Polinomski koeficijenti. Polinomski koeficijenti Pogledajte šta su “polinomski koeficijenti” u drugim rječnicima

Prilagođavanje krivulja i površina podacima pomoću regresije, interpolacije i izglađivanja

Curve Fitting Toolbox™ pruža aplikaciju i funkcionalnost za prilagođavanje krivulja i površina podacima. Kutija alata vam omogućava da izvršite istraživačku analizu podataka, podatke prije obrade i post-procesa, uporedite modele kandidata i uklonite nedostatke. Možete izvršiti regresijsku analizu koristeći priloženu biblioteku linearnih i nelinearnih modela ili definirati vlastite jednačine. Biblioteka obezbeđuje optimizovane parametre rešavača i početne uslove za poboljšanje kvaliteta vaših uklapanja. Alatni okvir takođe podržava tehnike neparametarskog modeliranja kao što su spline, interpolacija i izglađivanje.

Nakon što je napravljeno uklapanje, razne tehnike naknadne obrade mogu se primijeniti za crtanje, interpolaciju i ekstrapolaciju; procjena intervala povjerenja; i izračunavanje integrala i izvoda.

Početak rada

Naučite osnove alata Curve Fitting Toolbox

Linearna i nelinearna regresija

Prilagodite krivulje ili površine s linearnim i nelinearnim modelima biblioteke i prilagođenim modelima

Interpolacija

Prilagodite interpolacijske krive ili površine, procijenite vrijednosti između poznatih tačaka podataka

Smoothing

Prikladno izglađivanje koristi utor i lokaliziranu regresiju, izglađene podatke s pokretnim prosjekom i druge filtere

Pogodna naknadna obrada

Grafički izlaz, outliers, reziduali, intervali povjerenja, validacijski podaci, integrali i derivati, generira MATLAB ® kod

Splines

Kreirajte spline sa ili bez podataka; ppform, B-oblik, tenzorski proizvod, racionalni i stform tanki pločasti splinovi

Ako se nađe korijen za polinom n-tog stepena, onda možete smanjiti stepen polinoma konstruiranjem polinoma stepena čiji se svi korijeni poklapaju sa korijenima polinoma, osim što nema korijen.

Zapišimo relaciju koja povezuje polinome:

Uzimajući u obzir relaciju 6.3 o jednakosti dva polinoma istog stepena, možemo napisati relaciju koja povezuje koeficijente ovih polinoma. Ove relacije nije teško riješiti s obzirom na nepoznate koeficijente. Kao rezultat dobijamo:

(6.4)

Imajte na umu da postoje samo nepoznanice, ali jednačine se mogu konstruirati - . Ali poslednja jednačina je posljedica prethodnih i koristi se za kontrolu proračuna.

Isti postupak možete primijeniti na novi polinom - pronađite njegov korijen, a zatim smanjite stupanj polinoma. U stvarnosti, snižavanje stepena ne uvelike pojednostavljuje zadatak pronalaženja korijena, pa je najčešće lakše pronaći korijene originalnog polinoma promjenom početnih aproksimacija u iterativnom procesu ili pronalaženjem različitih intervala u kojima se polinom mijenja njegov znak.

Pronalaženje koeficijenata polinoma iz njegovih korijena

Do sada smo razmatrali problem pronalaženja korijena polinoma sa datim koeficijentima. Ponekad morate riješiti inverzni problem - pronaći koeficijente polinoma ako su njegovi korijeni poznati - . Postoji bezbroj polinoma sa istim korijenima. Međutim, među njima postoji jedan polinom sa koeficijentom jednakim jedan. Ovaj polinom se zove redukovani i mi ćemo ga konstruisati. Svi ostali polinomi se dobijaju iz datog polinoma množenjem svih koeficijenata sa proizvoljnim brojem, što samo zahteva da on ne bude jednak nuli. Stoga je za jedinstveno rješavanje problema potrebno specificirati n korijena i koeficijent vodećeg člana polinoma. Tada možemo napisati sljedeću jednakost:

Da bismo pronašli koeficijente polinoma, koristimo, kao i obično, relaciju 6.3. Ali teško ga je direktno primijeniti. Stoga ćemo koristiti proces inverzan procesu smanjenja stepena. Konstruirajmo prvo polinom prvog stepena koji ima jedan korijen. Zatim povećavamo stepen i konstruišemo polinom drugog stepena - , koji ima drugi koren - . Nastavljajući ovaj proces, dolazimo do željenog polinoma. Prilikom izračunavanja koeficijenata novog polinoma koristićemo koeficijente već izračunatog polinoma za jedan manji stepen. Rezultirajuće relacije su bliske onima datim za slučaj smanjenja stepena polinoma.

Koeficijenti polinoma prvog stepena ispisuju se eksplicitno:

Koeficijenti polinoma k-tog stepena se izračunavaju preko koeficijenata polinoma k-1 stepena:

Prelazeći na koeficijente, dobijamo sledeće jednačine:

(6.5)

U odnosu 6.5, koeficijenti polinoma stepena su označeni sa . U stvari, krug je siguran i omogućava čitanje koeficijenata na istom mjestu, bez potrebe za dodatnom memorijom. Dat ću algoritam za izračunavanje koeficijenata polinoma iz njegovih korijena u obliku dijagrama bliskog jeziku C#.

Izračunati:

//Izračunajte koeficijente polinoma prvog stepena a= 1; a = -x; //prolazimo kroz broj polinoma for(int k=2;k<=n; k++) { //Вычисляем коэффициенты полинома степени k //Вначале старший коэффициент a[k]= a; //затем остальные коэффициенты, кроме последнего for(int i=k-1;i>0; i--) ( a[i] = a- a[i]*x; ) //sada najniži koeficijent a= -a*x; ) //Posljednja faza je množenje koeficijenata sa for(int i=0; i<=n; i++) a[i] = a[i]*an;

Lagrangeov polinom

Neka je data tačka na ravni: . Lagrangeov polinom je polinom n-tog stepena koji prolazi kroz sve tačke. Ako tačke ne formiraju povrate, onda takav polinom postoji i jedinstven je. Pod povratkom podrazumijevamo situaciju u kojoj postoje dvije točke i takve da .

Kako konstruisati takav polinom? Lagrange je predložio sljedeći algoritam. Polinom je konstruisan kao zbir polinoma n-tog stepena:

Svaki od polinoma uključenih u zbir je konstruisan na sledeći način. Korijeni polinoma su sve točke osim točke . Jedinstvenost je osigurana činjenicom da je koeficijent vodećeg člana an odabran tako da polinom prolazi kroz tačku . U Lagrangeovoj notaciji, polinom izgleda ovako:

Ako je izraz polinom u odnosu na neku varijablu x, dat ne u uobičajenom obliku a 0 + a 1 x + a 2 x 2 +..., već kao proizvod drugih, jednostavnijih polinoma, tada su koeficijenti a 0 + a 1 + a 2 su laki određuju Mathcad procesor simbola. Sami koeficijenti mogu biti funkcije (ponekad prilično složene) drugih varijabli.

Rice. 5.10. Proračun polinomskih koeficijenata

Za izračunavanje polinomskih koeficijenata u izrazu pomoću menija (Slika 5 10):

• Unesite izraz.
• U njemu izaberite ime varijable ili izraza za koji želite da izračunate polinomske koeficijente (u primeru na slici 5.10 to je varijabla z).
• Pokrenite naredbu Simbolički / Polinomski koeficijenti.

Kao rezultat, pod izrazom će se pojaviti vektor koji se sastoji od polinomskih koeficijenata. Prvi element vektora je slobodni termin a 0, drugi je 1, itd.

Specifičan problem koji zahteva izračunavanje koeficijenata polinoma dat je u odjeljku posvećenom numeričkom razdvajanju korijena polinoma (vidi odjeljak „Korijeni polinoma“ u 8. poglavlju).

Da biste izračunali polinomske koeficijente pomoću operatora simboličkog zaključivanja:

• Unesite izraz.
• Kliknite na dugme Coefs na ploči sa simbolima.
• Unesite polinomski argument u čuvar mjesta nakon umetnute ključne riječi coefs.
• Unesite operator simboličkog izlaza ->
• Pritisnite tipku .

Primjeri izračunavanja polinomskih koeficijenata dati su u Listinama 5.7 i 5.8. Listing 5.7 prikazuje izračunavanje koeficijenata za različite argumente. Posljednji popis pokazuje mogućnost određivanja koeficijenata ne samo za pojedinačne varijable, već i za složenije izraze uključene u formulu o kojoj je riječ kao komponenta.

Listing 5.7. Proračun polinomskih koeficijenata

Listing 5.8. Izračunavanje polinomskih koeficijenata za jednostavnu varijablu i izraz

Ako je izraz polinom u odnosu na neku varijablu x, dat ne u uobičajenom obliku a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + ..., već kao proizvod drugih, jednostavnijih polinoma, tada koeficijenti a 0 + a 1 + a 2 se lako određuju simbolički Mathcad procesor. Sami koeficijenti mogu biti funkcije (ponekad prilično složene) drugih varijabli.

Rice. 5.10. Proračun polinomskih koeficijenata

Za izračunavanje polinomskih koeficijenata ( Polinomski koeficijenti) u izrazu pomoću menija (slika 5 10):

• Unesite izraz.
• U njemu izaberite ime varijable ili izraza za koji želite da izračunate polinomske koeficijente (u primeru na slici 5.10 to je varijabla z).
• Pokrenite komandu Simbolički › Polinomski koeficijenti(Simbolika › Polinomski koeficijenti).

Kao rezultat, pod izrazom će se pojaviti vektor koji se sastoji od polinomskih koeficijenata. Prvi element vektora je slobodni termin a 0, drugi je 1, itd.

Specifičan problem koji zahteva izračunavanje koeficijenata polinoma dat je u odjeljku posvećenom numeričkom razdvajanju korijena polinoma (vidi odjeljak „Korijeni polinoma“ u 8. poglavlju).

Da biste izračunali polinomske koeficijente pomoću operatora simboličkog zaključivanja:

• Unesite izraz.
• Kliknite na dugme Coefs na panelu Symbolic(Simbolizam).
• Upišite čuvar mjesta nakon umetnute ključne riječi koef polinomski argument.
• Unesite operator simboličkog izlaza →
• Pritisnite tipku Enter.

Primjeri izračunavanja polinomskih koeficijenata dati su u listama 5.7 i 5.8. Listing 5.7 prikazuje izračunavanje koeficijenata za različite argumente. Posljednji popis pokazuje mogućnost određivanja koeficijenata ne samo za pojedinačne varijable, već i za složenije izraze uključene u formulu o kojoj je riječ kao komponenta.

Listing 5.7. Izračunavanje polinomskih koeficijenata:

Listing 5.8. Izračunavanje polinomskih koeficijenata za jednostavnu varijablu i izraz:

• 1. metoda pomoću grafa;
• 2. metoda pomoću funkcije Excel =LINEST();

Pročitajte više o polinomu i kako ga izračunati u Excelu kasnije u našem članku.

Polinomski trend koristi se za opisivanje vrijednosti vremenskih serija koje se naizmjenično povećavaju i smanjuju. Polinom je odličan za analizu velikog skupa podataka nestabilne veličine (na primjer, prodaja sezonskih artikala).

Šta je polinom? Polinom je funkcija stepena y=ax 2 +bx+c (polinom drugog stepena) i y=ax 3 +bx 2 +cx+d (polinom trećeg stepena) itd. Polinomski stepen određuje broj ekstrema (vrhova), tj. maksimalne i minimalne vrijednosti u analiziranom vremenskom periodu.

U polinom drugog stepena y=ax 2 +bx+c (1 maksimum na grafikonu ispod).

U Polinom trećeg stepena y=ax 3 +bx 2 +cx+d možda jedan ili dva ekstrema.

Jedna krajnost

Dva ekstrema

U Polinom četvrtog stepena dosta tri krajnosti itd.

Kako izračunati vrijednosti polinoma u Excelu?

Postoje 3 načina za izračunavanje vrijednosti polinoma u Excelu:

• 1. metoda pomoću grafa;
• 2. metoda koristeći Excel funkciju = LINEST;
• 3. metoda koristeći Forecast4AC PRO;

1. način izračunavanja polinoma - korištenjem grafa

Odabiremo niz sa vrijednostima i gradimo graf vremenske serije.

Dodamo grafu polinom 6. stepena.

Zatim, u formatu linije trenda, označite okvir "prikaži jednačinu na grafikonu"

Jednačina se zatim prikazuje kao y = 3,7066x 6 - 234,94x 5 + 4973,6x 4 - 35930x 3 - 7576,8x 2 + 645515x + 5E+06. Da bi zadnji koeficijent bio čitljiv, držimo lijevu tipku miša i odabiremo polinomsku jednačinu

Kliknite desnim tasterom miša i izaberite "format oznake linije trenda"

U postavkama naslova linije trenda odaberite broj i u formatima brojeva odaberite "Numerički".

Dobijamo polinomsku jednačinu u čitljivom formatu:

y = 3,71x 6 - 234,94x 5 + 4,973,59x 4 - 35,929,91x 3 - 7,576,79x 2 + 645,514,77x + 4,693,169,35

Iz ove jednačine uzimamo koeficijente a, b, c, d, g, m, v i unesite u odgovarajuće Excel ćelije

Svakom periodu u vremenskoj seriji dodjeljujemo serijski broj, koji ćemo zamijeniti u jednadžbi umjesto X.

Izračunajmo vrijednosti polinoma za svaki period. Da biste to uradili, unesite polinomsku formulu y = 3,71x 6 - 234,94x 5 + 4,973,59x 4 - 35,929,91x 3 - 7,576,79x 2 + 645,514,77x + 4,693,16 koeficijenta u vezi sa prvim koeficijentom (koeficijentom)

R2C8 *RC[-3]^6+ R3C8 *RC[-3]^5+ R4C8 *RC[-3]^4+ R5C8 *RC[-3]^3+ R6C8 *RC[-3]^2+ R7C8 *RC[-3]+ R8C8

R2C8*RC[-3] ^6 +R3C8*RC[-3]^5 +R4C8*RC[-3]^4 +R5C8*RC[-3]^3 +R6C8*RC[-3]^2 +R7C8*RC[-3] +R8C8

Drugi način izračunavanja polinoma u Excelu - funkcija LINEST()

Izračunajmo koeficijente linearnog trenda koristeći standard Excel funkcije =LINEST()

Za izračunavanje koeficijenata u formuli =LINEST(poznate y vrijednosti, poznate vrijednosti x, konstanta, statistika) unesite:

• "poznate vrijednosti y" (obim prodaje za periode),
• "poznate x vrijednosti" (redni broj vremenske serije),
• postavite "1" na konstantu
• na statistiku "0"

Dobijamo sljedeću formulu:

LINEST(R[-4]C:R[-4]C;R[-5]C:R[-5]C;1;0),

Sada, za formulu Linear() izračunao koeficijente polinoma, trebamo mu dodati stepen polinoma čije koeficijente želimo izračunati.

Da bismo to učinili, u dio formule s "poznatim vrijednostima x" unosimo polinomski stepen:

• ^(1:2:3:4:5:6) - za izračunavanje koeficijenata polinoma 6. stepena
• ^(1:2:3:4:5) - za izračunavanje koeficijenata polinoma 5. stepena
• ^(1:2) - za izračunavanje koeficijenata polinoma 2. stepena

Dobijamo sljedeću formulu:

LINEST(R[-4]C:R[-4]C; R[-5]C:R[-5]C^(1:2:3:4:5:6) ; 1; 0)

Unesite formulu u ćeliju, dobićemo 3,71 -- vrijednost (a) za polinom 6. stepena y=ax^6+bx^5+cx^4+dx^3+gx^2+mx+v

Da bi Excel izračunao svih 7 polinomskih koeficijenata 6. stepen y=ax^6+bx^5+cx^4+dx^3+gx^2+mx+v, potrebno je:

1. Postavite kursor u ćeliju sa formulom i odaberite 7 susjednih ćelija desno, kao na slici:

2. Pritisnite taster F2

Dobijamo 7 polinomskih trend koeficijenata 6. stepena.

Izračunajmo vrijednosti polinomskog trenda koristeći dobijene koeficijente. Zamijenite u jednačinu y=3,7* x ^ 6 -234,9* x ^ 5 +4973,5* x ^ 4 -35929,9 * x^3 -7576,7 * x^2 +645514,7* x +4693169,3 za koje želimo brojeve perioda X izračunati vrijednosti polinoma.

Svakom periodu u vremenskoj seriji dodjeljujemo serijski broj, koji ćemo zamijeniti u polinomskoj jednadžbi umjesto X.

Izračunajmo vrijednosti polinomskog trenda za svaki period. Da biste to učinili, unesite polinomsku formulu u prvu ćeliju i popravite veze s koeficijentima trenda (vidi)

Dobijamo sljedeću formulu:

R2C8 *RC[-3]^6+R3C8 *RC[-3]^5+R4C8 *RC[-3]^4+R5C8 *RC[-3]^3+R6C8 *RC[-3]^2+ R7C8 *RC[-3]+R8C8

u kojoj su koeficijenti trenda fiksni i umjesto “x” zamjenjujemo referencu na broj trenutne vremenske serije (za prvu vrijednost je 1, za drugu 2, itd.)

Također podižemo "X" na odgovarajuću potenciju (ikona "^" u Excelu znači podizanje na stepen)

R2C8*RC[-3]^6 +R3C8*RC[-3]^5 +R4C8*RC[-3]^4 +R5C8*RC[-3]^3 +R6C8*RC[-3]^2 + R7C8*RC[-3]+R8C8

Sada proširujemo formulu do kraja vremenske serije i dobijamo izračunate vrijednosti polinomskog trenda za svaki period.

Druga metoda je tačnija od prve, jer Dobijamo koeficijente trenda bez zaokruživanja, a ovaj proračun je također brži.

Treći način izračunavanja vrijednosti polinomskog trenda - Forecast4AC PRO

Postavite kursor na početak vremenske serije

Idite na postavke Forecast4AC PRO, odaberite „Prognoza s rastom i sezonalnošću“, „Polinom 6. stepena“, kliknite na dugme „Izračunaj“.

Idemo na list s izračunom korak po korak "ForPol6", pronađite liniju "Trend u nastajanju":

Kopirajte vrijednosti na naš list.

Dobijamo vrijednosti polinoma 6. stepena, izračunate na 3 načina koristeći:

1. Polinomski koeficijenti trenda ucrtani na graf;
2. Polinomski koeficijenti izračunati pomoću funkcije Excel =LINEST
3. i sa Forecast4AC PRO pritiskom na tipku, brzo i jednostavno.

Pridruži nam se!

Preuzmite besplatne aplikacije za predviđanje i poslovnu analizu:

• Novo Prognoza Lite- automatski kalkulacija prognoze V Excel.
• 4analytics - ABC-XYZ analiza i analiza emisija Excel.
• Qlik Sense Desktop i QlikViewPersonal Edition - BI sistemi za analizu i vizualizaciju podataka.

Testirajte mogućnosti plaćenih rješenja:

• Novo Prognoza PRO- predviđanje u Excelu za velike skupove podataka.