia.ru/text/79/302/images/image101_9.gif" width="31" height="23 src=">, i

~ onda ~ font-size:14.0pt">poređenja sa datim harmonijskim nizom font-size:14.0pt">, tj.

font-size:14.0pt"> Pošto je granica konačna i različita od nule, a harmonijski niz divergira, i ovaj niz se divergira.

B) Za dovoljno velike https://pandia.ru/text/79/302/images/image109_10.gif" width="111" height="31 src=">.gif" width="129" height="31 src=">.gif" width="132" height="64 src="> – generalni član serije sa kojom ćemo uporediti ovaj:

Veličina fonta:14.0pt">Serija se konvergira ( Dirichletova serija s veličinom fonta:16.0pt">), tako da i ovaj niz konvergira.

IN) , dakle beskonačno mali font-size:14.0pt"> moguće

zamijeniti vrijednošću koja mu je ekvivalentna(https://pandia.ru/text/79/302/images/image058_20.gif" width="13" height="21 src="> with font-size: 20.0pt">). ;

;

;

G)

;

.

1