FEDERALNA AGENCIJA ZA OBRAZOVANJE

FILIJALA STERLITAMAK

DRŽAVNA OBRAZOVNA USTANOVA

VISOKO STRUČNO OBRAZOVANJE

"BAŠKIR DRŽAVNI UNIVERZITET"

Ekonomski fakultet

Departman za matematiku i informatiku

Rad na kursu

na temu:

Beselove funkcije

Završio student 2. godine

grupa PMII-08

Alexandrova A.Yu._______

"___"___________2010

Naučni direktor

dr., čl. itd.

Sidorenko O.G._______

"___"___________2010

Sterlitamak 2010

Uvod

1 Beselove funkcije s pozitivnim cijelim predznakom

2 Beselove funkcije sa proizvoljnom ikonom

3 Opći prikaz cilindričnih funkcija. Beselove funkcije druge vrste

4 Proširenje Beselove funkcije druge vrste u nizu sa predznakom cijelog broja

5 Beselove funkcije treće vrste

6 Beselove funkcije imaginarnog argumenta

7 Cilindrične funkcije s indeksom jednakim polovini neparnog cijelog broja

8 Asimptotski prikazi cilindričnih funkcija za velike vrijednosti argumenta

9 Nule cilindričnih funkcija

Zaključak

Bibliografija

Uvod

Cilindrične funkcije su rješenja linearne diferencijalne jednadžbe drugog reda

gdje je kompleksna varijabla,

Termin “cilindrične funkcije” duguje svoje porijeklo činjenici da se jednačina (1) javlja kada se razmatraju problemi graničnih vrijednosti teorije potencijala za cilindrično područje.

Posebne klase cilindričnih funkcija poznate su u literaturi kao Beselove funkcije, a ponekad se ovaj naziv dodeljuje čitavoj klasi cilindričnih funkcija.

Dobro razvijena teorija funkcija koje se razmatraju, dostupnost detaljnih tablica i širok spektar primjena daju dovoljan razlog da se cilindrične funkcije klasificiraju kao jedne od najvažnijih specijalnih funkcija.

Beselova jednačina nastaje pri pronalaženju rješenja Laplaceove jednačine i Helmholtzove jednačine u cilindričnim i sfernim koordinatama. Stoga se Besselove funkcije koriste u rješavanju mnogih problema o širenju valova, statičkim potencijalima itd., na primjer:

1) elektromagnetni talasi u cilindričnom talasovodu;

2) toplotnu provodljivost u cilindričnim objektima;

3) modovi vibracija tanke okrugle membrane;

4) brzina čestica u cilindru ispunjenom tečnošću i rotirajući oko svoje ose.

Beselove funkcije se također koriste u rješavanju drugih problema, na primjer, u obradi signala.

Cilindrične Beselove funkcije su najčešće od svih specijalnih funkcija. Imaju brojne primjene u svim prirodnim i tehničkim naukama (posebno u astronomiji, mehanici i fizici). U brojnim problemima iz matematičke fizike, postoje cilindrične funkcije u kojima argument ili indeks (ponekad oba) poprimaju kompleksne vrijednosti. Za numerički rješavanje ovakvih problema potrebno je razviti algoritme koji omogućavaju izračunavanje Besselovih funkcija s velikom preciznošću.

Svrha kursa: proučavanje Beselovih funkcija i primjena njihovih svojstava u rješavanju diferencijalnih jednadžbi.

Zadaci:

1) Proučite Beselovu jednačinu i modifikovanu Beselovu jednačinu.

2) Razmotriti osnovna svojstva Beselovih funkcija, asimptotske reprezentacije.

3) Riješite diferencijalnu jednačinu koristeći Beselovu funkciju.

1 Besselove funkcije s pozitivnim cijelim predznakom

Za razmatranje mnogih problema povezanih s upotrebom cilindričnih funkcija, dovoljno je da se ograničimo na proučavanje posebne klase ovih funkcija, što odgovara slučaju kada je parametar u jednadžbi (1) jednak nuli ili pozitivnom cijelom broju.

Proučavanje ove klase je elementarnije od teorije koja se odnosi na proizvoljne vrijednosti i može poslužiti kao dobar uvod u ovu opštu teoriju.

Pokažimo da je jedno od rješenja jednačine

0, 1, 2, …, (1.1)

je Besselova funkcija prve vrste reda, koja je za bilo koju vrijednost definirana kao zbir niza

(1.2)

Koristeći d'Alembertov test, lako je provjeriti da se razmatrani niz konvergira na cijeloj ravni kompleksne varijable i, prema tome, predstavlja cijelu funkciju od .

Ako lijevu stranu jednačine (1.1) označimo sa i uvedemo skraćeni zapis za koeficijente serije (1.2), stavljamo

onda kao rezultat zamjene dobijamo

iz čega slijedi da je izraz u vitičastim zagradama jednak nuli. Dakle, funkcija zadovoljava jednačinu (1.1), tj. radi se o cilindričnoj funkciji.

Najjednostavnije funkcije klase koja se razmatra su Besselove funkcije reda nula i jedan:

(1.3)

Pokažimo da se Beselove funkcije drugih redova mogu izraziti u terminima ove dvije funkcije. Da biste to dokazali, pretpostavite da je a pozitivan cijeli broj, pomnožite niz (1.2) sa i diferencirajte s obzirom na . Onda ćemo to dobiti

(1.4)

Slično, množenjem niza sa nalazimo

(1.5)

Nakon diferenciranja u jednakosti (1.4 – 1.1) i dijeljenja sa faktorom dolazimo do formula:

(1.6)

što direktno slijedi:

(1.7)

Rezultirajuće formule poznate su kao rekurentne relacije za Besselove funkcije.

Prva od relacija omogućava da se funkcija proizvoljnog reda izrazi kroz funkcije reda nula i jedan, što značajno smanjuje posao sastavljanja tabela Besselovih funkcija.

Druga relacija omogućava predstavljanje derivata Beselovih funkcija kroz Beselove funkcije. Da bi se ovaj odnos zamijenio formulom

(1.9)

direktno proizilazeći iz definicije ovih funkcija.

Beselove funkcije prve vrste jednostavno su povezane s koeficijentima proširenja funkcije u seriji Laurent):

(1.10)

Koeficijenti ove ekspanzije mogu se izračunati množenjem niza stepena:

i udruženja članova koji imaju iste diplome. Nakon što smo ovo uradili, dobijamo:

(1.11)

iz čega slijedi da se proširenje koje razmatramo može zapisati u obliku

Funkcija se naziva generirajuća funkcija za Besselove funkcije sa predznakom cijelog broja; pronađena relacija (1.12) igra važnu ulogu u teoriji ovih funkcija.

Da bi se dobio opći integral jednadžbe (1.1), koji daje izraz za proizvoljnu cilindričnu funkciju s cijelim predznakom , potrebno je konstruirati drugo rješenje jednadžbe, linearno nezavisno od . Kao takvo rješenje može se uzeti Besselova funkcija druge vrste, na osnovu čije definicije je lako dobiti analitički izraz za nju u obliku niza

Gdje

( je Eulerova konstanta) i, u slučaju , prva suma bi trebala biti jednaka nuli.

Funkcija je pravilna u ravni sa rezom. Bitna karakteristika rješenja koje se razmatra je da ide u beskonačnost kada . Opšti izraz cilindrične funkcije za predstavlja linearnu kombinaciju konstruisanih rješenja

gdje su i proizvoljne konstante,

2 Beselove funkcije sa proizvoljnom ikonom

Beselova cilindrična funkcija

Beselove funkcije o kojima se govori u paragrafu 1 predstavljaju poseban slučaj cilindričnih funkcija opšteg oblika, poznatih kao Beselove funkcije prve vrste sa proizvoljnim predznakom. Da biste odredili ove funkcije, razmotrite niz

gdje je kompleksna varijabla koja pripada ravni sa rezom

– parametar koji može uzeti bilo koju realnu ili kompleksnu vrijednost.

Lako je vidjeti da ovaj niz konvergira za bilo koje i , au području , (su proizvoljno veliki fiksni brojevi) konvergencija je uniformna u odnosu na svaku od varijabli.

Zaista, počevši od dovoljno velikog , omjer modula sljedećeg člana serije prema prethodnom jednak je vrijednosti

neće premašiti neki pravi pozitivni razlomak neovisno o i . Odavde, prema dobro poznatom kriterijumu konvergencije, sledi da razmatrani niz konvergira jednolično u naznačenom području.

Pošto su članovi niza regularne funkcije u ravni sa rezom, zbir niza određuje neku funkciju kompleksne varijable koja je pravilna u ravnini preseka koja se razmatra. Ova funkcija se naziva Beselova funkcija prve vrste sa indeksom i označava se simbolom. dakle,

(2.1)

Lako je pokazati da je funkcija definirana na ovaj način posebno rješenje jednačine

(2.2)

Zaista, označavajući lijevu stranu ove jednačine i postavku , nalazimo, baš kao u točki 1,

gdje su koeficijenti serije (2.1),

odakle to sledi

Budući da za fiksnu , koja pripada ravnini sa rezom, članovi serije (2.1) predstavljaju cijele funkcije varijable , onda iz uniformne konvergencije u odnosu na ovu varijablu slijedi da je Besselova funkcija prve vrste, smatrana kao funkcija njegovog znaka, je cijela funkcija . Za cijeli broj i niz (2.1) ide u niz (1.2), stoga su funkcije definirane u ovom dijelu generalizacija Beselovih funkcija s pozitivnim cijelim brojem, proučavane u paragrafu 2. Za jednak negativan cijeli broj, prvi članovi serije (2.1) pretvoriti u nulu, a formula o kojoj je riječ može se napisati kao

odakle sledi

(2.3)

Dakle, Besselove funkcije s negativnim cijelim predznakom razlikuju se od odgovarajućih funkcija s pozitivnim predznakom samo za konstantan faktor.

Rezultirajući odnos zajedno sa formulama (1.10 – 1.11) pokazuje da se proširenje (1.12) može zapisati u obliku

(2.4)

Mnoge ranije utvrđene jednakosti za Besselove funkcije s pozitivnim cijelim predznakom prenose se na funkcije s proizvoljnim indeksom bez ikakvih promjena. Tako, na primjer, vrijede sljedeće relacije:

(2.5)

(2.6)

(2.7)

predstavlja generalizaciju odgovarajućih formula iz stava 2. Dokaz formula (2.5 – 2.6) ponavlja obrazloženje ovog odeljka i stoga nije dat. Formule (2.7) se dobijaju ponovljenom primjenom jednakosti (2.6).

3 Opći prikaz cilindričnih funkcija. Beselove funkcije druge vrste

Po definiciji, cilindrična funkcija je proizvoljno rješenje diferencijalne jednadžbe drugog reda

(3.1)

stoga je njegov opšti izraz sadržan u obliku

gdje su i bilo koja linearno nezavisna rješenja jednadžbe koja se razmatra, i konstante, koje su, općenito govoreći, proizvoljne funkcije parametra . Lako je dobiti opći izraz za cilindričnu funkciju za slučaj kada se razlikuje od cijelog broja. Zaista, odabirom , gdje je Besselova funkcija definirana u paragrafu 2, možemo uzeti kao funkciju , što je također rješenje jednadžbe (3.1), budući da se potonja ne mijenja kada se zamijeni sa .

Ako nije jednako cijelom broju, asimptotično ponašanje razmatranih rješenja bit će

(3.3)

dakle, ova rješenja su linearno nezavisna jedno od drugog i željeni izraz za cilindričnu funkciju može se dati u obliku

(3.4)

Ako je cijeli broj, onda su, na osnovu relacije (2.3), konstruirana parcijalna rješenja linearno zavisna jedno od drugog i pronađeni izraz (3.4) nije opći integral Besselove jednačine (3.1). Da bismo dobili prikaz proizvoljne cilindrične funkcije, pogodne za bilo koju vrijednost parametra, uvodimo u razmatranje Besselovu funkciju druge vrste, koju za proizvoljne koje pripadaju ravnini s rezom definiramo pomoću jednakosti

(3.5)

Kada je broj jednak cijelom broju, desna strana izraza koji se razmatra poprima neodređeni oblik (2.3) i slažemo se da vrijednost funkcije u ovom slučaju shvatimo kao granicu

(3.6)

Kako su, prema onome što je dokazano, brojilac i nazivnik u (3.5) cijele funkcije, dotična granica postoji i može se izračunati korištenjem L'Hopitalovog pravila, čija primjena daje

(3.7)

Iz definicije funkcije proizlazi da je ova funkcija pravilna u ravnini sa rezom, a kada je fiksirana, ona je cijela funkcija parametra. Dokažimo sada da ona zadovoljava jednačinu (3.1) i da je stoga cilindrična funkcija. Za , različit od cijelog broja, traženi rezultat slijedi direktno iz formule (3.4), pa je dovoljno izvršiti dokaz samo za slučaj

Najlakši način za to je korištenje principa analitičkog nastavka. Pošto je cijela funkcija, to slijedi iz jednakosti

Rješenja i su linearno nezavisni jedno od drugog. Jer ovaj rezultat je posljedica linearne neovisnosti rješenja i . Linearna nezavisnost za slijedi iz poređenja ponašanja razmatranih funkcija za [formule (3.3) i (3.4)]. Dakle, opći izraz cilindrične funkcije, pogodan za bilo koje vrijednosti od , bit će

Beselove funkcije druge vrste zadovoljavaju iste rekurentne odnose kao funkcije prve vrste, naime:

(3.9)

Za , različito od cijelog broja, valjanost ovih formula proizlazi iz definicije Besselove funkcije druge vrste i odgovarajućih formula za funkcije prve vrste. Za cijeli broj, traženi rezultat proizlazi iz kontinuiteta razmatranih funkcija u odnosu na predznak , što nam omogućava da izvršimo prijelaz do granice u relacijama (3.9)

Zapazimo i formulu

(3.10)

što je posljedica (3.7) i omogućava nam da proračun funkcija s negativnim cijelim predznakom svedemo na proračun funkcija čiji je indeks pozitivan.

Promjenom varijabli u jednačini (3.1) lako je dobiti niz drugih diferencijalnih jednačina, čiji se opći integral može izraziti u terminima cilindričnih funkcija. Najzanimljivije jednadžbe ovog tipa za primjenu su razni specijalni slučajevi diferencijalnih jednadžbi

(3.11)

čiji će opšti integrali prema tome biti:

(3.12)

gdje označava proizvoljnu cilindričnu funkciju.

4 Proširivanje Beselove funkcije druge vrste u nizu sa predznakom cijelog broja

Da bismo dobili proširenje funkcije u niz, dovoljno je koristiti formulu (3.7) i izračunati izvode u odnosu na predznak na osnovu proširenja (2.1), a s obzirom na relaciju (3.10) možemo se ograničiti na razmatranje slučaja pozitivnih cijelih brojeva

Budući da niz (2.1), kao što je dokazano, konvergira uniformno u odnosu na , možemo ga razlikovati po članu, a zatim dobiti

gdje je logaritamski izvod gama funkcije.

Slično imamo

At I prema tome, prvi članovi serije poprimaju neodređeni oblik. Koristeći dobro poznate formule teorije gama funkcije

;

dobijamo za takve

gdje je predstavljena nova ikona sumiranja

Iz formule (3.7) slijedi da željena ekspanzija Besselove funkcije druge vrste s pozitivnim cijelim predznakom ima oblik

pri čemu u slučaju prvi zbir mora biti jednak nuli.

Vrijednosti logaritamskog izvoda gama funkcije mogu se izračunati pomoću formula:

(4.2)

gdje je Ojlerova konstanta,

Uzimajući u obzir jednakost (1.2), možemo prikazati ekspanziju (4.1) u nešto drugačijem obliku, i to:

(4.3)

Iz (4.1) slijedi da za asimptotske formule vrijede

(4.4)

pokazujući da kada

5 Beselove funkcije treće vrste

Cilindrične funkcije također uključuju Besselove funkcije treće vrste ili Hankelove funkcije i , koje se za proizvoljnu i pripadajuću ravninu s rezom duž poluosi određuju pomoću formula

gdje su Beselove funkcije prve i druge vrste.

Preporučljivost uvođenja ovih funkcija je zbog činjenice da razmatrane linearne kombinacije i imaju najjednostavnija asimptotička proširenja za velike vrijednosti (točka 8) i često se susreću u aplikacijama.

Iz definicije Hankelovih funkcija proizilazi da su ove funkcije regularne funkcije u ravnini sa rezom i cijelim funkcijama. Očigledno je da su funkcije koje se razmatraju linearno nezavisne jedna od druge i u odnosu na , tako da se opći integral Besselove jednadžbe (3.1) može, uz (3.8), predstaviti u jednom od sljedećih oblika:

gdje su proizvoljne konstante.

Budući da su linearne kombinacije funkcija i , Hankelove funkcije zadovoljavaju iste rekurentne odnose kao i ove funkcije, na primjer,

(5.3)

Ako iz (5.1) izuzmemo Beselovu funkciju druge vrste koristeći (3.5), dobićemo

(5.4)

iz kojih proizlaze važni odnosi:

6 Beselove funkcije imaginarnog argumenta

Usko povezane s Besselovim funkcijama su dvije funkcije koje se često susreću u aplikacijama i , koje se za , koje pripadaju ravnini s rezom duž negativne poluose i proizvoljnom , mogu se odrediti pomoću formula:

(6.1)

(6.2)

i uopšte

(6.3)

Ponavljajući razmišljanje iz točke 2, nalazimo da su i regularne funkcije u ravnini s rezom i cijele funkcije.

Funkcije o kojima je riječ jednostavno su povezane s Beselovim funkcijama argumenta.

Zaista, pretpostavimo to . Onda a iz (2.1) slijedi

(6.4)

za sve

Slično, iz formule (5.4) dobijamo za isto

(6.5)

Za vrijednosti funkcije i mogu se izraziti u terminima Besselovih funkcija argumenta. Imamo

(6.6)

za sve .

Na temelju dobivenih relacija, funkcije i nazivaju se Beselovim funkcijama imaginarnog argumenta. Funkcija je u literaturi poznata i kao Macdonaldova funkcija.

Iz izvedenih formula odmah slijedi da su funkcije koje se razmatraju linearno nezavisna rješenja diferencijalne jednadžbe

(6.7)

koja se od Beselove jednačine razlikuje samo u znaku jednog člana i transformiše se u njega pri supstituciji.

Jednačina (6.7) se često nalazi u matematičkoj fizici. Opšti integral ove jednačine za proizvoljno može se napisati u obliku

Funkcije i zadovoljavaju jednostavne rekurentne relacije:

(6.9)

Rekurzivne formule koje sadrže funkcije dokazuju se zamjenom nizova (6.1) u njih. Odgovarajuće formule za funkcije koje nisu cijeli broj provjeravaju se zamjenom izraza (6.2) u njih i korištenjem formula prve grupe. Valjanost posljednjih relacija za cjelinu proizlazi iz kontinuiteta razmatranih funkcija u odnosu na znak.

Naznačimo još dvije korisne formule:

(6.10)

od kojih prvi proizlazi iz (6.1), ako uzmemo u obzir da kod prvih članova ekspanzije nestaju, dok je drugi direktna posljedica definicije Macdonaldove funkcije (6.2).

Proširenje funkcije at može se dobiti iz (6.3) metodom iz tačke 5. Predstavljamo konačni rezultat proračuna:

Ovdje je logaritamski izvod gama funkcije, čije se vrijednosti mogu pronaći pomoću formula (4.2). U tom slučaju, prvi zbir treba smatrati jednakim nuli.

Iz (6.11) slijedi da je asimptotičko ponašanje funkcije at određeno formulama

(6.12)

7 Cilindrične funkcije s indeksom jednakim polovini neparnog cijelog broja

Posebnu klasu cilindričnih funkcija čine cilindrične funkcije čiji je indeks jednak polovini neparnog cijelog broja. U slučaju koji se razmatra, cilindrične funkcije se mogu izraziti elementarnim funkcijama. Da bismo to pokazali, prvo pronađimo vrijednosti funkcija, za koje smo stavili u (2.1) i koristimo formulu za udvostručenje gama funkcije za transformaciju niza

Onda ćemo to dobiti

(7.1)

i slično

(7.2)

Sposobnost da se Besselova funkcija prve vrste izrazi bilo kojim polucijelim simbolom u terminima elementarnih funkcija sada slijedi iz rekurentne formule (2.5)

koristeći koje možete sukcesivno dobiti:

Opšti izraz za u terminima elementarnih funkcija dobija se iz formula (2.7). Na primjer, ako ubacimo drugi od njih i iskoristimo rezultat (7.1), nalazimo:

(7.3)

Odgovarajuće formule za Beselove funkcije druge i treće vrste mogu se izvesti iz relacija koje se nalaze ako koristimo izraze ovih funkcija preko Beselovih funkcija prve vrste (3.5 i 5.4). Na primjer, imamo:

(7.4)

U zaključku, istaknimo formule:

(7.5)

koje proizilaze iz definicija funkcija koje se razmatraju (6.1 – 6.2).

Formule za ostale polucijelobrojne vrijednosti indeksa su dobijene iz ovih formula korištenjem rekurentnih odnosa (6.9). Liouville je dokazao da je slučaj polucijelog indeksa jedini kada se cilindrične funkcije svode na elementarne.

8 Asimptotski prikazi cilindričnih funkcija za velike vrijednosti argumenta

Cilindrične funkcije imaju jednostavne asimptotske reprezentacije koje su pogodne za aproksimaciju ovih funkcija za velike apsolutne vrijednosti i fiksnu vrijednost indeksa. Glavni termini ovih formula mogu se dobiti na osnovu diferencijalnih jednadžbi koje zadovoljavaju funkcije koje se razmatraju.

Od cilindričnih funkcija, funkcije treće vrste imaju najjednostavniji asimptotski prikaz.

Da bismo dobili asimptotski prikaz funkcije, koristimo jednakost

(8.1)

i transformirajte ga zamjenom. Onda dobijamo

(8.2)

Zamjena množitelja binomnom ekspanzijom sa članom ostatka

i integrirajući pojam po pojam, nalazimo

(8.3)

Gdje

Pretvarajmo se to ( je proizvoljan mali pozitivan broj) i privremeno ćemo pretpostaviti da je odabran tako da Procjena modulo člana ostatka tada daje

at fixed

Dakle, za velike

(8.4)

Pokažimo da se uslov koji je nametnut može odbaciti. Zaista, ako , onda možemo izabrati takav da . Predstavljanje koristeći formulu (8.4), gdje je zamijenjeno sa , i napominjući da

opet dolazimo do istog rezultata.

Također jednostavno korištenje omjera oslobodite se ograničenja nametnutog parametru.

Konačno, ako umjesto (8.1) koristimo integralni prikaz malo općenitijeg oblika, možemo pokazati da pronađena asimptotička formula ostaje važeća u širem sektoru .

Dakle, konačno za velike

(8.5)

Asimptotski prikaz funkcije dobija se na sličan način iz formule

(8.6)

i ima sljedeći oblik:

(8.7)

Asimptotski prikazi za cilindrične funkcije prve i druge vrste slijede iz izvedenih formula (8.5) i (8.7) i relacija (5.1). Mi nalazimo

(8.8)

(8.9)

Asimptotske formule za modificirane cilindrične funkcije mogu se dobiti korištenjem relacija iz paragrafa 6.

Konačne formule su sljedeće:

(8.10)

znak odgovara

Pod uslovom da , drugi član u (8.10) će biti mali, a ova formula se može napisati u obliku

Iz (8.5) i (8.7 – 8.12) proizilazi da su divergentni nizovi dobijeni ako formalno postavimo , asimptotični za funkcije na lijevoj strani razmatranih jednakosti.

Metoda kojom se izvode dotične formule daje samo red veličine preostalog člana, ali ne dozvoljava donošenje preciznijih zaključaka. Pod posebnim pretpostavkama i moguće je, neznatnom modifikacijom obrazloženja, dobiti znatno tačnije rezultate. Tako, na primjer, može se pokazati da ako su i realni pozitivni brojevi i broj je uzet toliko velik da će tada ostaci asimptotskih proširenja za i biti numerički manji od prvih članova koji se odbacuju. U asimptotskom predstavljanju za , isti rezultat se javlja za .

9 Nule cilindričnih funkcija

Prilikom rješavanja mnogih primijenjenih problema potrebno je imati ideju o raspodjeli nula cilindričnih funkcija na ravni kompleksne varijable i moći približno izračunati njihove vrijednosti.

Raspodjela nula Beselovih funkcija sa pozitivnim cijelim predznakom, tj. rješenja jednadžbe

utvrđuje se sljedećom teoremom.

Teorema 4. Funkcija nema kompleksne nule i ima beskonačan broj realnih nula lociranih simetrično u odnosu na tačku, koja u tom slučaju pripada njihovom broju. Sve nule funkcije su jednostavne, s izuzetkom točke , koja je na odgovarajućoj nuli višestrukosti .

Distribucija nula Beselovih funkcija sa proizvoljnim realnim indeksom, tj. rješenja jednadžbe

– pravi, (9.2)

data je opštijom teoremom 5.

Teorema 5. Funkcija je bilo koji realan broj) ima beskonačan broj realnih pozitivnih nula i konačan broj kompleksno konjugiranih nula, pri čemu, ovisno o vrijednosti parametra,

(1) ako ili

(2) at

Ako među kompleksnim nulama postoji par čisto imaginarnih jedinica.

Sve nule funkcije su jednostavne, osim, možda, tačke.

U matematičkoj fizici, jednačina se često susreće

(gdje su i dati realni brojevi, ), što se može smatrati generalizacijom jednačine (9.2). Uz navedeno ograničenje parametra, jednačina koja se razmatra ima beskonačan broj pozitivnih korijena i nema kompleksne korijene, osim u slučaju kada ova jednačina ima dva čisto imaginarna korijena.

Distribucija nula funkcije može se izvesti iz teoreme 5 korištenjem relacija iz paragrafa 6. Konkretno, primjećujemo važan rezultat da su sve nule funkcije čisto imaginarne. Macdonaldova funkcija za real nema nule u regiji. Nule funkcije koje leže u ostatku rezne ravnine su kompleksni konjugati i njihov broj je konačan.

Za približno izračunavanje korijena jednadžbi koje sadrže cilindrične funkcije koristi se metoda uzastopnih aproksimacija, a u mnogim slučajevima korijeni jednadžbi dobiveni iz originalnih zamjenom cilindričnih funkcija njihovim asimptotičkim prikazima mogu se uzeti kao dobra početna aproksimacija .

10 Primjer

Riješite diferencijalnu jednačinu:

U ovoj jednačini ćemo izvršiti zamjenu

Gdje

dakle,

Zamjenom pronađenih derivacija u originalnu jednačinu dobivamo:

Pomnoži sa:

Neka , tada dobijamo:

Podijeli po:

Na osnovu općeg oblika Besselove jednačine (1), slijedi da je .

Opšti izraz cilindrične funkcije za na osnovu formule (1.14) predstavlja linearnu kombinaciju konstruisanih rešenja:

gdje su i proizvoljne konstante.

Dakle, rješenje originalne jednadžbe ima oblik:

Zaključak

U ovom predmetnom radu proučavane su Beselove funkcije (Beselova jednačina i modifikovana Beselova jednačina), osnovna svojstva navedenih funkcija i rešavana je diferencijalna jednačina korišćenjem Beselovih funkcija.

Bibliografija

1. Lebedev N.N. Posebne funkcije i njihove primjene (2. izdanje). – M.-L.: GIFML, 1963. – 359s.

2. Romanovsky P.I. Fourierova serija. Teorija polja. Analitičke i specijalne funkcije. Laplasova transformacija, udžbenik za univerzitete. – M.: Nauka, 1983. – 336s.

3. Bateman G., Erdelyi A. Više transcendentalne funkcije. T. 2. Beselove funkcije, funkcije paraboličnog cilindra, ortogonalni polinomi. – M.: Nauka, 1966. – 296s.

4. Piskunov N.S. Diferencijalni i integralni račun, udžbenik za univerzitete. – M.: Nauka, 1985. – 560-e.

5. G.N. Watson Rasprava o teoriji Besselovih funkcija. 1945. (Dostupan prevod: Watson G.N. Teorija Beselovih funkcija: Prevedeno sa 2. engleskog izdanja / Autorov predgovor. V.S. Berman. - M.: IL, 1949. - 798 str.)

6. Sabitov K.V. Funkcionalne, diferencijalne i integralne jednadžbe. – M.: Viša škola, 2005. – 671s.

7. Kuznjecov D.S. Posebne funkcije. – M.: Viša škola, 1962. – 249s.

8. Morse F.M., Feshbach G. Metode teorijske fizike. T.2. – M.: IL, 1960. – 897s.

9. Korenev B.G. Uvod u teoriju Beselovih funkcija. – M.: Nauka, 1971. – 287s.

10. Kuzmin R.O. Beselove funkcije. – L.-M.: GTTI, 1933. – 152s.

Uvod

Cilindrične funkcije su rješenja linearne diferencijalne jednadžbe drugog reda

gdje je kompleksna varijabla,

Parametar koji može uzeti bilo koju realnu ili kompleksnu vrijednost.

Termin “cilindrične funkcije” duguje svoje porijeklo činjenici da se jednačina (1) javlja kada se razmatraju problemi graničnih vrijednosti teorije potencijala za cilindrično područje.

Posebne klase cilindričnih funkcija poznate su u literaturi kao Beselove funkcije, a ponekad se ovaj naziv dodeljuje čitavoj klasi cilindričnih funkcija.

Dobro razvijena teorija funkcija koje se razmatraju, dostupnost detaljnih tablica i širok spektar primjena daju dovoljan razlog da se cilindrične funkcije klasificiraju kao jedne od najvažnijih specijalnih funkcija.

Beselova jednačina nastaje pri pronalaženju rješenja Laplaceove jednačine i Helmholtzove jednačine u cilindričnim i sfernim koordinatama. Stoga se Besselove funkcije koriste u rješavanju mnogih problema o širenju valova, statičkim potencijalima itd., na primjer:

1) elektromagnetni talasi u cilindričnom talasovodu;

2) toplotnu provodljivost u cilindričnim objektima;

3) modovi vibracija tanke okrugle membrane;

4) brzina čestica u cilindru ispunjenom tečnošću i rotirajući oko svoje ose.

Beselove funkcije se također koriste u rješavanju drugih problema, na primjer, u obradi signala.

Cilindrične Beselove funkcije su najčešće od svih specijalnih funkcija. Imaju brojne primjene u svim prirodnim i tehničkim naukama (posebno u astronomiji, mehanici i fizici). U brojnim problemima iz matematičke fizike, postoje cilindrične funkcije u kojima argument ili indeks (ponekad oba) poprimaju kompleksne vrijednosti. Za numerički rješavanje ovakvih problema potrebno je razviti algoritme koji omogućavaju izračunavanje Besselovih funkcija s velikom preciznošću.

Svrha kursa: proučavanje Beselovih funkcija i primjena njihovih svojstava u rješavanju diferencijalnih jednadžbi.

1) Proučite Beselovu jednačinu i modifikovanu Beselovu jednačinu.

2) Razmotriti osnovna svojstva Beselovih funkcija, asimptotske reprezentacije.

3) Riješite diferencijalnu jednačinu koristeći Beselovu funkciju.

Beselove funkcije s pozitivnim cijelim predznakom

Za razmatranje mnogih problema povezanih s upotrebom cilindričnih funkcija, dovoljno je da se ograničimo na proučavanje posebne klase ovih funkcija, što odgovara slučaju kada je parametar u jednadžbi (1) jednak nuli ili pozitivnom cijelom broju.

Proučavanje ove klase je elementarnije od teorije koja se odnosi na proizvoljne vrijednosti i može poslužiti kao dobar uvod u ovu opštu teoriju.

Pokažimo da je jedno od rješenja jednačine

0, 1, 2, …, (1.1)

je Besselova funkcija prve vrste reda, koja je za bilo koju vrijednost definirana kao zbir niza

Koristeći d'Alembertov test, lako je provjeriti da se razmatrani niz konvergira na cijeloj ravni kompleksne varijable i, prema tome, predstavlja cijelu funkciju od.

Ako lijevu stranu jednačine (1.1) označimo sa i uvedemo skraćeni zapis za koeficijente serije (1.2), stavljamo

onda kao rezultat zamjene dobijamo

iz čega slijedi da je izraz u vitičastim zagradama jednak nuli. Dakle, funkcija zadovoljava jednačinu (1.1), tj. radi se o cilindričnoj funkciji.

Najjednostavnije funkcije klase koja se razmatra su Besselove funkcije reda nula i jedan:

Pokažimo da se Beselove funkcije drugih redova mogu izraziti u terminima ove dvije funkcije. Da biste to dokazali, pretpostavite da je a pozitivan cijeli broj, pomnožite niz (1.2) sa i diferencirajte ga. Onda ćemo to dobiti

Slično, množenjem niza sa nalazimo

Nakon što smo diferencirali u jednakosti (1.4 - 1.1) i podijelili sa faktorom, dolazimo do formula:

što direktno slijedi:

Rezultirajuće formule poznate su kao rekurentne relacije za Besselove funkcije.

Prva od relacija omogućava da se funkcija proizvoljnog reda izrazi kroz funkcije reda nula i jedan, što značajno smanjuje posao sastavljanja tabela Besselovih funkcija.

Druga relacija omogućava predstavljanje derivata Beselovih funkcija kroz Beselove funkcije. Da bi se ovaj odnos zamijenio formulom

direktno proizilazeći iz definicije ovih funkcija.

Beselove funkcije prve vrste jednostavno su povezane s koeficijentima proširenja funkcije u Laurentov red):

Koeficijenti ove ekspanzije mogu se izračunati množenjem niza stepena:

i udruženja članova koji imaju iste diplome. Nakon što smo ovo uradili, dobijamo:

iz čega slijedi da se proširenje koje razmatramo može zapisati u obliku

Funkcija se naziva generirajuća funkcija za Besselove funkcije sa predznakom cijelog broja; pronađena relacija (1.12) igra važnu ulogu u teoriji ovih funkcija.

Da bi se dobio opšti integral jednadžbe (1.1), koji daje izraz za proizvoljnu cilindričnu funkciju sa celim predznakom, potrebno je konstruisati drugo rešenje jednačine, linearno nezavisno od c. Kao takvo rješenje može se uzeti Besselova funkcija druge vrste, na osnovu čije definicije je lako dobiti analitički izraz za nju u obliku niza

(- Eulerova konstanta) i, u tom slučaju, prvi zbir treba postaviti jednakim nuli.

Funkcija je pravilna u ravni sa rezom. Bitna karakteristika rješenja koje se razmatra je da ono ide u beskonačnost kada. Opšti izraz cilindrične funkcije za predstavlja linearnu kombinaciju konstruisanih rješenja

gdje su i proizvoljne konstante,

Da bismo prešli na rješavanje problema oscilacija kružne membrane, prvo se moramo upoznati s Beselovim funkcijama. Beselove funkcije su rješenja linearne diferencijalne jednadžbe drugog reda s promjenjivim koeficijentima

Ova jednačina se zove Besselova jednačina. I sama jednadžba i njena rješenja nalaze se ne samo u problemu oscilacija kružne membrane, već u velikom broju drugih problema.

Parametar k uključen u jednačinu (10.1) može, općenito govoreći, uzeti bilo koju pozitivnu vrijednost. Rješenja jednadžbe za dati k nazivaju se Beselove funkcije reda k (ponekad se nazivaju i cilindrične funkcije). Razmotrićemo detaljno samo najjednostavnije slučajeve, kada i pošto ćemo u daljem izlaganju naići samo na Besselove funkcije nultog i prvog reda.

Za opće proučavanje Besselovih funkcija, upućujemo čitaoca na posebne priručnike (vidi, na primjer, ; α = 0 − Γ (α) π (2 x) α ; α > 0 , (\displaystyle Y_(\alpha)( x)\rightarrow \left\((\begin(matrix)(\frac (2)(\pi ))\left[\ln(x/2)+\gamma \right]&(\mbox(;))\ quad \alpha = 0\\\\-(\frac (\Gamma (\alpha))(\pi ))\left((\frac (2)(x))\right)^(\alpha )&(\ mbox(;) )\quad \alpha >0\end(matrix))\right.,)

Gdje γ (\displaystyle \gamma )- Eulerova konstanta - Mascheroni (0,5772...), i Γ (\displaystyle \gama )- Eulerova gama funkcija. Za velike argumente ( x ≫ | α 2 − 1 / 4 | (\displaystyle x\gg |\alpha ^(2)-1/4|)) formule izgledaju ovako:

J α (x) → 2 π x cos ⁡ (x − α π 2 − π 4) , (\displaystyle J_(\alpha)(x)\rightarrow (\sqrt (\frac (2)(\pi x)) )\cos \left(x-(\frac (\alpha \pi )(2))-(\frac (\pi )(4))\right),) Y α (x) → 2 π x sin ⁡ (x − α π 2 − π 4) . (\displaystyle Y_(\alpha )(x)\rightarrow (\sqrt (\frac (2)(\pi x)))\sin \left(x-(\frac (\alpha \pi)(2))- (\frac (\pi )(4))\desno).)

Hipergeometrijske serije

Beselove funkcije mogu se izraziti u terminima hipergeometrijske funkcije:

J α (z) = (z / 2) α Γ (α + 1) 0 F 1 (α + 1 ; − z 2 / 4) . (\displaystyle J_(\alpha )(z)=(\frac ((z/2)^(\alpha ))(\Gamma (\alpha +1)))()_(0)F_(1)(\ alfa +1;-z^(2)/4).)

Dakle, za cijele brojeve α (\displaystyle \alpha ) Beselova funkcija nedvosmisleno analitičko, a za necijelobrojne - multivalued analytic.

Generirajuća funkcija

Postoji reprezentacija Besselove funkcije prve vrste i cjelobrojnog reda kroz koeficijente Laurentovog reda funkcije određenog tipa, i to:

e z 2 (w − 1 w) = ∑ n = − ∞ + ∞ J n (z) w n . (\displaystyle e^((\frac (z)(2))\left(w-(\frac (1)(w))\right))=\suma _(n=-\infty )^(+\ infty )J_(n)(z)w^(n).)

Linearna obična diferencijalna jednadžba drugog reda oblika \[(x^2)y"" + xy" = \left(((x^2) - (v^2)) \desno)y = 0\] se zove Beselova jednačina . Poziva se broj \(v\). red Beselove jednačine .

Ova diferencijalna jednadžba je dobila ime po njemačkom matematičaru i astronomu Friedrich Wilhelm Bessel , koji ju je detaljno proučavao i pokazao (u \(1824\)) da se rješenja jednadžbe izražavaju kroz posebnu klasu funkcija tzv. cilindrične funkcije ili Beselove funkcije .

Specifična reprezentacija općeg rješenja ovisi o broju \(v.\) Zatim ćemo odvojeno razmotriti dva slučaja:

Red \(v\) nije cijeli broj;

Redoslijed \(v\) je cijeli broj.

Slučaj 1. Red \(v\) nije cijeli broj

Uz pretpostavku da je broj \(v\) necijeli i pozitivan, opće rješenje Besselove jednadžbe može se napisati u obliku \ gdje su \((C_1),\) \((C_2)\) proizvoljne konstante, i \((J_v)\ lijevo(x \desno),\) \((J_( - v))\lijevo(x \desno)\) − Beselove funkcije prve vrste .

Beselova funkcija prve vrste može se predstaviti kao niz, čiji su članovi izraženi kroz tzv. gama funkcija : \[(J_v)\left(x \right) = \sum\limits_(p = 0)^\infty (\frac((((\left(( - 1) \right))^p)))( (\Gamma \left((p + 1) \desno)\Gamma \left((p + v + 1) \right)))((\left((\frac(x)(2)) \right)) ^(2p + v))).\] Gama funkcija je ekstenzija faktorska funkcija iz skupa cijelih brojeva u skup realnih brojeva. Konkretno, ima sljedeća svojstva: \[ (\Gamma \left((p + 1) \right) = p!,)\;\; (\Gamma \left((p + v + 1) \desno) = \left((v + 1) \desno)\left((v + 2) \desno) \cdots \left((v + p) \ desno)\Gamma \left((v + 1) \right).) \] Beselove funkcije prve vrste negativnog reda (sa indeksom \(-v\)) se pišu na sličan način. Ovdje pretpostavljamo da je \(v > 0.\) \[(J_( - v))\left(x \right) = \sum\limits_(p = 0)^\infty (\frac(((\ left (( - 1) \desno))^p)))((\Gamma \left((p + 1) \right)\Gamma \left((p - v + 1) \right)))((\ lijevo ((\frac(x)(2)) \right))^(2p - v))) .\] Beselove funkcije se izračunavaju u većini matematičkih paketa. Na primjer, oblik Beselovih funkcija prve vrste reda od \(v = 0\) do \(v = 4\) prikazan je na slici \(1.\). Ove funkcije se također mogu izračunati u MS Excel-u.

Slučaj 2. Red \(v\) je cijeli broj

Ako je red \(v\) Besselove diferencijalne jednadžbe cijeli broj, tada su Beselove funkcije prve vrste \((J_v)\left(x \right)\) i \((J_( - v))\left (x \desno)\ ) postaju ovisni jedno o drugom. U ovom slučaju, opće rješenje jednadžbe će biti opisano drugom formulom: \ gdje je \((Y_v)\lijevo(x \desno)\) − Beselova funkcija druge vrste . Ponekad se ova porodica funkcija naziva i Neumannove funkcije ili Weberove funkcije .

Beselova funkcija druge vrste \((Y_v)\left(x \right)\) može se izraziti kroz Beselove funkcije prve vrste \((J_v)\left(x \right)\) i \((J_( - v))\left (x \ desno):\) \[(Y_v)\left(x \right) = \frac(((J_v)\left(x \right)\cos \pi v - (J_( - v))\left (x \ desno)))((\sin \pi v)).\] Grafovi funkcija \((Y_v)\left(x \right)\) za prvih nekoliko redova \(v\) prikazani su iznad u Slika \(2.\ )

Bilješka: Zapravo, opće rješenje Beselove diferencijalne jednadžbe može se izraziti u terminima Beselovih funkcija prve i druge vrste i za slučaj necjelobrojnog reda \(v.\)

Neke diferencijalne jednadžbe svodljive na Beselovu jednačinu

1. Još jedna dobro poznata jednačina ove klase je modifikovana Beselova jednačina , koja se dobija iz regularne Besselove jednadžbe zamjenom \(x\) sa \(-ix.\) Ova jednačina ima oblik: \[(x^2)y"" + xy" - \left(((x ^2) + (v^2)) \right)y = 0.\] Rješenje ove jednačine je izraženo kroz tzv. modificirane Besselove funkcije prve i druge vrste : \[ (y\left(x \right) = (C_1)(J_v)\left(( - ix) \right) + (C_2)(Y_v)\left(( - ix) \right) ) = (( C_1)(I_v)\lijevo(x \desno) + (C_2)(K_v)\lijevo(x \desno),) \] gdje je \((I_v)\lijevo(x \desno)\) i \((K_v )\left(x \right)\) označavaju modifikovane Beselove funkcije prve i druge vrste, respektivno.

2. Airy diferencijalna jednadžba , poznat u astronomiji i fizici, zapisuje se u obliku: \ Može se svesti i na Beselovu jednačinu. Rješenje Airyjeve jednadžbe je izraženo kroz Besselove funkcije razlomka \(\pm \large\frac(1)(3)\normalsize:\) \[ (y\left(x \right) ) = ((C_1) \sqrt x (J_ (\large\frac(1)(3)\normalsize))\left((\frac(2)(3)i(x^(\large\frac(3)(2)\normalsize) )) \desno) + (C_2)\sqrt x (J_( - \large\frac(1)(3)\normalsize))\left((\frac(2)(3)i(x^(\large\) frac(3)( 2)\normalsize)))\desno).)\]
3. Diferencijalna jednadžba oblika \[(x^2)y"" + xy" + \left(((a^2)(x^2) - (v^2)) \right)y = 0\] se razlikuje iz Besselove jednadžbe samo faktor \((a^2)\) prije \((x^2)\) i ima opće rješenje u sljedećem obliku: \
4. Slična diferencijalna jednadžba \[(x^2)y"" + axy" + \left(((x^2) - (v^2)) \right)y = 0\] takođe se svodi na Beselovu jednačinu \[ (x ^2)z"" + xz" + \left(((x^2) - (n^2)) \desno)z = 0\] korištenjem zamjene \ Ovdje je parametar \((n^2)\ ) označava \[(n^2) = (v^2) + \frac(1)(4)(\left((a - 1) \right)^2).\] Kao rezultat, generalno rješenje za ova diferencijalna jednadžba je određena formulom \.\]
Specijalne Besselove funkcije se široko koriste u rješavanju problema matematičke fizike, na primjer, u studiji

širenje talasa;

toplotna provodljivost;

vibracije membrane

u slučajevima kada objekti imaju cilindričnu ili sfernu simetriju.